Основы математики

Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона. 1 C00 1 1 C10 C11 1 2 1 C20 C21 C22 1 3 3 1 C30 C31 C32 C33 1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44 1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55 1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1.

Свойства треугольника Паскаля 1 В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке. 2 Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис- лам. 3 Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре- дыдущей сроке. 4 Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. СmnCmm-n 2. Бином Ньютона. ab - двучлен бином ab01 ab1ab ab2C20a2

C21ab C22b2 и т.д. Свойства бинома Ньютона 1 Бином ньютона содержит n1 слагаемых. 2 Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой. 3 Формулу бинома Ньютона можно записать символически n a bn S Cnk.an-k.bk k4 Любой член можно выразить формулой Tk1Cnk.an-k.bk 5 Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.

Метод математической индукции. Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если 1 Оно верно при n2 Предположим, что оно верно при nk и докажем, что оно верно при nk1. Комбинаторика Размещения и перестановки. Определение Группы составленные из каких-либо предметов отличаю- щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое- динениями. 3 рода соединений 1 Размещения 2

Перестеновки 3 Сочетания Дано a,b,c - 3 элемента. по одному a, b, c. по два ab, bc, ac, ba, cb, ca. по три abc, acb, bca, bac, cab, cba. 1. Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд- ком или элементом называются размещениями и обозначают Amn, n,m m Amn m-n L 2. Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками. Pmm L 2. Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на- зываются сочетениями.

Свойства числа сочетний m 1 СmnCmm-n Сmn 2 CmnCmn1Cm1n1 m-nn 3 Cm01 L 4 C0001 Дифференцирование функций. Производная функции hx-a - приращение аргумента fah - fa - приращение функции fah - fa - klim fx или fa- h- 0 h - fah-faka.h- L df fx.dx - дифференциал функции. Примеры 1 1hx-1x -hxxh 1 fx- fx lim lim x h- 0 h h- 0 h 1 1 lim xxh h2 1 2 x2 2x axb a a 2x ax2 bx c 2ax b x3 3x2 axn n.xn-1

L Техника дифференцирования. fg fg fg Угловой коэффициент касательной в данной то- f g f g чке равен значению производной в данной точ- f fg fg ке 9 g 0 g1 Функция монотонно убывает, там где произ- водная отрицательна. fn nfn-1f 2 Функция монотонно возрастает, там где про- n 1 изводная положительна. f 3 Если производная равна нулю или не сущес- n. n f твует то в этих точках функция имеет локальные экстремумы.

4 Экстремумы функции на данном промежутке в Сравнить полученные результаты и выбрать нужные. Дифференцирование тригонометрических функций. Sin x tg x Lim 1 Lim x- 0 x x- 0 x L L Sin x Cos x Cos x -Sin x 1 1 tg x Ctg x Cos2x Sin2x Спецкурс -

Уравнения и неравенства с параметрами . Исследование квадратного трехчлена Теорема 1. а 0, D . 0, x0 M, a7fM 0, M x1 , x2 fM 0, Б D . 0, a 0, 9 x0 M. D . 0, x0 M, fM 0 L Теорема 2. а 0, D . 0, x0 b, a7fb 0, x1 , x2 b fb 0, Б D . 0, a 0, 9 x0 b. D . 0, x0 b, fb 0 L Теорема 3. а 0, 2 D . 0, a7fb 0

Б M x0 b, a7fM 0, M x1 , x2 b 2 fM 0, D . 0, 9 fb 0, M x0 b a 0, 2 D . 0, Б M x0 b, 2 fb 0, 9 fM 0 L Теорема 4. а 0, Б fM 0, 9 fb 0, a7fb 0 M x1 b x2 a 0, a7fM 0, Б fb 0, 9 fM 0 L Теорема 5. а 0, Б fM 0, 9 fb 0, a7fb 0 x1 M x2 b a 0, a7fM 0, Б fb 0, 9 fM 0 L Теорема 6. а 0, Б fM 0, 9 fb 0, a7fb 0 x1

M b x2 a 0, a7fM 0, Б fb 0, 9 fM 0 L Теорема 7. а 0, fM 0, x1 M x2 a 0, a7fM 0, fM 0 L Числовая последовательность. 1. Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро- ван с помощью натуральных чисел и обозначается an или an - a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 an fn - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член последовательности. Последовательность называют возрастающей, если каждый член после- довательности

больше предыдущего, т.е. если an1 an, то an. Последовательность называется убывающей, если каждый член после- довательности меньше предыдущего, т.е. если an1 an, то an. an , M an - ограниченная сверху. an . M an - ограниченная снизу. 2. Арифметическая прогессия Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже число, которое называется разностью прогрессий.

a1,a2,a3,a4 an a2a1d d - разность прогрессий ana1n-1d формула любого члена арифметической прогрессии L Свойства членов арифметической прогресии 1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое членов, с ним соседних anan-1an2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между собой a1ana2an-1a3an-3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое равноудаленных от него членов. a1ann- 2a1n-1d S S n 2 -

2 L L 3. Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.q b2b1.q b2b1.q2 и т.д. bnb1.qn-1 формула лыбого члена арифметической прогрессии. L Свойства членов геометрической прогрессии 1. bn bn-k.bnk 2. b1.bnbk.bn-k2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно

Pb1.bnn b12qn-1n L 4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна bnq-b1 b1qn-1 S q-1 q-1 1 lq9m.pdr 2 1 Основные формулы сокращенного умножения. a2 b2 a b2 - 2ab a2 b2 a - b2 2ab a2 - b2 a - ba b a b2 a2 2ab b2 a - b2 a2 - 2ab b2 a3 b3 a ba2 - ab b2 a3 - b3 a - ba2 ab b2 an - bn a - ban-1 an-2b an-3b4 bn-1 a b3 a3 3a2b 3ab2 b3 a - b3 a3 - 3a2b 3ab2 b3 a - b3 a3 - b3 - 3aba - b a4 b2 1 a2 a 1a2 - a 1 a b4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3

b4 a b5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5 A A-B A A-B A B 2 2 a - b a - b a b 3 3 a - b a - b a2 ab b2 a, если a . 0 a2 a- L- -a, если a 0 Сумма углов выпуклого многоугольника 180n - 2 Формула Герона S pp - ap - bp - c Правильный многоугольник an 2r.tg180n 2R.Sin180n Sn p.r 0,5.PR.Cos180n Sквадрата a.b abc Sтреугольника 0,5.ah 0,5.ab.

Sin a 4R d1.d2 Sпараллелограма ab.Sin a a.ha 2 Sтрапеции 0,5.a b ch c - средняя линия Преобразования на плоскости. Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние. SlABC A1B1C1 относительно прямой l Центральная симметрия - движение относительно точки, при котором сохраняется расстояние ZOABCD A1B1C1D1 относительно точки О Параллельный перенос Пвектор Поворот - Rуголточка

Гомотетия - увеличение или уменьшение Hкоэфициентточка Правила действия над тригонометрическими функциями. гT ySin a- функция ограниченная yCos a- функция ограниченная - -1 , Sin a , 1 -1 , Cos a , 1 ytg a yCtg a- неограниченные функции - - L- 360 2p 180 p 90 0,5p Длинна дуги равна произведению p p p е радианного измерения на ра- 60 - 45 - 30 - диус 3 4 6 Cокружности 2pR Основные тригонометрические тождества q 1.Sin2a

Cos2a 1 Sin a Cos a 2.tg a Ctg a Cos a Sin a 3.tg a Ctg a 1 1 1 4.1 tg2a 1 Ctg a Cos2a Sin2a Правило формул превидения Какой знак Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти. Какая функция Если угол откладывается от горизонтального диаметра то функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра то функция меняется на созвучную.

Sin a на Cos a tg a на Ctg a T Cosa-b CosaCosb SinaSinb Cosab CosaCosb - SinaSinb Sina-b SinaCosb - CosaSinb Sinab SinaCosb CosaSinb T T tg a - tg b tg a tg b tga-b tgab 1 tgatgb 1 - tgatgb T Ctgactgb 1 Ctgactgb - 1 Ctga-b Ctgab Ctg a - ctg b Ctg a ctg b T T Sin 2a 2Sin aCos a Cos2a Cos2a - Sin2a

T T 2tg a Ctg2a - 1 tg 2a Ctg 2a 1 - tg2a 2Ctg a L Sin a Cos b 0,5Sina-b Sinab Sin x Sin y 2Sin 0,5xy Cos 0,5x-y Sin x - Sin y 2Cos 0,5xy Sin 0,5x-y Cos x Cos y 2Cos 0,5xy Cos 0,5x-y Cos x - Cos y -2 Sin 0,5xy Sin 0,5x-y Cos a Cos b 0,5Cosa-b Cosab Sin a Sin b 0,5Cosa-b -

Cosab T Sinx-y Sinxy tg x - tg y tg x tg y Cos x Cos y Cos x Cos y T Sinx-y Sinxy Ctg x - Ctg y Ctg x Ctg y Sin x Sin y Sin x Sin y L Sin 3x 3Sin x - 4Sin3x 2tg x Cos 3x 4Cos3x - 3Cos x Sin 2x 1 Cos 2x 2tg2x 1 Cos x 2 . 1 tg2x 1 - Cos 2x Cos 2x Sin x 1 - tg2x 2 . 1 - Cos 2x 2tg x tg x tg 2x 1

Cos 2x 1 - tg2x 1. Решение тригонометрических уравнений. Sin x m x -1n7arcsin m pn, n Z. Cos x m x arccos m 2pn, n Z. tg x m x arctg m pn, n Z. ctg x m x arcctg m pn, n Z. 2. Равенство одноименных функций. Sin t Sin a t -1ka kp, k Z. Cos t Cos a t a 2kp, k Z. tg t tg a t a kp, k Z.

3. Универсальная подcтaновка. t t 2tg 1 - tg2 2 2 t Sin t Cos t tg Z. t t 2 1 tg2 1 tg2 2 2 4. Функции кратных аргументов. Cos2x Cos2x - Sin2x. ab2a22abb2 Sin2x 2Cosx7Sinx. L- Cos3x Cos3x - 3Cosx7Sin2x. ab3a33a2b3ab2b3 Sin3x 3Cos2x7Sinx - Sin3x. L- Cos4xCos4x-6Cos2x7Sin2xSin4x. ab4a44a3b6a2b24ab3b4

Sin4x4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x. L- 5. Дополнительно. Cos n17x 2Cosx7Cosnx - Cosn-1x. Sin 5a 16Sin5a - 20Sin3a 5Sina. Sin 7a -64Sina7 112Sin5a - 56Sin3a 7Sina Sina764Cos6a - 80Cos4a 24Cos2a - 1.