Методика преподавания математики (шпоры к экзамену)

1.Предмет МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Методика преподавания математики - наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп. В своих исследованиях и выводах она опирается на педагогику, психологию, математику и обобщенный практический опыт работы учителей математики. Согласно общим целям обучения перед методикой преподавания математики стоят следующие основные задачи 1. Определить конкретные цели изучения математики и содержание учебного

предмета средней школы. 2. Разработать наиболее рациональные методы и организационные формы обучения, направленные на достижение поставленных целей. З. Рассмотреть необходимые средства обучения и разработать рекомендации по их применению в практике работы учителя. Короче говоря, методика математики призвана дать ответы на следующие три вопроса 1. Зачем надо учить математике? 2. Что надо изучать? 3.

Как надо обучать математике? Содержание методики математики составляют вопросы ее общих теоретических основ общая методика математики и вопросы изучения отдельных разделов, тем курса частная, или специальная, методика математики . Методика преподавания математики оформилась как самостоятельная наука во второй половине ХIХ в. Основным предметом ее исследований в то время стали вопросы обучения математике детей младшего школьного возраста, что было вызвано возникшими в обществе потребностями достаточно широкого

развития школьного начального образования. Первыми в нашей стране научными исследованиями по МПМ Гурьев, Лобачевский, Ульянов, Гольденберг, Киселев. В методике преподавания математики, в практике обучения предмету находят свое отражение особенности многовековой истории развития математики от глубокой древности до наших дней. Это позволяет не только лучше понять богатую историю возникновения и развития учебного предмета, но

и выбрать для сообщения школьникам поучительные примеры напряженной, часто героической борьбы за научное мировоззрение против религиозного догматизма и метафизических представлений развития методики преподавания математики. Принципы обучения математики 1.Принцип усиления прикладной направленности обучения Изучение основ науки должно осуществляться в тесной связи с раскрытием важнейших их применений в промышленности, сельском хозяйстве и общественной жизни. При этом основы науки не должны подменяться ее приложениями.

Использование в обучении математических моделей реальных ситуаций, отбор содержания обучения, отвечающего поставленной цели, представляют собой основные средства реализации принципа связи обучения с жизнью. Важной составной частью этих средств являются задачи и примеры прикладного характера. 2.Принцип систематичности и последовательности Принцип систематичности и последовательности в обучении обусловливается и логикой самих наук, изучаемых в школе, и особенностями познавательной и практической

деятельности учащихся. протекающей в соответствии с закономерностями их умственного и физического развития. Важное значение принцип приобретает в выработке у учащихся умений и навыков самостоятельной работы с книгой, в воспитании у них навыков организованности и последовательности в приобретении знаний. Систематичность в обучении математике предполагает соблюдение определенной последовательности в изучении учебного материала и постепенное овладение основными понятиями школьного курса математики 3.Принцип

доступности Принцип доступности в обучении вытекает из требований учета возрастных особенностей учащихся. Он лежит в основе составления учебных планов и программ. Принцип доступности требует, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащимся, соответствовали уровню их умственного развития и имеющемуся запасу знаний, умений и навыков. 4.Принцип сознательности, активности, самостоятельности и прочности усвоения

Данный принцип заключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений, их осмыслении, творческой переработке и применении. Он вытекает из целей и задач средней школы, призванной готовить активных и самостоятельных членов общества, а также из особенностей процесса обучения, требующего осмысленного и творческого подхода к изучаемому материалу. 5.Принцип наглядности 6.Принцип индивидуального подхода к учащимся 7.Принцип прочности знаний 2.МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ

МАТЕМАТИКЕ. 1.Эмпирические методы познания. К эмпирическим методам познания относятся наблюдение, описание, измерение и эксперимент. Наиболее часто эти методы применяются в естественнонаучных дисциплинах химии, биологии, астрономии, физике, географии и т. д Для математики эти методы не являются характерными. Часто имеет место одновременное использование методов наблюдения, описания, измерения и эксперимента. Это помогает избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную

работу по использованию демонстрационных наглядных пособий, приборов, моделей и т. п. Математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на создание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т, д.

Чаще всего результаты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, т. е. к методам, способствующим открытиям. Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерченного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У некоторых сумма углов треугольника получается меньше 180 , у других - больше, но у всех

результаты близки к 180 , а у некоторых даже точно 180 Ученики догадываются, что должно получиться 180 , а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они совершают открытие Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180 . 2.Анализ и синтез. Логические методы познания особенно необходимы при отыскании решения задач. Рассмотрим, например, следующую задачу Определить площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно

перпендикулярны и равны 6 и 8 см . Поиск ее решения целесообразно начать, пользуясь методами анализа и синтеза. В процессе анализа задачи выделяются все ее утверждения 1 необходимо вычислить площадь четырехугольника 2 четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали 3 диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см. Выделение этих утверждений из целого задачи - результат проведения анализа. Анализ направляется вопросами Что дано в задаче Что еще дано в задаче

О чем еще говорится в задаче Что в задаче требуется найти? Синтез - логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое. Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач Подход к решению задач, состоящий в сведении задач к совокупности подзадач, находит широкое применение

в практике решения не только задач на доказательство. 3.Сравнение.С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих различных свойств. Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а также различие у треугольника три вершины стороны , у четырехугольника - четыре.

4.Абстрагирование и конкретизация Абстрагирование - это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание в рамках нашего изучения последних. Под конкретизацией понимают обратный переход - от более общего к менее общему, от общего к единичному. 5.Индукция и дедукция. Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения

и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок. Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процесс обучения называют индуктивным методом обучения. Дедукция в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что

новое предложение а точнее, выраженная в нем мысль выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода следования из некоторых известных предложений мыслей . 3.Формирование математических понятий. Мы отличаем один объект от другого, пользуясь различными качествами, признаками или особенностями объектов. Среди различных свойств изучаемых объектов можно выделить единичные для них характерно то, что они являются его отличительными свойствами например, уравнение второй степени

с одной переменной - квадратное уравнение общие могут быть отличительными если выражают существенные свойства, выделяющие объект из множества других и неотличительными . В процессе отражения в мозгу человека этих свойств объектов возникает особая форма мышления - понятие. Для него характерны понятие есть продукт высокоорганизованной материи отражает материальный мир предстаёт в познании как средство обобщения означает специфически человеческую деятельность формирование понятия

в сознании человека неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа. Процесс формирования некот. понятия - постепенный процесс, проходящий в несколько стадий 1. На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретными множествами рисунок . Они не только видят каждое из этих множеств, но и могут осязать потрогать те предметы, из которых эти множества состоят. На этой стадии познания они могут обращать внимание на самые разнообразные конкретные

свойства как самих предметов, так и множеств, для которых эти предметы являются элементами. Этот процесс видения создаёт в сознании ребёнка особую форму отражения реальной действительности, которая называется восприятием ощущением . Чувственное восприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в его познании - первая ступень в формировании соответствующего ему понятии. Восприятие в сознании человека только в то время, когда какие-либо объекты или явления воздействуют

на его органы чувств, в то же время они не исчезают бесследно. 2.Уберём объекты, составляющие каждое множество, и предложим детям забыть о том, каковы были эти объекты. Было ли нечто общее, характеризующее каждое из этих множеств? В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждом множестве, то, что всюду было по три . Если это так, то в сознании детей создалась новая форма - представление о числе три .

3.До сих пор дети имели дело с множествами предметов, в каждом из которых было по три предмета. На основе мысленного эксперимента на следующей ступени познания дети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове три характеризует любое множество любых элементов вида a, b,c . Тем самым выделена существенная общая особенность таких множеств - иметь три элемента . Теперь можно сказать, что в сознании детей сформировалось понятие о числе 3.

Из этого примера видно, что понятия образуются путём операции обобщения, которое неразрывно связано с абстрагированием. В отличие от восприятия и представления, понятие фиксирует в нашем сознании только существенные для этого случая признаки и свойства являющиеся признаками этого понятия . Т. о. понятие - это форма мышления, в которой отражены существенные отличительные свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие предметы.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию множество всех существенных признаков данного понятия и по объёму множество объектов, к которым применимо данное понятие . Большая роль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символьному их выражению. Слово, обозначающее строго определённое понятие какой-либо области, называется научным термином. Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков.

Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведённых в связное предложение, есть определение понятия. Некоторые первоначальные понятия не определяются или косвенно определяются через аксиомы . Процесс выяснения объёма понятий - классификация - разделение множества объектов, составляющих объём родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках. Условия правильной классификации должна проводиться

по определённому неизменному признаку получающиеся понятия должны быть взаимно независимыми сумма объектов понятий, получающихся при классификации, должна равняться объёму исходного понятия в процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду. Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с чётким представлением об его объёме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности,

а также способность к актуализации основных фактов, относящихся к данному понятию. Применяя то или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем и решении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оно выступает в более или менее скрытой форме. 4.Психологические закономерности формирования математических понятий. Многократные упражнения подобного характера создадут у учащихся нужное представление о графическом

выражении рассматриваемой зависимости. Программы по алгебре VI класса предусматривают выполнение учениками графиков изменения температуры и графиков движения и умение читать эти графики. Весь полученный графический материал с успехом может быть использован при изучении прямой пропорциональности величин в VI классе, при изучении функции у ах в VII классе и в теме Функции и их графики в VIII классе.

25. Различные трактовки понятия функции. Понятие ф. введено в м-ку в конце 17 ст. впервые Р.Декарт исследовал, как изменяется ордината точки с изменением ее абсциссы, термин функция в 1694 г ввел Г. Лейбниц . 1 Величина У наз.функцией переменной величины х в области определения D, если каждому значению х из этой области соответствует одно определенное значение величины У классическое определение 2 Отношение между мно-вом

X и мн-вом У, при котором каждому элементу мн-ва X соот-ет не более одного эл-та мн-ва Y наз. функцией пo Н.Бурбаки . 27.Равносильные и неравносильные пр-я уравнений и н-в. Причины появления посторонних корней ур-ний. Потеря корней уравнений. Посторонний корень математический , корень решение одного из промежуточных уравнений т. е. получающихся в процессе решения данного уравнения , не являющийся корнем этого данного уравнения.

Появление П. к. связано с тем, что при решении не всегда удаётся, упрощая данное уравнение, совершать переходы только к равносильным уравнениям. П. к. могут появляться, например, при возведении обеих частей уравнения в степень, при освобождении от знаменателя, при потенцировании ит.п. Пример уравнение log2 x - 5 log2 x - 3 3 имеет только один корень х 7 однако после потенцирования получается уравнение х - 5 х -3 8, имеющее, помимо корня х 7, также корень х 1, являющийся

П. к. для исходного уравнения. Причина появления посторонних корней. Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе части в степень с четным показателем. Но могут появиться посторонние корни уравнения, т.е. корни уравнения А х В х . Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней а за счет возможного расширения

ОДЗ исходного уравнения т.е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения . б за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна. Проверка корней. Чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в данное уравнение. Рассмотрим два вида уравнений Ответ 3

Ответ 2 31.СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЕ. Обзор методов уравнений и неравенств начнём с курса математики начальных классов. 1. В нач.классах рассматриваются след. линейные ур-я 7 x 10, x-3 10 5, x 17-10 70, x 2 10 30 и т. д. Неизвестное число сначала находят подбором, затем - используя связи между результатом и компонентами арифметич. действий. Знакомство с ур-нием проводится неформально.

Нер-тва решаются подбором, причём в большинстве случаев ограничиваются нахождением лишь части решений нер-ств. 2. В 5 кл. ур-ия решают также на основе зависимости действия, при этом часто предварительно проводится упрощение выраж-ий. Учащиеся знаком. с применен. распред-го закона сложен. вычитан. к упрощению буквенных выражений. В 5 классе встречаются лишь отдельные примеры неравенств. 3. В 6 классе при изучении положит. и отрицат. чисел рассматриваются новые примеры линейных ур-ний,

встречаются нелинейные ур-ния. На основан. определения противопол. чисел решаются ур-ния -x 607 - a - 30,04. На основании модуля числа реш. ур-ния . В 6 классе уч-ся знакомятся с тождест-м преобраз-ем раскрытием скобок , также изучают условия рав-ва произведения нулю. Это помогает им решать ур-ния вида 7,2 - 6,2 - x 2,2 4 x - 5 0. Новым шагом в ознакомлении учащ-ся с методами решен. ур-ний явл. изучение правила переноса слагаемого

из одной части ур-ния в другую. С помощью этого правила решаются такие ур-ния 15y - 8 - 6y 4,6 6x - 12 5x 4 4. В 7 классе систематизируются сведения о решении лин-ых ур-ний. В некот. уч-х пособиях уточняется различ. между ур-нием первой степени kx b 0, k 8800 0 и лин-м ур-нием kx b 0, k , показыв-cя, что ур-ние первой степени явл. частным случаем лин. ур-ния. Существенным шагом в 7 кл. явл. введение понятия равносильных ур-ний.

Индуктивным путём подтверждается справедливость след. теорем Если к обеим частям ур-ния прибав. одно и тоже число, то получ. ур-ние, равнос-е данному если обе части ур-ния умнож. или раздел. на одно и тоже 8800 0 число, то получ. ур-ние, равнос. данн-у . Прогр-а для 11летн. ср.шк. сохран. тенденц. к раннему введен. лин. ур-й с 2я неизв. и их систем. Одним из психологич. аспектов обучен. матем-е явл. мотивировка изучения нового уч.материала.

Рассм. этот вопрос применительно к введению новых видов ур-ний. В методике мат-ке понятие обратных задач. Поясним это понятие. Пусть, в одной задаче речь идёт о велич-х x, y и z, причём вел-ны x и y явл. данными, а z - искомой. Составим новую задачу, в кот напр велич-ы x и z явл. данными, а y - искомой. При этом фабулу задачи оставим без изменения. 2 такие задачи счит-ся взаимно обратными.

Часто при решении таких задач используются различные типы ур-ний. Поэтому составление и решение обратных задач служит полезным методическим приёмом мотивации изучения новых видов уравнений. Пример таких задач. К Ѕ прибавили некоторое число. Получили число, обратное Ѕ. Какое число прибавили? К некоторому положит. числу прибавили 1,5. Получили число, обратное первому.

Найти это число. По мере расширения набора методов реш. ур-ний у уч-ся возн-ют затруднения в их выборе. В этой связи полезны спец. задан. на определ-е способа реш. ур-й. Выполнение таких заданий целесообр. про-водить в 2 этапа 1 вначале для группы ур-ий указать только способ реш-я 2 после этого решить ур-я. Графич. метод реш-я урав-й и нер-тв тесно связывает ур-ия и нер-ва с функц-и. Иногда в таких случ. говорят о функциональном подходе к решению уравнений и неравенств.

Существует некоторые приёмы сочетания графического и аналитического методов решения уравнений и неравенств. Рассм. некот. приёмы применения функционального подхода при решении уравнений и неравенств. Иногда при решении ур-ния f x полезно найти области определения фун-й f x и . Напр, пусть требуется решить уравнение . Имеем .Так как , то данное уравнение корней не имеет. Функц-ый подход к реш. нер-тв лежит в основе метода интер-в.

Решите методом интер-в след. нер-во x 1 x - 4 x 8 0. Какие свойства функции f x x 1 x - 4 x 8 при этом используется? В некот-х случаях полезным оказывается использование понятия производной ф-ции. Пусть требуется доказать тождество arcsinx arccosx 960 2. Рассм. ф-цию f x arcsinx arccosx. Найдём её производную f x arcsinx arccosx 0, так как f x 0, то f x

с, где с - постоянная. Найдём с, вычислив для этого . Имеем с arcsin0 arccos0 0 960 2 960 2, отсюда arcsinx arccosx 960 2. 32. Методика изучения общих свойств функций. Просто необходимо знать основные свойства функций, т.к. они позволяют значительно упростить решение сложных уравнений, неравенств и др. Наиболее известные свойства функций формулируются без доказательств 1.

Сумма 2 возраст. убывающих функций есть возрастающая убывающая функция. 2. произведение 2 положительных возрастающих убывающих функций есть возрастающая убывающая функция. 3. Если функция определена и непрерывна на a,b и на концах этого промежутка она принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка существует такая точка x1, где f x1 0 4. Если функция определена, непрерывна и строго монотонна на a,b и на концах этого промежутка она принимает

значения разных знаков, то внутри этого промежутка существует единственная точка x1, где f x1 0 5. Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке. Если в двух точках из этого промежутка x a, x b a b она принимает разные значения f a A, f b B, то внутри этого промежутка существует такая точка c c из a,b , где f c C C из A,B 6. Если функция определена, монотонно возрастает убывает и непрерывна на a,b , то на f a

,f b существует такая функция y x , также монотонно возрастающая убывающая и непрерывная. 7. Пусть функция определена на некотором промежутке и во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее наименьшее значение. Если существует двусторонняя конечная производная , то необходимо 0 8. Произведение выпуклой вогнутой функции на положительную постоянную есть выпуклая вогнутая функция. 9. Произведение выпуклой вогнутой функции на отрицательную постоянную есть вогнутая выпуклая функция.

10. Сумма 2 выпуклых функций есть выпуклая функция. Общая схема исследования свойств функции на четность и нечетность, на монотонность и экстремумы с применением производной или без применения производной , нахождение нулей функции. Функция называется периодической, если существует такое число L не равное 0 период f , что при любом значении x из ее области определения числа x-

L и x L принадлежат области определения функции f и f x-L f f x L 34. Определение целых корней уравнений и их систем Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных Данное уравнение с несколькими переменными Е х, у, х, u,v 0 решается относительно одного из этих переменных, например v. После этого исследуется функция v f х, у, z u .

Пример 1. Решить в целых числах уравнение xy х у. Из данного уравнения получаем Теперь понятно, что х будет целым только в том случае, если 1 y-1. Но дробь 1 y-1 - целое число. если у-1 1 или у-1 -1. Следовательно, y1 2, у2 0, и мы получим два ответа 1 х1 2, у1 2 2 х2 0, y2 0 Разложение на множители выражений, входящих в уравнение

Пример 2. Доказать, что уравнение не имеет решений в натуральных числах. Преобразуем данное уравнение к виду Это уравнение эквивалентно системе уравнений Но эта система противоречива. Утверждение задачи доказано. Определение рациональных корней уравнения Теорема Если несократимая дробь является корнем многочлена 1 с целыми коэффициентами, то делится на р, а - на

q. Доказательство. Пусть p q - корень данного многочлена . Подставив в равенство 1 вместо х число р q и приведя его к общему знаменателю, получим 2 Отсюда Так как числа и p взаимно простые, то делится на р. Теперь преобразуем уравнение 2 к виду Числа р и q взаимно простые, поэтому делится на q. Теорема доказана. Покажем, как применяется эта теорема к отысканию рациональных корней целых функций

с целыми коэффициентами. Пример 3. Определить рациональные корни уравнения Здесь 1, 3. Поэтому рациональные корни данного уравнения следует искать среди чисел 1, -1, 3, -3. Подстановкой этих чисел в данное уравнение убеждаемся, что только числа 1 и З являются его корнями. Нужно только выяснить, не являются ли эти корни кратными. Для этого разделим левую часть уравнения на х-1 х-

З . По теореме Безу это можно сделать. Получим Отсюда Уравнение не имеет целых корней, и корни являются однократными. 35. Функциональная линия Функциональная линия шк-го курса матем-ки явл. в настоящее время одной из ведущих, определ-х стиль изучен. многих тем и разделов курсов алг-ры и начал анал. Наибол. заметной особенн-тью материала этой линии явл. то, что с его помощью возможно устанавливать

разнообразные связи в обучении. В кач-ве прим на кот. рассм-м некот. важные особенн. этой линии, разберем след. задание Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х 1 х-3 а имеет ровно четыре корня? Реш-е. Постр. гр-к фун-ии с х х 1 х-3 . Различн. этапы построения гр-ка показаны на рис. а-г. На рис. д показ. некот. точки, использ-е для иссле-ий, они появл-я в процессе построен. Найдем число точек пересечения графика фун-ии с х обозначим его

Г и прямой l с уравнением у а. На рис. д видно, что 1 пересекает Г в 4 точках в том случае, когда 1 распол. в верхней полуплоскости и не пересекает отрезок с1, с2 . Первое из этих условий приводит к ограничению a 0. Для нахождения второго заметим, что точка на оси абсцисс с координатой х1 - точка max фун-ии с х на отрезке а1, а2 , аналог. х2 точка min ф-ции с х на интервале -

8734 , 0 . Числ-е значен. для х1 и х2 можно получить, учитывая, что нер-во x 1 x 2 справедливо х обращается в равенство только при х 1 и х -1. с1 1, с2 5. 4 корня данное ур-ние имеет при аО 0 1 U 5 8734 . Как легко заметить, основа приведенного решения состоит в использовании функциональных и графических представлений. Принципиально решение состоит в переходе от исследования данного уравнения к исследованию графика функции с х . Однако наиболее трудная часть решения в данном случае состоит в

построении графика функции с х . Рассмотрим основные этапы построения. На рис. а изображены графики исходных для с х ф-ций y 1 и у 1 x. Это простейшие элементарные функции. Они входят в состав определенных классов элементарных функций и подробно изучаются в своем классе. Рисунок б показ. график сумы этих ф-ций. Как это ни удивительно на первый взгляд, график ф-ции у х 1 x школьными средствами построить с достаточной

точностью почти невозможно. Причина состоит в том, что в этом курсе отсутств. операции с фун-ми, такие, как сложен. Не дается поэтому и представл-е о построен. граф-в суммы двух ф-ций, так что в каждом случае такой график приходится строить, пользуясь особенн-тями данного выражения. Здесь можно рассуждать так при больших по абсолютному значению аргументах х 1 х приблиз рав x, а при малых х 1 х приблиз рав 1 x так что график функции у х 1 х близок соответственно к биссектрисе 1-III

координатных углов и гиперболе у 1 х. Здесь же на основе тождества x 1 x 2 могут быть указаны точки х1 и х2. На рисунке в, г показано, как график последовательно подвергается действию параллельного переноса вдоль оси ординат и симметрии относительно оси абсцисс. Эти преобразования графиков рассматриваются в курсе алгебры первое - при построении графика функции f х с по графику функции f х , второе - при построении графика функции f х по графику функции f х соответствующие

задания устанавливают связи курсов алгебры и геометрии на основе координатного метода. Наконец, интерпретация данных использует принцип ур-ние с х а имеет столько же корней, сколько имеет точек пересеч-я гр-к ф-ции у с х и прямая с ур-м у а. На этом этапе изучение графика сочетается с числовыми расчетами график позволяет найти точки, значен. координат которых позволят найти ответ, а использ-е нер-в приводит к их определению.

Поскольку метод, с помощью которого была решена задача, состоял в преобразовании исходного задания, построении для него более удобной модели, причем основным инструментом здесь явились понятия функции и графика функции, естественно назвать этот метод методом функционально-графического моделирования. Освоению этого метода и с формальной, и с прикладной стороны в значительной мере подчинено изучение всей функциональной линии курсов алгебры и начал анализа.

Связующая роль функциональной линии достаточно полно отражена в методическом анализе решения примера отметим только, что при рассмотрении заданий, связанных с построением графиков функций, можно организовать работу по пропедевтике ряда понятий математического анализа уже в курсе школьной алгебры в данном примере, в частности, особую роль играли экстремальные точки функции c х , и при разборе решения примера можно указать на их значение. Разобранный пример значительно превышает по сложности те задания, которые посильны

учащимся даже на заключительных этапах изучения курса алгебры. Вместе с тем он дает представление о тех трудностях, которые учащиеся будут испытывать при освоении метода функционально-графического моделирования, поскольку идеи, собранные в решении примера, присутствуют и в более простых заданиях, имеющихся в содержании обучения. 37. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПРИЗНАКОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

Определенные затруднения учащиеся испытывают при изучении теорем, формулировки которых имеют сложное логическое строение. Задача если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 , то прямые параллельны. Необходимо иметь в виду, что здесь сформулированы две теоремы 1 ёсли внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны 2 если сумма внутренних односторонних углов равна 180 , то прямые параллельны. Методическая схема изучения признаков параллельности прямых

может быть такой 1 подвести учащихся к теореме и сформулировать ее 2 сообщить идею и план доказательства 3 провести доказательство по плану, закрепить каждый этап переход к следующему этапу доказательства осуществляется после закрепления предыдущего 4 закрепить доказательство путем его полного воспроизведения 5 применить теорему к решению задач. Для изучения данной теоремы и ее док-ва предлагается репродуктивный метод обучения с элементами эвристической беседы. 52 5354 1.Подведение к теореме.

Предлагаем учащимся рассмотреть два рисунка рис. 52, 53 . Вопросы Назовите внутренние накрест лежащие углы на этих рисунках , Сравните накрест лежащие углы на первом рисунке. Равны они или не равны Как располагаются прямые а и b? Параллельны они или пересекаются Сравните накрест лежащие углы на втором рисунке. Равны они или не равны

Как располагаются прямые а и b в этом случае? Параллельны они или пересекаются При каком условии прямые а и b параллельны? На основе проведенного наблюдения формулируется теорема Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны . Выясняется, что дано в этой теореме условие , а что нужно доказать заключение . Делается краткая запись теоремы Дано угол1 и угол 2- накрест лежащие, угол 1 угол 2 см. рис.

53 . Доказать а b. 2. Идея док-ва. Док-во будем проводить методом от противного. Для этого необходимо допустить, что прямые а и b пересекаются. В результате получится треугольник АВС рис. 54 . Док-во опирается на построение еще одного треугольника ВАD и сравнение его с треугольником АВС. 3. План доказательства 1 а и b пересекаются допущение 2 8710 ВАD 3 8710 ВАD 8710 AВС 4 уголDАВ уголАВС 5 уголDВА уголВАС 6 противоречие уголСВА уголDВА 180 , уголDAB

уголCAB 180 7 а b. ч.т.д. не надо 4. Осуществление плана доказательства. Итак, делаем допущение, что прямые а и b не параллельны и, следовательно, они пересекаются. Пусть С - точка пересечения этих прямых. Получаем треугольник АВС. Воспользуемся далее методом беседы если детализация беседы не окажется необходимой, она может быть проведена в более свернутом виде . 39. Метод площадей.

Теорема Пифагора В разделах курса планиметрии понятии многоугольника трактуется не одинаково. В одних их многоуг А1А2 Аn - это фигура, состоящая из отр А1А2, Аn-1Аn любые два из которых, имеющие общий коне, не лежат на одной прямой Погорелов, атоносян . В этом случае при рассм площади многоуг под кажд из них понимается соотв плоский многоуг конечная часть плоскости, ограниченной многоуг .

В др Гваздович, Латотин многоуг - часть пл, ограниченной простой замкунтой ломанной, вместе с этой ломанной простая ломанная - не имеет самопресечений . Частные случаи многоуг - 4уг - это традицион для курса планиметрии материал. Из всевозможных 4-ков выделяют для подробного изуч выпуклые. если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону . Во всех действующих в н.вр. пособиях осущ.

Один. Подход в введении частных видов парал-ма - прямоуг, ромб. Что касается квадрата, то, напр, в уч. Александрова, он вводится как 4-ник, кот. Одновременно явл прямоуг и ромб, а в др. он определ. как частный вид прямоугольника Погорелов, Атоносян Все определения указ 4-ков даётся через родовое и видовое отличие прямоуг - парал-мм, у кот все углы прямые . Род вид отличиетрапеция рассматривается после парал-ма и его частных случ.

При рассм. Разл св-в и признаков парал-ма широко исп св-вва и признаки равных 3-ков, св-ва углов, образов при пересечении двух прал-ных прямых третьей, признаки прал-сти прямых Материал о прал-мме и его частн видах очень удобен для р-тия логич мышления уч-ся. Именно здесь учит имеет широкие возможности по работе с определен м-о предложить ученикам дать сам-но опред прямоуг через понятия 4-ка вообще это 4к, у кот все углы прямые , можно организ изучение темы

так, что при min-ной помощи учит-я уч-ся сам-но смогут выявить и док-ть св-ва и признаки прал-мма, трапеции. Напр, 1 посмотрим на парал-мм АВСД, О - т. пресеч диагоналей. Какие особенности пал-мма вы замеч, кроме прал-сти противоположных сторон? 2 учен - противопол стороны равны, противопол углы равны 3 давайте д-жем, что противопол стороны равны, при этом будем использовать предыд. Теоремы. Как вы думаете, какие из них м использ?

4 подвести учен к выводу или напомнить им, что до сих пор мы исп признаки рав-ва треуг, прал-сти пр, возможно, здесь также их надо исп? 5 как д-ть рав-во сторон АВ и СД? Какие 3-ники здесь можно исп? 6 учен - 3-ники АВО и СОД 7 что можно сказать о этих 3-ках? Можно ли сказать, что они равны? 8 уч - из рис - они равны 9 если мы докажем, что эти 3-ники равны, то их соотв стороны будут равны.

В т.ч. сторны АВ и СД. Какой признак рав-ва 3-ков надо использ-ть, чтобы д-ть рав-во этих 3-ков? 10 далее самост доказ-во 11 в том же плане можно организ. рассмотр-е других св-в 4-ков прямоуг, ромба, квадрата, трапеции св-ва и призн. 4-ков разных видов нах широкое примен-е при изуч многогр-ков и тел вращения. Методика введен. понятия пл-ди. Значит место в школьной мат-ке занимают вопросы измерения геом. Величин длин, площадей, объёмов . Измерение геом величин тесно св с идеей аксиоматич метода, теорией

действит чисел, методами матем анализа. При изуч дан вопроса уч-ся знакомятся целым рядом формул, с пом кот расширяются возможности применения в шк курсе геом аналит метода. Понятие площади в курсе планиметрии традиц ввод в 8-9 кл. При чём, в начале рассм понятия площади многуг-ка простой фигуры , а в последствии - понятие площади круга. В уч Атоносяна площадь мног-ка опред как величина части плоскости, кот занимает мног-к, и далее

формулир св-ва этой величины. В уч Погорелова - площадь выступает как частный случай понятия площади простой фигуры под простой ф понимается геом ф, кот м разбить на конечное число плоских 3-ков, где под плоским 3-ком понимается ч пл, ограничен 3-ком , для кот фор-ся св-ва, аналогичные тем, кот сформулир для площади мног-ка в уч атоносяна. Это площадь простой фигуры - это положит величина, численное знчение кот обладает след св-ми 1. равные ф имеют равные площ 2. если ф разбиваются на части, явл-ся простыми

фигурами, то площадь ф сумме площадей её частей 3. площадь квадрата со стороной 1 1 В уч Атоносяна - площадь квадрата квадрату его стороны Указан св-ва пл-ди исп в обоих уч для док-ва Т. о площади прямоуг, прал-мма, 3-ка, трапеции Напр, площаль парал-мма 1. рассм АВСД - прал-мм и путем дополнит построения сравниваем его с прямоуг АЕFВ 2. прямоуг 3-ки АЕД и ВFС , зн. их площади .

3. дан прал-мм и прямоуг, имеющие ые площади, т.к. они разбиваются на равные части 4. значит площадь парл-мма площади прямоуг ВЕ FC BF ДС Кроме понятия площади простой фигуры мног-ка в курсе планиметрии учебника Погорелова даётся представление о площади произваольной фигуры, формулир след определ данная фигура имеет площадь S, если сущ содержащие её простые фигуры, т.е. мног-ки, и содержащиеся в ней простые ф, с площадями как угодно мало отлич от S Это определ примен в уч

Погорелова к нах площади круга. В уч Атоносяна т опред не формулир, а ф-ла площали круга выводится почти аналогично как у Погорелова. 51. Исследовательский анализ задач по тригонометрии Систематический курс тригонометрии проходят ученики 9-х и 10-х классов. При этом особое внимание уделяется тождественным преобразованиям тригонометр-их выражений с переменными. Такая работа позволяет в какой-то степени усвоить учениками свойства тригонометр-их функций, кот выражаются

формулами. Свойства этих функций, кот не описываются формулами огранич-ть, неогранич-ть, четность, нечетность, монотонность, вьтпуклость, вогнутость и т.п. почти не используются при решении традиционных школьных задач по тригонометрии, поэтому и усвайнаются учениками формально. Стремление научить решать определенные ТИПЫ тригоном-их уравнений только по формулам приводит к тому, что большинство учащихся не видит смысла в изучении всего тригонометр-ого материала.

В результате теряется интерес к предмету. Чтобы изучение тригонометр-ого материала было развивающим, необходима иная структура учебного материала и обучающая система упражнений. Коренным образом меняются возможности традиционных школьных тригоном-их уравнений и неравенств, если для их исследования прим-ся общие свойства соответствующих функций. Возможный общий план исследовательского анализа тригонометр-их уравнений 1

Определяется наименьший положительный основной период Т уравнения F х 0. Исследуется функция F х на четность нечетность если F х - четная функция, то Т уменьшается в два раза . В этом случае отрезок длиной Т выбирается с центром в начале координат. 2 Выбирается какой-либо отрезок а b длины Т. 3 Определяется подмн-во

М точек этого отрезка, на котором определена функция F х . 4 На подмножестве М находим отрезки, которым не могут принадлежать корни уравнения F х 0. 5 Уравнение F х 0 преобразуется к виду Р х K х Р х и K х - монотонные функции на соответствующих подмножествах отрезка а b . б Выполняется поиск корней уравнения F х ,0 на этих подмножествах.

При этом сначала выясняется существование корней уравнения F х 0 на тех подмножествах, где Р х и K х - функции различной монотонности. 7 Выясняется существование корней уравнения F х 0 на тех подмножествах, где Р х и К х - функции одинаковой монотонности. 8 Методом ступенек, при помощи производной, различных эквивалентных и неэквивалентных преобразований уравнения F х 0 изолируются его корни

Р х и М х - функции одинаковой монотонности . 9 Вычисляются с заданной точностью корни уравнения F х 0 на отрезке а b 10 Записывается все множество корней уравнения F х 0. Рассмотрим примеры Задача 1. Найти корни уравнения sinх sinх 3 соsх - 1 , которые принадлежат промежутку 0 2p . Замечаем, что нуль является корнем этого уравнения. Преобразовываем уравнение 1 следующим образом sinх

З 2 соsх - 1 sinх, sinх З -2tg0,5х. На интервале 0 p левая часть уравнения 2 больше З, а правая часть неположительная. Поэтому этому промежутку не принадлежат корни данного уравнения. На промежутке p 1,5p верно неравенство -2tg0,5х 8804 2 и неравенство sinх 3 8805 2. Очевидно, ни одна точка этого промежутка не является решением уравнения 2 . Замечаем, что 1,5p - корень уравнения 1 . На интервале 1,5p 2p верны неравенства -2 8804 tg0,5х 8804

-2 sinx 8805 2. Таким образом, только числа 0 и 1,5p являются решениями задачи. 53. Функциональный метод Под функциональным подходом понимается организация учебной деятельности, которая направлена на формирование общих и специфических приемов мышления на основе функционального представления математических объектов. К числу специфических относятся умения -составлять таблицы значений элементарных функций имеется в виду широкое использование вычислительной техники -изображать графики функций, уравнений

и неравенств переводить на геометрический язык, на язык графических образов на адекватном уровне математическую информацию -читать графическую информацию, информацию табличных данных, и на этой основе формулировать и обосновывать гипотезы о математических фактах и закономерностях -исследовать без помощи производной нестандартно заданные функции -применять свойства сложных функций для исследования уравнений, неравенств и их систем -динамизировать геометрические объекты с целью поиска плана решения геометрической задачи

и с целью функционального доказательства геометрических утверждений. Вообще, общий функциональный подход предполагает рассмотрение любого математического объекта как элемента подмножества некоторого множества аналогичных математических объектов, предполагает установление методически целесообразных аналогий между двухмерными и трехмерными геометрическими объектами, установление аналогичных свойств и различий между разными функциональными зависимостями.

Функциональный подход предполагает рассматривать любую функцию как произведение сумму некоторых других функций. Проиллюстрируем сказанное примером, который, на первый взгляд, не имеет отношения к теме разговора Известно, что периметр прямоугольного треугольника АСВ угол С прямой равен 180 мм, его высота СН равна 50 мм. Определить стороны треугольника АВС. Методология общего функционального подхода исходит из того, что

прежде чем складывать составлять какие-то уравнения для поиска ответа, необходимо выяснить, какому множеству прямоугольных треугольников может принадлежать искомый треугольник АВС, какие общие свойства элементов треугольников этого множества нам известны. В самом деле, если периметр треугольника равен 180 мм, то гипотенуза АВ наибольшая сторона треугольника АВС меньше 180 2 90.

Известно, что высота СН прямоугольного треугольника АВС не больше половины гипотенузы АВ, т.е. СН меньше 45 мм в прямоугольном треугольнике медиана, соответствующая к гипотенузе, равна ее половине, а высота, опущенная на гипотенузу, не больше этой медианы . Становится понятным, что треугольника АВС с названными в задаче характеристиками не существует. Всякий, кто владеет общим функциональным подходом, менее всего стремится решать любую математическую

задачу только при помощи вычислений и тождественных преобразований выражений с переменными. Он будет прежде всего стремиться увидеть в задаче функциональное содержание и найти пути и способы применения общих свойств функций к ее решению. В подтверждение сказанному приведем два примера 1 Решить неравенство Цx Ц x 1 Ц x 2 2. Ученик, обладающий функциональным видением математических объектов, обратит внимание на то, что левая часть этого неравенства есть сумма трех возрастающих функций, и поэтому

наименьшее значение левая часть неравенства принимает при х 0. Отсюда ясно, что данное неравенство не имеет решений. 2 Даны параллельные прямые a, b, c. Доказать, что на этих прямых существуют соответственно точки А, В и С, что треугольник АВС подобен данному треугольнику А1В1С1. Отметив на прямой b произвольную точку В и вращая вокруг нее угол, равный углу

А1В1С1, наблюдаем, как с изменением положения точек А и C соответственно на прямых а и с изменяются длины сторон ВА и ВС треугольника АВС. В результате приходим к предположению, что задача решается устно, если применить свойства монотонных функций. Отметим также, что хотя в школе много внимания уделяется изучению свойств функций линейной, квадратичной, тригонометрических, показательной, логарифмической , однако система

упражнений в действующих учебниках алгебры, геометрии, алгебры и начал анализа в т.ч. и в учебниках для углубленного изучения математики никак не содействует формированию диалектического мировоззрения учащихся. В этих учебниках практически нет задач на эффективное применение общих свойств функций монотонности, непрерывности, предела, ограниченности, выпуклости, вогнутости и т.п 54. Динамизация математических объектов в школьной математике.

Эффективность и качество обучения математике определяется не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний, умений, и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями, сформированностью умений выявлять, усваивать и запоминать основное. Таким образом, у школьников должны быть сформированы определенные качества мышления, твердые навыки рационального учебного труда, развит познавательный интерес.

Специфика математического мышления проявляется не только в том, что ему присущи все качества научного мышления, но и в том, что для него характерны особые формы, которые в ходе их описания обычно выделяются специальными терминами конкретное и абстрактное мышление, интуитивное мышление, функциональное мышление и т. п. Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей

школьного курса математики - идеи функции. Наиболее характерные черты функционального мышления 1. представление математических объектов в движении, изменении 2. операционно-действенный подход к математическим фактам, оперирование причинно-следственными связями 3. склонность к содержательным интерпретациям математических фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам математики. Одним из средств развития функционального мышления могут служить системы задач на математическое выражение

и исследование конкретных ситуаций с ярко выраженным функциональным содержанием . В общем случае решение такой задачи содержит в себе три момента 1. в изучаемом явлении выделяют основные, существенные связи, отбрасывая второстепенные, несущественные детали, вводят различного рода упрощения и допущения 2. связав объекты, выступающие в изучаемом явлении, с числами или геометрическими образами, переходят от зависимости между этими объектами к математическим соотношениям - формулам, таблицам,

графикам 3. полученные математические соотношения исследуют, пользуясь уже известными, выработанными и изученными математическими правилами действий над ними, а результаты исследования истолковывают в терминах и понятиях изучаемого явления. Задачи с неполным функциональным содержанием может выражать одно - единственное требование произвести мысленное перемещение фигуры или ее деформацию. ЗАДАЧА 1. Какая из изображенных в правой части рисунка фигур может быть получена движением плоскости

чертежа фигуры а, изображенной слева? 1 2 3 а 4 C ЗАДАЧА 2. Квадрат ABCD пересечен прямой MN, проходящей через его центр О точку пересечения диагоналей . Мысленно вращая прямую MN вокруг точке О перемещая точку E от А до В , определите, будут ли при этом изменяться и как увеличиваться или уменьшаться а площадь заштрихованной фигуры б ее периметр.

B N N D A Задача может быть усложнена требованием в мысленном эксперименте представим, как будут изменяться одни элементы величины конструкции при заданном изменении других пока без дополнительного требования аналитического или графического выражения наблюдаемой зависимости . ЗАДАЧА При каких 945 площадь 4-ка ABCD наименьшая, наибольшая? АВ 5, CD 9 Если 945 8594 arccos 5 9, s 8594 min Если 945 8594 180, s 8594 max 55.

Обобщение и параметризация задач и методов их исследования. Задачи с параметрами по алгебре и геометрии основное и самое доступное средство реализации идей развивающегося и многоуровневого обучения Чтобы сделать задачи с параметрами развивающим материалом необходимо параметр рассматривать как равноправную переменную, а не фиксированное, но неизвестное число. Только такой подход к параметрам позволяет в максимальной степени геометризовать алгебраические задачи

и свести поиск их решения к умению строить графики уравнений F x,a 0 с двумя переменными и на этой основе исследовать решения этого уравнения и соответствующих ему неравенств. Основное место должны занимать динамические упражнения, что позволит существенно сблизить изучение алгебраического и геометрического материала, развивать динамическое и пространственное воображение, сокращать объем тождественных преобразований выражений с переменными.

Особое место задач с параметрами объясняется тем 1. Поиск их решений связан с рассмотрением отдельных значений параметров, при которых задача имеет или не имеет решения, с разделением на несколько подзадач. 2. Относительно просто организовать их коллективный исследовательский анализ. 3. Поиск решений сопровождается построением графиков и их преобразованием.

4. Можно осуществить комплексное непрерывное повторение алгебраического и геометрического материала. Решение олимпиадных ур-ний с двумя переменными в большинстве случаев сводиться к 1. Решение уравнения F x,a 0 с одной из переменных. 2. Приведение уравнения F x,a 0 к виду C x,a K x,a , где C x,a и K x,a наиболее простые с точки зрения данной конкретной задачи.

3. отдельные исследования функций установление области определения определение тех промежутков из области опр которым не могут принадлежать корни уравнения F x,a 0, и тех значений параметра, при которых эти корни не существуют очень аккуратное изображение графиков F x,a 0 и их чтение. 60. Методика введения понятия ф-ции в классах с угл. изучением м-ки Е.А.К В процессе преподавания курса Алгебра и начала анализа следует уделить особое внимание функциональной

направленности этого курса. Так, вопросы исследования функций позднее с помощью производной в той или иной форме следует ставить в течение всего времени обучения, подчеркивая при этом единство таких понятий, как функция, уравнение, неравенство. Например, от учащихся нужно требовать ясного понимания того, что решение уравнения f х 0 и неравенства f х 0 являются частным случаями задачи исследования функции у f х корни функции и промежутки знакопостоянства . Понятие функции полезно трактовать с теоретико-множественных

позиций это дает возможность более четкого определения многих математических понятий, более тесно свяжет изучаемые математические свойства объектов с жизненной практикой. При введении новой темы полезно использовать методический принцип практика - теория - практика. В силу этого принципа изучение темы обычно начинается с так называемых целесообразных задач практического характера, решение которых приводит к необходимости или, по крайней мере, к целесообразности изучения

соответствующего раздела теории. Этот методический принцип можно применять и в другой форме не по ступенькам практика-теория-практика , а одновременно. Так, при изучении темы Логарифмы и логарифмическая функция полезно, чтобы учащиеся умели формулировать некоторые свойства на трех языках языке функции, языке логарифмов, языке графика например а логарифмическая функция f х 1оga х непрерывна б малому изменению числа соответствует столь же малое изменение его логарифма в кривая

графика - сплошная линия г свойство непрерывности дает практическую возможность ограничиться при вычислении четырехзначными таблицами логарифмов lg 6,42567695 8776 lg 6,426. При проведении уроков повторения нужно обратить особое внимание на систематизацию знаний учащихся по основным ведущим идеям школьного курса математики Учение о числе , Учение о функции , Исчисление площадей и объемов и т. п

Повторение должно охватывать не только все основные вопросы теории, но и практики. Упражнения, которые при этом рассматриваются, должны быть достаточно сложными. Именно при повторении полезно решать задачи, составляющие содержание конкурсных экзаменов в МГУ, МФТИ и других институтах. В заключение заметим, что, помимо основной задачи отбор, обучение и воспитание молодежи, проявившей к изучению математики особый интерес и способности , школы и классы физико-математического

профиля решают задачу поиска перспективного содержания, форм и методов обучения математике для массовой школы, т. е. являются по существу своеобразными школами-лабораториями, нацеленными в будущее. Из программы Числовая функция. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. Тождественно равные функции. График функции. Геометрические преобразования графиков функций.

Свойства функции наибольшее и наименьшее значение функции нули функции и промежутки знакопостоянства четность и нечетность, возрастание и убывание. Элементарное исследование функции. Функции у kx, у k x, у ах2, у х3, у , у , y x , у kx b, у ах2 bх с, у х , у х , их графики и свойства. Кусочно-заданная функция и ее график. Построение графиков функции, аналитическое задание которых содержит знак модуля, примеры построения графиков рациональных функций .

Числовая последовательность. Способы задания последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула п-го члена и суммы первых п членов. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сумма ее членов. Виды последовательностей возрастающие и убывающие последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, сходящиеся последовательности .

Функция как соответствие между множествами . 62. Прямая Эйлера Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот или их продолжений и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой эта прямая называется прямой Эйлера . Закономерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника - центра O описанной окружности, центроида G, ортоцентра

H - впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер 1707-1783 . Рассмотрим сначала один частный случай прямоугольный треугольник ABC рис.1 . Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 1 2, считая от вершины C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина

C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH 3OG. Пользуясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт с помощью векторов. Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Здесь мы попутно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем. Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2 1, считая от вершины, причем 3PG PA PB PC, 2 где P - любая точка плоскости или пространства. Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника

ABC точку G, определяемую соотношением CG GD 2 1 рис. 3 . Согласно формуле 1 , PD PA PB , откуда PG PA PB PC . Вычисляя вектор PG с концом в точке G, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2 1 считая от вершины , мы получим то же самое выражение PG PA PB PC , Поэтому PG PG, и точка G совпадает с точкой

G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением 2 . Теорема о высотах произвольного треугольника. Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем OH OA OB OC, 3 где О - центр окружности описанной около треугольника. Доказательство. Пусть АВС - треугольник, отличный от прямоугольного рис.4 .

Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороны AB, тогда OM OA OB. Затем построим точку Н, для которой OH OM OC OA OB OC, и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС. Действительно, по построению прямые CH и OM параллельны,

OM - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН также перпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C. Если повторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится та же точка H, но те же рассуждения показывают, что теперь точка H лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины

B. Аналогично получим, что точка H лежит на высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением 3 . Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника. Прямая Эйлера. Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника. Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид

G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и OG GH 1 2. Доказательство. По теореме 1 3OG OA OB OC. Сравнивая это равенство с равенством 3 , получим OH 3OG. Следовательно, векторы OH и OG, имеющие общее начало O, расположены на одной прямой и OG GH 1 2. Прямая, на которой лежат точки

O, G и H, называется прямой Эйлера. 63.Методика поиска решения геометрических задач на вычисления. Основным методом поиска решения задач является анализ и синтез. Благодаря анализу осуществляется целенаправленная актуализация знаний. В ходе анализа естественно определяется момент использования знаний, выбор знаний, форма использ-я знаний и характер использ-ния знаний. Анализ - это метод рассуждений от искомых к данным.

Синтез - метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. При решении задач с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом. ЗАДАЧА Большая комната имеет длину 5 м и ширину 4 м, а меньшая - длину 4 и ширину 3 м. На сколько площадь одной из них больше площади другой?

Анализ. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо вычислить разность площадей комнат, а для этого надо знать площадь каждой комнаты. Площадь же комнаты равна произведению её длины и ширины. План задачи найти площадь каждой из комнат и из большей вычесть меньшую. Синтез. 1-ый способ. 1 Какова площадь большей комнаты? 5 4 20 м2 2 Какова площадь меньшей комнаты? 4 3 12 м2 3

На сколько площадь первой комнаты больше площади второй комнаты? 20-12 8 м2 2-ой способ. Площадь большей комнаты 5 4 м2 , площадь меньшей 4 3 м2 , их разность 5 4-4 3 4 5-3 8 м2 Очевидно, второй способ синтетического решения более удобен, так как применение распределительного закона умножения значительно упрощает вычисления. Этапы решения задачи 1. Усвоить содержание задачи. Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается, т.

е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Если задача геометрическая, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые. В том случае, когда это сделано, надо ввести подходящие обозначения. 2. Составить план решения задачи. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Если план не удается составить, учитель предлагает ненавязчивые вопросы, советы, помогающие

ученику лучше и быстрее составить план решения задачи. 3. Реализация плана решения задачи. План указывает лишь общий контур решение задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику решающему задачу полезно следовать некоторым советам проверяй каждый свой шаг заменить

термины и символы их определениями воспользоваться свойствами данных в условии объектов. 4. Анализ и проверка правильности решения задачи. Ученику следует проверять результаты и проверять ход решения. 5. Пример применения рекомендуемых советов и вопросов при решении задач. Задача. Три пункта А, В, С соединены прямолинейными дорогами.

К отрезку дороги АВ примыкает квадратное поле со стороной, длина которой равна половине длины АВ, к отрезку дороги ВС примыкает квадратное поле, длина стороны которого равна ВС, а к отрезку дороги АС примыкает прямоугольный участок леса, длиной, равной АС, и шириной 4 км. Площадь леса на 20 км больше суммы площадей квадратных полей. Найти площадь леса. Усвоение содержания задачи. Ознакомившись с задачей, начинаем работу над усвоением

её содержания. Выделим данные даны пункты А, В, С, поле площадью 0.5АВ 2 и ВС2, лес площадью 4АС. Известно, что площадь леса на 20 км2 больше суммы площадей полей. Искомой является площадь леса, точнее, его длина АС, Полезно выполнить чертеж. Введем обозначение АВ x , ВС у, АС z. Последнее можно считать окончанием работы над усвоением содержания задачи и началом составления

плана решения задачи. Составить план решения задачи. Мы уже установили часть связей между данными и искомыми. Теперь эту связь можно записать в виде системы 4z x2 4 y2 20 x y z, или x y x2 16 y2 4 5 Реализация плана решения задачи. Перенесем все переменные в одну правую часть неравенства, получим не положительным многочлен, но x2 16 - x y2 4 - y 5 x2 16 -

2 x 4 2 4 y2 4 - 2 y 2 1 1 x 4 - 2 2 y 2 - 1 2 Так как сумма квадратов не может быть отрицательной эквивалентное системе уравнение x 4 - 2 2 y 2 - 1 2 0. Отсюда x 4 - 2 0 и y 2 - 1 0, или x 8, y 2. Но тогда z 10 из уравнения 4z x2 4 y2 20, а площадь леса 4 10 40 км2 Проверка правильности решения. Подстановкой в уравнение 4z x2 4 y2 20 устанавливается, что найденные значения x, y, z являются его решением. Потом проверяем условие задачи.

После проверку убедились, что точки А, С, В лежат на одной прямой. 66. Основ. понятия ст.тетраэдр и трехгр. угол по М-ке,11 . Этапы процесса обучения Психологические ступени формирования понятия Конкретное словесное или символиче-ское выражение данного понятия конкретные модели данного понятия 1-й шаг. Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность изучения этого понятия.

Восприятие и ощущение Строительство железной дороги на прямых участках пути укладка рельсов контуры проема двери 2-й шаг. Выявление различных существенных и несущественных признаков данного понятия учащиеся , введение термина, обозначающего данное понятие учитель Переход от восприятия к представлёнию 1 Горизонтальное расположение прямых несущественный признак 2 Равноотстоящие друг от друга существенный признак З

Прямые, не имеющие общих точек существенный признак 4 Прямые бесконечно продолжаются в обе стороны несущественный признак Рассмотрение особых случаев, если они имеются Отмечается, что совпадающие прямые также находятся друг от друга на одинаковом равном нулю расстоянии Мотивировка термина, обозначающего данное понятие учитель Параллельный от греческого слова parallelos, означающего рядом идущий

З-й шаг. Отбор существенных свойств понятия и формулировка определений этого понятия первичное определение, внесение поправок, вторичное определение учащиеся Переход от представления к понятию 1 Параллельные прямые - пара равноотстоящих прямых нечётко, контрпример стороны некоторого угла являются также в некотором смысле равноотстоящими по отношению к его биссектрисе 2 Параллельные прямые не имеют общей точки неполное контрпример - скрещивающиеся прямые, совпадающие прямые

и т.д. Четкое определение учитель повторение определения учащиеся З Определение две прямые a и b, принадлежащие одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают 4-й шаг. Иллюстрация понятия конкретными примерами модели понятия динамичные и статические контрпримеры Образование понятия 1 Ступеньки лестницы 2 Плинтус пола в комнате и линия пересечения потолка с боковой стеной

З Соответствующие ребра куба на его модели Символическое обозначение 4 Пересекающиеся прямые. a b или АB СВ 5-й шаг. Другие возможные определения данного понятия учитель не должен быть педантом, требующим дословного повторения формулировки определения, но должен проявлять нетерпимость к математической некорректности речи и записи Усвоение понятия Можно дать определение по частям 1

Параллельные - это прямые, которые а лежат в одной плоскости б совпадают или совсем не имеют общих точек 2 Параллельные прямые - прямые, лежащие в одной плоскости, которые не могут иметь только одну общую точку. 5. Тождественные преобразования Одна из важных идейных линий курса алгебры линия тождественны преобразований Поэтому Обучение математике в 4-5 классах строится таким образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки простейших тождественных преобразований.

Эти навыки формируются при выполнении упражнений на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение множителя за скобки и т. д. Рассматриваются также простейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на Основе законов и свойств арифметических действий. Приведем основные виды задач, при решении которых

активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований обоснование алгоритмов выполнения действий над числами числовых множеств вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий упрощение буквенных выражений получение новых алгоритмов преобразований буквенных выражений доказательство равенства значений двух буквенных выражений.

Изучение тождеств и тождественных преобразований проводится в тесной связи с изучением рассматриваемых в данном курсе ЧИСЛОВЫХ множеств. Задания от класса к классу усложняются. Самые первые задания, в которых требуется выполнить тождественные преобразовании просты и понятны учащимся. В других заданиях цепочки преобразований удлиняются От учащихся требуется объяснить каждый шаг преобразования,

Выделить общее положения, поДтвержДающе правИЛЬность произведенного преобразования, а порой ОбЪЯСНИТЬ необходимость того или Иного Обоснования. При Выполнении упражнений уделяется внимание формулировке правил СВОЙСТВ, законов Лежащих в основе Данного преобразования, а также их запИси в форме. На первых Порах Обязательны Вопросы к учащимся. Какие правила,

Свойства, законы Использовались при выполнении заДания Как они чИтаются? Как Записываются с ПОМОЩЬЮ СИМВОЛОВ? и др. В тождественных преобраЗова алгебраических выражений используются два правила .подСтановки и замены равным 6. Виды теорем. При изучении свойств различных математических объектов например, фигур - в геометрии, чисел и уравнений - в алгебре приходится делать те или иные заключения т. е. на основе понятий и суждений

того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства рассуждения , называется теоремой В теореме должно быть ясно указано 1 при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект условие теоремы 2 что об этом объекте утверждается заключение теоремы . Чтобы легче выделить условие заключение теоремы, ее часто формулируют в виде импликации, применяя логический

союз если, то . Таким образом, доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е приняв, что р истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что q истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание-теорема истинно в целом. Известно, что, имея некоторую теорему р 8594 q , назовем ее прямой теоремой, можно образовать новую теорему и не одну 1 обратную q 8594 p 2 противоположную не р 8594 не q 3 обратную

противоположной не q 8594 не p 7. Сущность аксиоматического метода. Одна из целей включения аксиом в шк. учебник - сформировать базу для построения док-в. Удачно подобранная система аксиом призвана обеспечить рациональное, простое построение всего курса. Надо иметь в виду, что в качестве аксиом обычно выбирается уже известные факты или близкие к наглядному представлению учащихся. При этом новым для учащихся является, главным образом, не содержание аксиом,

а предельно точный математический язык, на котором они формулируются. Приведение аксиом в начале курса означает систематизацию ранее известных знаний и дополнение их новыми знаниями. В начале курса происходит активное усвоение учащимися математической терминологии, необходимой для изучения всего курса. Дидактические формы приведения аксиом в учебнике могут быть различными. Прежде всего выясним вопрос На использование какой методики ознакомления учащихся с аксиомами ориентируют

существующие пособия. Вначале слова аксиома , терема , доказательство даже не употребляются, вместо них говорят основное свойство , свойство , объяснение . Вместо выражений скажите определение или сформулируйте определение используются выражения какая фигура называется или что такое Термины аксиома , теоремах , доказательство вводятся и разъясняются лишь после того, как учащиеся приобретут некоторый опыт применения аксиом в доказательствах.

В результате осуществляется неформальное и ненавязчивое введение аксиом, а разъяснение их роли становится более конкретным и убедительным. Остановимся на методике изучения основных свойств. Аксиомы принадлежности I1. Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки. I2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. I4. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость 945 , проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка. I5. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой существует не более одной плоскости, проходящей

через эти точки I6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости 945 , то каждая точка прямой а лежит в плоскости 945 . В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости 945 или плоскость 945 проходит через прямую а. I7. Если две плоскости 945 и 946 имеют общую точку А, то они имею по крайней мере еще одну общую точку В. I8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. 2. Аксиомы порядка. Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой это отношение выражается словами лежать между . Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то мы запишем так

А - В - С. При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы. II1. Если А - В - С, то А, В, С - различные точки одной прямой и С - В - А. II2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А - В - С. II3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. II4 аксиома Паша . Пусть

А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, а а - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС. Аксиомы откладывания отрезков и углов. Аксиома параллельных прямых. 8,9. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ ТЕОРЕМАМ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ Как знакомить учащихся с теоремами?

При введении теорем, как и при введении понятий, используются два метода конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный В первом случае теорема в готовом виде не сообщается, проводится спец. работа по подведению учащихся к теореме, обнаружению соответствующей закономерности. Итогом этой работы является формирование изучаемой теоремы Абстрактно-дедуктивньий метод введения теоремы начинается с того, что учитель сам формулирует эту теорему,

а затем проводится работу по уточнению смысла данной теоремы ее условия, заключения, построению чертежа Выбор метода введения теорем должен быть нацелен на оптимизацию системы методов обучения, при этом надо учитывать не только временные затраты, но и получаемые результаты обучения. Как объяснить учащимся сущность доказательства? Доказательство теоремы представляет собой цепочку рассуждений. Несмотря на то что запись доказательства в виде цепочки рассуждений в. учебниках не практикуется, тем

не менее полезно, чтобы за весь период обучения в школе учащиеся знакомились хотя бы с З-4 примерами такого представления доказательства. Эти примеры помогут уточнить понятие доказательства, его сущность. Доказательство при этом можно охарактеризовать как цепочку последовательных рассуждений, которая позволяет сделать логический переход от условия к заключению теоремы.

Обычно в учебниках доказательства приводятся в более краткой, свернутой форме, без детализации некоторых их шагов. Выделение шагов доказательства возможно на основе специального его анализа Доказательства бывают прямые аналитические и синтетические и косвенные. Рассмотрим синтетический метод. Исходным моментом доказательства является условие теоремы. На основе предыдущих предложений и законов логики условие теоремы постепенно преобразуют до тех пор,

пока не приходят к заключению. Аналитический метод доказательства.Восходящий анализ анализ Паппа . При доказательстве методом восходящего анализа отталкиваются от заключения теоремы и подбирают для него достаточные условия. Доказательство методом восходящего анализа направляется двумя вопросами Что требуется доказать? и Что для этого достаточно знать Ход рассуждений, общая их направленность становятся более мотивированными, естественными.

Нисходящий анализ анализ Евклида . При нисходящем анализе рассуждения также начинают с заключения теоремы, однако подбирают уже не достаточные, а необходимые условия. Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное

предложение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство Нисходящий анализ требует от учащихся значительной логической подготовки. Если не понимать недостаточность цепочки рассуждений и обязательность перехода к цепочке рассуждений, то смысл применения данного метода утрачивается. Остановимся на вопросе о построении системы доказательств. Это построение может осуществляться двумя путями 1 индуктивно устанавливаемый вначале факт подвергается

затем доказательству, т. е. происходит поочередное присоединение каждого отдельно взятого факта к уже имеющемуся дедуктивному массиву или дедуктивному островку 2 индуктивно устанавливается сразу целая совокупность фактов, осуществляется их логическая организация см. тему 2, 5 и вся эта совокупность присоединяется к ранее построенному дедуктивному массиву . Первый из указанных путей является традиционным, второй - еще не нашел в школьной практике широкого применения.

Обратимся к косвенному доказательству. В школьной практике обычно Ьно называется методом от противного. Доказательство В заключение отметим, что методика изучения теорем и их доказательств составляет наиболее развитую часть методики преподавания математики. Здесь отобраны лишь наиболее важные положения и факты данной темы, которые можно считать основополагающими в методической подготовке учителя математики.

Каждую теорему можно рассматривать как задачу па доказательство, 10.Методика изучения числовых множеств. В математических курсах 5-11 классов органично сочетается содержание арифметики, алгебры и анализа. В соответствии с этими тремя великими А в данных учебных курсах можно выделить следующие содержательные линии теоретико-числовую линию, линию тождественных преобразований, линию уравнений и неравенств, функциональную линию.

С учетом критерия знаний, умений и навыков учащихся, следу Я В. Л. Гончарову, можно выделить следующие линии 1 логическую формирование системы понятий и фактов путем построения определений и доказательств 2 формально-оперативную выработка навыков тождественных преобразований, решения уравнений и неравенств, исследования свойств функций и т. п. 3 содержательно-прикладную решение текстовых задач, включая задачи с геометрическим, физическим и техническим

содержанием 4 вычислительно-графическую составление таблиц, построение диаграмм, графиков, использование микрокалькуляторов и т. д РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ. Изучение чисел в школьном курсе математики ведется такой последовательности натуральные числа, натуральные числа, нуль, дроби положительные , отрицательные числа и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел.

Эта последовательность отражает исторический. путь развития понятия числа в математике N 8594 Q 8594 Q 8594 R. В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность N 8594 Z 8594 Q 8594 R логическая схема развития понятия числа . От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел.

Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа. В школьном курсе изучение отдельных числовых систем носит концентрический характер. Поэтому последовательность изучения чисел в школе сложнее, чем приведенные выше историческая или логическая схемы развития понятия числа. Многоэтапность изучения чисел в школе возрастает также за счет того, что для некоторых из них рассматриваются различные содержательные трактовки.

В школьном учебнике в подобных случаях говорится о различных формах записи чисел . Например, рациональное число представляется и как дробное число и как десятичная дробь. При этом возникают определенные методические проблемы объяснение учащимся целесообразности двойного изучения рациональных чисел, определение соотношения различных подходов чему больше уделять внимания изучению рациональных чисел в представлении их как дробных чисел или как десятичных добей , выбор последовательности

изучения что изучать вначале обыкновенные или десятичные дроби . Первый шаг в изучении чисел состоит в овладении навыком счёта от 1 до 10. Одновременно учащиеся обучаются обратному счету, выполнению действий по прибавлению и вычитанию 1, 2 и т. д. На этой основе в начальных классах изучается весь ряд натуральных чисел. При дальнейшем расширении понятия числа учитываются следующие факторы потребности математики алгебраическая

концепция расширения понятия числа , потребности практики например, практики измерения величин , возрастные возможности учащихся психологический фактор . В различных учебниках это проявляется по-разному в действующем и пробных учебниках реализуются различные последовательности рассмотрения понятия числа в школьном курсе. Различные подходы к изучению числовых систем проявляются также в выборе места их изучения. Программа по математике предусматривает завершение изучения действительных чисел в 8 классе.

Строгое построение теории действительных чисел в средней школе затрудни- тельно. На наглядном же уровне с основными понятиями и фактами этой теории учащихся можно ознакомить довольно рано. Этим объясняется получающая распространение тенденция к более раннему завершению изучения действительных чисел в средней школе. Возможны различные способы построения множества В. Множество В может быть построено как новое множество независимо от множества

А , затем в В выделяется подмножество, изоморфное множеству А, которое отождествляется с множеством А. В дидактическом отношении больше подходит другой способ. Он состоит в том, что известное . множество А не заменяется изоморфным множеством, а дополняется новыми элементами, в результате чего получается новое множество В. Именно этот способ реализуется в школьных учебниках.

В математике существуют два подхода к построению числовых систем аксиоматический и конструктивный. В школьном курсе присутствуют элементы обоих этих подходов. Некоторое применение в школьных учебниках находит операторная точка зрения на число. 11 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Правильная ориентация в методике изучения натуральных чисел в 5 классе предполагает знание, с одной стороны, связи данной темы с курсом 1-4 классов, с другой стороны

- знание нового в содержании учебного материала и методике его изложения в 5 классе. Необходимо также учитывать общие особенности учебника математики 5 класса. В этом учебнике усиливается роль теоретического материала приводятся определения, математические термины и обозначения, формулируются факты и законы, отдельные факты получают теоретическое объяснение. В учебниках соответствующий теоретический материал излагается в виде небольших фрагментов, после чего

приводятся упражнения и задачи. Рассмотрим методические вопросы изучения теоретического материала понятий, фактов, обоснований и решения задач. В 5 классе даются определения или описания понятий натурального числа, десятичной записи числа, миллиарда, координатного луча, координаты точки, суммы двух чисел, слагаемых, числового выражения, значения выражения, разложения числа по разрядам, разрядных слагаемых, развости двух чисел, уменьшаемого, вычитаемого, произведения двух чисел, множителей, частного двух чисел, делителя

числа, кратного числа и др. При этом учителю необходимо различать, в каком случае в учебнике приводится полноценное в логическом отношении определение, а в каком - описание понятия, не претендующее на строгость. Обратимся, например, к понятию натурального числа, являющемуся центральным в данной теме. В учебнике говорится, что числа, употребляемые при счете предметов, называются натуральными числами . С чем мы имеем дело в данном случае с определением или описанием?

Конечно, с описанием. В матем-ке при аксиоматическом построении теории натуральных чисел напр, на основе аксиом Пеано понятие натурального числа явл. неопределяемым исходным . Оно определяется косвенным способом натуральным числом может быть любой объект, который удовлетворяет системе аксиом. В количественной теории натуральных чисел натуральное число определяется как мощность конечного множества. В учебнике по понятным причинам эти определения не приводятся.

В тех случаях, когда понятие вводится описанием, заучивать соответствующую формулировку с учащимися, конечно, не нужно. Таким образом, учителю важно выяснить для себя, какие понятия, относятся к натуральным числам, вводятся в учебнике описанием, а какие - определением. Это позволит четче выделить элементы нового подхода в методике изучения натур-ных чисел в 5 кл. Новым в 5 кл. явл. оперирование с многозначными натуральными числами.

Используются различные формы записи чисел с помощью цифр, слов, смешанная запись. Преемственность методик изучения натуральных чисел в 1-4 и 5 кл-х заключается в достаточно широком использовании метода индукции. Например, переместительный закон в 5 классе вводится на основании таких пояснений. Приводится рисунок с маршрутом железной дороги от Москвы до Минска с указанием промежуточного пункта -

Смоленска. Сообщается, что расстояние от Москвы до Смоленска равно 419 км, от Смоленска до Минска 331 км. Записывается расстояние от Москвы до Минска 419 331 км, затем от Минска до Москвы 331 419 км. Так как расстояние от Москвы до Минска равно расстоянию от Минска до Москвы, то справедливо равенство 419 331 331 419.

Вообще, при любых значениях а и d а d d а. Налицо применение метода индукции, причем индуктивное заключение, делается на основе одного примера. Усиление роли теоретических объяснений проявляется в сочетании методов индукции и дедукции. Сложение многозначных чисел столбиком объясняется в 5 классе следующим образом. Каждое слагаемое вначале раскладывается по разрядам. Например 345 623 300 40 5 600 20 3 . д, лее, применяя переместительный и сочетательный законы сложения,

получаем 345 623 300 40 5 600 20 3 300 600 40 20 5 3 900 60 8 968. Из этих рассуждений видно, что для того, чтобы сложить два многозначных числа, надо единицы сложить с единицами, десятки - с десятками, сотни - с сотнями и т д. При этом необходимо учитывать то обстоятельство, что десять единиц некоторого разряда дают одну единицу предыдущего разряда Сложение столбиком есть более краткая запись проделанного выше сложения.

Оно удобно тем, что мы записываем данные числа так, чтобы единицы оказались под единицами, десятки - под десятками, сотни - под сотнями и т. д. Это облегчает сложение единиц, десятков, сотен и т. д. 345 623 968 Чем примечательны эти рассуждения? Они проводятся на основе примера и поэтому являются индуктивными. Значит, мы использовали метод индукции. Но внутри этого примера применялись дедуктивные рассуждения делались ссылки на законы сложения .

В этом и проявляется сочетание методов индукции и дедукции. Указанное применение метода дедукции служит типичным примером усиления в 5 классе роли теоретических объяснений. 12. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОБЫКН-ННЫХ И ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Первое знакомство с обыкновенными дробями 1 2, 1 3,2 3, происходит в 3 классе параллельно изучению натуральных чисел. Систематическое изучение дробей начинается в 5 классе.

Десятичные дроби не являются НОВЫМИ числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. В математических вычислениях и практических расчетах более удобными являются десятичные дроби. Обыкновенные дроби в вычислениях используются гораздо реже. В связи с этим в методике математики существует проблема порядка изучения обыкновенных и десятичных

дробей. Рассмотрим возможные подходы к решению этой проблемы 1 вначале изучаются обыкновенные дроби, затем - десятичные традиционный подход 2 вначале изучаются десятичные дроби, затем - обыкновенные 3 смешанный вариант, при котором изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется. В действующем учебнике 5 класса придерживаются смешанного варианта. Вначале в нем вводится понятие обыкновенной дроби.

Затем рассматриваются вопросы сравнения, сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. После этого осуществляется переход к десятичным дробям и рассматриваются все четыре арифметических действия над ними. Изучение десятичных дробей начинается и заканчивается в 5 классе. После этого в 6 классе вновь возвращаются к обыкновенным дробям изучают сравнение произвольных дробей, арифметические действия над ними. Понятие процента примыкает к понятию десятичной дроби.

Проценты - это новая форма записи десятичных дробей со знаменателем Центральным в теме дробные числа 5 класс является понятие обыкновенной дроби. Оно вводится таким описанием аналогично тому, как это делалось в III классе приводится рисунок с изображением пирога, разрезанного на четыре равные части. Одна из них лежит на одной тарелке, а три части - на другой .

Характеристика дроби начинается со знаменателя знаменатель показывает, на сколько равных частей разрезан пирог, а числитель - сколько надо взять таких частей. Числитель пишут над чертой, а знаменатель - под чертой. Проведенные разъяснения повторяются на других примерах. В соответствии с изложенным можно предложить следующую методическую схему введения понятия обыкновенной

дроби в 5 классе 1 выполнить материализованные действия по делению предмета на 4 равные части 2 сообщить термины одна четвертая, три четвертых З ввести записи 1 4, 3 4, 4 сообщить термины обыкновенная дробь, числитель дроби, знаменатель дроби 5 дать содержательную характеристику дроби что показывает знаменатель дроби, что показывает ее числитель 6 привести другие примеры дробей, записать и прочитать их. Важным элементом методики изучения чисел является убеждение учащихся в целесообразности введения новых

чисел. Обыкновенные дроби использовались для записи долей. Возможность записать доли с помощью обыкновенных дробей является одним из приемов убеждения учащихся в полезности таких дробей. Помимо этого существуют еще два других приема, показывающих необходимость введения дробных чисел. Мотивировать введение дробных чисел можно также тем, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой.

Как известно, в множестве натуральных чисел число 2 не делится на число 3. дополним это множество дробями и вновь рассмотрим деление числа 2 на 3. Третий прием мотивации введения дробных чисел связывается с задачей измерения величин. Пусть, например, требуется измерить длину отрезка в сантиметрах выбирается отрезок, длина которого меньше 1 см Перейдем к десятичным дробям. Первые шаги в ознакомлении учащихся с десятичными дробями могут быть связаны с применением микрокалькулятора.

Рассмотрим некоторые методические вопросы, связанные с усилением роли теоретических объяснений в курсе математики 5 - 6 классов. Тенденция на усиление роли теоретических объяснений в 5 классе имеет место и при изучении темы дробные числа По аналогии с натуральными числами объяснение правила сложения десятичных дробей 13. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Первая методическая задача, возникающая при введении отрицательных чисел, состоит в том, чтобы убедить учащихся в необходимости введения новых чисел.

Достигается это с помощью целесообразно подобранных задач. Например Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз. Покажите на рисунке 1 где будет находиться белка, если она удалена от дупла 3 м 2 где окажется белка, если она будет а выше дупла на 2 б ниже дупла на З м в ниже дупла на 1,5 м г выше дупла 2,5 м. При решении этих задач устанавливается, что для того, чтобы определить местоположение белки на дереве,

необходимо знать расстояние, на которое она удалена дупла, и направление, в котором она переместилась выше дупла, ниже дупла . Выясняется, что известных чисел недостаточно для того, чтобы охарактеризовать ими и расстояние, и направление. Необходимы новые числа. Рассмотренные выше задачи полезно представить более математизированной форме. для этого достаточно вместо дерева взять прямую, вместо дупла - некоторую фиксированную точку этой прямой, вместо белки произвольную

точку прямой. Созданию наглядно-геометрической основы для введения новых чисел служит такая задача. Проведите прямую слева направо и отметьте на ней точку Изобразите на этой прямой точки А, В, С и К, если известно, точка А расположена правее О на б клеток, точка В - правее О 5,5 клетки, точка С - левее О на 2 клетки и точка

К - левее О 7,5 клетки. В результате учащиеся будут подготовлены к восприятию понятия координатная прямая . Учителю останется лишь ввести термины начало отсчета , положительное направление прямой, отрицательное направление прямой . Если положительное направление обозначать знаком отрицательное - знаком то ясно, что положение точки А в предыдущей задаче определяется числом 6, положение точки В - числом 5,5, положение точки С - числом -2, положение точки

К - числом -7,5, положение самой точки О - числом О. Числа 6, 5,5, 0 были известны ранее, числа -2, -7,5 - новые. Числа 6, 5,5, называются положительными их можно записывать и без знака , числа -2 7,5 отрицательными. С помощью положительных, отрицательных чисел и числа О можно полностью охарактеризовать положение точки на прямой.

Важно, чтобы учащиеся осознали не только необходимость введения новых чисел, но и правильно понимали их смысл. В этих целях полезны упражнения на чтение и запись положительных и отрицательных чисел, на изображение их. точками на координатной прямой. Вот одно из них. Приведенные ниже предложения запишите короче, используя знаки и - 1 Температура воздуха в полночь была 4 градуса ниже нуля, а в полдень 10 градусов выше нуля 2 уровень

воды в порту во время прилива был на 1,9 м выше нулевой отметки, а во время отлива - на 1,9 м ниже нулевой отметки 3 стрелка прибора отклонилась от нулевой отметки на 4,5 деления вправо на 2,5 деления влево. Полезны задания и на обратный перевод с математического языка на естественный Посмотрим, как вводятся действия над положительными и отрицательными числами. Правила выполнения действий над положительными и отрицательными числами устанавливаются на основании

решения содержательных задач например, задач на определение температуры . Математические формулировки этих правил опираются на понятие модуля числа. Приведем методическую схему введения правила сложения положительных и отрицательных чисел в основу ее положено индуктивное обобщение 1 показать, что результат изменения температуры находится с помощью действия сложения 2 па основании измерений температуры с помощью термометра выполнить следующие действия 2 3 5,

-2 -3 -5, -2 3 1, 2 -3 -1 З ввести установку каждое число определяется своим модулем и знаком с помощью этой установки высказать догадки о том, как найти модуль суммы и ее знак соответствующие записи полезно оформить в виде таблицы 2 3 9474 2 9474 9474 3 9474 5 2 -3 - 9474 -2 9474 9474 -3 9474 -5, -2 З 9474 3 9474 - 9474 -2 9474 1, 2 -3 - 9474 -3 9474 - 9474 -2 9474 -1 4 сформулировать правило сложения чисел с одинаковыми и разными знаками 5

закрепить это правило письменными упражнениями с подробными записями, приведенными в п. 3 6 осуществить переход к более сокращенным записям вычислений, сопроводив их полным устным комментарием 7 на следующем уроке в качестве повторения и закрепления правила привести схему соответствующего алгоритма. 14.РАЗЛИЧН. ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ ТЕОРИИ ДЕЙСТВ-Х ЧИСЕЛ. В математике существуют различные построения теории действительных чисел по

Дедекинду, Вейерштрассу, Кантору и др Однако все эти построения являются сложными не случайно, что в математике они окончательно оформились лишь во второй половине ХiХ в Имеются попытки относительно строгого построения действительных чисел для учащихся математических классов, кружковой работы, но они не пригодны для массовой школы. Вместе с этим понятие действительного числа как бесконечной десятичной дроби , основные факты теории

действительных чисел доступны учащимся уже в 7-8 классах. В настоящее время наблюдается тенденция более раннего завершения изучения действительных чисел. Программа рекомендует знакомить с представлением рациональных чисел в виде бесконечной десятичной дроби в 6 классе, с понятиями иррационального и действительного чисел в 8 классе. Раннее изучение действительных чисел ускоряет формирование у учащихся цельной системы знаний о числах,

полнее обеспечивает потребности практики вычислений, позволяет строже изложить некоторые вопросы о функциях и т. д. Известно, что для практических вычислений множества рациональных чисел достаточно. Поэтому мотивировка введения иррациональных чисел опирается, прежде всего, на выявление внутренних потребностей математики. Они обнаруживаются, например, при решении следующих задач. 1. Является ли значение квадратного корня из числа 2 рациональным числом?2.Каковы корни уравнения х

х-2 0?3.Каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной, равной 1? Первое знакомство с иррациональными числами не следует ограничивать рассмотрением единичных примеров таких чисел, в этих целях, согласно принципу варьирования, полезно рассмотреть с учащимися следующую задачу Если натуральное число не есть квадрат некоторого натурального числа, то оно есть квадрат иррационального числа. докажите это . На основе доказанного факта можно утверждать, что квадратные корни из 2,3, являются

иррациональными числами. Важно, чтобы у учащихся не сложилось представление об иррациональных числах только как о квадратных корнях. Целесообразно еще раз воспользоваться принципом варьирования и привести такие примеры иррациональных чисел 2,З133133З13З331 5,454554555455554 0,07007000700007 - 4,676776777677776 Перейдем к методике введения арифметических действий над действительными числами. В большинстве учебников иррационально число определяется как бесконечная непериодическая десятичная

дробь по Вейерштрассу . При этом возникают следующие вопросы Каким образом можно ввести действия над бесконечными десятичными дробями? Можно ли бесконечные десятичные дроби складывать вычитать, умножать и делить точно так же, как это делается с конечными десятичными дробями? Нетрудно понять, что нельзя. При сложении конечных дробей существенно используется тот факт, что они являются конечными.

Именно поэтому становится возможны выполнение действия сложения с конца вначале складываются единицы самого меньшего разряда, затем более старшего и т. д. Вести сложение в обратном порядке невозможно по той причине, что нельзя реализовать сам принцип позиционной записи числа десять единиц одного разряда дают одну единицу предыдущего разряда. Возникает учебная проблема что следует понимать под суммой двух бесконечных десятичных дробей?

Разъяснить арифметический смысл действий над бесконечными десятичными дробями не так просто это будет сделано несколько позднее . Проще показать их геометрический смысл. Можно построить два отрезка, длины которых равны корень из 2 и 3 затем последовательно отложить эти отрезки на одной прямой. В результате получится новый отрезок, длина которого равна корень из 2 корень из 3. 16. Функции вида у 9474 х 9474 , 9474 х 9474 9474 y 9474 1, 9474 у-1 9474 9474 х 9474 х, и т.д.

Функции и уравнения вида у 9474 х 9474 , 9474 х 9474 9474 y 9474 1, 9474 у-1 9474 9474 х 9474 х, у 9474 х 9474 9474 2х - 1 9474 - 9474 2 -3 9474 х 4х, графики которых - ломаные, являются универсальным материалом для реализации идеи интеграции алгебраического и геометрического материала для развивающего обучения математике. Ломаная как график уравнения или функции позволяет в опережающем плане систематически учить школьников свободному чтению координатной плоскости.

Ломаным как графикам должно быть уделено особое внимание еще и потому, что при их помощи мы. Всегда приближаемся к пониманию свойств графиков любых функций и уравнений. Общий план системного изучения свойств функций и их применения к исследовательскому анализу уравнений, не равенств и их систем выглядит следующим образом рассматривается какая-либо задача, решение которой сводится к применению свойств неизвестной ученикам функций устанавливается область определения функции,

дается название новой функции составляется таблица ее значений или составляются таблицы значений функций, произведением частным или суммой которых является новая для учащихся функция на основании аккуратных инструментальных изображений ученики высказывают предположения о свойствах новой для них функции график прямая, например, убывает, возрастает, положительная, отрицательная, наибольшее значение, наименьшее значение, нули функции и т.п. часть из обнаруженных свойств обосновывается, часть из этих предполагаемых

свойств остается без доказательства или будет доказана потом сравниваются свойства новой функции со свойствами функций, которые были ранее изучены ставятся вопросы по полученному графику ставятся вопросы о возможности представления в виде произведения новой функции алгебраической суммы ранее известных ученикам функций решаются уравнения и неравенства на применение свойств новой функции решаются комбинированные уравнения и неравенства. Важнейшим и наиболее результативным средством для реализации системного подхода

при изучении функционального материала являются развивающие упражнения, которые позволяют организовать коллективный исследователь- анализ задачи. Каждый ученик выполняет при этом посильную ему подзадачу на основе оптимального применения известного ему теоретического материала и своего практического опыта использования методов исследователь анализа задач. Например, работу над задачей определить число корней уравнения 8соsх 6sin3х соs2х 7 1 на промежутке

О 2пи методически целесообразно организовать следующим образом на отрезке О 2пи изображаются графики функций F х 8соsх, Р х 6sin3х , М х соs2х 7 для получения первоначальных гипотез и обсуждения плана поэтапных действий каждый ученик самостоятельно определяет некоторые подмножества промежутка О 2пи , КОТОРЫМ не принадлежат корни этого уравнения определяются промежутки, которым принадлежит по

крайней мере один корень этого уравнения путем локализации математической ситуации определяются промежутки, которые имеют только по одному корню данного уравнения. Такая работа над этой задачей позволяет ученикам использовать в различных комбинациях все известные им формульные и качественны свойства тригонометрических функций. Исследование только одного такого уравнения на порядок полезнее тождественных преобразований десятков

тригонометрических выражений и тригонометрических уравнений по традиционной школьной методике корни х1 0, х2 0,5 ученики обнаруживают сразу относительно просто доказывается, что промежуток 0,5пи 2пи не содержит корень сложная ситуация на промежутке 0 0,5пи может стать более простой после таких преобразований 8соsх 6sin3х 2соs2х 6, 4соsх 3sin3х 4-sin2х, sin2х 3sinх 1 4 1-соsх , соs2х0,5 3sinx 1 2, 1 соsх 3sinх 1 4, 3sinх 1,5sin2х соsх 3 левая часть последнего уравнения есть сумма трех выпуклых на промежутке 0 0,5пи функций при х пи 3 левая часть этого уравнения

больше 3. Получаем ответ На промежутке О 2пи данное уравнение имеет три корня 0 0,5пи 0 х3 пи 3. Основа системного подхода при изучении методического блока ФУН - это комплексы достаточно содержательных познавательных задач. Упражнения на прямое применение математической теории должны занимать очень скромное место в общей системе обучающих задач, реализующей идею развивающего обучения математике.

17.Квадратичная функция. Программа предусматривает изучение фун-й у х2 в 8 кл. и у ах2 bх с в 9 кл. В этих кл-х усиливается роль аналитического метода исследования ф-ций. Однако данный метод не вытесняет граф-кий, а сочетается с ним. Изучение темы График квадратичной фун-и можно начать с постановки проблемной задачи Требуется выяснить, что представляет собой график фун-и у 0,5х2-8х 35 .

Полезно предложить учащимся вычислить координаты нескольких точек графика. Обычно учащиеся начинают со значений переменной х, равных 0, 1, 2, Соответствующая таблица будет иметь вид x 0 1 2 y 35 27,5 21 По этим координатам строятся несколько точек графика. Обнаруживается, что по таким точкам трудно установить вид графика.

Чтобы легче определить какие точки надо взять, выделим из трехчлена 0,5х2-8х 35 квадрат двухчленна у 0,5 х-8 2 3. При составлении таблицы значений этой фун-и удобно начать с х 8 при котором фун-ия принимает наименьшее значение у 3. далее можно брать значения х, отличающиеся от 8 на одно и тоже число, напр, x 7 и x 9, х 6 и х 10 и т. д. получим след. таблицу x 5 6 7 8 9 10 11 y 7,5 5 3,5 3 3,5 5 7,5 Построив соответств. точки графика, учащиеся замечают, что эти точки принадлежат параболе.

С помощью шаблона параболы можно показать, что график функции у 0,5 х-8 2 3 может быть получен из графика ф-ции у 0,5х2 с помощью -го переноса, кот. переводит точку 0 0 0 в точку 0 8 3 . Программа предусм-т изучен. ф-ий у хІ в 8 кл. и у aхІ bх с в 9 кл. В этих кл-х усилив-cя роль аналитич-го метода иссл-ния ф-ций. Однако данный метод не вытесняет графич-й, а сочет-ся с ним.

Требуется выяснить, что представляет собой график функции у 0,5хІ-8х 35. Полезно предложить учащимся вычислить координаты нескольких точек графика. Обычно учащиеся начинают со значений переменной х, равных 0, 1, 2, Соответствующая таблица будет иметь вид x 0 1 2 y 35 27,5 21 По этим координатам строятся несколько точек графика.

Обнаруживается, что по таким точкам трудно установить вид графика. Чтобы легче определить, какие точки надо взять, выделим из трехчлена 0,5хІ-8х 35 квадрат двучлена у 0,5 х-8 2 3. При составл-и табл. значений этой фун-и удобно начать с х 8, при кот. фун-я принимает наименьшее значение у 3. Далее можно брать значения х, отличающиеся от 8 на одно и то же число, например х 7 и х 9, х 6 и х 10 и т. д. Получим след. табл. x 5 6 7 8 9 10 11 y 7,5 5 3,5 3 3,5 5 7,5

С помощью шаблона параболы можно показать, что график ф-ции у 0,5 х-8 2 3 м. б. получен из графика ф-ции у 0,5хІ с помощью -ного переноса, который переводит точку 0 0 0 в точку О 8 3 . Докажем это предположение. При док-ве учтем, что -ный перенос переводит точку М х0 у в точку М х0 8 у0 3 . Действ-но, пусть М хо уо - произв-ная точка параб-ы у 0,5хІ и М х у - образ точки М при параллел переносе на вектор

ООґ Так как вектор ММґ ООґ и ММґ х-х0 у-у0 , ООґ 8 3 , то х-х0 8 и у-у0 3. х х0 8, у у0 3. Лежит ли точка М х0 8 у0 З на графике ф-ции у 0,5 х-8 2 3? Подставим корд-ы точки М в уравнение у 0,5 х-8 2 3 у0 З 0,5 х0 8-8 І 3, получим, что у0 0,5 х0І. Последнее рав-во верно, так как точка М принадлежит параболе у 0,5хІ.Парабола у 0,5хІ при -ном переносе переходит в график ф-ции у 0,5 х-8 2 3.

Значит, графиком ф-ции у 0,5 х-8 2 3 явл. также парабола. В заключение формулируется обобщение графиком ф-ции у а х-m І n явл. парабола, в которую переходит парабола у ахІ при параллельном переносе на вектор OOґ m n . Далее по графику устанавливаются все основные свойства функции у 0,5хІ-8х 35. Аналогично проводится исследование квадратичной функции в общем виде.

18. Задачи - цель и средство обучения мат-ке. Обучение мат-ике через задачи. В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функций. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них

умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение. 1.Образовательное значение математических задач. Решая математическую задачу, человек познает много нового знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения, задачи, и т.д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает

свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - и навык, что тоже повышает уровень математического образования. 2. Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной

жизнью. Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами физикой, химией, географией и др а также задачи с техническим и практическим, жизненным содержанием. 3. Значение математических задач в развитии мышления. Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты.

При решении математических задач воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики. 4. Воспитательное значение математических задач. Прежде всего задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием.

Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей. Роль ЗАДАЧ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ. Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается

для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей, И эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

1. Обучающая роль математических задач. Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли. 1 Задачи для усвоения математических понятий. 2 Задачи для овладения математической символикой. 3 Задачи для обучения доказательствам 4 Задачи для формирования мат. умений и навыков 2.

Развитие мышления при решении мат. задач. 3. Воспитательная роль мат. задач. 19.Микрокалькулятор на уроках математики. В настоящее время микрокалькуляторы находят все большее применение в учебном процессе. Освобождение учащихся от однообразной вычислительной работы позволяет уделять больше внимания алгоритму вычислений, делает занятия более творческими, способствует повышению их интереса к математике и создает возможности для более успешного применения расчетов на практике.

Программируемые микрокалькуляторы являются универсальными и многоцелевыми вычислительными устройствами. Они дают возможность во много раз сократить время, необходимое для составления индивидуальных заданий, проверки самостоятельных и контрольных работ. Высокая точность и быстрота вычислений позволяют широко и систематически использовать в учебном процессе математический эксперимент, знакомить учащихся с достаточно общими методами поиска и обоснования решений сложных нестандартных задач.

Программируемые микрокалькуляторы помогают на более высоком методическом уровне организовать индивидуальную и коллективную работу учащихся, являются надежным и удобным средством поэтапного контроля правильности тождественных преобразований выражений с переменными. Коренным образом изменяется методика решения следующих задач тождественное преобразование громоздких числовых выражений и выражений с переменными разложение выражений с многими переменными на множители

поиск и обоснование свойств различных числовых множеств задачи на делимость чисел исследование функций, построение и применение их графиков исследование решений уравнений и неравенств и их систем решение нестандартных уравнений и неравенств доказательство нестандартных неравенств исследование решений геометрических задач анализ таблиц значений функций с целью получения правдоподобных гипотез о их свойствах. Программируемые микрокалькуляторы позволяют эффективно и в комплексе использовать различные методы

поиска решений задач. Систематическая работа с микрокалькуляторами на практикумах по решению математических задач усиливает профессиональную направленность этих занятий. Тождественные преобразования выражений Задача 1.Вычислить.Будем искать рациональные числа n и k, такие, что Для этого с помощью микрокалькулятора последовательно находим Сравнивая равенства, приходим к предположению, что k 1 и n 2, т.е. вероятно ,

В справедливости равенства легко убедиться, возведя обе его части в пятую степень Задача 2.Решить уравнение Ученик, который не может анализировать уравнения, всесторонне используя свойства функций, эту задачу не может решить, даже если знает свойства производной. Естественное решение этой задачи выглядит следующим образом. Левая часть уравнения определена на 750 259 . На этом промежутке непрерывные неотрицательные функции

у 777х - 2250 и у 77х3 108 возрастающие. функции у и у также возрастающие. Поэтому и сложные функции Р х и К х возрастающие.Функция F х Р х К х непрерывная и возрастающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня х0. С помощью микрокалькулятора легко находим, что х0 З 20, 21 . Решения текстовых задач Решение текстовых задач способствует развитию мышления учащихся, более глубокому

усвоению идеи функциональной зависимости. В процессе решения текстовых задач у учащ. Формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений. В курсе матем. 4-8 кл. рассматриваются 2 основных способа решения текстовых задач арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выр-ия числовой фор-лы . Алгебраический способ основан на использовании ур-ний

и систем ур-ний, составляемых при решении задач. Работа по составлению ур-ний при решении текстовых задач делится на 2 этапа - на первом задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные общеучебные и математ. навыки - на втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математ. язык. Первый этап к наиболее важным умениям, которые необходимо сформировать

у учащ. На первом этапе изучения текстовых задач, относятся следующие умение внимательно читать текст задачи, умение проводить первичный анализ текста задачи - выделять условие и вопрос задачи, умение оформлять краткую запись текста задачи, умение выполнять рисунки по тексту задачи. Приёмы, формирующие умение читать текст задачи 1 показ образцов правильного чтения задачи 2 проведение спец-й работы над текстом задачи по усвоен. её содерж-я.

Т.е. имеются в виду различн. формы предъявл-я задачи текстом, краткой записью текста, рис-м. Сюда включ. также приёмы работы над усвоением содерж. задачи измен-ие числ-х данных задачи, измен-е сюжета задачи и числ-х данных. Приёмы, формирующие умения выделять условие и вопрос задачи 1 выявление роли вопроса в нахождении способа решения задачи, обращение внимания на точность, ясность формулировки вопроса задачи, переформулировка вопроса задачи. Этот приём направлен на воспитание у уч-ся потребности

выделять условие и вопрос задачи. 2 формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи. 3 нахожден. необход. данных для ответа на вопрос задачи 4 составл-е задачи по вопросу, формулир-ие одной или нескольких задач по данному вопросу. Приёмы обучения оформлению краткой записи текста задачи 1 оформление краткой записи в виде таблицы, схемы 2 оформление краткой записи в строку 3 чтение краткой записи задачи 4 составление задачи по её краткой записи

Приёмы обучения выполнению чертежей рисунков по тексту задачи 1 предъявление заданий, требующих только выполнение соответствующего рисунка 2 чтение рисунка, выполненного по тексту задачи 3 составление задачи по рисунку или чертежу Выполн-ый чертёж по тексту зад-и позвол. фиксировать ход рассужд-й при её реш-и, что способ-т формир-ю общих подходов к реш-ю задач. Поэтому к выпол-ю чертеж. предъяв-ся требован. наглядно-сть, чёткость, соотв-е тексту задачи, на нём

должны быть по возможн-и отражены все данные, входящие в усл. задачи, выделенные на них данные и искомые должны соотв-ть усл. зад-и и общепр-м обозн-м. Формирование умения выполнять чертёж задачи будет успешным, если учащиеся будут уметь читать соответствующий чертёж. Важным моментом является составление текста задачи по чертежу, рисунку. В результате формируются навыки перевода графических данных на словесный текст.

Второй этап Важным моментом здесь явл. обучение пониманию учащ-ся способов словесного выражения изменения величин и фиксация их в виде матем-их выражений или ур-ний. Рассматр-ся конкретные текст-е задачи и после прочтения их текстов учащ. предлагается ответить на ряд вопросов. Деление процесса решения задач. 1 анализ текста задачи - учитель должен добиться того, чтобы уч-ся поняли её смысл, сделав целью своей деят-ти, чтобы она стала объектом мышл-я.

Исходным здесь явл. выдел-е в задаче условия, требов-й задачи и отношений между ними. Сопостав-е усл-я и требов-я задачи позволяет выяснить, достат-но ли данных для ответа на вопрос задачи, нет ли среди них противореч-ых или лишних данных. 2 выясн-е стратегии реш-я задач а устанавл-ся, будет ли неизвестным, относит-но кот. составл-ся ур-ние, искомая велич-а или же промежуточная велич-а. б по какому компоненту будет составлено ур-ние. Далее осуществл-я поиск способа решен. задачи на основе построения

модели поиска. Соответств-ий план реш-ия обсуждается с уч-ся, при этом испол-ся табл-я запись поиска решен. задачи. 3 осущест-ся найденный план решения, выполн-ся проверка реш-я и запис-ся полученный ответ. 4 анализ найденного решения. Анализ имеет своей целью выделение главной идеи решения, существенных его моментов, обобщение решения задачи, выявление и закрепление в памяти учащихся приёмов решения, которые были использованы в процессе решения задачи. 22. Функциональная пропедевтика

Чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в VII и более старших классах школы, необходимо заранее и постепенно подготовить их к знакомству с этими понятиями. В плане подготовки должны быть использованы всевозможные упражнения, которые не ведут непосредственно к каким-либо обобщениям, но доступны ученикам младших классов и могут служить для накопления ими опыта. Этот опыт будет создавать у них необходимые представления, ведущие к образованию соответствующих

понятий на конкретной числовой и графической основе. Далекие от обобщений и специальной терминологии, эти упражнения должны помочь учащимся выяснить, что рассматриваемое ими одно и то же выражение может приобретать различные значения в зависимости от числовых значений входящих в него букв. Эти упражнения должны помочь учащимся понять различные способы выражения функциональных зависимостей. Так, например, в V классе при изучении изменения результатов действий при

изменении компонентов в области дробных чисел в качестве упражнений для учеников полезно составлять таблицы сумм, разностей, произведений двух чисел, когда один из компонентов остается неизменным, а другой меняется. Таблицам можно придать следующий вид. Рассматривая эти таблицы, легко установить зависимость результатов от величины компонентов действий и характер изменения этих результатов. Так, можно предложить ученикам сравнить вычитаемое и соответствующие разности в примерах

З и 4 во II колонке. Вычитаемое увеличено на 3 11 24 -1 7 16 2 22-21 48 2 91 48 разность при этом уменьшилась на 26 5 16 -24 7 24 2 15-14 48 2 1 48 Разобрав подобным образом несколько примеров, ученики заметят, что при увеличении вычитаемого на некоторое число разность уменьшается на то же число. Раньше, до знакомства с дробными числами, говорилось, что увеличение вычитаемого на несколько единиц влечет уменьшение разности на столько же единиц. Таким образом проверяется, что зависимость между компонентами

действий, установленная для целых чисел, распространяется и на дробные числа. В У классе при повторении и изучении геометрического материала появляется возможность углубить понятие о переменной величине. Так, например, периметр прямоугольника при выбранной длине основания будет меняться в зависимости от высоты прямоугольника. длина периметра при длине основания, равной 4 лин. единицам, и меняющейся высоте будет выражаться Р 8 2х. Полезно составить таблицу изменения длины периметра.

В V классе можно познакомить учащихся с графическим выражением зависимости между величинами. Так, при повторении геометрического материала V класса и разборе зависимости длины периметра прямоугольника с основанием, равным 4 лин. единицам от высоты, получаем таблицу, которую можно использовать для построения графика. Если в концах отрезков, выражающих высоты, поставить отрезки, выражающие соответствующие периметры, то получится столбчатая диаграмма. А если первые отрезки высоты отложить на одной прямой от некоторой

точки О, то можно заметить, что концы вторых отрезков периметров будут лежать на одном луче. Этот луч и будет графиком изменения длины периметра Такая же работа может быть проведена при нахождении площади прямоугольника, у которого длина основания 4, а высота меняется. Так же как и в предыдущем случае, построим таблицу изменения 4 х и графическое выражение этого изменения рис. 22 . Конечно, во всей этой работе должен соблюдаться педагогический такт, употребляться

соответствующий язык, не допускающий на этом этапе обучения новой, ненужной здесь терминологии оси, координаты и т. п Все указанное проделать в классе трудно не хватит времени , но некоторую работу сделать учащиеся могут и должны. Эту часть работы устанавливает сам учитель, например изготовление первых чертежей для каждого случая. Дома же учащимся может быть предложено перенести эти чертежи на миллиметровую бумагу определенного формата и закончить остальные чертежи.