Курсовая работа по прикладной математике

Министерство общего и профессионального образованияРоссийской ФедерацииГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТУПРАВЛЕНИЯИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯКонтрольная работапо дисциплине Прикладная математика Специальность Бухгалтерский учет иаудитКурс 2-йГруппа БуиА-6-2Студент Студенческий билет ВАРИАНТ 25 Адрес мая 2001г.

Проверил 2001г.Москва 2001г.Задача 1. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждойпродукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли 4 0 8 7 316 А 3 2 5 1 В 216 С 31, 10, 41, 199Найти производственную программу х1, х2, х3, х4 ,максимизирующую

прибыльz 31х1 10х2 41х3 29х4Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу4х1 0х2 8х3 7х316Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу 3х1 2х2 5х3 х216Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу 5х1 6х2 3х3 2х199Имеем 4х1 0х2 8х3 7х4 8804 316 3х1 2х2 5х3 х4 8804 216 1 5х1 6х2 3х3 2х4 8804 199где по смыслу задачих1 8805 0, х2 8805 0,х3 8805 0, х2 Получена задача на нахождениеусловного экстремума.

Для ее решения систему неравенств 1 при помощидополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраическихуравнений4х1 0х2 8х3 7х4 х5 316 I 3х1 2х2 5х3 х4 х6 216 II 3 5х1 6х2 3х3 2х4 х7 199 III где дополнительные переменные имеют смысл остатковсоответствующих ресурсов, а именно х5 остаток сырья 1-го вида,х6 остаток сырья 2-говида,х7 остаток сырья 3-говида.

Среди всех решений системы уравнений 3 , удовлетворяющихусловию неотрицательности х1 8805 0,х2 8805 0, х3 8805 0, х4 8805 0, х5 8805 0,х6 8805 0, х7 8805 0 4 надо найти то решение, при котором функцияz 31х1 10х2 41х3 29х4будет иметь наибольшее значениеОрганизуем направленный перебор базисных решений при помощисимплекс метода.Из функции z x видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.Найдем ведущее уравнение bi 316 216 199 316 min ai3 gt 8Примем

I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом С Базис Н 0 Поясне-ния х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 0 х5 316 4 0 8 7 1 0 0 0 х6 216 3 2 5 1 0 1 0 0 х7 199 5 6 3 2 0 0 1 8710 z0-z 0-z -31 -10 -41 -29 0 0 0 41 х3 39,5 1 2 0 1 7 8 1 8 0 0 0 х6 18,5 1 2 2 0 -27 8 -5 8 1 0 0 х7 80,5 7 2 6 0 -5 8 -3 8 0 1 8710 z0-z 1619,5 -21 2 -10 0 55 8 41 8 0 0 41 х3 28 0 -6 7 1 54 56 10 56 0 -1 7 Все 8710 j 8805 0 0 х6 7 0 8 7 0 -23 7 -4 7 1 -1 7 31 х1 23 1 12 7 0 -10 56

-6 56 0 2 7 8710 z0-z 3 Оптимальная производственная программа х1 23, х2 0, х3 28, х0Остатки ресурсов Первого вида х0 Второго вида х7 Третьего вида х0Максимальная прибыль zmax 1861Обращенный базис Q-1 10 56 0 -1 7Q-1 -4 7 1 -1 7 -6 56 0 2 7 х5 х6 х7Базис Q 8 0 4Q 5 1 3 3 0 5 х3 х6 х1Самопроверка. 10 56 8 0 5-1 7 3 10 56 0 0 1-1 7 0 10 56 4 0 3-1 7 5 1 0 0Q-1

Q -4 7 8 1 5-1 7 3 -4 7 0 1 1-1 7 0 -4 7 4 1 3-1 7 5 0 1 0 -6 56 8 0 5 2 7 3 -6 56 0 0 1 2 7 0 -6 56 4 0 3 2 7 5 0 0 1 10 56 316 0 216-1 7 199 28Q-1 B -4 7 316 1 216-1 7 199 7 -23Задача 2. Предприниматель Петров, занимающийся производством другихвидов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеютсяу нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у насресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурсау2 за каждую единицу 2-го ресурсау3

за каждую единицу 3-го ресурса.В нашей задаче технологическаяматрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид 4 0 8 7 316 А 3 2 5 1 В 216 С 31, 10, 41, 29 5 6 3 2 199для производства единицы продукции 1-го вида мы должнызатратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицыресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3 нашизатраты составят 4у1 3у2 5у31Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затратыразличных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида 2у2 6у10Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различныхресурсов на производство единицы продукции 3-го вида 8у1 5у2 3у41Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различныхресурсов на производство единицы продукции 4-го вида 7у1 у2 2у29Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 316у1 216у2 199у3Таким

образом, проблема определения расчетных оценок ресурсовприводит к задаче линейного программирования найти вектор двойственных оценок У у1,у2, у3 Минимизирующий общую оценку всех ресурсов f 316у1 216у2 199у3при условии, что по каждому видупродукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицыпродукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции 4у1 3у2 5у3 8805 31 2у2 6у3 8805 10 8у1 5у2 3у3 8805 41 7у1 у2 2у3 8805 29При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательнымиу1 8805 0, у2 8805 0,у3 8805 0На

основании 2-й основной теоремы двойственностиХ х1, х2, х3,х4 и у у1, у2, у3 Необходимо и достаточно выполненияусловийх1 4у1 3у2 5у3-31 0х2 2у2 6у3-10 0х3 8у1 5у2 3у3-41 0х4 7у1 у2 2у3-0Учитывая, что в решении исходной задачи х1 gt 0,x3 gt 0Поэтому4у1 3у2 5у3-31 0 8у1 5у2 3у3-0Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теоремедвойственности, его двойственная оценка равна нулю у0Имеем систему уравнений4у1 3у2 5у3-31 0 8у1 5у2 3у3-0Решим систему 4у1 5у3 31у1 31-5у3 48 31-5у3 4 3у3 41-7у3

-21у1 31-15 4откуда следуету1 4, у3Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1 4, у2 0, у3Общая оценка всех ресурсовf 316у1 216у2 199у3 f 1861Задача 1. Задача о расшивке узких местпроизводства .При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и3-й ресурсы используются полностью, образуя узкие места производства . Ихнеобходимо заказать дополнительно.Пусть Т t1, 0, t3 вектор дополнительных объемовресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденныедвойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условиеН Q-1Т 8805 0Необходимо найти векторТ t1,0, t3 максимизирующий суммарный прирост прибыли w 4t1 3t328 10 56 0 -1 7 t1 07 -4 7 1 -1 7 0 8805 023 -6 56 0 2 7 t3 0Предполагаем, что дополнительно можнополучить не более 1 3 первоначального объема ресурса каждого видаt1 3160 8804 1 3 216t3 199гдеt1 8805 0, t3 8805 010 56t1-1 7t3 8805 -28-4 7t1-1 7t3 8805 -7-6 56t1 2 7t3 8805 -23 -10 56t1 1 7t3 8804 284 7t1 1 7t3 8804 76 56t1-2 7t3 8804 23t1 8804 316 3,

t3 8804 199 3t1 8805 0, t3 8805 0 t1 t3 I -156,8 0 I 0 196 II 12,25 0 II 0 49 III 214,66 0 III 0 -80,5 IV 105,33 0 V 0 66,33 Программа расшивки имеет видt1 0, t2 0, t3 49и прирост прибыли составляетw 4t1 3t3 3 8729 49 147Сводка результатов приведена в таблице Сj 31 10 41 29 b x4 i yi ti aij 4 0 8 7 316 0 4 0 3 2 5 1 216 7 0 0 5 6 3 2 199 0 3 49 xj 23 0 28 0 1861 147 8710 j 0 8 0 5 Задача 3. Транспортная задача линейногопрограммирования.

Исходные данные 31 40 41 49 45 4 5 8 6 60 3 2 5 1 65 5 6 3 2Общий объем производства 8721 аi 45 60 65 170единиц продукции.Потребителям требуется 8721 bi 31 40 41 49 161 единиц продукции.Так как продукции производится больше на 9 единиц, чемтребуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Дляпревращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило северо-западного угла . b1 31

b2 40 b3 41 b4 49 b5 9 a1 45 31 14 p1 0 a2 60 26 34 p2 -3 a3 65 7 49 9 p3 -5 q1 4 q2 5 q3 8 q4 7 q5 5 920 9 z x1 31 4 14 5 26 2 34 5 7 3 49 2 9 0 535 b1 31 b2 40 b3 41 b4 49 b5 9 a1 45 31 5 9 p1 0 a2 60 35 25 p2 -3 a3 65 16 49 9 p3 -5 q1 4 q2 5 q3 8 q4 7 q5 5 920 25 z x2 31 4 5 5 35 2 25 5 16 3 49 2 9 0 490 b1 31 b2 40 b3 41 b4 49 b5 9 a1 45 31 5 9 p1 0 a2 60 35 25 p2 -3 a3 65 41 24 p3 -2 q1 4 q2 5 q3 5 q4 4 q5 z x3 31 4 5 5 35 2 25 1 41 3 24 2 9 0 415Задача 4.

Динамическое программирование.Распределение капитальных вложений.Исходные данные xj 0 100 200 300 400 500 600 700 f1 xj 0 10 23 30 38 43 49 52 f2 xj 0 13 25 37 48 55 61 66 f3 xj 0 16 30 37 44 48 50 49 f4 xj 0 10 17 23 29 34 38 41 Для решения используем метод северо-восточной диагонали . -x2 0 100 200 300 400 500 600 700 x2 0 10 23 30 38 43 49 52 0 0 0 10 23 30 38 43 49 52 100 13 13 23 36 43 51 56 62 200 25 25 35 48 55 63 68 300 37 37 47 60 67 75 400 48 48 58 71 78 500 55 55 65 78 600 61 61 71 700 66 66 0 100 200 300 400 500 600 700 F2 0 13 25 37 48 60 71 78 x2 0 100 200 300 200 300 400 500 -x3 0 100 200 300 400 500 600 700 x3 0 13 25 37 48 60 71 78 0 0 0 13 25 37 48 60 71 78 100 16 16 29 41 53 64 76 87 200 30 30 43 55 67 78 90 300 37 37 50 62 74 85 400 44 44 57 69 81 500 48 48 61 73 600 50 50 63 700 49 49 0 100 200 300 400 500 600 700

F3 0 16 30 43 55 67 78 90 x3 0 100 200 200 200 200 200 200 -x4 0 100 200 300 400 500 600 700 x4 0 16 30 43 55 67 78 90 0 0 0 90 100 10 88 200 17 84 300 23 78 400 29 72 500 34 64 600 38 54 700 41 41 x4 x4 700 0x3 x3 700-x4 x3 700 200x2 x2 700-x4 -x3 x2 700-200 x2 500 300x1 700-x4 -x3 -x2 700-0-200-300 200x1 200x2 300x3 200x4 0Задача 5. Задача формирования оптимальногопортфеля ценных бумаг.Исходные данные m0 m1 m2 s1 s2 2 4 6 7 8 Требуется сформировать оптимальный портфель заданнойэффективности из 3-х видов ценных бумаг безрисковых эффективности 2 инекоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4

и 6 и рисками 7 и 8.Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и прикакой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции shortsale и с какими ценнымибумагами? 4 49 0m0 2, М , V 6 0 64Зададимся эффективностью портфеля mpНайдем обратную матрицу к V 1 49 0 V-1 0 1 64далее 4 1 M I 6 1 1 49 0 4 2 1 49 0 2 2 49V-1 M-m0I - 0 1 64 6 2 0 1 64 4 1 16 2 49 M-m0I T V-1 M-m0I 2 4 65 196 1 16Рисковые доли x1 mp-2 8 65 mp-2 0,12x2

mp-2 49 260 mp-2 0,19Безрисковая доля x0 1- mp-2 0,31Найдем значение mp, при котором возникает необходимостьв проведении операции short sale mp-2 0,31 1mp-2 1 0,31mp 3,21 2mp 5,21Следовательно, если mp gt 5,21 то x0 lt 0 и необходимо провести операцию shortsale.Задача 6. Провести анализ доходности и рискафинансовых операций.Даны четыре операции Q1,Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы

Qi и риски ri операций. Нанести точки Qi,ri наплоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающейформулы найти лучшую и худшую операции. 0, 1 5 , 2,2 5 , 10, 1 5 , 28, 1 5 -6, 1 5 , -5, 2 5 , -1, 1 5 , 8,1 5 0, 1 2 , 16, 1 8 , 32, 1 8 , 40,1 4 -6, 1 2 , 2, 1 8 , 10, 1 8 , 14,1 4 Q1 0 2 10 28 1 5 2 5 1 5 1 5

Q2 -6 -5 -1 8 1 5 2 5 1 5 1 5 Q3 0 16 32 40 1 2 1 8 1 8 1 4 Q4 -6 2 10 14 1 2 1 8 1 8 Q1 8,4 r1 10,4Q2 -1,8 r2 4,7Q3 16 r3 17,4Q4 2 r4 8,7j Q1 2Q1-r1 6,4j Q2 2Q2-r2 -8,3j Q3 2Q3-r3 14,6j Q4 2Q4-r4 -4,7Лучшей операцией является операция 3, худшей операциейявляется операция 2.Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, недоминируемой никакой другой.