Кривые и поверхности второго порядка

ЭЛЛИПС. Эллипсом называется геометрическое место точек,для которых сумма расстояний от двух фик сированных точек плоскости, называе мыхфокусами, есть постоянная величина требуется,чтобы эта по стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при нято обозначать через F1 и F2.Пусть М произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М так же как и длины этих отрезков назы ваются фокальными радиусами точки

М.По стоянную сумму фокаль ных ра диусов точки эллипса принято обозначать через 2а.Таким образом, для любой точки М эллипса имеем F1М F2М 2а.Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку сами F1, F2.Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим еекоординаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки

М до фокусов r1 F1М, r2 F2М . Точка М будет нахо диться на данном эллипсе втом и только в том случае, когдаr1 r2 2а.Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выраже ниями через координаты х,у.Заметим, что так как F1 F2 2с и так как фокусы F1 и F2 распо ложены на оси Охсимметрично от носительно начала координат, то они имеют соответственнокоординаты с 0 и с 0 при няв

это во внимание находим Заменяя r1 и r2,получаем Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяюткоординаты точки М х у ,когда точка М лежит на этом эллипсе. Возвед м обечасти равенства в квадрат, полу чим или Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем а2х2 2а2сх а2с2 а2у2 а4 2а2сх с2х2 ,откуда а2 с2 х2 а2у2 а2 а2 с2 .Здесь мы введем в рассмотрение новую величину а gt с,следовательно, а2 с2 gt 0

и величина b вещественна. b2 a2 c2, тогдаb2x2 a2y2 a2b2 ,или .Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.Уравнение,определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольныхкоординат, есть уравнение второй степени таким образом, эллипс есть линиявторого порядка.Эксцентриситетомэллипса называется отношение рас стояния между фокусами этого эллипса к длинеего большой

оси обозначив эксцентриситет буквой 949 ,получаем .Таккак с lt a, то 949 lt 1,т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.Заметим, что c2 a2 b2 поэтому отсюда и Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, аотношение осей, в свою очередь, определяется эксцен триситетом. Таким образом, эксцентриситетхарактеризует форму эллипса.

Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше1 949 2, тем меньше, следова тельно, отношение значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипсвытянут. В случае окружности b a и 0. Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо угольную системукоординат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнениемПредположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е.что а 8800 b и, следова тельно,

0. Предположим еще,что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а gt b.Две прямые, перпендикулярные к большой осиэллипса и рас положенные симметрично относи тельно центра на расстоянии от него, называютсядиректрисами эллипса.Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид и .Первую из них мы условимся называть левой, вторую правой.

Так как дляэллипса 949 lt 1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правееправой вершины эл липса аналогично, левая ди ректриса расположена левее его левой вершины. Частнымслучаем эллипса является окружность. Е уравнение имеет вид х2 у2 R2. Гиперболой называется геометрическоеместо точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точекплоскости, на зываемых фокусами, есть постоянная величина указанная разность берется

поабсолютному значению кроме того, требуется, чтобы она была меньшерасстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принятообозначать через F1 и F2,а расстояние между ними через 2с.Пусть М произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М так же, как и дли ны этих отрезков называ ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че рез r1 и r2 r1 F1М, r2 F2М . По определениюгиперболы разность фокаль ных радиусов

ее точки М есть по стоянная величина эту постоян ную принято обозначать через 2а. Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F1 и F2. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначимее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1М и F2М через r1 и r2. Точка М будет находиться на данной гиперболев том и только в том случае, когда r1 r2 2а. Так как F1 F2 2с и так как фокусы F1 и F2 располо жены на оси

Охсимметрично относительно на чала координат, то они имеют соответственнокоординаты с 0 и с 0 приняв это во внима ние находим , .Заменяя r1 и r2, получаем .Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяюткоординаты точки М х у , когда точка М лежит на гиперболе. Возвед м обе части равенства в квадрат получим ,или.Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем c2x2 2a2cx a4 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 ,откуда c2 a2

x2 a2y2 a2 c2 a2 .Здесь мы введем в рассмотрение новую величину с gt a,следовательно, с2 а2 gt 0 и величина b вещественна.b2 с2 а2,тогдаb2x2 a2y2 a2b2 ,или .Уравнение ,определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо угольныхкоорди нат, есть урав нение второй степени таким образом, гипербола естьлиния второго порядка.Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас стояния междуфокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами обозначив эксцентриситет бук вой 949 ,получим .

Так как для гиперболы с gt a, то 949 gt 1 т. е. эксцентриситет каждой гиперболы большеединицы. Заме тив, что c2 a2 b2, находим отсюда и .Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от ношение в свою очередь оп ределяетсяэксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха рактеризуетформу ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше 949 2 1,тем

меньше, следо вательно, отношение значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо леевытянут ее ос новной прямоугольник в направлении оси, соединяющейвершины . В случае равносторонней ги перболы a b и 949 8730 2.Рассмотрим какую-ни будь гиперболу и введем декартову прямоугольнуюсистему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением .Две прямые, перпендикулярные к той осигиперболы, кото рая ее пересекает, и расположенные симметрично

относительноцентра на расстоянии от него, называютсядиректрисами гипер болы.Уравнения директрис в вы бранной системе координат имеют вид и .Первую из них мы усло вимся называть левой, вто рую правой.Так как для гиперболы 949 gt 1, то .Отсюдаследует, что правая директриса расположена между центром и правой вершинойгипер болы ана логично, левая директриса расположена между центром и левойвершиной.

ПАРАБОЛА.Параболойназывается геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние донекоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо ку сом, равно расстояниюдо некоторой фиксированной прямой, называемой ди ректрисой пред полагается,что эта прямая не проходит через фокус .Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до ди ректрисы буквой p. Величину р называютпараметром параболы. Пусть дана какая-нибудь парабола.

Возьмем на плоскостипроизвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у.Обозначим далее через r рас стояние от точки М до фокуса r FM , через d расстояние от точки М до дирек трисы. Точка Мбудет находиться на данной параболе в том и только в том случае, когдаr d.Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные rи d их выраже ниями через те кущие координатых,

у.Заметим, что фокус F имеет координаты приняв это во внимание, находим .Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты отсюда, получаем числоположительное это следует из того, что М х у должна находиться с тойстороны от директрисы, где находится фокус,т. е. должно быть , откуда .Заменяя r и d, найдемЭто и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяюткоорди

наты точки М х у ,когда точка М лежит на данной параболе. Возведем обе части равенства в квадрат получим илиу2 2рх.Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.Уравнение у2 2рх, определяющее параболу в некоторой системедекартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте пени такимобразом, парабола есть линия второго порядка.

Министерство образования РФ Пензенская Государственная Архитектурно-СтроительнаяАкадемия РЕФЕРАТТема Кривые и поверхности второго порядка Выполнил Богданович Ольга Специальность ОБД Обозначение 240400 Группа ОБД-11 Проверил Фадеева Г.Д. Оценка Пенза 2000. Кривые второгопорядка Поверхностивторогопорядка Эллипсоид

Однополостныйгиперболоид Двухполостныйгиперболоид Конус Эллиптическийпараболоид Гиперболическийпараболоид Эллиптическийцилиндр Гиперболическийцилиндр Параболическийцилиндр