Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами

Введение § 1. Некоторые вспомогательные определения § 2. Простейшие свойства модулей нерперывности § 3. Обобщение теоремы Джексона § 4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна § 5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию § 6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-

Пуссена § 7. Основная теорема § 8. Решение задач Литература Введение Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания. Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов.

В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи: 1. При каких ограничениях на непрерывную функцию F ( u ) (-1 Ј u Ј +1) её наилучшие приближения E n [ F ;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j ( n -1 )? 1. При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f ( x ) её наилучшее приближение E n [ f ] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок j ( n -1 )?

Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2. Мы ограничимся случаем, когда j ( d ) О N a , для некоторого a , где j ( d ) - функция сравнения р-го порядка и для 0< d < h Ј p С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для E n [ f ] и дифференциальными свойствами f . Некоторые дополнения к их теоремам доказаны

А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками E n [ f ] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство: , где m - некоторое число. Наша основная теорема формулируется следующим образом: Пусть j О N a . Для того чтобы необходимо, чтобы для любого натурального k> a , и достаточно, чтобы

для некоторого натурального k> a где Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы. В § 1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе. В § 2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте. § 3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную

f (r) , то Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции. В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть Тогда В § 3 доказываем: (*) В § 4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства

С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем § 5. В § 5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином t n , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов { t n } достаточно хорошо аппроксимирует

заданную функцию f . Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами t n ? Если t n , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы равномерно относительно n . ( f О H k [ w ], если ). Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n . Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы ,

необходимо и достаточно чтобы . § 6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения. Известно предложение: пусть . Тогда, если a не целое, r= [ a ], b = a - r , то f имеет нерперывную производную . Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае . Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0< a < k и . Тогда . В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий и .

Мы переносим эти теоремы на условия вида ,