Интеграл Пуассона

Интеграл ПуассонаПусть x , g x , x R1 суммируемые на -p, p , 2p- периодические,комплекснозначные функции. Через f g x будем обозначать свертку f g x dt Из теоремы Фубини легко следует,что свертка суммируемых функций также суммируема на -p,p и cn f g cn f cn g , n 0, 1 , 2 , 1 где cn f коэффициенты Фурье функции f x cn -i n tdt , n 0, 1, 2, frac14 Пусть L1 -p, p . Рассмотрим при 0 r lt 1 функцию r x n f r n ei n x , x -p, p ,

2 где ряд в правой части равенства 2 сходитсяравномерно по х для любого фиксированного r , 0 r lt 1 . Коэффициенты Фурье функции r х равны cn fr cn r n , n 0 , 1, 2, frac14 , а это согласно 1 значит, что r x можно представить в видесвертки r x , 3 где , t -p, p . 4 Функциядвух переменных Рr t , 0 r lt 1 , t -p, p , называется ядром Пуассона , а интеграл 3 интегралом Пуассона . Следовательно,

Pr t , 0 r lt 1 , t -p, p . 5 Если L1 -p, p - действительная функция , то , учитывая , что c-n f cn f , n 0, 1, 2, frac14 , из соотношения 2 мы получим fr x , 6 где F z c0 f 2 z reix 7 - аналитическая вединичном круге функция . Равенство 6 показывает, что для любойдействительной функции L1 -p, p интегралом Пуассона 3 определяется гармоническая вединичном круге функция u z r eix , z reix

, 0 r lt 1 , x -p, p .При этом гармонически сопряженная с u z функция v z c v 0 0 задаетсяформулой v z Im F z . 8 Утверждение1.Пусть u z - гармоническая или аналитическая в круге z lt 1 e e gt 0 функция и x u eix , x -p, p . Тогда u z z reix , z lt 1 10 .Так как ядроПуассона Pr t - действительная функция, то равенство 10 достаточнопроверить в случае, когда u z - аналитическаяфункция , z lt 1 e .Но тогда и равенство 10 сразу следует из 2 и 3 .

Прежде чем перейти к изучению поведения функции r x при r 1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона а б в для любого d gt 0 Соотношения а и в сразу следуют из формулы 5 , адля доказательства б достаточно положить в 2 и 3 х 1.Теорема 1.Для произвольной комплекснозначной функции -p, p , 1 p lt yen , имеет место равенство если же x непрерывна на -p, p и -p p , то .Доказательство.В силу 3 и свойства б ядра Пуассона 12

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностьюядра Пуассона , находим.Следовательно, .Для данного e gt 0 найдем d d e такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мыполучим оценку.Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства .Теорема 1 доказана.Дадим определения понятий максимальнаяфункция и оператор слабого типа , которые понадобятся

нам входе доказательства следующей теоремы.Определение1.Пусть функция суммируема на любом интервале -А, А , А gt 0 .Максимальной функцией для функции называется функция где супремумберется по всем интервалам I ,содержащим точку х.Определение 2.Оператор называется оператором слабого типа р,р ,если для любого y gt 0 .Теорема 2 Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда для п.в. .Доказательство.Покажем, что для и ,

13 где С -абсолютная константа , а M f, x -максимальная функция для f x 1 . Для этой цели используемлегко выводимую из 5 оценку К - абсолютная константа .Пусть - такое число, что.Тогда для .Неравенство 13 доказано. Используя затем слабый тип 1,1 оператора , найдем такуюпоследовательность функций ,что , 14 для п.в. .Согласно 13 при x -2p,2p

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x -p, p и 14 Из последней оценки получим при n yen .Теорема 2 доказана.Замечание.Используя вместо 13 более сильное неравенство 59 , которое мы докажем позже, можнопоказать, что для п.в. x -p, p , когда точка reit стремитсяк eix по некасательному к окружности пути. 1 Мы считаем , что f x продолжена с сохранением периодичности на отрезок -2p,2p т.е. f x f y , если

x,y -2p,2p и x-y 2p и f x 0 , если x gt 2p .