Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром алгебра и начала анализа Оглавление I. Введение II. Уравнения с параметрами. 1. Определения. 2. Алгоритм решения. 3. Примеры. III. Неравенства с параметрами. 1. Определения. 2. Алгоритм решения. 3. Примеры. IV. Список литературы. Введение Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей

часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения

этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. В мом реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ. 1. Основные определения Рассмотрим уравнение a, b, c xa, b, c x,

1 где a, b, c x -переменные величины. Любая система значений переменных а а0, b b0, c c0 k k0, x x0, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c x. Пусть А множество всех допустимых значений а, B множество всех допустимых значений b, и т.д Х множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB xX. Если у каждого из множеств A, B, C K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b,

c и подставить их в уравнение 1, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным. Переменные a, b, c которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита a, b, c, d l, m, n а неизвестные буквами x, y,z. Решить уравнение с параметрами значит указать, при каких значениях параметров существуют решения

и каковы они. Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если а они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров б каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. 2. Алгоритм решения. 1. Находим область определения уравнения. 2. Выражаем a как функцию от х. 3. В системе координат хОа строим график функции ах для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой ас, где с- с графиком функции ах.Если прямая ас пересекает график ах, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение ах относительно х. 4. Записываем ответ. 3. Примеры I. Решить уравнение 1 Решение. Поскольку х0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а или

График функции две склеенных гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой уа. Если а 11 , то прямая уа пересекает график уравнения 1 в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х. Таким образом, на этом промежутке уравнение 1 имеет решение . Если а , то прямая уа пересекает график уравнения 1 в двух точках.

Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . Если а , то прямая уа не пересекает график уравнения 1, следовательно решений нет. Ответ Если а 11 , то Если а , то , Если а , то решений нет. II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня. Решение. Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения

параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции . В системе координат хОу построим график функции . Для этого можно представить е в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде Поскольку график функции это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами 0 , а, заключаем, что три указанные точки

пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную Ответ . III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет решения. Решение. Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задат семейство полупарабол - правые ветви параболы скользят вершинами по оси абсцисс. Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим е на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые и Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства полупарабол имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых. Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В точка В соответствует вершине той полупараболы, которая касается прямой , то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина полупараболы совпадает с точкой

А, то . Случай касания полупараболы с прямой определим из условия существования единственного решения системы В этом случае уравнение имеет один корень, откуда находим Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение. Ответ а 3 . IV. Решить уравнение Решение. Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде Это уравнение равносильно системе Уравнение перепишем в виде .

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений. Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения . При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение имеет единственное решение

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения будут удовлетворять условиям Пусть , тогда . Система примет вид Е решением будет промежуток х 15. Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка 3 5. Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид Решив эту систему, найдем а -17. Но , поэтому при а 37 исходное уравнение имеет единственное решение

. Ответ если а -3, то решений нет если а3, то х 35 если a 37, то если a 7, то решений нет. V. Решить уравнение , где а - параметр. 5 Решение. 1. При любом а 2. Если , то если , то . 3. Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует . 4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение 5 имеет решение и при каких не имеет решения.

Ответ если , то если , то если , то решений нет если , то VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы 1 и 2 имеют одинаковое число решений Решение. С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему 3 равносильную системе 1. Система 2 равносильна системе 4 Первое уравнение системы 4 задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство

концентрических окружностей с центром в точке А11 и радиусом Поскольку , а , то , и, следовательно, система 4 имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система 4 имеет пять решений. Таким образом, если , то система 4 имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре. Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система 4 имеет четыре решения

в случае, когда , и больше четырех решений, если . Обратимся теперь к рассмотрению системы 3. Первое уравнение этой системы задат в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы 3 задает в плоскости хОу семейство прямых. При фиксированных положительных а и b система 3 может иметь два, три, или четыре решения.

Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции . Для решения этого рассмотрим уравнение , которое удобнее переписать в виде Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения если , т.е. если , то система 3 имеет два решения если , то система 3 имеет три

решения если , то система 3 имеет четыре решения. Таким образом, одинаковое число решений у систем 1 и 2 это четыре. И это имеет место, когда . Ответ II. Неравенства с параметрами. 1. Основные определения Неравенство a, b, c x a, b, c x, 1 где a, b, c параметры, а x действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а а0, b b0, c c0 k k0, при некоторой функции a, b, c x и a, b, c x имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров. называется допустимым значением х, если a, b, c x и a, b, c x принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров. Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства 1. Действительное число х0 называется частным решением неравенства 1, если неравенство a, b, c x0 a, b,

c x0 верно при любой системе допустимых значений параметров. Совокупность всех частных решений неравенства 1 называется общим решением этого неравенства. Решить неравенство 1 значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно. Два неравенства a, b, c x a, b, c x и 1 a, b, c x a, b, c x 2 называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

2. Алгоритм решения. 1. Находим область определения данного неравенства. 2. Сводим неравенство к уравнению. 3. Выражаем а как функцию от х. 4. В системе координат хОа строим графики функций а х для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства. 5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству. 6. Исследуем влияние параметра на результат. найдм абсциссы точек пересечения графиков. зададим прямую

асоnst и будем сдвигать е от - до 7. Записываем ответ. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy. 3. Примеры I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство Решение. В области определения параметра а, определнного системой неравенств данное неравенство равносильно

системе неравенств Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок . Ответ II. При каких значениях параметра а имеет решение система Решение. Найдем корни трехчлена левой части неравенства Прямые, заданные равенствами , разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен сохраняет постоянный знак. Уравнение 2 задает окружность радиуса 2 с центром в начале

координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы а значения и находятся из системы Решая эти системы, получаем, что Ответ III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а. Решение. 1. Находим область допустимых значений 2. Построим график функции в системе координат хОу. при неравенство решений не имеет. при для решение х

удовлетворяет соотношению , где Ответ Решения неравенства существуют при , где , причем при решения при решения . IV. Решить неравенство Решение. 1. Находим ОДЗ или линии разрыва асимптоты 2. Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК для чего перейдем к равенству Разложим числитель на множители. т. к. то Разделим обе части равенства на при . Но является решением левая часть уравнения равна правой части

и равна нулю при . 3. Строим в ПСК хОа графики функций и нумеруем образовавшиеся области оси роли не играют. Получилось девять областей. 4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство. Для наглядности составим таблицу. точканеравенство вывод 5. Найдем точки пересечения графиков 6. Зададим прямую асonst и будем сдвигать е от - до .

Ответ. при при при при решений нет при Литература 1. Далингер В. А. Геометрия помогает алгебре. Издательство Школа - Пресс. Москва 1996 г. 2. Далингер В. А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г. 3. Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами.

Издательство Школа - Пресс. Москва 1986 г. 4. Письменский Д. Т. Математика для старшеклассников. Издательство Айрис. Москва 1996 г. 5. Ястрибинецкий Г. А. Уравнений и неравенства, содержащие параметры. Издательство Просвещение. Москва 1972 г. 6. Г. Корн и Т.Корн Справочник по математике. Издательство Наука физико математическая литература.

Москва 1977 г. 7. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами . Издательство Асар. Минск 1996 г.