Евклид и его "Начала"

Реферат Натему Евклид и его начала Выполнил ГордиенкоПавел. СШ 31 2002. План. 1. Евклид и егоначало. 2. Евклида алгоритм. 1. Евклид и его Начала В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из Начал Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги.Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческихгеометров

Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. Классическуюгеометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в неевклидовой геометрий .Обэтом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло донас? Каталог греческих геометров ПроклаДиадоха

Византийского, жившего в V в н.э первый серь зный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует,что Евклид был современником царя Птолемея I,который царствовал с 306-283г.до н.э.Евклиддолжен быть старше Архимеда, который ссылался на Начало . До наших врем ндошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I, начинавший превращаться в один из центров научнойжизни.

Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, ипреподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должныпредшествовать занятиям философией арифметику, геометрию, теорию гармонии,астрономию. Кроме Начал до нас дошли книги Евклида, посвящ нные гармонии иастрономии.Чтокасается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными егонаучными исследованиями,

сколько педагогическими заслугами. Евклидуприписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не можетбыть сравнимо с достижениями великих греческих геометров Фалеса и Пифагора VI век до н. э Евдокса и Теэтета IV век до н.э Величайшая заслуга Евклида в том, чтоон подв л итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму,что на 2000 лет Начала стали энциклопедией геометрии.

Евклидс величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудностине возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в Начало ещ две книги-XIV- и XV-ю,написанные другими авторами.Перваякнига Евклида начинается с 23 определений , среди них такие точка есть то, чтоне имеет частей линяя есть длина без ширины линия ограничена точками прямаяесть линия, одинакова расположенная относительно всех своих

точек наконец, двепрямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, скольугодно продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления обосновных объектах и слово определение в современном понимании не точнопереда т смысл греческого слова хорой , которым пользовался Евклид. В книге I рассматриваются основные свойства треугольников,прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляетсятеорема о сумме углов треугольника.

Затем следует пять геометрическихпостулатов через две точки можно провести одну прямую каждая прямая можетбыть сколь угодно продолжена данным радиусом из данной точки можно провестиокружность все прямые углы равны если две прямые проведены к третьей подуглами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той жестороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современныекурсы основной геометрии.

За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы 8общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчиваетсятеоремой Пифагора. Вкниге II излагается геометрическаяалгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся кквадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательныхи хорд, в книге

IV-правильные многоугольники,появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложеныначала теорий чисел, а основанной на алгоритме нахождения наибольшего общегоделителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входит теория делимости и теорема обесконечности множества простых чисел.Последниекниги посвящены стереометрии. В книге XIизлагаются начала стереометрии, в XII спомощью метода исчерпания определяются отношения площадей двух

кругов иотношение объ мов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии уЕвклида теория правильных многогранников. В Начало не попало одно извеличайших достижений греческих геометров теория конических сечений. Оних Евклид написал отдельную книгу Начала конических сечений , не дошедшую донас, но е цитировал в своих сочинениях Архимед. Начало Евклида не дошли донас в подлиннике.

Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старыеизвестные списки, семь столетий сколь- нибудь подробные сведения о Началах .В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги Начал пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. Ак тому времени тексты обросли улучшениями позднейших комментаторов. В период возрожденияевропейской математике XVIв. Начала изучали и воссоздавали заново.

Логическое построение Начала , аксиоматикаЕвклида воспринимались математиками как безупречное вплоть до XIX в когда начался период критического отношения кдостигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии аксиоматикой Д. Гильберта. Изложениегеометрии в Началах считалось образцом, которому стремились следовать уч ныеи за пределами математики. 2. ЕвклидаАлгоритм. Алгоритм Евклида это способнахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел,

а также наибольшейобщей меры двух соизмеримых отрезков.Чтобынайти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначалабольшее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток отпервого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненул войположительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данныхчисел.Обозначивисходные числа через а и б, положительные остатки, получающиеся врезультате делений, через

r1 ,r2 , rn , а неполные частные через q1 , q2, можно записатьалгоритм Евклида в виде цепочки равенств a bq1 r1 ,b r1q2 r2 . . . .rn-2 rn-1qn rnrn-1 rnqn 1. Привед мпример. Пусть а 777, b 629. Тогда777 629 1 148, 629 148 4 37, 148 37 4.Последнийненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.Длянахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операциюделения с остатком заменяют его геометрическим аналогом меньше отрезокоткладывают

на большим столько раз, сколько возможно оставшуюся часть большегоотрезка принимаемую за остаток отделения откладывают на меньшем отрезке ит.д.если отрезки a и b соизмеримы, то последний не нулевой остаток дастнаибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемаяпоследовательность не нулевых остатков будет бесконечной.Рассмотримпример. Возьм м в качестве исходных отрезков сторону AB и AC равнобедренноготреугольника ABC, у которого

A C 72 , B 36 . В качестве первого остатка мы получим отрезок AD CD-биссектрисаугла C , и, как легко видеть, последовательность и нулевыхостатков будет бесконечной. Значит, отрезки AB и AC не соизмеримы.АлгоритмЕвклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в Началах Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшегообщего кратного и т.д.

Как способ нахождения наибольшей общей меры двухотрезков алгоритм Евклида иногда называемый методом попеременного вычитания был известен ещ пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распростран н на многочлены,от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и длянекоторых других алгебраических объектах.АлгоритмЕвклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможностьпредставить наибольший

делитель d чисел a иb в виде d ax by x y- целые числа ,а это позволяет находить решение Диофантовых уравнений 1-й степени с двумянеизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представлениярационального числа в виде цепной дроби. Он часто используется в программах дляэлектронных вычислительных машин. Использованная литература. Энциклопедическийсловарь юного математика.