МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИЧувашский государственныйуниверситет им. И. Н. Ульянова КУРСОВАЯ РАБОТАпо вычислительной математике.Вычисление двойных интегралов методом ячеек.Выполнил студентфакультета ИиВТ,группа ИВТ-11-00Борзов ЛеонидЧебоксары-2002 Содержание. Теоретическая часть 3Задание 4Текст программы. 5Блок-схема программы .
6 Выполнение программы в математическом пакете 7Список использованнойлитературы 8 Численные методы могутиспользоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрениемдвойных интегралов вида1 Одним из простейшихспособов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотримсначала случай, когда областью интегрирования
G является прямоугольник , .По теореме о среднем найд м среднее значение функции f x,y S b-a d-c . 2 Будем считать, что среднее значениеприближ нно равно значению функции в центре прямоугольника, т. е Тогда из 2 получим выражение для приближ нного вычислениядвойного интеграла 3 Точность этой формулы можно повысить,если разбить область G на прямоугольные ячейки Dij рис. 1 xi-1 i i 1,2, ,
M , yi-1 i j 1,2, ,N . Применяя к каждой ячейке формулу 3 , получим DGijf x,y dxdy DxiDyi.Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значениедвойного интеграла I,j 4 В правой части стоит интегральнаясумма поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек или стягиванияих в точки эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывнойфункции f x,y .Можно показать, что погрешностьтакого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношениемRij
DxiDyj.Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все ихплощади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в видеO Dx2 Dy2 .Таким образом, формула 4 имеетвторой порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычныеметоды сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают водинаковое число раз, т. е. отношение M N оста тся постоянным.Если область G непрямоугольная, то в ряде случаеве целесообразно привести к
прямоугольному виду пут м соответствующей заменыпеременных. Например, пусть область задана в виде криволинейногочетыр хугольника Данную область можно привести к прямоугольному виду спомощью замены Кроме того, формула 4 может быть обобщена и на случайболее сложных областей. Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где область,ограниченная функциями .
Текстпрограммы. include lt conio.h gt include lt iostream.h gt floatf float,float void main const float h1 .0005,h2 .001 float s1,x,y,i,I clrscr s1 h1 h2 I 0 y h2 2 x 1-h1 2 for i 0 i lt 1 h2 i while y lt 2 x-1 I s1 f x,y x- h1 y h2 x 1-h1 2 cout lt lt Площадь интеграла равна lt lt I getch float f floatx,float y return x x y y Блок-схемапрограммы. x 1-h2 Выполнениепрограммы в математическом пакете.h1 .0005 h2 .001 s1 h1 h2
I 0 y h2 2 x 1-h1 2 for i 1 1 h2 while y lt 2 x-1 I I s1 x x y y x x-h1 endy y h2 x 1-h1 2 enddisp Площадь интеграла равна disp I В зависимостиот шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интегралаПлощадь интеграла равна 90 Список использованной литературы.1. Бахвалов Н.С. Численныеметоды. т.1 М. Наука. 2. Демидович
Б.П Марон И.А.Основы вычислительной математики. М. Наука, 3. Н Численные методы. М. Наука, 4. Турчак Л. И. Основычисленных методов. М. Наука, 1987.