Геометрия Гильбертового Пространства

Министерство общего образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра высшей математики Научный доклад по математическому анализу Геометрия гильбертова пространства Выполнили ст. группы 232 Прокофьева Анна Луковникова Анастасия Проверил Яковлев

Михаил Константинович РЯЗАНЬ, 2004 Содержание. Предварительные определения, понятие скалярного произведения, нормы, метрики, плотности, полноты . 3 Определение гильбертова пространства, теорема о линейном пр-ве в гильбертовом . 8 Ортогональные разложения в гильбертовых пр-вахопределение, свойства ортогональности, коэффициенты Фурье, основная теорема о разложении, критерий полноты системы 4 Изоморфизм . 5 Сепарабельность 6 Линейные операторы.

Определение, примеры, действия с операторами, норма линейного оператора, собственные вектора, симметричные и вполне непрерывные операторы .7. Список литературы .1. Рассмотрим пространства, являющиеся обобщением n-мерных векторных арифметических евклидовых пространств. Для определения Гильбертового пространства важно рассмотреть следующие понятия. Определение. Пусть X линейное пространство. Числовая функция, обычно обозначаемая х,у, х

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, заданная на множестве упорядоченных пар точек векторов пространства X, называется скалярным произведением, если для любых точек х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, z HYPER13 EMBED

Equation.3 HYPER14HYPER15 X и любых чисел HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 R , и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 R выполняются следующие условия 1 коммутативность х,у у,х 2 линейность х у,z х,z у,z 3х,хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0 4 если х,х 0, то x 0. Функция х,у, удовлетворяющая условиям 1-3, называется почти скалярным произведением.

Очевидно, что скалярное произведение является и почти скалярным. Лемма. Если х,у почти скалярное произведение в линейном пространстве X, то для любых х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X и у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15X выполняется неравенство х,уHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3

HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 1 Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Следствие. Для любых точек х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15X и у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X имеет место неравенство называемое неравенством треугольника

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER2 Скалярное произведение позволяет ввести понятие длины нормы вектора. Следствие. Если х,у почти скалярное в частности, скалярное произведение в линейном пространстве X, то функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 является полунормой соответственно нормой в этом пространства и неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде х,уHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Вспомним, что норма это некоторая функция, отображающая линейное пространство в пространство 0HYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 такая, что 1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15R 3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Свойства полунормы соответственно нормы для функции

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 проверяются непосредственно. Например, Докажем лемму. В силу свойства 3 почти скалярного произведения для любого действительного числа t имеем txy, txyHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150 Применив свойства 1 и 2 почти скалярного произведения, получим

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15t2х,х 2tх,у у,уHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150.1 Если х, х 0, то 2tх, у у, у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER0. Поскольку это неравенство выполняется для любого действительного t, то х,у 0 в самом деле, если бы было х,у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0, то на числа t налагалось бы ограничение tHYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . Следовательно, неравенство 1 имеет место обе его части обращаются в нуль. Если же х, х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0, то дискриминант получившегося квадратного относительно t трхчлена неположителен, т. е. х,у2-х,ху,уHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150. Это неравенство равносильно неравенству х,у

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 оно также называется неравенством Коши-Буняковского, из которого очевидным образом вытекает неравенство 1. Докажем теперь неравенство 2 xy, xy x, x x, y y, x y, y

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x, x2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 y, y HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER152 это следует из неравенства 1. Если х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0, у

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0, то по аналогии с конечномерным случаем косинус угла HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ху между векторами х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X и у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X линейного пространства X со скалярным произведением определяется равенством

Cos x,y HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 а сам угол определяется этим значением косинуса. Это равенство следует из неравенства Коши Буняковского. Действительно, рассмотрим когда cos 1. Это возможно, только если дискриминант в доказательстве леммы

равен 0 x, y HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 один вещественный корень t0, а само уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15t2х,х 2tх,у у,у t0x-y,t0x-y0.Откуда, в силу аксиомы 4 находим, что t0x-y0 или yt0x. Наш результат может быть сформулирован в геометрических терминах если скалярное

произведение двух векторов по абсолютной величине равно произведению их длин, то эти вектора коллинеарны. В общем случае, x,y HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15cos Если eHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 1, то вектор х х,ее называется проекцией вектора х на прямую у tе , -

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 t HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а число х,е HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15cos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15xe величиной этой проекции. Пример1. Множество действительных чисел R является пространством со скалярным произведением, если под скалярным

произведением х,у чисел х и у понимать их обычное произведение х,уxy Пример 2. В арифметическом действительном линейном n -мерном пространстве RHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция x,y HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, xxHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, , xHYPER13 EMBED Equation.3

HYPER14HYPER15, yyHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, , yHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 R, yHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 R, i 1,2, , n , является скалярным произведением.

Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством. Имеет место следующее замечание Замечание. Для содержательности понятий скалярного и почти скалярного произведений, в комплексных пространствах необходимо изменить определяющие их аксиомы, так как единственная функция в комплексном линейном пространстве, удовлетворяющая аксиомам 1-3 почти скалярного произведения, тождественно равна нулю. Действительно, если для любого элемента х пространства и любого комплексного

числа HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 справедливо равенство HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15х, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 х, х, в частности, при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15i равенство iх, iх x,x, то поскольку iх, iх

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150 и х, х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0, то х, х 0. Отсюда в силу неравенства Коши - Буняковского 1 для любых элементов х и у пространства имеем х, у 0. Для комплексных линейных пространств определения скалярного и почти скалярного произведений отличаются только первым условием определения HYPER13 EMBED Equation.3

HYPER14HYPER15 этих произведений в действительных линейных пространствах вместо выполнения условий коммутативности х, у у,х требуется, чтобы для всех элементов х и у рассматриваемого линейного пространства выполнялось равенство х,у HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 где черта над числом обозначает, как всегда, число, сопряженное стоящему под чертой комплексному числу. Из этого свойства следует, что для любого комплексного числа

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеет место равенство x,HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15yHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x,у. В самом деле, x, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 y HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x,y В n-мерном комплексном арифметическом пространстве скалярное произведение задается формулой х,уxHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15xHYPER13 EMBED Equation.3

Из этой формулы следует, что скалярное произведение на n-мерном действительном арифметическом пространстве является сужением на это пространство скалярного произведения комплексного пространства Сn. Имеет место также неравенство Коши Буняковского HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x,x y,y Рассмотрим другой пример

LHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Пусть нам даны fx , qx. Тогда, f,qHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - так определяется скалярное произведение. Докажем, что данный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3

HYPER14HYPER15 и удовлетворяет всем условиям f HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 qHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 fHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER152fqqHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150 2 x,yHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x,z z,y 3 x,y y,x Таким образом, всякое линейное пространство со скалярным произведением является метрическим пространством с метрикой x,yx-yHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Введм следующие определения Определение Последовательность HYPER13 EMBED Equation.3

HYPER14HYPER15 называется фундаментальной, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15lim HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Определение Пространство называется полным, если в нм всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Теперь, наконец, мы можем ввести определение Гильбертового пространства. 2 Определение Полное линейное пространство со скалярным произведением называется

гильбертовым пространством. Всякое конечномерное линейное пространство полно , а поэтому является гильбертовым. В этом случае, оно называется обычно евклидовым. Проверим, что n- мерное пространство RHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с расстоянием HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 является полным. Пусть xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 1 , n фундаментальная последовательность.

Поскольку j j 2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 j j 2 2x -x то числовая последовательность j 1,2 при каждом фиксированном j1,2, ,n является фундаментальной числовой последовательностью и как таковая имеет некоторый предел HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.Числа 1, 2 , n определяют вектор xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.Поскольку x-x 2HYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 i- j 2 2x ,x вектор x есть предел взятой фундаментальной последовательности. Итак, каждая фундаментальная последовательность пространства RHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеет в этом пространстве предел, что нам и требуется. Теорема. Всякое линейное пространство со скалярным произведением содержится и плотно в некотором гильбертовом

пространстве. Это гильбертово пространство называется пополнением исходного пространства со скалярным произведением. Для доказательства данной теоремы введм несколько понятий. Определение Подмножество E метрического пространства X называется плотным в пространстве X, если его замыкание HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 совпадает со всем пространством

X HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15X. Определение Замыкание это объединение множества с совокупностью всех его предельных точек. Если X линейное пространство со скалярным произведением, то обозначим через X его пополнение как метрического пространства . Определение Полное метрическое пространство X называется пополнением метрического пространства

X, если X плотно в нм HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15X. Линейную операцию определим в пространстве X по формуле x ylimnHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 xn yn Скалярное произведение элементов пространства X также определим с помощью предельного перехода следующим образом. Пусть х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, у

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15X поскольку HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, то существуют такие фундаментальные последовательности хп HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 X, уп HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15X, п 1,2 что limnHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 xnx и limnHYPER13 EMBED

Equation.3 HYPER14HYPER15 yny.Положим x,y limnHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 xn,yn Легко проверить, что при заданных элементах х и у определение имеет смысл. Это следует из того, что числовая последовательность хп,Уп является фундаментальной и, следовательно, сходящейся, что вытекает из неравенства xn,yn-xm,ymHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15xn-xm,ynxm,yn-ymHYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 xn-xm ynxm yn-ym Предел не зависит от выбора последовательностей xnHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x, ynHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15y, n1,2, Это ясно в силу неравенства xn,yn-x n,y n HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 xn-x n ynxn yn-y n Наконец то, что функционал x,y на пространстве X удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, получается

предельным переходом из свойств скалярного произведения х,у в пространстве X. 3 Для определения всех последующих выкладок, касающихся Гильбертового пространства необходимо рассмотреть понятие ортогональных векторов. Определение Векторы x и y называются ортогональными, если x,y0. Если xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150 и yHYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150, то это определение в соответствии с общим определением угла между двумя векторами означает, что x и y образуют угол в 90 градусов. Нулевой вектор оказывается ортогональным любому вектору. В пространстве L2a,b условие ортогональности векторов x и x имеет вид HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x xdx0 Легко можно проверить, вычислив соответствующие интегралы,

что в пространстве L2 любые два вектора тригонометрической системы 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cos nx, sin nx, взаимно ортогональны. Очевидно, что в бесконечномерном пространстве заведомо имеются бесконечные ортонормальные системы. Будем называть ортонормальную систему е1 , е2 еn , полной в пространстве H, если в пространстве Н не существует ни одного ненулевого вектора, ортогонального всем векторам данной системы. Иначе говоря, система е1 , е2 еn , полна, если из условий xHYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15H, en,x0 n1,2,3 вытекает, что x0 Покажем, что полная ортонормальная система в гильбертовом пространстве является базисом в том смысле, что для каждого вектора fHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Н существует разложение в сходящийся по норме ряд fHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15cjej 1 причм f 2 HYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15cj2 2 Для доказательства найдм сначала выражения коэффициентов разложения 1, предполагая, что они существуют. Для этого умножим скалярно обе части равенства 1 на вектор еk . Так как скалярное произведение непрерывно, то f, еk HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15cjej ,ek limnHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3

HYPER14HYPER15 cjej , еk limnHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 cjej , еk limnHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 сk сk Мы получаем формулу сkf, ek. 3 Коэффициенты сk , определнные по формулам 3, называются коэффициентами Фурье вектора f по системе ek . Отметим, что эти числа можно составить прямо по вектору f и системе

ek , не зная ещ, имеет ли место разложение 1. Они имеют простой геометрический смысл поскольку f, ek f ek cos f ek f cos f ek , коэффициенты сk есть проекция вектора f на направление вектора ek . Одно из важнейших свойств коэффициентов Фурье, это то, что квадраты коэффициентов Фурье любого вектора f по любой ортонормированной системе е1 , е2 еn, образуют сходящийся ряд. Покажем это Пусть f заданный вектор и е1 , е2 еn - фиксированная конечная ортонормальная системанеполная,

вообще говоря. Составим вектор gHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 f,ek , еk Этот вектор принадлежит к подпространству Hn , порожднному векторами е1 , е2 еn , .Определим далее вектор h условием fhh Мы утверждаем, что вектор h ортогонален каждому из векторов е1 , е2 еn и, следовательно, всему подпространству Нn Действительно, мы имеем h,ej f,ej- g,ej f,ej- HYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15f,ek,ek,ej f,ej- f,ej 0 j1,2, n. На языке геометрии h есть перпендикуляр, опущенный из конца вектора f на подпространство Hn а вектор g есть проекция f на это подпространство. Применим теорему Пифагора а здесь имеет место теорема Пифагора в общем Гильбертовом пространстве Пусть векторы x и y ортогональны, тогда вектор xy можно назвать

гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на векторах x и y, мы получаем xy2xy, xyx,x 2x,yy,y x, x y, y x2y2 Итак, применив теорему Пифагора, получим f2g2 h2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15f,ek2 h2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15f,ek2 Полученное неравенство HYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15f,ek2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 f2 4 имеющее место для любого вектора f и любой ортонормальной системы е1 , е2 еn, называется неравенством Бесселя. Если нам дана бесконечномерная ортонормальная система е1 , е2 еn то, поскольку неравенство Бесселя справедливо при любом n, мы после перехода к пределу получаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15f,ek2HYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 f2 5 Иными словами, квадраты коэффициентов Фурье любого вектора f по любой ортонормированной системе е1 , е2 еn, образуют сходящийся ряд. Неравенство 5 также называется неравенством Бесселя. Теперь можно перейти к формулировке и доказательству основной теоремы Теорема Пусть в гильбертовом пространстве Н выбрана полная ортонормальная система е1 , е2 еn,

Тогда для любого вектора имеет место разложение fHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 f,ej , еj 6 причм f2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 f,ej2 7 Последнее равенство, представляющее собой бесконечномерное обобщение теоремы Пифагора, называется обычно равенством Парсеваля Доказательство Положим для сокращения f,enan Пусть sp есть сумма p слагаемых ряда 6 и qp

Тогда sq- sp2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15a,ej2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15a2j При pHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 эта величина стремится к нулю вследствие сходимости ряда из чисел a2j . Поэтому суммы sp образуют фундаментальную последовательность. Вследствии полноты гильбертового пространства суммы sp при pHYPER13

EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеют некоторый предел sHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15H. Покажем, что sf .Для этого заметим, что при фиксированном k и pk s,ek limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sp, еk limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3

HYPER14HYPER15ajej , еk limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ak akf,ek поэтому для любого k f-s, ekf, ek -s, ek0 Так как система ek предположена полной, то из равенства следует fs. Таким образом, f limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sp HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ajej. Далее, в силу непрерывности скалярного произведения, f 2f,

f limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sp, limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sp limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sp, sp limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ak2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ak2 что и требовалось доказать.

Замечание1 Если g- любой другой вектор пространства, то, вычисляя подобным же образом скалярное произведение f,g получим формулу f,g HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15f, ekg, ek. 7 Действительно, пусть sp HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ajej где ajf,ej, sp HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15bjej где bjg,ej, f,g limpHYPER13 EMBED

Equation.3 HYPER14HYPER15 s p, limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 s p limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 s p, s p limpHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15akbk HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15akbkHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15f, ekg, ek. Замечание2

Если а1, ,аn, -любая последовательность чисел со сходящимся рядом квадратов, то ряд HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ajej как видно из доказательства, сходится в пространстве H. Если обозначить его сумму через f, то, как и выше, будут иметь место равенства аnf,en n1,2 . Итак, любая числовая последовательность со сходящимся рядом из квадратов есть последовательность коэффициентов Фурье некоторого вектора пространства Критерий полноты системы

Для применения доказанной только что основной теоремы, нужно располагать полной ортонормальной системой e1,e2, ,en, Если непосредственно не видно, является ли данная ортонормальная система e1,e2, ,en, полной в пространстве Н, можно воспользоваться следующим критерием полноты Теорема Данная ортонормальная система e1,e2, ,en, полна в Гильбертовом пространстве Н тогда и только тогда, когда линейные комбинации векторов этой системы образуют

множество, плотное в Н. Доказательство Обратная Если система e1,e2, ,en, полна, то в силу ранее доказанной основной теоремы каждый вектор fHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Н есть предел линейных комбинаций векторов системы en, так что совокупность линейных комбинаций этой системы образуют множество, плотное в пространстве Н. Прямая Пусть известно, что линейные комбинации векторов системы en образуют плотное множество в пространстве

Н, и пусть для некоторого вектора g выполнены равенства g,ek0 k1,2, Ортогональное дополнение к вектору g содержит все векторы ek , все линейные комбинации этих векторов и замыкание множества линейных комбинаций, то есть , фактически, вс пространство Н. В частности, g,g0.Отсюда следует, чтоg0.Таким образом, система en в данном случае полна, что и требовалось доказать. 4 Рассмотрим вопрос о изоморфности гильбертовых пространств.

Гильбертово пространство мы будем считать счтномерным, если в нм имеется счтная полная ортонормальная система. Покажем, что любые 2 счтномерных гильбертовых пространства изоморфны. Согласно основной теореме, каждый вектор f гильбертового счтномерного пространства Н с полной ортонормальной системой e1,e2, ,en, допускает разложение fHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ckek где сk f,ek и ряд из квадратов чисел сk сходится.

С другой стороны, как было замечено, если с1,с2, ,сk произвольная последовательность чисел со сходящимся рядом из квадратов, то существует вектор fHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15H, коэффициенты разложения которого по системе ekсуть числасk. Пользуясь этим, мы можем установить взаимно однозначное соответствие между произвольным счтномерным гильбертовым пространством Н и пространством l2 Элементом этого пространства является любая последовательность

чисел x 1 , n со сходящейся суммой квадратов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 n,2n, то из последовательности Afn нельзя было бы выбрать сходящейся последовательности в противоречие с предположением. Теперь можно сформулировать фундаментальную теорему о симметричных вполне непрерывных операторах. Теорема Д. Гильберт. В полном гильбертовом сепарабельном пространстве всякий симметричный вполне непрерывный

оператор обладает полной ортогональной системой собственных векторов. Список литературы 1.Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс, Москва, 1961 год 2.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа, том2- Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных. Гармонический анализ Москва, 2002 HYPER13PAGE

HYPER15 HYPER13PAGE HYPER149HYPER15 Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation

Native