Вычисление интеграла фукции f (x)

С О Д Е Р Ж А Н И Е Введение 1. Постановка задачи 2. Математическая часть 3. Описание метода решения задачи 4. Описание алгоритма решения задачи 5. Текст программы 6. Результаты работы программы 15 Заключение 16 Список использованных источников 17 Введение История появления и развития персональных компьютеров является одним из наиболее впечатляющих

явлений нашего века. С момента появления первых образцов персональных компьютеров прошло меньше 25 лет, но сейчас без них уже немыслимо огромное количество областей человеческой деятельности - экономика, управление, наука, инженерное дело, издательское дело, образование, культура и т.д. Интерес к персональным компьютерам постоянно растет, а круг их пользователей непрерывно расширяется. В число пользователей ПЭВМ вовлекаются как новички в компьютерном деле, так и специалисты по другим

классам ЭВМ. Язык Паскаль - это один из наиболее распространнных языков программирования 80-90х годов , поддерживающий самые современные методологии проектирования программ нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование имеют свою достаточно богатую историю развития. Новую жизнь языку дала фирма Борланд, разработавшая на его базе семейство Паскаль систем, называемых Турбо Паскалем. Интегрированная среда, обеспечивающая многооконную разработку

программной системы, обширный набор встроенный в не средств компиляции и отладки , доступный для работы через легко осваиваемое меню вс это обеспечивает высокую производительность труда программиста, недостижимую при работе со старыми средами. Язык Турбо Паскаль хорошо подходит для обучения программированию. 1. Паскаль, которая должна осуществлять решение следующей задачи

Вычислить приближнное значение интеграла функции fx на интервале с точностью до 0.01 методами Симпсона и трапеции с целью сравнения. Интегрируемая функция . Определить метод, который решает поставленную задачу за минимальное число повторений. Построить график функции fx на заданном интервале. Решить поставленную задачу с использованием функций и процедур алгоритмического языка

Турбо Паскаль. 2. Математическая часть Для приближнного вычисления интеграла функции fx используются методы приближнного интегрирования, наиболее употребительные из них основаны на замене интеграла конечной суммой. Для вычисления промежуток от ax0 до bxn разбивается на n равных частей, и для точек деления x0 , x1 , x2 , x3 xn-1 , xn вычисляются значения интегрируемой функции y. Затем необходимо воспользоваться формулой приближнного интегрирования 1

Формула трапеций рис.1 .1 Рис.2 Формула Cимпсона парабол рис.2 2 Рис.2. В моей курсовой работе рассматривается приближенное вычисление интеграла 1 При его аппроксимации заменим функцию fx параболой, проходящей через точки т.е представим приближенно fx в виде где - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени 2 Проводя интегрирование получим Таким образом приходим к приближенному равенству 3

Котрое называется формулой Симпсона или формулой парабол. На всем отрезке a,b формула Симпсона имеет вид Чтобы не использовать дробных индексов можно обозначить xia0,5hi, fifxi, i1,2 2N, hNb-a и записать формулу Симпсона в виде 4 Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы 3 заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство если fxa0a1xa2x2a3x3.

Это утверждение нетрудно проверить непосредственно. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмита. Построим многочлен третьей степени H3x такой, что . Такой многочлен существует и единствен. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена H3x. Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим 5

Представим теперь fx в виде fxH3xrix, xxi-1,xi, 6 где rix погрешность интерполирования многочленом Эрмита H3x. Интегрируя 6 и учитывая 5, получим 7 Далее имеем поэтому из 7 для погрешности формулы 3 получаем оценку где Вычисляя интеграл приходим к окончательной оценке 8 Погрешность составной формулы Симпсона оценивается так 9 Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций.

На частичном отрезке она имеет точность Оh5, а на всем отрезке Oh3. Описание метода решения задачи Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия 1 Ввести значения границ отрезков 2 Вывести график функции на экран с учтом масштаба 3 Вычислить интеграл методом трапеций 4 Вычислить интеграл методом Симпсона Для успешной реализации этих действий программа должна состоять из следующих функциональных

модулей 1 Функция f - вычисляет значение интегрируемой функции 2 Функция trap - вычисляет интеграл методом трапеций 3 Функция simpson - вычисляет интеграл методом Симпсона 4 Процедура norm - вычисляет порядок числа, необходимый для построения графика функции с учтом масштаба 5 Процедура outgr - строит график функции на экране а графическом режиме с учтом масштаба.

Основная главная программа должна осуществлять ввод значения границ отрезков, вызов функций и процедур вычисления и вывод результатов на экран. 4. Описание алгоритма решения задачи В соответствии с приведнным словесным описанием алгоритма решения поставленной задачи разработана блок схема решаемой задачи, которая изображена на рис. 3. В изображенном алгоритме блоки имеют описанное ниже назначение

Блок 1. Начало программы Блок 2. Очистка экрана Блок 3. Запрос на ввод значений А и В Блок 4. Ввод значений А и В с клавиатуры Блок 5. Вызов процедуры вывода графика функции на экран Блок 6. Установка начального значения счтчика отрезков равным 3 Блок 7. Вычисление значения начального значения интеграла методом трапеций

Блок 8. Запоминание предыдущего значения интеграла, вычисленного методом трапеций, увеличение значения числа отрезков на 2, вычисление следующего значения интеграла методом трапеций Блок 9. Проверка условия абсолютное значение разности текущего и предыдущего значений интегрирования меньше чем 0.001, если да, то выход из цикла, если нет, то переход на блок 8. Блок 10. Вывод результатов, полученных при вычислении интеграла методом трапеций на экран.

Блок 11. Установка начального значения счтчика отрезков равным 3 Блок 12. Вычисление значения начального значения интеграла методом Симпсона Блок 13. Запоминание предыдущего значения интеграла, вычисленного методом Симпсона, увеличение значения числа отрезков на 2, вычисление следующего значения интеграла методом Симпсона Блок 14. Проверка условия абсолютное значение разности текущего и предыдущего значений интегрирования

меньше чем 0.001, если да, то выход из цикла, если нет, то переход на блок 13. Блок 15. Вывод результатов, полученных при вычислении интеграла методом Симпсона на экран. Блок 16. Конец программы. 5. Текст программы program trs uses crt,graph var a,breal Границы отрезка r,r2real Предыдущее и текущее приближенные значения интеграла ninteger Счетчик Интегрируемая функция function fxrealreal begin f1xlnx0.43429 end

Метод трапеций function trapa,brealnintegerreal var sreal Полученная сумма hreal Шаг minteger Счетчик begin hb-an-1 Определяется шаг sfafb2 Начальное значение суммы for m1 to n-2 do ssfamh Суммиование остальных элементов trapsh Возвращается значение интеграла end Метод Симпсона function simpsona,brealnintegerreal var sreal

Сумма hreal Шаг minteger Счетчик mninteger Очередной множитель begin hb-an-1 Рассчитывается шаг sfafb Начальное значение шага mn4 Первый мнодитель - 4 Суммирование остальных элементов for m1 to n-2 do begin ssmnfahm if mn4 then mn2 else mn4 Именение мноителя 2 4 end simpsonsh3 Возвращается вычисленное значение end Процедура вычисления порядка числа procedure normareal var nreal begin

Если число слишком мало - возвращается ноль if a 0.00001 then n0 else begin Если число меньше единицы if a 1 then begin n1 repeat aa10 nn10 until trunca 0 end else begin Если число больше единицы n1 repeat aa10 nn10 until trunca0 end end an end Построение графика функции procedure outgrpxmin,xmax,ymin,ymaxreal var drv,modeinteger mx,myreal Масштабы по осям xx,yyreal Текущие координаты sxreal

Шаг по оси X dltx,dltyinteger Приращение на графике при смещении графика sstring Строка begin Инициализация графики drvVGA modeVGAHi initgraphdrv,mode, Выяснение порядков минимумов и максимумов normxmax normymax normyminyminymin10 normxminyminymin10 if xminxmax 0.01 then dltx20 else dltx0 if yminymax 0.01 then dlty20 else dlty0 Расчет масштабов mx500xmax-xmin my400ymax-ymin Расчет приращения по

X sxxmax-xmin550 Вывод системы координат settextjustify1,1 xxxmin repeat setcolor1 linetrunc40mxxx-xmindltx,20,trunc40mxxx- xmindltx,469 strxx42,s setcolor15 outtextxytrunc40mxxx-xmindltx,475,s xxxx50sx until xx xmax50sx yyyminymax-ymin10 repeat setcolor1 line41,trunc470-myyy-ymin-dlty,630,trunc 470-myyy-ymin-dlty stryy42,s setcolor15 outtextxy20,trunc470-myyy-ymin-dlty,s ymax-ymin10 until yy ymaxymax-ymin10 line40,0,40,480 line0,470,640,470 line40,0,38,10 line40,0,42,10 line640,470,630,472 line640,470,630,468

Вывод графика xxxmin repeat yyfxx putpixeltrunc40mxxx-xmindltx,trunc470-my yy-ymin-dlty,7 xxxxsx until xx xmax outtextxy300,10, Press ESC to continue repeat until readkey27 closegraph end Основная программа begin Ввод границ отрезков clrscr write Введите A,B readlna,b Выводится график функции outgrpa,b,fb,fa Вычисляется интеграл по методу трапеций n3 rtrapa,b,n

Начальное значение repeat r2r Запоминается предыдущее значение nn2 Увеличивается количество шагов rtrapa,b,n Рассчитывается новое значение until absr-r2 0.001 Повторяется до достижения необходимой точности Вывод результатов writeln Резльтат по методу трапеций равен ,r63 writeln для получения необходимой точности интервал был разбит на writelnn, отрезков Вычисляется интеграл по методу

Симпсона n3 rsimpsona,b,n Начальное значение repeat r2r Запоминается предыдущее значение nn2 Увеличивается количество шагов rsimpsona,b,n Рассчитывается новое значение until absr-r2 0.001 Повторяется до достижения необходимой точности Вывод результатов writeln writeln Резльтат по методу Симпсона равен ,r63 writeln для получения необходимой точности интервал был разбит на writelnn, отрезков

end. 6. Результаты работы программы Введите A,B 2 3 Результат по методу трапеций равен 1.062 для получения необходимой точности интервал был разбит на 11 отрезков Результат по методу Симпсона равен 1.061 для получения необходимой точности интервал был разбит на 7 отрезков. Анализ полученных в ходе работы программы результатов говорит о том, что поставленная задача успешно решается. Метод трапеции является наиболее простым методом приближнного интегрирования

, этот метод позволяет точно интегрировать многочлен первой степени , а для интегрирования данной функции требуется довольно много итераций. Более совершенным является метод Симпсона , который позволяет точно интегрировать многочлен второй производной и даже некоторые многочлены третьей степени, поэтому он требует почти в 2 раза меньше количества интервалов для получения результата. Заключение В данной курсовой работе решена задача приближнного интегрирования функции методами

Симпсона и трапеции. В процессе создания курсовой работы разработан алгоритм решения поставленной задачи. По этому алгоритму на языке Турбо Паскаль 7.0. составлена и отлажена программа. В ходе тестирования были получены результаты работы метода трапеции и метода Симпсона, по которым видно, что результаты интегрирования обоими методами совпадают с достаточной точностью. Заметна лишь разница в качестве приближения интервалов.

Программа является полностью работоспособной, что подтверждается результатами е тестированием Список использованных источников 1.Бронштейн И.Н Семендяев К.А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов М. Наука , 1981 718 с. 2.Белецкий Я. Турбо Паскаль с графикой для персональных компьютеров перевод с польского Д.И.Юренкова. -М. Машиностроение , 1991 320 с.

3.Сергиевский М.В Шалашов А.В. Турбо Паскаль 7.0 язык, среда программирования. -М Машиностроение 1994 254 с.ил. 4.Справочник по процедурам и функциям Borland Pascal 7.0 Киев Диалектика, 1993 272 с. 5.Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы.М.Наука,1989. 430 с.