Высшая математика

Высшая математикаСодержаниеЧасть I. Задание 2. Вопрос 9. Задание 3. Вопрос 1. Задание 12. Вопрос 9. Задание 13. Вопрос 2. Задание 18. Вопрос 9Часть II. Задание 8. Вопрос 8. Задание 12. Вопрос 9. Задание 14. Вопрос 2. Задание 15. Вопрос 6. Задание 18. Вопрос 9. Дополнительно

Часть I. Задание 7. Вопрос 1. Задание 9. Вопрос 8. Задание 11. Вопрос 6. Задание 15. Вопрос 1. Дополнительно Часть II. Задание 7. Вопрос 1. Задание 9. Вопрос 8. Задание 11. Вопрос 6. Задание 15. Вопрос 1. Часть I.Задание 2. Вопрос 9.В штате гаража числится 54 водителя.

Сколько свободныхдней может иметь каждый водитель в месяц 30 дней , если ежедневно 25 автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.Решение машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. машин с водителями ежедневно уходят в рейс. водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта

автомашин. дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. Ответ Каждыйводитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней. Задание 3. Вопрос 1.Решение Построим в плоскости POQ график функции спроса

Q QD P и предложения Q QS P . Для этого найдем координаты пересечения с осямикоординат С осью OP Q 0 С осью OQ P 0 Для Q QS P Для Q QD P Т.к. функции QS P и QD P линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которыхдостаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены,значит можно производить построение графика рис.1 .Найдем точку равновесия графиков функции спроса ипредложения

М , в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему , из этой системы получаем , тогда , значит координаты т.M.Ответ Координатыточки равновесия равны , Задание 12. Вопрос 9.Производнаязаданной функции равна Задание 13. Вопрос 2.Используядифференциал функции, найдите приближенное значение числа

Решение Ответ Приближенноезначение заданного числа равно 1,975.Задание 18. Вопрос 9Исследуйтефункцию и постройте ее график Решение 1. Областьопределения данной функции .2. Найдем точкипересечения с осями координат С осью OY С осью OX , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. Точка пересечения Точки пересечения , 3. Т.к. все точкивходят в область значений функции, то точек

разрыва НЕТ.4. Вертикальныхасимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и леваянаклонные асимптоты имеют уравнение , где т.к. правая и левая наклонныеасимптоты совпадают, то уравнение имеет вид , т.е уравнение горизонтальнойасимптоты.5. Найдем точкиэкстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную Т.к. если у функции есть точкаэкстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е.

, дробь равна нулю, если еечислитель равен нулю, т.е отсюда , следовательно , значит точка - точка экстремума функции.На участке производная gt 0, значит,при , заданная функция возрастает.На участке производная lt 0, значит,при , заданная функция убывает рис 2 Следовательно - точка максимума заданной функции .6. Найдем участкивыпуклости вогнутости заданной функции.

Для этого найдем ее вторую производную Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этойточке вторая производная функции равна нулю, т.е. , дробь равна нулю, если еечислитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда Отсюда На участке производная gt 0, значит это участоквогнутости графика функции. На участке производная gt 0,значит это тоже участок вогнутости графика функции. Следовательно, при график заданной функцииявляется вогнутым.

На участке производная lt 0, значит, при график заданной функции является выпуклым рис. 3 .Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции .Выполненные исследования заданной функциипозволяют построить ее график см. рис. 4 . Часть II.Задание 8. Вопрос 8.Фирмапроизводит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и .

Определить, при каких объемах выпуска достигаетсямаксимальная прибыль, найти эту прибыль , Решение Пусть - функция прибыли, тогдаНайдем первые частные производные функции Найдем стационарные точкиграфика функции . Для этого решим систему Следовательно - стационарная точка. Проверимее на экстремум, для этоговведем обозначения тогда Т.к. gt 0, то экстремум есть, а т.к. lt 0, то это максимум.

Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальнаяприбыль равная Ответ и достигается при объемах выпуска и . Задание 12. Вопрос 9.Вычислитьнеопределенный интеграл Решение Ответ Задание 14. Вопрос 2.Решение Ответ Данныйнесобственный интеграл расходящийся.

Задание 15. Вопрос 6.Решитьуравнение Решение . Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученноеуравнение . Представим , как , тогдаОтвет Решениемданного уравнения является .Задание 18. Вопрос 9.Найтиобщее решение уравнения Решение Найдем корни характеристического уравнения , тогда , следовательно тогдафундаментальную систему решений образуют функции , Т.к. действительные и мнимые решения в отдельностиявляются решениями уравнения,

то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид Представим правую часть уравнения, как и сравним свыражением, задающим правую часть специального вида . Имеем тогда т.к. - многочлен второйстепени, то общий вид правой части . Найдем частные решения Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем, решив систему , отсюда .Тогда общее решение заданного неоднородного линейногоуравнения имеет вид .

Ответ . ДополнительноЧасть I.Задание 7. Вопрос 1.Найтипредел .Решение .Ответ Заданныйпредел равен . Задание 9. Вопрос 8.Найдитеуравнение асимптот и постройте их графики .Решение 1. Областьопределения данной функции .2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то этоточка разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение уравнение вертикальной асимптоты.3. Уравнения правойи левой наклонных асимптот имеют вид , где т.к. правая илевая наклонные асимптоты совпадают,

то уравнение наклоннойасимптоты имеет вид .Для построения графиков асимптот см. рис. 5 , найдемточки пересечения наклонной асимптоты с осями координат С осью OX точка, с осью OY точкаОтвет и уравнения асимптот заданной функции. Задание 11. Вопрос 6.Исходяиз определения производной, докажите .Решение Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в

точке .Следовательно .Ответ .Задание 15. Вопрос 1.Найдитепределы, используя правило Лопиталя .Решение .Ответ Заданныйпредел равен . ДополнительноЧасть II.Задание 7. Вопрос 1.Написатьв точке уравнение касательнойплоскости к поверхности, заданной уравнением .Решение Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке имеетвид . Поэтому, продифференцируемзаданное уравнение поверхности .

Подставив в полученноеуравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменивдифференциалы переменных на их приращения, получим .Ответ Уравнениекасательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид .Задание 9. Вопрос 8.Найтинаибольшее и наименьшее значение функции в области .Решение Т.к. заданная функциядифференцируется в замкнутой ограниченной области, то своенаибольшее наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутриобласти дифференцирования, или на границе области.

Найдем стационарные точки заданнойфункции, для этого решим систему ,точка не принадлежит заданной областидифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,наибольшее наименьшее значение функцией достигается на границе областидифференцирования. Граница области ограничена окружностями и .Найдем наибольшее наименьшее значение на границах области дифференцирования.Для этого составим функцию Лагранжа 1 тогда , , следовательно, системауравнений для определения координат

экстремальной точки имеет вид Эта система имеет четыре решения Точка точка условного максимума, при этом функция Точка точка условного максимума, при этом функция Точка точка условного минимума, при этом функция Точка точка условного минимума, при этом функция . 2 тогда , ,следовательно, система уравнений для определениякоординат экстремальной точки имеет вид Эта система также имеет четыререшения Точка точка условного максимума, при этом функция

Точка точка условного максимума, при этом функция Точка точка условного минимума, при этом функция В точке точка условного минимума, при этом функция . Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигаетнаибольшего значения в точках и и наименьшего в точках и при этом графики функций и касаются окружности в точках , и , соответственно см. рис.6 .Ответ Заданнаяфункция при условии имеет и .

Задание 11. Вопрос 6.Вычислитьнеопределенный интеграл .Решение Ответ Заданный неопределенный интеграл равен .Задание 15. Вопрос 1.Решитьуравнение .Решение . Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученноеуравнение .Ответ Решением данногоуравнения является .