Вопросы к гос.экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы . В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц. Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij О R Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок. Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное t (1) t (2) …t (n) отображение множества М={1,2 n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n! Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная; -если-нечетное число инверсий, то она нечетная. Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t 1 ) = sgn t ; 3) одна транспозиция меняет четность подстановки. Опр.1. Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых

есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t ) где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е. |A|=е sgn(t )a 1t (1) a 2t (2) …a nt (n) , A=(a ij ) n*n приняты также обозначения для определителя: def A, Δ. Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие: 1 . |A|=|A t |,где А t -трансионированная; 2 . Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3 . Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю. 4 . Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю. 5 . Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя. 6 . Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее определитель. 7 . Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a 1 + a k b1+ b k c 1 + c k ),то определитель такой

матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы. 8 . Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число. и другие. Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента a ij (M ij ) и его алгебраического дополнения (A ij ) .

Минором M ij элемента a ij матрицы называется определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента a ij называется число (-1) i+j М ij Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца). Теорема 3 . |A|= a 1j A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj или |A|=a i1 A i1 +a i2 A i2 + +a in A in . Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a 11 …a 1n |A|= a 21 …a 2n = a nn M nn 0……a nn Воспользуемся для доказательства определением определителя |A|=е sgn(t )a 1t (1) a 2 t (2) …a n-1,t (n-1) a nt (n) Так как в n-ой строке все элементы кроме a nn нули, то все слагаемые в определителе кроме a nn равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен: sgn(t ) a 1t (1) a 2 t (2) a n-1,t (n-1) a n n =a n n ( sgn(t ’) a 1t (1) a 2 t (2) a n-1,t (n-1) ),где t = 1 2 n-1 n t ’ = 1 2 n-1 t (1) t (2)

t (n-1) t (n) , t (1) t (2) t (n) , т.к t = 1 2 n-1 n = 1 2 n t (1) t (2) t (n-1) t (n ) t (1) t (2) t (n) ,то sgn (t ) =sgn(t ’). Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому |A|=a nn M nn , что и требовалось доказать. Случай 2. a 11 a 1j a 1n |A|= = a ij A ij 0 a ij 0 a n1 a nj a nn Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A 11 a 1j a 1n a 11 a 1j a 1n a 11 a 1n a 1j A = = n-i = n-i n-j = 0 a ij 0 a n1 a nj a nn a n1 a nn a nj a n1 a nj a nn 0 a ij 0 0 0 a ij = 2n- M ij *a ij = i+j a ij M ij =a ij A ij Случай 3. |A|=a 1i A 1i +a 2i A 2i + +a ni A ni. A 11 a 1j a nn a 1j +0+ +0 a 1j 0 0 A 21 a 2j a 2n 0 +a 2j + +0 0 a 2j 0 A = = = + + + = a n1 a nj a nn 0+0+ +a nj 0 0 a nj = a 1j

A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера. Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система е a ij x j =b i , где i=1,n; j=1,n

имеет единственное решение, которое находится по формуле: x i = , где = A , D x i -определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов. Пусть (1) е a ij x j =b j , i=j=1,n, |A| № 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы X 1 b 1 X= X 2 , b = b 2 x n b n Если |A| № 0® $ А -1 Ю А -1 АХ=А -1 b Ю X=A -1 b. Известна теорема утверждающая, что

A -1 = A * , где A * -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда: A 11 A 21 A n1 b 1 b 1 A 11 +b 2 A 22 + +b n A n1 X= A * b = A 12 A 22 A n2 b 2 = b 1 A 12 +b 2 A 22 + +b n A n2 = A 1n A 2n A nn b n b 1 A 1n +b 2

A 2n + +b n A nn x 1 = x 2 , x n что и позволит получить формулу: X i = , где = A , i=1,n Вопрос 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение

эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aО A, bО B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”. Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из

А. Обозначения: W={ ( a,b) /,a,bО A} ; aWb, a,bО A; ( a,b) О W,где a,bО A Например, бинарные отношения являются: