Виды тригонометрических уравнений

Виды тригонометрических уравнений. 1. Простейшие тригонометрические уравнения: Пример 1. 2sin(3x - p /4) -1 = 0. Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p /4). sin(3x - p /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим 3х - p /4 = (-1) n arcsin 1/2 + n p , n Î Z. Зх - p /4 = (-1) n p /6 + n p , n Î Z; 3x = (-1) n p /6 + p /4 + n p , n Î Z; x = (-1) n p /18 + p /12 + n p /3, n Î

Z Если k = 2n (четное), то х = p /18 + p /12 + 2 p n/3, n Î Z. Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p /18 + p /12 + ((2 p n + 1) p )/3 = = p /36 + p /3 + 2 p n/3 = 13 p /36 + 2 p n/3, n Î z. Ответ: х 1 = 5 p /6 + 2 p n/3,n Î Z, x 2 = 13 p /36 + 2 p n/3, n Î Z, или в градусах: х, = 25° + 120 • n, n Î Z; x, = 65° + 120° • n, n Î Z. Пример 2. sinx + Ö з cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Ö з значение ctg p /6, тогда уравнение примет вид sinx + ctg p /6 cosx = 1; sinx + (cos p /6)/sin p /6 • cosx = 1; sinx sin p /6 + cos p /6 cosx = sin p /6; cos(x - p /6) = 1/2. По формуле для уравнения cosx = а находим х - p /6 = ± arccos 1/2 + 2 p n, n Î Z; x = ± p /3 + p /6 + 2 p n, n Î Z; x1 = p /3 + p /6 + 2 p n, n Î Z; x1 = p /2 + 2 p n, n Î Z; x2 = - p /3 + p /6 + 2 p n, n Î

Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n Î Z; Ответ: x1 = p /2 + 2 p n, n Î Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n Î Z. 2. Двучленные уравнения: Пример 1. sin3x = sinx. Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx • cos2x = 0. Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения. sinx = 0 или cos2x = 0. x1

= p n, n Î Z, x2 = p /4 + p n/2, n Î Z. Ответ: x1 = p n, n Î Z, x2 = p /4 + p n/2, n Î Z. 3. Разложение на множители: Пример 1. sinx + tgx = sin 2 x / cosx Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p /2 + p n, n Î Z. sinx + sinx/cosx = sin 2 x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx. sinx • cosx + sinx - sin 2

x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0; sinx = 0 или cosx - sinx +1=0; x1 = p n, n Î Z; cosx - cos( p /2 - x) = -1; 2sin p /4 • sin( p /4 - x) = -1; Ö 2 • sin( p /4 - x) = -1; sin( p /4 -x) = -1/ Ö 2; p /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/ Ö 2 + p n, n Î Z; x2 = p /4 - (-1) n+1 • p /4 - p n, n Î Z; x2 = p /4 + (-1) n • p /4 + p n, n Î Z.

Если n = 2n (четное), то x = p /2 + p n, если n = 2n + l (нечетное), то x = p n. Ответ: x1 = p n, n Î Z; x2 = p /4 + (-I) n • p /4 + p n, n Î Z. 4. Способ подстановки Пример 1. 2 sin 2 x = 3cosx. Решение. 2sin 2 x - 3cosx = 0; 2 (l - cos 2 x) - 3cosx = 0; 2cos 2 x + 3cosx - 2 = 0. Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z 2 + 32z -

2=0. Д = 9+16 = 25; Ö Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 - -не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение: cosx = 1/2; х = ± p /3 + 2 p n, n Î Z. Ответ: х = ± p /3 + 2 p n, n Î Z. 5. Однородные уравнения Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид: a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или a sin 3 x + b sin 2 x cosx + c sinx cos 2 x + d sin 3 x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin 2 x или на cos 2 x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx. Пример 1. Ö 3sin 2 2x - 2sin4x + Ö 3cos 2 2x = 0. Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла. Получим уравнение Ö 3sin 2 2x - 4sin2xcos2x + Ö 3cos 2 2x = 0.

Разделим на cos 2 2x. Уравнение примет вид Ö 3 tg 2 2x – 4tg2x + Ö 3 = 0. Пусть z = tg2x, тогда Ö 3z 2 - 4z + Ö 3 = 0; Д = 4; Ö Д = 2. z1 = (4 +2)/2 Ö 3 = 6/2 Ö 3 = Ö 3; z2 = (4 – 2)/2 Ö 3 = 1/ Ö 3 tg2x = Ö 3 или tg2x = 1/ Ö 3 2x = p /3 + p n, n Î Z; 2x = p /6 + p n, n Î Z; x1 = p /6 + p n/2, n Î

Z ; x2 = p /12 + p n/2, n Î z. Ответ: x1 = p /6 + p n/2, n Î Z ; x2 = p /12 + p n/2, n Î z. 6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5. Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1. sin j = 4/5; cos j = 3/5; sin(x+ j ) = 1, x + j = p /2 + 2 p n, n Î Z. Ответ: x = p /2 - arcsin 4/5 + 2 p n, n Î

Z. 7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений. Пример 1. 1/( Ö 3-tgx) – 1/( Ö 3 +tgx) = sin2x Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения tgx ¹ ± Ö 3, х ¹

± p /8 + p n, n Î Z и х ¹ ± p /2 + p n, n Î Z. Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла. ( Ö 3 + tgx - Ö 3 + tgx)/3 - tg 2 x = 2tgx/ (1 + tg 2 x); 2tgx / (3 - tg 2 x) = 2tgx/(1 + tg 2 x) x1 = p n, n Î Z Второе уравнение имеет вид 2tg 2 x - 2 = 0; tg 2 x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p /4 + p n, n Î

Z. Ответ: x1 = p n, n Î Z; х2 = ± p /4 + p n, n Î Z. 8. Иррациональные тригонометрические уравнения Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня

четной степени). Пример 1. Ö ( cos 2 x + ½) + Ö ( sin 2 x + ½) = 2. Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в