Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в которомизучаются простейшие операции над свободными векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами операция сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой a bвекторов a и b называют вектор , проведенный из начала aк концу b , если конец a и начало bсовмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами a b b a коммутативность а b с а b с ассоциативность a 0 a наличие нулевого элемента a -a 0 наличие противоположногоэлемента

, где 0- нулевой вектор, -a есть вектор,противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и bназывают вектор x такой, что x b a.Произведениемlx вектора а начисло l в случае l sup1 0, а sup1 О называют вектор, модуль которого равен l a икоторый направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l gt 0, и в противоположную,если l lt 0. Если l 0 или и a 0, тоla 0.

Операция умножениявектора на число обладает свойствами l a b l a l b дистрибутивность относительно сложениявекторов l u a l a u a дистрибутивность относительно сложениячисел l u a l u a ассоциативность 1 a a умножение на единицу Множество всех векторов пространства свведенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторноепространство линейное пространство .ВВекторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов.

Векторы а, b, , сназываются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b g из которых хотя бы одноотлично от нуля, такие, что справедливо равенство aa bb gc 0. 1 Для линейной зависимости двух векторовнеобходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трехвекторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а,b, c нулевой, то они линейно зависимы.

Векторы a,b, с называютсялинейно независимыми, если из равенства 1 следует, что числа a, b g равны нулю. На плоскости существует не болеедвух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.Совокупностьтрех двух линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерногопространства плоскости , взятых в определенном порядке, образует базис. Любойвектор а единственным образом представляется в виде суммы a a1e1 a2e2 a3e3. Числа a1,a2,a3 называют координатами компонентами вектора а в данном базисе

и пишут a a1,a2,a3 .Два вектора a a1,a2,a3 и b b1,b2,b3 равны тогда и толькотогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a a1,a2,a3 и b b1,b2,b3 ,b sup1 0, является пропорциональность ихсоответствующих координат a1 lb1,a2 lb2,a3 lb3. Необходимым идостаточным условием компланарности трех векторов a a1,a2,a3 , b b1,b2,b3 и c c1,c2,c3 является равенство a1 a2 a3 b1 b2 b3 0 c1 c2 c3 Линейныеоперации над векторами сводятся к линейным операциям

над координатами.Координаты суммы векторов a a1,a2,a3 и b b1,b2,b3 равны суммам соответствующих координат a b a1 b1,a2 b2,a3 b3 . Координатыпроизведения вектора а на число lравны произведениям координат а на l lа lа1,la2, la3 .Скалярнымпроизведением а, b ненулевых векторов а и b называютпроизведение их модулей на косинус угла jмеждуними а,b а b cosj. За j принимается угол между векторами, непревосходящий p. Если а 0 или b 0,то скалярное произведение полагают равным нулю.

Скалярное произведение обладаетсвойствами a, b b, а коммутативность , a,b с a,b а,с дистрибутивностьотносительно сложения векторов , l a,b la,b a,l6 сочетательностьотносительно умножения на число , a,b 0, лишь если а 0 или и b 0 или a b. Длявычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовымипрямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем изединичных взаимно перпендикулярных векторов ортов i, j, k ортонормированный базис .Скалярное произведение векторов a a1,a2,a3 и b b1,b2,b3 заданных

вортонормированном базисе, вычисляется по формуле a,b a1b1 a2b2 a3b3 Косинус углаj между ненулевыми векторами a a1,a2,a3 и b b1,b2,b3 может бытьвычислен по формуле где и Косинусыуглов вектора a a1,a2,a3 с векторами базиса i,j, kназывают. направляющими косинусами вектора а , , . Направляющиекосинусы обладают следующим свойством cos2a cos2b cos2g 1 Осьюназывается прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающимположительное направление

на прямой. Проекцией Пр. е авектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическоезначение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е.Проекции обладают свойствами Пр. е a b Пр. е a Пр. е b аддитивность , Пр. е a Пр. е la однородность . Каждаякоордината вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора наось, определяемую соответствующим вектором базиса.

Впространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарныхвекторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего началаобход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимсяпо часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая левая тройка векторов располагается так, как могут быть расположенысоответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой левой руки см.

рис . Все правые или левые тройки векторов называются одинаково ориентированными. b b c c a a правило левой руки правило правой руки Ниже тройку векторов i,j,kследует считать правой .Пусть наплоскости задано направление положительного вращения от i к j .Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов aи b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращенияот a к k aVb a b sinj

Псевдоскалярноепроизведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярноепроизведение обладает свойствами aVb -bVa антикоммутативность , aV b c aVb aVc дистрибутивностьотносительно сложения векторов , l aVb laVb сочетательностьотносительно умножения на число , aVb 0, лишь если а 0 или и b 0 или а и bколлинеарны. Если вортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты a1,a2 b1,b2 , то aVb a1b1-a2b2.