Реферат на тему:
Інтегровані типи д-р 1-го порядку,
розв’язаних відносно похідної.
а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.
Має вигляд
Припустимо, що f(x) являється неперервною на
Тоді ф-я
являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, -
Особливих розвязків ДР (2.33) немає.
Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови
Проінтегруємо ДР (2.34) від
Знаходимо с з умови (2.36)
Якщо f(x) - неперервна на
Пряма
Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд
Припускаємо, що ф-я
ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33).
Якщо
c < y < d, -
Аналогічно
Якщо
Якщо
Пр. 2.5
Розглянемо ДР
Область визначення :
Поскільки в т.
б) Рівняння з відокремлюванними змінними.
Розглянемо р-ня в диференціалах виду
де
Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином
Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так
Рівняння вигляду
називають р-ням з відокремлюваними змінними.
Припустимо, що
Аналогічно записуємо
загальний розвязок ДР (2.45) і
розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на
Аналогічно
Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких
З розвязку
Таким чином розвязки
Пр. 2.6.
Знайти загальний розвязок ДР:
Розвязок:
в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.
Розглянемо р-ня в диференціалах
в якому ф-ії
Означення 2.4: ф-я
якщо
Якщо (2.49) виконуються при
Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду
в якому функція
Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною
При діленні ми могли загубити розвязок
Отже півпрямі
Рівняння вигляду
Припустимо, що хоч одне з чисел
Перший)
Параметри
Другий)
Заміною
Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР
Це однорідне рівняння,
Отже
ДР (2.5) називається узагальнено-однорідним, якщо існує таке число
В цьому випадку ДР (2.5) заміною
Пр 2.8 Розвязати ДР:
Знайдемо чило
Звідки
г) Лінійні р-ня
ДР вигляду
При
Формула
Якщо
Загальні властивості ОДР :
Якщо
ЛДР (2.63) не має особливих розвязків;
ІК ОДР (2.63) не можуть пееретинати вісь
ДР (2.63) інваріантно відносно перетворення
Дійсно: формула
ДР (2.63) іваріантно відносно заміни
Теорема (2.3) (про структуру розвязку лінійного неоднорідного ДР): Якщо
Теорема доводиться безпосередньою подстановкою (2.68) в
р-ня (2.62).
Якщо відомо два частинних розвязки ДР (2.62), то загальний його розвязок записується без квадратур
Розглянемо два методи интигрування неоднорідного ДР (2.67).
Метод Лагранжа (варіації довільної сталої).
Розвязок шукаємо у вигдяді
загальний розв’язок ДР (2.62), який записаний через дві квадратури. Довільна стала входить завжди в загальний розв’язок лінійно.
Метод Ейлера заключається в тому, що ліва частина ДР (2.62) представляється у вигляді точної похідної шляхом домноження на деяку функцію
Загальний розв’язок при умові
Пр.2.9 Знайти загальний розв’язок ДР
Це лінійне однорідне ДР
Пр.2.10 Розв’язати ДР
За формулою (2.71)
д) Рівняння Бернуллі Це рівняння має вигляд
Рівняння (2.74) завжди інтегрується в квадратурах шляхом підстановки
При
Пр.2.11 Розв’язати ДР
Відомо, що деференц. – ліннійне р-ня.
Р-ня
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |