Подвійний інтеграл його властивості

Пошукова робота на тему:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

П
лан

• Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла


• Означення подвійного інтеграла


• Теорема існування


• Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

Визначення об’єму циліндричного тіла.
Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої
, з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі
, знизу - площиною
.

Область
, що висікається в площині
циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною
і верхньою частиною кулі
.

Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція
неперервна в області

і що поверхня повністю лежить над площиною
, тобто
скрізь в області
.

Розіб’ємо область
якими-небудь лініями на
частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через
також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок
виберемо точки
і позначимо через
значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі
. Тоді циліндричне тіло буде розбите на
циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою
, в результаті дістанемо об’єм
- ступінчастого тіла:

(11.1)

Ця сума називається інтегральною сумою для функції
в області
.

Беручи об’єм
розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого
- ступінчастого тіла, вважатимемо, що
тим точніше виражає
, чим більше
і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при
вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр
).

Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує
при
:

Рис.11.1

. (11.2)

Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на
Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції
(або
) за областю
, а її результат – означеним інтегралом від
по
і позначається так:

.

Отже, об’єм циліндричного тіла

. (11.3)

Маса тіла.
Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат
, задано тіло
(множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу
(
). Потрібно визначити масу тіла
. Розіб’ємо
на
частин
об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо
або

Виберемо довільним чином в кожній частині точку
і тоді маса тіла
(по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює

(11.4)

Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією
, що задана в трьохвимірному просторі
.

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом ¹⁾
), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:

Отже,

(11.5)

До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.

Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в
вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана ¹⁾
ми визначали для дуже простої множини – відрізку
який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі,
кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі
вимірної міри цих частин.

1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

Поняття про міру Жордана ¹⁾
.
В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області
і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число
яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:

1) якщо
прямокутник з основою
і висотою
то

2) якщо
і
мають міри
то

3) якщо область
розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини
і
то

Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.

В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.

Поверхня називається гладкою
, якщо в довільній її точці

можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою
, якщо її можна

розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.

Для трьохвимірних обмежених областей
з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число
, що задовольняє таким властивостям:

1) якщо
прямокутний паралелепіпед з ребрами
то

2) якщо
і
мають міри
то

3) якщо область
розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини
і
то

¹⁾
К. Жордан (1838-1922) – французький математик

Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.

Означення.
Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.

Нехай в
вимірному просторі
задана обмежена область
з кусково-гладкою границею
і на
(або на
) задана функція
Розріжемо
довільним чином на частини
, що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині
по довільній точці
і складемо суму

яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції
що відповідає даному розбиттю.

Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум
коли максимальний діаметр частинних множин

(
) і вона не залежить від вибору точок
в
, а також не залежить від способів розбиття області
, то ця границя називається
кратним інтегралом від функції
на
(або по
). Отже,

. (11.6)

Зауваження.
Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області
, чи для її замикання
не має значення, оскільки
де
кусково-гладка границя області
А кусково-гладка границя області має
вимірну міру нуль
.

2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування

Будемо надалі вважати області
із кусково-гладкими границями.

1⁰
. Справедлива рівність

(11.7)

Щоб обчислити інтеграл (11.7), потрібно область
розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини

що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що

Але тоді

За формулою (11.7) у двохвимірному випадку обчислюється площа
в трьохвимірному – об’єм
В
- вимірному випадку формула (11.7) дає
- вимірну міру

Нижче ми допускаємо, що для функцій
,
,
, про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.

2⁰
. Справедлива рівність

(11.8)

де
і
константи.

3⁰
. Якщо область
з кусково-гладкою границею розрізана на вимірні частини
і

то

(11.9)

4⁰
. Якщо

то має місце нерівність

(11.10)

Доведення властивостей 3⁰
і 4⁰
аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.

5⁰
. Справедлива нерівність

(11.11)

Дійсно, враховуючи, що
отримаємо в силу (12.8) (при
) і (4.10)

тобто (11.11).

6⁰
. Якщо
то

(11.12)

константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:

7⁰
. ( Теорема про середнє
). Нехай функція
неперервна в замкнутій області
яку ми будемо вважати зв’язною ¹⁾
. Тоді існує точка
така
, що виконується рівність

(11.13)

Д о в е д е н н я. Оскільки функція
неперервна в замкнутій області
то вона досягає в цій області свого найменшого
та найбільшого значень
Тому

Інтегруючи ці нерівності по
і використовуючи властивості 1⁰
, 4⁰
, одержимо

. (11.14)

Із нерівностей (12.11) випливає

тобто число
знаходиться між найменшим та найбільшим значеннями функції
В силу зв’язності
існує неперервна крива, що належить
,

і яка з’єднує точки
і
тобто така крива, що

Функція

неперервна на відрізку
(як суперпозиція неперервних функцій) і приймає на його кінцях значення

.

Але тоді за теоремою про проміжне значення функції
однієї змінної, існує таке
, що в точці
має місце рівність

що й доводить теорему.

¹⁾
Множина
називається зв’язною
, якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, яка належить

Зауваження.
Число
називається середнім значенням
неперервної функції
в області
.

Теорема існування.
Якщо функція
неперервна в замкнутій обмеженій області
з кусково-гладкою границею, то вона інтегровна на
так само, як і на
і

(11.15)