Работа с программой EUREKA

Лабораторная работа N6 Знакомство с оболочкой системы Eureka. Решение систем линейных уравнений. Цель работы 6 Приобретение навыков работы с оболочкой системы Eureka. Решение систем линейных уравнений при помощи системы Eureka. Теоретическое введение. а Интегрированная многооконная система

Eureka предназначена для автоматизации наиболее массовых математических расчетов не очень высо- кой сложности. Она объединяет редактор, вычислитель, верификатор проверяет правильность вычислений , генератор отчетов и простой гра- фопостроитель. Система ориентирована на ПК класса IBM PC XT и AT и мо- жет размещать на одном гибком диске с объемом хранимой информации до 360 Кбайт. Нормальная работа системы обеспечивается при

ОЗУ 512 Кбайт и выше. Система может работать на ПК без математического сопроцессора, однако его использование значительно повышает скорость работы. Eureka имеет следующие ограничения - максимальная длина идентификаторов до 40 символов, из них 10 яв- ляются основными - число определенных пользователем функций не более 10 - число используемых числовых констант не более 200 - число переменных не более 12 - число подстановок одних переменных в другие до 6. б Для загрузки системы ее надо проинсталлировать, т.е. перенести все

файлы, входящие в нее, на рабочий диск в одну директорию. Запуска- ющим файлам системы является файл eureka.exe. После запуска на экране монитора появляется табло оболочки систе- мы. Экран оказывается разделенным на четыре окна. Edit - для ввода и редактирования текста задачи Solution - для вывода результатов Report - для вывода отчета о вычислениях на экран, принтер или в файл

с расширением log Verify - для проверки точности результата. Окно в пассивном состоянии обведено одинарной рамкой, а в актив- ном - двойной. Курсор располагается в активном окне. Кроме окон, табло оболочки содержит верхнюю и нижнюю строки меню. Нижняя строка меню представляет возможности работы с ключевыми клавишами hot keys . Ee содержимое может менятся в зависимости от режима работы системы.

Наи- больший интерес эта строка представляет в режиме редактирования. В этом случае она предлагает следующие команды F1 - Help - помощь по контексту можно получать в любой позиции меню и подменю F2 - Save - запись текущего файла на диск F3 - Load - загрузка файла с диска F5 - Zoom - расширение активного окна на весь экран и возвращение его при повторном нажатии к исходным

размерам. F6 - Next - переключение активности окон по циклу F7 - Beg.Bek - отметка начала блока F8 - EndBek - отметка конца блока SCROOL - Size move - изменение размера и положения окна. Нажатие клавиши Ctrl и Alt приводят к высвечиванию иных ключевых клавиш. Имеет смысл взять на вооружение еще hotkeys такие как

Esc - отмена команды переход в вышестоящее меню Alt E - переход в окно редактирования Alt S - начать рещение задачи Alt C - включить встроенный калькулятор Alt X - выход из системы. В верхней строке оболочки перечисляются позиции основного меню системы File - работа с файлами Edit - редактирование текущего файла

Solve - запуск вычислителя Commands - выбор команды управления Report - подготовка отчета Graph - вывод графиков и таблиц Options - задание опций системы Window - работа с окнами. Если активировать в верхней строке позицию File, то после нажатия клавиши Enter откроется подменю со следующим пунктами Load - загрузка файла

New - подготовка к заданию нового файла Save - запись текущего файла Directory - просмотр директории Change dir - смена текущей директории New directory - создание новой директории Rename - переименование текущего файла OS shell - временный выход в MS DOS возврат по команде Exit Quit - выход из системы по окончании работы. Если активизировать вторую позицию верхней строки

и нажать клави- шу Enter, то мы окажемся в окне редактирования задач. Третьей позицией верхней строки является команда Solve. После то- го как редактирование задачи окончено нужно нажать Esc для попадания в верхнюю строку меню и активизировав пункт меню Solve, запустить за- дачу на счет нажатием клавиши

Enter. Если в описании задачи ошибок с точки зрения системы нет, то начнется процесс решения. По окончании этого процесса результат работы будет представлен в окне Solution. Четвертая позиция верхней строки - Commands. При активизации этой позиции и нажатии клавиши Enter открывается следующее подменю Verify - проверка решения результат работы этой команды выводит- ся в одноименное окно

Calculate - включение калькулятора для выключения - Esc Find other - поиск другого решения Т.к. итерационные методы при- водят только к одному из возможных решений, то для нахождения других надо исключить найденное и заново решить задачу. Именно это и делает данная команда Iterate - пуск итераций после остановки решения Команда исполь- зуется для уточнения найденного решения при условии, что заданная точ- ность не достигнута,

а время отведенное на процесс решения закончено . Пятая позиция верхней строки Report открывает следующее подменю Go - составление отчета результат этой команды появляется в окне Report Output - направление вывода отчета экран, принтер Formatted - форматирование отчета Capture - запись отчета в файл eureka.log

По запросу EUREKA.LOG EXIST.A TO ERASE этот файл можно дополнить или стереть. При включенной команде в строке переключений будет стоять ON, иначе OFF Logfile name - изменение имени log-файла. Подменю шестой позиции верхней строки Gragh состоит из четырех пунктов. Plot - построение графика После ввода значений левой и правой границ аргумента, если, конечно, функция

предварительно описана при помощи команды Function, будет построен график функции состоящий из текстовых символов псевдографики. При нажатии F5 этот график перестра- ивается в графическом режиме с высоким разрешением Output - вывод графика на экран или принтер List - вывод таблицы После вывода начального значения, шага вы- числений и количества точек в которых вычисляются значения функций вы- водится таблица со значениями аргумента и функции, если, конечно, функция

предварительно описана при помощи команды Function или в окне Edit Function - задание функции, которую надо построить. 6Опишем последовательность действий необходимых для построения гра- 6фика функции более подробно. 6Способ N 1 7 6Активизируйте т.е. подведите курсор и нажмите Enter пункт верх- 6него меню под названием - Graph.

В открывшемся подменю активизируйте 6пункт - Function. В появившуюся после этого строку введите название 6вашей фунуции например y x или ab и нажмите Enter. Во вновь появив- 6шуюся строку введите определение вашей функции например sin x x 2 6и нажмите Enter. После этого активизируйте пункт подменю с названием 6- Plot. В появившуюся строку введите начало интервала построения гра-

6фика и нажмите Enter. Во вновь появившееся окно введите конец интерва- 6ла и0 6нажмите Enter.0 6 В результате всех перечисленных действий на дисп- 6лее появится окно содержащее график выполненный символами псевдогра- 6фики. Если теперь нажать0 6F5, то график перерисуется на весь экран 6при помощи истинной графики.0 6Повторное нажатие F5 приводит к воз- 6вращению экрана в состояние0 6 существовавшее до первого нажатия этой 6клавиши.0 6График

может быть перерисован на весь экран в сиволах псевдо- 6графики,0 6если преред F5 была нажата клавиша F4.0 6 При этом, для того 6чтобы вернуться в режим позволяющий использовать0 6истинную графику 6необходимо нажать F7. 6Способ N 2 7 6Войдите в окно Edit. Запишите в нем определение одной или несколь- 6ких функций например 6z x sin x x 2 6p x deriv deriv 5 cos x ,x ,x 0 6m x 1 x 6и любую вычислительную

задачу например t z 1 . 6Поднимитесь в верхнюю строку меню и активизируйте в ней пункт Solve. 6После того, как вычислительная задача будет решена активизируйте пункт 6меню Graph. В открывшемся подменю активизируйте пункт Plot. При этом 6появится меню, позволяющее выбрать функцию из числа определенных в 6окне Edit для построения графика. Выбор функции осуществляется при 6помощи курсора.

Его надо подвести к названию функции и нажать Enter. 6Далее выполняются те же действия, что и в I5ом6 способе после активиза- 6ции пункта Plot. 6Если возникает потребность в построении графика другой функции из 6числа определенных в окне Edit , то необходимо войти в окно Edit, 6выйти из этого окна при этом редактировать записи не обязательно , 6активизировать пункт Solve и далее повторить описанные выше действия.

6Примечание 7 6Для вывода на экран функции в табличном виде пригодны оба описан- 6ных выше способа. Отличием является только то, что вместо пункта Plot 6активизируется пункт List. При этом Eureka потребует ввести начало 6интервала вычислений, шаг вычисления и число точек, в которых вычис- 6ляются значения функции. Седьмая позиция верхней строки Options имеет следующее подменю

Variables - изменение значений переменных без вхождения в редак- тор Settings -задание установок системы к примеру accuracy - зада- ние погрешности вычислений complex 5yes4no0 - разрешает вычисления с комплексными числами casefold 5yes4no0 с параметром yes отменяет имею- щееся по умолчанию различия между прописными и строчными буквами di- gits - определяет число цифр у результатов вычислений substlevel N - задает количество преобразований переменных, в ходе которых одни пере- менные

автоматически выражаются через другие. При N 0 такие преобразо- вания не выполняются. Допустимые значения N от 0 до 6. В некоторых случаях варьирование этого параметра позволяет получить более точный результат . Кроме перечисленных этот пункт подменю содержит еще ряд установок, о назначении которых можно узнать, воспользовавшись клави- шей F1 т.е. help . Сolors - установка окраски окон рамок и текстов Directories - установка директории

Система и отдельные файлы мо- гут храниться в разных директориях. В этом случае нужно указать систе- ме, где находятся ее файлы и файлы с примерами расчетов. LoadSETUP - загрузка установочного файла WriteSETUP - запись установочного файла. Восьмая позиция верхней строки Window также имеет подменю Open - открывает указанное окно Close - закрывает указанное окно

Next - делает активным следующее окно Zoom - расширяет активное окно Tile - делает размеры окон равными Stack - располагает окна друг за другом Goto - переход в активное окно из меню. в Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с по- мощью прямых , так и с помощью итерационных методов. Т.к. о прямых ме- тодах решения таких , как метод

Крамера или метод Гаусса , рассказыва- лось в курсе математики, то рассмотрим здесь только некоторые итераци- онные методы. Итерационные методы представляют для нас интерес еще и потому , что Eureka решает системы линейных уравнений как и нелиней- ных итерационными методами. При этом может использоваться подстанов- ка одних переменных в другие, нередко сводящая задачу к точному реше- нию. Итерационные методы применяются на практике к большим системам с разреженными матрицами.

Разработано большое число разлиных итерацион- ных методов, каждый из которых ориентирован на решение сравнительно узкого класса задач. Рассмотрим два наиболее простых и извесных итера- ционных метода. Метод простой итерации Для того чтобы применить метод простой итерации к решению системы линейных уравнений Ах b4 0 1 c квадратной не вырожденной матрицей А, необходимо преобразовать эту систему к виду 4 х Ах b4 0 2 4 Здесь А - квадратная матрица nxn , а b - вектор столбец длины n.

Са- мый простой способ привести систему 1 к виду 2 выразить х410 из пер- вого уравнения системы 1 4-1 6x416 a4116 -a4126x426-a4136x436 a41n6x4n6 х420 из второго уравнения и т.д. В результате получаем систему6 4 6x416 -a4126x426-a4136x436 a41n6x4n6 b41 4 6x426 -a4216x416-4 6-a4236x436 a42n6x4n6 b42 6 4 6 4 6x4n6 -a4n16x416-a4n26x426-a4n36x436-a4n46x446 b4n 4 у которой на главной диагонали матрицы А находятся нулевые элементы. Остальные элементы вырожаются по формулам6 4 6a4ij6 a4ij6 a4ii6

и b4i6 b4i6 a4ii6 . 4 0 0 0 0 Выберем начальное приближение6 x4 6 4 6 x41 6,4 6x42 6,4 6 4 6,x4n 6 . Часто в качестве началь6н0ого приближения выбирают столбец свободных членов b410, b420, b4n0 . Подставляя его в правую часть системы 2 нахо- дим первое приближение 4 1 5 4 0 5 4 6x4 6 4 6A4 6x4 6 4 6b 6П0родолжая этот процесс далее, получим последовательность х5 0 0,5 0х5 1 0,5 0х5 2 0,5 0 ,5 0х5 k 0, 6 0приближений, вычисляемых по формуле 4 k 1 k 6x4 6 4 6A4 6x4 6 4 6b , k 0,1,2,

Спра6в0едли6в0а следующая теорема о сходимости метода простой итерации. Теоремма Пусть выполнено одно из условий 4n6 4n 6 4 6 4M6 4A6 4X6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 617,6i7,6n 7 4 6 4 6 a4ij 6 q 1 a4ii6 4 6 4 6 a4ii6 4 ,6i 1, ,n 6 6j 1 4 6j 1 6i7-6j или 4n n 4 6 4 6 4M6 4A6 4X6 4 6 4 6 4 617,6j7,6n7 4 6 4 6a4ij 6 4 6q4 6 14 6 4 6a4jj 6 4 6 4 6a4ij 6 ,j 1, ,n 4 6-4 6- 6i 1 i 1 6i7-6j Тогда I решение Х системы 2 существует и единственно II при произвольном начальном приближении х5 0 0 справедлива оценка погрешности6 4 k - k 0 -

4M A X 6 x4i 6-4 6x4i6 q4 M A X 6 x4i 6-4 6x4i6 . 617,6i7,6n4 7 617,6i7,6n Замечание 1 При помощи понятия нормы теорема о сходимости метода простой ите- рации для системы линейных уравнений может быть сформулирована в более общем виде. Замечание 2 При выполнении условий теоремы о сходимости метода простой итера- ции для системы линейных уравнений справедлива следующая апостериорная оценка6 4 k - k k-1 4M

A X 6x4i 6-4 6x4i 6 q 1-q 4 6 4M A X 6 x4i 6-4 6x4i6 4 6 617,6i7,6n4 617,6i7,6n Метод Зейделя Этот метод является модификацией метода простой итерации. Основ- ная идея модификации состоит в том, что при вычислении очередного 4 к 1 -го приближения к неизвестному 6x4i0 при 6i0 1 используются уже найден- 4 ных к 1 -е приближения 6к 0неизвестным 6x410 , 6,x4i-10 , а не к-е прибли6- жения, как в предыдущем методе.

На к 1 -ой итерации i-ая компонента вычисляется по форм6у0ле6 4 k 1 k 1 k 1 k k 6x4i 6 4 6-a4i,16x41 6-4 6 4 6-a4i,i-16x4 6-a4i,i 16x4 6 a4i,n6x4 6 4 6b Достаточное условие сходимости метода Зйделя совпадает в приве- денной формулировке с условием сходимости метода простои итерации. 2 Eure6k0a позволяет решать системы линейных уравнений как и мно- гие другие задачи без составления каких-либо программ. К примеру для решения системы линейных уравнений6 6 62x416 3x426 5x436 31 2 3 5 31 6-x416 3x436 11

т.е. Ax b, где A -1 0 3 b 11 6x416-7x426 5x436 0 1 -7 5 0 6L - L - 6н0ужно сделать в окне Edit любую из двух приведенных ниже записей Eu6- re6k0a воспримет эти записи практически одинаково6 . 6I 0 6 II 6 62 X1 3 X2 5 X3 31 2 X1 2 X3 3 X2 3 X3-31 0 6-1 X1 3 X3 11 -X1 3 X3 0 6x1-7 X2 5 X3 0 X1-5 X2 5 X3-2

X2 0 6 После чего подняться в верхнюю строку меню при помо6щ0и ESC и6 0 подведя6 0курсор к пункту Solve 6 0нажать Enter. Если 6 0матрица6 0 системы вырождена, то попытка 6 0решения 6 0не 6 0преведет к успеху. 6 0В нашем 6 0случае 6det A7-60 0и поэтому в окне решений Solution появятся результаты, полу6- ченные с заданной точностью 6X1 1.0

X2 3.0 X3 4.0 Eure6k0a позволяет решать системы линейных уравнений не только с дествительными, но и с комплексными коэффициентами. К решению таких уравнений сводятся, например, задачи на вычисление напряжений и токов у электро- и радиотехнических цепей при их работе на переменном токе. Далее приводится пример записи в окне Edit системы линейных уравнений с комплексными коэффиециентами6 6 complex yes 6i 2 -1 6 2 i X1 7 X2 7-i X3 0 6 5-i X1 i

X2 3 i X3 2 6 3-i X1 2 X2 5 X3 4 6Задание 6 а Проверьте при помощи встроенного в Eure6k0a калькулятора может ли быть решена ваша система методом простой итерации. б Проверьте при помощи окна Edit и пункта меню Solve не является ли ваша система вырожденной. в Решите вашу систему. Сделайте проверку решения при помощи окна Verify. Под6го0т6о0вьте отчет о решении в окне Report. г

Найдите матрицу, обратную к матрице вашей системы. Для этого, используя равенство 6AA5-16 E0,6 составьте n526 уравнений с n526 неизвестными, 6где n n размер исходной матрицы. 6d Используя равенство AA5-16 E , проверьте является ли0 найденн6ая в пункте 6 0г6 матрица обратной к A. Лабораторная работа N2 6 Язык и функци6и0 системы

Eure6k0a. Решение нелинейных уравнений. 6 0Решение систем нелинейных уравнений. Вычисление экстремум6а0 функций от одной переменной. 6Цель работы 6 Приобретение навыков решения нелинейных уравнений и систем нели- нейных уравнений при помощи систем Eure6k0a. Теоретическое введение a Алфавит системы Eure6k0a содержит стандартный набор символов. Это латинские прописные от

А до Z и строчные от а до z буквы, а также ряд спецзнаков разделитель для выражений размещенных в одной строке - отмечает начало строки комментария - внутри скобок размещается комментарий - используется для работы с размерными комментариями - указывает, что следующее слово-директива - операция присваивания - задание определение функции пользователя или начальных значений переменных. Длинные выражения после символа арифм6е0тической операции можно пе- реносить на другую строку.

Директивы, относящиеся к установкам, могут быть заданы в окне Edit в виде блока. Пример settings acuracy 0.01 digits 5 end Eureca может производить следующие операции сложение - вычитание умножение деление возведение в степень изменение приоритета операций . отделение целой части числа от дробной ,отделение переменных друг от друга в списках меньше больше меньше или равно больше или равно.

Приоритет операций определяется как и в языках Бейсик, Паскаль и т.д. Eure6k0a имеет функции re z и im z , возвращающие действительную и мнимую части комплексного числа z x iy. Перед применением этих функций обходимо ввести директиву complex yes и обозначить мнимую ед6и0ницу i 2 -1. Алгебраическ6ие0 функци6и abs z - модуль exp z - вычисление e 2,71828 в степени z floor x - целая часть х ln z - вычисление натурального логарифма z log 10 z - вычисление десятичного

логарифма z sqrt z - вычисление корня квадратного из z pos x - возвращает х при х 0 и 0 в противном случае sgn x - возвращает 1 при х 0, -1 при х 0 и 0 при x 0 Тригонометрические и гиперболические функции atan2 y,x - вычисление арктангеса по координатам x и у угол заключенный между осью Ох и отрезком, концы которого - 0,0 и х,у polar x,y - преобоазование декартовых координат в полярные sin z , cos z , tan z - вычисление

синуса, косинуса и тангеса z sinh z , cosh z , tanh z - вычисление гиперболических синуса, косинуса и тангеса z. Кроме перечисленных выше функций Eure6k0a имеет еще ряд функций и процедур deriv f x ,x - вычисление производной ф-ции f x integ f x ,x,a,b - вычисление определенного интеграла от f x в пределах от а до b. fact n - вычисление факториала числа n ncum x - вычисляет специальную функцию ошибок Р х для нормаль- ного распределения poly x,an, ,a0 - вычисляет значение всех действительных и комплексных

корней полинома an x n a1 x a0 и позволяет задать функ- цию P x вычисляющую значение полинома в точке х. sum f i ,i,n,k - вычисляет сумму f i при 6 0индекс6е0 i, меняющемся от n до k. В системе Eure6k0a пользователь имеет возможность задавать необхо- димые ему функции через имеющиеся встроенные. Функции пользователя за- даются в виде Имя ф-ции список переменных выражения или Имя ф-ции список переменных выпажение

Вторая форма используется если заданная функциональная зависи- мость рассматривается как приближения. б Eureca не вычисляет производные и инегралы в аналитической форме. Она может вычислять значения производной в точке численным ме- тодом. С помощью системы Eure6k0a можно вычисл6я0ть и производные более высокого порядка. Например, чтобы вычислить вторую производную функции sin x , достаточно написать

F deriv deriv sin x ,x ,x . Ниже приводится запись в окне Edit. Комментарии помогают понять смысл записи. Вычисление производной settings Установка digits 12 числа знаков end результата Задана функция d x d sin x dx d x deriv sin x ,x d1 d 4.3 Вычислена функция d x cos x в точке x 4.3 После этого для получения решения надо подняться в верхнюю строку меню и активизировать пункт Solve. При этом используя пункт меню 6G0raph можно построить график

d x . в Пусть f x - функция, определенная на отрезке a,b . Предполо- 4 жим, что на этом отрезке содержится единственная точка x локального 4- минимума f x , причем функция строго убывает при 7 0x7,0x и строго возрас- 4- тает 7 0при 7 0x7.0x. Такая функция называется унимодальной. Заметим, что достаточно рассмотреть задачу минимизации функции f x , так как макси- мизация сводится

к минимизации с помощью введения новой функции g x -f x . Таким образом будут решены оба варианта экстремальной за- дачи. Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции f x , вычисляемых в точках x1,x2, ,x4n0. Эти методы часто называют ме- тодами прямого поиска, а точки x4i0 - пробными точками. Одним из наибо- лее эффективных методов из этого ряда является метод золотого сечения.

Золотым сечением отрезка называется такое разбиение отрезка на две неравные6 части ,что отношение0 длины всего отрезка к длине 6 0его бо6- льшей части равно отношению длины 6 0большей части к длине меньшей части отрезка. Золотое сечение отрезка a,b осуществляется каждой из двух сим- метрично расположенных относительно центра отрезка точек 62 2 7a6 a b - a 7 b6 a b - a 7 6 7 63 7?6 5 1 7?6 5 При этом точка 7a0 осуществляет золотое сечение не только отрезка a,b , но и отрезка a,7b0 .

Кроме того точка7 b0 осуществляет золотое се6- чение не только отрезка a,b , но и отрезка 7a0,b . Очередная к 1 6 0 интерации 6 0производится следующим образом. 6 0Точки 7a5 k 0 и 7b5 k 0 7 0находятся по формулам 62 5 62 7a5 k 6 a5 k 6 7 D5 k 7 b5 k 6 a5 k 6 7D5 k 7 6 5 7 63 7?6 5 5 61 7?6 5 6г0де 7D5 k 0 - длина отрезка локализации экстремума при к5ой0 интерации. Если 6f 7a5 k 6 5 7,5 6f 7b5 k 6 , то 6 6x5 k 1 0 6принадлежит 0 6 0 6a5 k 1 4,6b5

k 1 6 5 6 0 6a5 k 4,7b5 k 6 0 7 6L - L - 6и x5 k 1 6 7a5 k Если 6f 7a5 k 6 f 7b5 k 6 , то 6 6x5 k 1 6 принадлежит a5 k 1 6,b5 k 1 6 7a5 k 6,b5 k 6 6L - L - 6и x5 k 1 7b5 k Заметим, что точка 6x5 k 0 отстоит от концов отрезка a5 k 0, b5 k 0 на вел6и0чину, не превышающую 62 6 7 D5 k 7 6 . 61 7?6 5 Поэтому верна оценка 62 6 x5 k - 6x5 7 ,6 7 D5 k 6 7 D5 k 1 7 6 . 61 7?6 5 7 7?0 65 1

Т.к. каждая интерация сокращает длину отрезка 6 0в6 62 6раз,0 то справедлива следующая оценка погрешности 6 5k 1 6 2 6 x5 k 6 - x5 7 , 6 5 b - a 6 7 6 6L 1 7?6 5 7 6- Таким образом, метод золотого сечения сходится со скоростью гео- метрической прогрессии, знаменатель которой 52 g5 0 5 7 6 0.62 7 615 6 5 7?6 5 Существуют методы, которые могут оказаться более эффективными, если минимизируемая функция достаточно гладкая. Часть из них является просто модификациями методов решения нелинейных уравнений применитель-

но к уравнению f x 0. г Eure6k0a позволяет решать задачу поиска экстремума функции при помощи задания директив 7 0 min и max. При этом если функция имеет нес- колько экстремумов, то для нахождения того который нужен имеет смысл нарисовать график функции и исходя из этого графика задать начальное приближение и ограничени6я0 для поиска экстремума. В противном случае поиск экстремума будет происходить от начальных значений заданных сис- темой Eure6k0a по умолчанию и может привести не к тому экстремуму, кото- рый

хотелось бы найти. Ниже приводится пример 6записи из окна Edit. Эта 6запись позволяет найти экстремум. max T V x 5 x exp -x 2 2 sin 3 x x 2 V x 10 T V x В результате решения получается T 10.629942, x 2.58050146. д Корень х5 0 уравнения f x 0 называется простым, если f x5 0 0 и f x5 0 7-00. В противном случае корень называется кратным. Целое число m называется кратностью корня x5 0, если f5

k 0 x5 0 0 для к 0,1,2, m-1 и f5 m 0 x5 0 7-00.7 0Геометрически7 0корень 7 0x соответствует 7 0точке 7 0пересечения графика 7 0функции y f x с осью O6x0. Решение 7 0задачи 7 0отыскания корней нелинейного уравнения осуществляет в два этапа. Первый этап называ6- ется этапом локализации корней, второй - этапом итерационного уточ6- нения корней.6 0 Первый 6 0этап удобно6 0 выполнять при помощи графических средств системы Eure6k0a. 6 0На втором этапе для 6 0вычисления каждого из корней с точностью 6e0 0 используют какой-

либо из итерационных 6 0методов, позволяющих 5 0построить последовательность 6x5 0 0,6x5 1 0, ,6x5 n 0 5 0прибли6- жений,6 0сходящуюся 5 0к5 0 корню 6 x5 0. 6 0Сформулируем6 0 один из6 0этих 6 0методов в6 0виде теоремы. 6Теорема0 61.0 о сходимости метода Ньютона 6 Пусть 6x5 0- простой вещественный корень уравнения f x 0 и пусть f x 7-00 в окрестности U4r0 x5 0 x 6 0x-x5 6 0 r . Пред6п0оложим, что f x неп- рерывна в U4r0 x5 0 и 0 m inf5 0f x 5 6,5 0M sup5 0f x 5 0 6,0 6где x 0при6надл.

U4r6 x5 6 6причем 6M x5 0 6 - x5 6q 5 6 1 . 62 m Тогда, если 5 0начальное приближение 5 6x5 0 6принадлежит 5 0U4r0 x5 0 ,6 0то метод Ньютона 6f x5 k 6 6x5 k 1 6 x5 k 6-5 6 , где k 0,1,2, сходится к x5 6, 6f x5 k 6 причем6 0для6 0погрешности 6 0справедлива оценка 6 x5 k 6- x5 6 7 ,6 q5t-1 6x5 0 6 - x5 6 , где t 25k 6. Замечание 1. Аналогичные теоремы существуют для случая кратных и комплексных корней. Замечание 2. Как известно, экстремумы функции f x находятся в точках, где f x 0.

Поэтому если для g x f x выполняются условия приведенной выше теоремы, то итерационный процесс, приближающий к точке экстрему- ма6 f x 0, будет иметь вид 6f x5 k 6 6x5 k 1 6x5 k 6 где k 0,1,2, 6f x5 k 6 е Задача отыскания решения системы из N-нелинейных уравнений с N неи6з0вестными, имеющая вид f410 6x410, 6x420 6x4n0 0 f420 6x410, 6x420 6x4n0 0 6 0 1 6f0n 6x410, 6x420 6x4n0 0 встречается 6 0очень 6 0часто, т.к. в 6 0реальных 6 0исследованиях определя- ются 6 0сотни 6 0или 6 0даже 6 0тысячи 6 0параметров.

Первым 6 0этапом6 0 решения так6 0же,6 0как6 0и 6 0в6 0одно6мер0ном 6 0случае, 6 0является 6 0локализация 6 0решения x5 0 6x410, ,6x4n0 6 0,6 0т.е. подбор множества содержащего 6x5 0. Здесь далее нижний индекс будет означать номер компоненты векто- ра, а верхний - номер интерации . Часто в качестве такого множества выступает параллепипед или шар в N - мерном пространстве. Во многих случаях полное решение задачи локализации невозможно и ее можно счи-

тать решенной удовлитворительно, если из каких либо соображений удает6- ся 6 0найти хорошее 6 0начальное приближение 6x5 0 0. 6 0В 6 0простейших 6 0случаях для систем двух уравнений с двумя неизвестными могут быть использо- ваны графические методы. На втором эт6а0пе для 6вычисления 0решения с заданной точностью ис- пользуют один из итерационных методов. Рассмотрим в качестве примера метод, называемый методом простой итерации. Преобразуем систему 1 к следующему эквивалетному виду к виду удобному для интераций 6x41 7F416

x41,6x42, ,6x4n6 6x426 7F426 x416,x426, ,x4n6 6 2 6x4n6 7F4n6 x416,x426, ,x4n6 Если ввести вектор-функцию,6 7 F6 7F416,7F426, ,7F4n6 5T6, 0то6 0 система 2 запишется так 6x 7F6 x 3 Пусть начальное приближение 6x5 0 6x415 0 0,6x425 0 0, ,6x4n5 0 0 5T0 задано. Подставляя6 его 0в правую6 0часть 6 0системы 3 ,6 0 получим6 x5 1 6 7F6 x5 0 6 0. Подставляя 6 x5 1 0 в 6 0 правую часть 3 ,6 0найдем 6x5 2 6 7F6 x5 1 6 и 0т.д.

Продолжая 6 0вычисления 6 0по формулам6 x5 k 1 6 7F6 x5 k 6 ,0 6k7.600 получим пос6- ледовательность 6x5 0 0,6x5 1 0, ,6x5 k 0, приближений к решению 6x5 0. 6- 6 d7 F416 x 7 6d7F416 x 6 4 6- 6 dx416 7 6 7 6dx4n6 - матрица частных 6 Пусть 7F6 x 0 6 производных Якоби 6 6 7 6d7F4n6 x 7 6d7F4n6 x 4 6 соответствующая7 F6 x . 6 6 7 6dx416 7 6dx4n 6 6L - 6Сф0ормулируем теорему о сходимости метода простых интераций. 6Теорема 2 . 6 Пусть в некоторой 4 7s 0- окрестности 4 0решения 4 6x5 0 функции4 0 7F4i6 x i 1,2, ,

n дифференцируемы и выполнено неравенство 6n 6 6m a x 0 6 7 6d7F4i6 x 617,6i7,6n0 6 7 ,6 q5 6, где 07,6q 1 и q - постоянная . 6 7 6dx4j6 6j 1 Тогда независимо от выбора начального приближения 6x5 0 0 из указан- ной 7s 0- окрестности 7 0корня 7 0итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью гео6м0етрической прог6- рессии и справедлива следующая оценка погрешности 6m a x x4j5 k 6 - x4j5 6 7 ,6 q5k6 m a x x4j5 0 6 - x4j5 6 617,6j7,6n 17,6j7,6n

При помощи понятия нормы теорема 2 может быть сформулирована в более общем виде . Замечание 3. В условиях теоремы 2 верна апостериорная оценка погрешности 6q 6m a x x4j5 k 6 - x4j5 6 7,6 m a x x4j5 k 6 - x4j5 k-1 6 617,6j7,6n0 5 61 - q 17,6j7,6n При наличии достаточно хорошего начального приближения 6x5 0 0 можно считать, что 6n 6 5 6 6q7 6 m a x 5 7 6d7F4i6 x5 0 6 617,6i7,6n0 6 5-6 6 5 7 6dx4j6 5 6 .

6j 1 5 Пример В результате визуального анализа графиков кривых f1 и f2 из сис- темы нелинейных уравнений 6f x416,x426 x41534 6 x42536 - 8x416x426 0 6 4 6f x416,x426 x416ln x426 - x426ln x416 0 обнаружилось,5 0что5 0 одно из ее решений4 0находится вблизи точки 5 0 3.86 02 . Проверить сходимость 5 0метода простых итераций для 5 0системы 4 ,5 0если в качестве 5 0начального 5 0приближения 5 0взята точка6 x415 0 6 3.8 и x425 0 6 2. Преобразуем систему к виду убдобному для применения метода прос- тых

итераций. 437 6x416 7?6 8x416x426 - x4253 7 F416 x416,x426 6x426 x41 6x42 6 x426 - 7 F426 x416,x426 6ln x426 ln x416 Для вычисления q воспользуемся системой Eure6k0a. Сделаем в окне Edit следующую запись x 3.8 y 2 a deriv 16 x-8 1 3 ,x b deriv 30.4 y-y 3 1 3 ,y c deriv 2 2 ln 2 -x ln x ,x d deriv y y ln y -3.8 ln 3.8 ,y K abs a abs b p abs c abs d В результате решения получаем p k 7 0 0.815 1.

Cледовательно, метод простой итерации в данном случае сходится. ж Для того, чтобы найти оговоренное выше решение системы 4 при помощи среды Eure6k0a, достаточно сделать в окне Edit cледующую запись x 3 y 3 8 x y x ln y y ln x x 3.8 y 2 и отдать среде команду Solve. 6Задание 6 а Проверьте при помощи графика и таблицы из среды Eure6k0a наличие корня y предложенного вам уравнения f x 0 на указанном отрезке лока- лизации корня.

б Найдите при помощи системы Eure6k0a m и M. Проверьте выполнение условия 6M x5 0 6- x5 6 6 5 6 1 62 m из теоремы о сходимости метода Ньютона для вашего уравнения f x 0. в Решите ваше уравнение при помощи системы Eure6k0a. г Изобразите на миллиметровке графики кривых из предложенной вам системы нелинейных уравнений в указанном прямоугольнике локализации корня. Выберите начальное приближение корня.

Представьте систему в ви- де 6x 7F6 x . д Используя систему Eureka, вычислите 6n 6 5 6 6 7 6d7F4i6 x5 0 6 6 5 6 6 4 7 6dx4j6 5 6 6j 1 5 6 для каждой i-ой строки 6 0Якобиана i 1,2 6n0 . 6 0На основании 6 0этого проверьте выполнение условий теоремы о сходимости метода простой ите6- рации. е Решите вашу систему при помощи Eureka. Лабораторная работа N3 6 Экстремумы функции многих переменных.

Задача линейного программирования. Цель работы. 6 Приобретение навыков вычисления экстремумов функции многих пере- менных и решения задачи линейного программирования при помощи системы E6u0reka. Теоритическое введение. 6 а Пусть f x 6f0 x410, ,x4n0 - функция от n действительных пере- менных, минимизируемая на некотором множестве Х. Если Х R5n0, то говорят о задаче безусловной минимизации.

В противном случае говорят о задаче условной 6 0минимизации. Как 6 0и для функции 6 0одной 6 0переменной, 6 0задача максимизации функции f x сводится к задаче минимизации функ6- ции g x -f x . Из курса математики известно, что градиент функции f x , опреде- ляемый в точке а а410 а4n0 как вектор 6- 7 6df a 7 6df a 6u a указывает направление 6L 7 6dx416 7 6dx4n6 - наискорейшего 6 0возрастания6 0 функции f x в точке а. 6 0Вектор -u a , на6- зываемый антирадиентом, указывает 6 0направление наискорейшего6 0

убывания функции f x в точке а. Точка а называется стационарной точкой функции f x , если в этой точке выполняются n равенств 7 726 df a 726 0 726 7 6dx41 7 6 72 726 df a 726 0 794 6dx4n Пусть f x дважды6 0 непрерывно дифференцир6уема0. Тогда достаточным условием того, чтобы стационарная точка а была точкой локального мини- нума, является положительная определенность матрицы 6- 4 6 6 4 6 6 d526f a 7 6 d526f a 7 4 6 6 4 6 4 6 dx416dx416 dx416dx4n6 6А x 6 6 7 6d526f a 7 6d526f a 7 6 6 4 6,

,4 6 6 dx4n6dx416 dx4n6dx4n6 6L - 4 Матрица А называется матрицей Гессе. Напомним, что матрица А4 0по6- 4 ложительно определена, если 6 Ax,x 00 6 0при6 x7-600 6 0и 6 Ax,x 00 6 0при 6 x 0, где 6x x416, ,x4n6 5T6. Сущесвует большое количество различных методов нахождения безус- ловного минимума функции многих переменных. Рассмотрим в качестве при- мера один из них. Этод метод называется методом наискорейшего спуска и является

одним из представителей большого семейства итерационных мето- дов. Пусть х5 k 0- приближение к точке минимума х, а u5 k 0 u x5 k 0 -зна6- чение 5 0градиента в точке х5 k 0. 5 0Напомним еще раз, что в малой 5 0окрест- ности точки х5 к 0 направление наискорейшего убывания функции f x зада- ется антиградиентом 5 0-u5 k 0. Исходя из этого итерационную формулу мето- дом наискорейшего спуска записывают в виде 6x5 k 1 6 x5 k 6-5 7a4k6u5 k 4 6 4 6 1

Здесь - 7a4к0 шаг спуска, выбираемый из соображений минимизации функции от одной скалярной переменной 7f4k6 7a6 f x5 k 6-5 7a6u5 k 6 0при8 5 7a0 0. 5 0Т.е. 6в 0качестве 7 a4к6 0выбираем6 7 a0 для которого 7 f4k6 7a4k6 7 6min 7f4k6 7a6 0 6при 0 7a6 0. Рассмотрим применение этого метода для минимизации квадратичной функции f x410 x4n0 f x , где 6n n4 6n 61 4 6 6f x a4ij6x4i6x4j6 - b4i6x4i6 2 62 4 6 6 4 6 6i 1 j 1 i 1 Коэффициенты а4ij0 являются элементами симметричной положительно определенной матрицы

А. Используя матричные обозначения, запишем f x так 61 6f x Ax,x - b,x 4 6 4 6 3 62 Вычислим градиент и матрицу Гессе для функции 2 . 6- n n 4 6 4 -6 n 4 6 6d f x 0 610 6 4 6 4 6 4 6 6 0 6 4 6 a4ij6x4i6x4j6 4 6-4 6 b4i6x4i6 6d x4k6 0 62 4 6 4 6 4 6 4 6 6 4 6 4 6 4 6 6L i 1 j 1 4 6-x4k L6 i 1 4 6 -x4k 4 6 где k 1, ,n 6- n 4 6 n4 6 n4 6 4 6 610 6 4 6 4 6 4 6 4 6 6 0 6 a41j6x416x4j 6 a4kj6x4k6x4j6

a4nj6x4n6x4j6 - b4k6 620 6 4 6 4 6 4 6 4 6 6 4 6 4 6 4 6 4 6 6L j 1 4 6 4 6j 1 j 14 6 4 6-x4k 61 - 4 6 4 6 6 a41k6x416 a4k16x416 2a4kk6x4k6 a4kn6x4n6 a4nk6x4n6 - b4k6 62 L 4 6 4 6- 61 - 4 6 4 6 4 6 6 a41k6 a4k16 x416 2a4kk6x4k6 a4kn6 a4nk6 x4n6 - b4k6 62 L 4 6 4 6 4 6- 6 т.к. матрица A симметричная 6n 61 - 4 6 4 6 4 6 6 2a4k16x416 2a4kk6x4k6 2a4kn6x4n6 - b4k6 a4kj6x4j6 - b4k 62

L 4 6 4 6- 4 6 6 6j 1 Окончательно получаем 6n 6df x 6 a4kj6x4j6 - b4k 4 6dx4k6 6 6j 1 Тогда в матричной форме можно записать 6u x Ax - b 5 Дифференцируя обе части равенства 4 по х4р0 р 1, n , получаем4 0 6d526f x 6 a4pk 6dx4p6dx4k 4 Таким образом, матрица Гессе А х не зависит от х и равна А. 6Т0еперь благодаря формуле 5 формулу 1 можно записать в виде 6x5 k 1 6 x5 k 6 -7 a4k6

Ax5 k 6-5 6b 6 Заметим, что5 6 61 7f4k6 7a6 A x5 k 6-5 7a6u5 k 6 ,x5 k 6 -7 a6u5 k 6 -5 6 b,x5 k 6 -7 a6u5 k 6 62 6 61 5 6 5 61 6 Au5 k 6,u5 k 6 7a526 - u5 k 6,u5 k 6 7a6 Ax5 k 6,x5 k 6 - b,x5 k 6 62 5 62 6 Доказательство формулы см. в конце лабораторной работы N 3 Эта функция является квадратичной функцией параметра8 7a0 и достига- ет минимума при таком значении8 7a0 7a4к,0 для которого 7f4k5 6 7a4k6 Au5 k 6,u5 k 6 7a4k6 - u5 k 6,u5 k 6 0

Таким образом, применительно к минимизации квадратичной функции 3 метод наискорейшего спуска эквивалентен расчету по формуле 6 , где 6 u5 k 6,u5 k 6 7a4k6 5 6 7 6 Au5 k 6,u5 k 6 Имеет место следующая теорема. Теорема Пусть А - симметричная, положительно определенная матрица, и мини- мизируется квадратичная функция 3 . Тогда при любом выборе начального приближения метод наискорейшего спуска 6 ,

7 сходится и верна сле- дующая оценка погрешности 7 6 - 5n 7 l4max6 7 l4max7 6-7 l4min6 6 x5 k 6 - x5 6 7 ,6 7 6 5 6x5 0 6 - x5 7? l4min6 7 l4max7 6 7 l4min6 6L - Здесь 7l4min7 0и 7l4max7 0- минимальное и максимальное собственные зна6- чения матрицы А. б Система Eureka решает задачи на поиск минимума максимума функции 6 0нескольких 6 0переменных. При 6 0этом могут быть заданы ограни6- чения и удобные для поиска 6 0начальные значения.

6 0Для проверки 6 0способ6- ности системы Eureka решать оптимизационные задачи разработан ряд тес6- товых задач, содержащих подвохи. Одна из таких задач - поиск минимума функции Розенброка. 6Э0та функция 6 0двух переменных образует в трехмер6- ном пространстве овраг , затрудняющий поиск. Далее приводится за6- пись из окнa Edit, позволяющая минимизировать функцию Розенброка. 6 min F 6f x,y 100 y-x 2 2 1-x 2 6F f x,y 6x -1.2 6y 0

Начальное значение переменных далеки от решения х y 1 и F 0. Еще одна тестовая задача содержит ограничения. 6 min F 6f x,y x-2 2 y-1 2 6F f x,y 6-x 2 y 0 6-x-y 2 0 Точное решение F 1, x 1, y 1. При решении оптимизационных задач с ограничениями Eure6k0a выводит в окне Solution сообщение о том, насколько полно удовлетворены ограни- чения.

В идеальном случае выводится 100 . Если это число значительно меньше чем 100 , то это может служить признаком неточного нахождения экстремума. Пока не существует программа, которая была бы способна ре- шить любую оптимизационную задачу. Поэтому надо быть готовым к тому, что Eureka может не справиться с предложенным ей заданием. в При решении ряда технологических и экономических проблем воз- никает задача вида найти max

Z x или min Z x 6n 6 если6 Z x c4j6x4j6 c40 6 6 6j 1 при ограничениях 6n 6 6 a4ij6x4j7 ,6 b4i6 i 1,m416 6 6 6j 1 6n 6 6 a4ij6x4j6 b4i6 i m416 1,m426 6 6 6j 1 6n 6 6 a4ij6x4j7 .6 b4i6 i m426 1,m 6 6 6j 1 6x4j7.6v4j7.60 4 6 4 6 4 6j 1,n41 6 6x4j7,6w4j7,60 4 6 4 6 4 6j n416 1,n4 6 Такие задачи называются задачами линейного программирования. Для решения этих задач создан специальный метод, называемый симплекс-мето- дом. Изучение задач линейного программирования является предметом спе- циального курса, поэтому рассмотрим

здесь часный случай. Пусть n 2 т.е. Z x с410х410 с420х420 с400 и при этом заданы следующие ограничения 2 6 a4ij6x4j7 ,6 b4i6 i 1,m 6j 1 6x4j7.6v4j7.60 4 6 j 1,2 В этом случае решение задачи имеет наглядную геометрическую инт6ер0- претацию. 6 0Исходя из заданных ограничений 6 0строится многоугольник до- пустимых решений. Далее, для каждой точки плоскости функция Z x принимает 6 0фиксированное 6 0значение

Z4т0. 6 0Множество6 0всех 6 0точек, в кото6- рых, 6 0Z x Z4т0 есть 6 п0рямая 6 0с410х410 с420х420 с400 Z4т0 6 0перпендикулярная 6 0вектору 76 6C0 с410,с420 , выходящему 6 0из начала 6 0координат. Если эту прямую предви6- гать 6 0параллельно 6 0самой 6 0себе 6 0по 6 0направлению вектора с, то линейная функция Z x будет возрастать, а в противоположном направлении - убы6- 76 вать. Пусть при движении прямой Z по направлению вектора 6C0 она впервые встретится с многоугольником допустимых

решений в одной из его вершин. Зафиксируем это положение прямой Z. В этой точке функция Z x примет минимальное значение. 76 При дальнейшем движении прямой Z по направлению вектора 6C0 она пройдет через другую вершину, выходя из многоугольника допустимых ре- шений. В этой точке функция Z x примет максимальное значение. Вообще говоря, прямая

Z может иметь с многоугольником допустимых решений на входе и на выходе либо одну общую точку выршину многоу- гольника , либо бесконечное множество точек сторону многоугольника . Если область допустимых решений незамкнута, то минимума и или макси- мума Z x можем не быть совсем. Рассмотрим типичную задачу линейного программирования. Пусть не- кий цех с про6и0зводительностью 450 тонн продукта в месяц способен про- изводить три разновидности

этого продукта. Согласно договорам цех дол- жен изготовить не менее 40-ка тонн первой, 60-ти тонн второй, 80-ти тонн третьей разновидности продукта за месяц. Для изготовления этих разновидностей продукта используются четыре материала в различных со- отношениях. Цех располагает следующими запасами материалов первого - 100 тонн, второго - 150 тонн, третьего - 120 тонн и четвертого -

180 тонн. Данные о расходах материалов на производство одной тонны каждой разновидности продукта сведены в таблицу. T T T T 6 Расход матери-0 6 L ала на0 6одну0 6 Раз-0 6L тонну0 6 0 I-го II-го III-го IV-го 6новидно-L 0 6 0 6сти продуктаL 0 первая 0.3 тонны 0.2 тонны 0.4 тонны 0.4 тонны вторая 0.2 тонны 0.1 тонны 0.3 тонны 0.6 тонны третья 0.2 тонны 0.5 тонны 0.2 тонны 0.3 тонны

L Требуется найти оптимальное в смысле максимизации прибыли коли- чество каждого вида изготавливаемого продукта при условии, что стои- мости 6 0разновидностей 6 0этого 6 0продукта 6 0равны 6 0первого - 13.5, второ6- го -11.36 и0 третьего - 8.2 денежные единицы за тонну. Для решения приведенной выше задачи при помощи системы Eureka нужно сделать следующую запись в окне Edit. 6 max f 6Z x,y,v 13.5 x 11.3 y 8.2 v 60.3 x 0.2 y 0.2

v 7,6 100 60.2 x 0.1 y 0.5 v 7,6 150 60.4 x 0.3 y 0.2 v 7,6 120 60.4 x 0.6 y 0.3 v 7,6 180 6x7 . 640 y7 . 660 v7 . 680 6x y v 7, 6450 6f Z x,y,v После решения получаем следующие результаты. 6f 7 6 4538.9983 , x 7 6 90.001006 , y 7 6 119.99876 , v 7 6 239.99985 6x y v 7 6 499.9996 6Поcле подстановки получаем 60.3 x 0.2 y 0.2 v 7 6 99.000023 60.2 x 0.1 y 0.5 v 7 6 150.0 60.4 x 0.3 y 0.2 v 7 6 120.0 60.4 x 0.6 y 0.3 v 7 6 179.99961 Вывод формулы 61 6 A x -

7a6u ,x -7 a6u - b,x -7 a6u 62 61 1 6 A x -7 a6u ,x - A x - 7a6u ,7a6u - b,x b,u 7a6 62 2 61 - 6 Ax,x - Au,x 7a6 - Ax,u 7a6 5 6 Au,u 7a526 - b,x b,u 7a6 62 L - 6 Заметим,6 0что Au,x 6 0 6 0 Ax,u . 6 0Действительно,6 0 Au6,0x 6 0 6 0 6u0,6Ax0 6т.к. 0А - симметричная матрица6 и u,

Ax Ax,u по свойству скалярно- 6го произведения . 6 61 -5 6 Ax,x Au,u 7a52 6 - Ax,u 7a6 - b,x b,u 7a6 62 L5 - 6 т.к. u Ax - b , то Ax u b 61 -5 6 Ax,x Au,u 7a52 - 6 u b,u 7a6 - b,x b,u 7a6 62 L5 - 617 6- 6 Ax,x Au,u 7a526 - u,u 7a6 - b,u 7a6 - b,x b,u 7a6 62 L - 61 1 6 Au,u 7a52 -6 u,u 7a6 Ax,x - b,x . 62 2 6Задание 6 а

Составьте матрицу А для предложенной вам квадратичной функции. Проверьте при помощи критерия Сильвестра положительную определенность матрицы А. Найдите 6 7l4max6 -4 7l4min6 6q 6 7l4max6 -7 l4min6 являющееся знаменателем геометрической прогрессии со скоростью которой сходится 6 0метод 6 0наискорейшего 6 0спуска. Для этого составьте уравнение 6det A -7 l6E 0 и решите его используя процедуру 4 6poly x,a4n6, ,a406 4.

б Придумайте пример задачи линейного программирования и решите эту задачу при помощи системы Eureka. Измените коэффициенты целевой функции и ограничения. Решите задачу заново. Придумайте трактовку по- лученным результатам. Лабораторная работа N4 4 Приближение функций. Вычисление определенных интервалов. Решение дифференциальных уравнений. 6Цель работы 6

Приобретение навыков вычисления определнных интегралов, реше- ния диф. уравнений и приближения функций методом наименьших квад- ратов при помощи системы Eure6k0a. 6Теоретическое введение 6 I 6 Вычисление определенных интегралов 7 Разобъем отрезок интегрирования a,b на отрезки x4i-10,x4i0 точками a x400 x410 x 4n0 b. Интеграл разобъется при этом на сумму интегралов 6n x4i 6 7 !

6I I4i6 7 26 f x dx 1 6 7 2 6 7 1 6i 1 x4i-1 6Обозначим f4i6 f x4i6 , f4i-1 26 f x4i-1 26 4 ,6 где x4i-1 26 x4i-1 6 x4i6 2 Шаг h x4i0- x4i-10 будем считать постоянным. а Заменим 6 0приближенно 6 0каждый 6 0интеграл из формулы 1 пло- щадью прямоугольника, основание 6 0которого 6 0отрезок6 0 x4i-10,x4i0 , а вы- сота равна f4i-1 20. Тогда мы получим приближенное равенство 6n 6 6I 7 6 h f4i-1 26 I4пр6 4 6 2 6 6 6i 1 Формула 2 называется составной6 0 квадратной 6 0формулой6 0 прямоу- гольников.

б Заменим приближенно каждый интеграл6 0 из6 0 формулы 1 6 0 пло- щадью 4 0трапеции, стороны 4 0которой6 4 6 x4i-16,x4i6 , x4i-16, x4i-16,f4i-16 , 6 x4i-16,f4i-16 , x4i6,f4i6 и0 6 x4i6, x4i6,f4i6 .0 При 6 0этом мы получим прибли6- женное равенство 6 6n 6- 6 f406 f4n6 f4i6 6I7 6 h I4тр6 3 6 2 6L i 1 - Формула 3 называется составной квадратной формулой трапеций. в Заменим приближенно 4 0каждый интеграл 4 0из формулы 1 пло6- щадью 6 0фигуры, расположенной 6 0под парабалой,

проходящей через точки 6 x4i-16,f4i-16 , x4i-1 26,f4i-1 26 0и 6 x4i6,f4i6 0. 6 0После6 4 6 0интегрирования6 4 0и соответствующих преобразований получается приближенное равентство 6n 4 6 n-1 6- 4 6 4 6 4 6 6h0 6 4 6 4 6 4 6 6I7 6 f40 6 f4n6 4 f4i-1 26 2 f4i6 I4с6 4 660 6 4 6 4 6 4 6 6L 4 6 4 6i 1 4 6i 1 - Формула 4 называется составной квадратной формулой Симпсона. г П6р0иведенны6е0 выше способы в5 0ычисления5 0 определенного интегра- ла 5 0дают достаточно

х5 0орошую 5 0точность. Погрешености 5 0этих способов таковы 6M42 6 b - a M426 b - a 6 I - I4пр 6 7,6 4 6h52 6 и I - I4тр6 7 ,6 h526 , 624 12 6где M426 m a x f5 6 x 5 a,b 6M446 b - a 6 I - I4с6 7 ,6 h546 , где M446 m a x f5 6 x 628805 a,b д С помощью системы Eure6k0a можно вычислять определенные интегра6- лы численным методом с контролем погрешности

результата. Чем меньше заданная погрешность, тем длинее 6 0процесс вычислений.6 0 Далее приво6- дится запись, которую необходимо сделать в окне Edit для вычисления6 интеграла 49 7! 72 5 6 x53 72 5 7 6 dx 71 ?6 5 6x546 31 57.3 6 Запись в окне Edit 6y x sqrt x 3 x 4 31 6z integ y x ,x,7.3,9 После этого для получения решения6 0 надо 6 0подняться6 0 в верхнюю строку меню и активизировать пункт

Solve. Следующий 6 0пример иллюстрирует задание6 0 функции 6 0пользователя, содержащей 6 0вычисление 6 0опрделенного 6 0интеграла. 6 0В данном случае вы- числяется 6 0путь, пройденной объектом6 0с 6 0постоянным ускорением. При такой 6 0записи 6 0задачи 6 0используя пункт меню Graph 6 0можно 6 0построить график пройденного пути. v t 7 t 5 s1 integ v t ,t,0,4 s tp integ 7 t 5,t,0,tp Если с помощью функций вычисления6 0 интегралов 6 0и 6 0производных задаются 6 0функции6 0пользователя,

то6 0 нужно 6 0необходимые6 0 функциональ- ные 6 0зависимости задавать после открывающей 6 0скобки 6 0списка6 0 аргу- ментво.6 0 В 6 0противном6 0 случае могут6 0 возникать6 0 больше погрешности из-за неучета особого статуса переменных. С6 0 помощью6 0 системы 6 0Eure6k0a 6 0можно 6 0вычислять и кратные интегралы. При6 0 этом может потребоваться6 0 использование 6 0команды 6 0Interate 6 0для уточнения 6 0вычислений, заканчивающих6 0из-за 6ис0черпания лимита6 0времени.

Для вычисления кратных интегралов 46 8 6 42 4 6 7 6 7 72 26 e5xy6 dxdy и7 6 72 2 26 xyz dxdydz 71 1 6 71 1 1 55 7.3 6 51 3 5 в окне редактирования должна быть записана следующая информа- ция 6I integ integ exp x y ,x,7.3,8 ,y,5,6 6P integ x integ y integ z,z,1,2 ,y,3,4 ,x,5,6 II Приближение функций методом наименьших квадратов. 7 а Пусть 7 0функция 7 0y f x задана 7 0таблицей 7 0приближенных значений y4i7 0f x4i0 ,7 0i 0,1, ,n4 0полученных с ошибкой 7e4i0 y4i5 0-y4i0, где6 y4i5 6 f x4i6

Используем для аппроксимации функции f линейную модель 6y7 6 7 F4m6 x 7 6 a407f406 x a417f416 x a4m7f4m6 x Здесь 6 7f406 x ,7f416 x , ,7f4m6 x 0- 6система фундаментальных функций, 6a406,a416, ,a4m6 -0 6искомые 0параметры 6 0модели, 6 0являющиеся коэффициентами обощенного многочлена7 F4m6 x . Теперь мы можем записать систему приближенных неравенств 6a407f406 x406 a417f416 x406 a4m7f4m6

x406 7 6 y40 6a407f406 x416 a417f416 x416 a4m7f4m6 x416 7 6 y41 6 6a407f406 x4n6 a417f416 x4n6 a4m7f4m6 x4n6 7 6 y4n 6и0ли в матричном виде Pa y. В 6 0качестве 6 0критерия 6 0для 6 0выбора 6 0параметров 6 0a400,a410, ,a4m 0в методе наименьших квадратов используется min S a,y , где 6n0 6- m 52 6 6S a,y a4j7f4j6 x4i6 - y4i6 , где a a406,a416, ,a4m6 6 6 6i 00 6L j 0 - Простейший6 0 способ 6 0решения 6 0этой задачи 6 0состоит в использовании необходимого условия экстремума 6функции

S 0 6dS 6 0 , k 0,1, ,n 6da4k 6Вычисляя частные производные и меняя порядок суммирования при- 6ходим к системе линейных алгебраических уравнений 6m0 6- n 4 6 n 6 4 6 6 7 f4j6 x4i6 7f4k6 x4i6 a4j6 4 6 y4i7f4k6 x4i6 , k 0,1, ,n 6 4 6 4 6 6 4 6 4 6 6j 00 6L i 0 4 6- i 0 которая 4 0называется нормальной системой метода наименьших4 0квадратов. В матричном виде эту систему можно записать так 6P5T6Pa Py 5 6Обозначим 5 6 P5T6P Г и P5T6y b , тогда 6Гa b 5

Искомые параметры 6a406,a416, ,a4m0 являются решении системы 5 . Если6 0 при аппроксимации6 0 функции y f x используется6 0 модель g x,a , 6 0где g x,a 6 0нелинейно зависит 6 0от 6 0параметров 6 0a400,a410, ,a4m0, то применение критерия наименьших квадратов приводит к задаче оп- ределния искомых параметров из условия минимума функции 6n 6 - 4 6 52 6S a,y g x4i6,a - y4i6 6 4 6 6 L 4 6- 6i 0

Такая4 0 задача 4 0весьма трудна для решения и требует4 0специальных методов 4 0минизации для 4 0нахождения 4 0параметров, однако 4 0в некоторых случаях 4 0нелинейную задачу 4 0можно 4 0свести к 4 0линейной. Пусть, напри- мер, зависимость y от x ищется в виде y ae5bx0, где a 0. 4 0Логарифмируя это 6 0равенство, 6 0 приходим 6 0к 6 0линейной 6 0зависимости 6 0ln6 0y6 0 ln6 a bx велечины 6 Y0 ln6 0y6 0 от6 0 x. б Рассмотрим несколько примеров решения указанной выше 6 0задачи в системе

Eure6k0a. Пример1 Пусть имеется ряд точек 6 0 x410,y410 , x420,y420 , x4n0,y4n0 и надо 6 0подо6- брать коэффициенты a и b линейной зависимости 6y x a bx т.е.7 f406 x 1,7 f416 x x 6 такими, чтобы 6 0 прямая 6 0y x 6 0 прошла в облаке 6 0точек 6 0с 6 0наименьшим 6общим 0среднеквадратичным 6 0отключением от них. Зависимость 6 приб- лиженная 6 0поэтому 6 0вместо знака 6 0точного равенства 6 0надо использовать знак .6 0 Чтобы 6 0отдать системе 6 0команду 6 на0 решения методом наимень- ших 6 0квадратов 6 0необходимо 6 0указать 6 0директиву

substlevel 0. Пусть координаты 6 0заданных точек таковы6 0 6 0 7,46.05 , 9,7 , 11,8 , 15,96.07 , тогда в окне Edit должна быть сделана следующая запись f x a b6 x f 7 4.5 f 9 7 f 11 8 f 15 9.7 substlevel 0 После 6 0этого для6 0получения решения6 0 6н0адо подняться 6 0в верхнюю6 0стороку меню и активизировать пункт Solve. Пример 2 Заданная линейная зависимость иммет более сложный вид y x ax530 be5x0 c6 1 x 7 6 0 т.е. 7f400 x x530, 7f410 x e5x0, 7f420 x 1 x

При этом записать в окне Edit будет иметь следующий вид f x a f1 x b f2 x c f3 x f1 x x 34 0 4 0f2 x exp x 4 0 4 0f3 x 1 x f 3 74 0 4 0f 4 5.74 0 4 0f 5 4.74 0 4 0f 6.3 6.4 f 8.1 7.544 0 4 0f 9 8.74 substlevel 0 Пример 3 Заданная 6 0нелинейная 6 0зависимость6 0имеет6 0вид 6 0y x e5t6,5 6где t ax5n6 b Ecли в окне Edit сделана запись f x exp a x n b f 1 1.49 f 2 2.35 f 3 4.26 f 4 8.59 f 5 19.01 substlevel 0 , то в качестве ответа будут получены значения a 0.25247859 6, 0b 0.14432727 6, 0 6n0 1.4951058 6C0истема7 0

Eure6k0ca находит неизвестные параметры и для7 0 более сложных зависимостей например y x ae5-bx0 ab. Eще один выжный вид аппроксимационной зависимости6 0-6 0полиномальная зависимость y x a4m0x5m0 a410x a400. Количество пар 6задан0ных точек должно превышать6 0 m 1. Если 6 0оно 6 0равно 6 0этой 6 0велечине, то 6 0реализуется6 0 не регрессия, а обчная полиномиальная аппроксимация. 6III Решение дифференциальных уравнений.

7 а Система Eure6k0a 6 0не приспособлена для 6 0решения диф. уравнений. Однако, в некоторых случаях система может решать задачу Кош6и0 6 0методом Э6й0лера. При 6 0этом6 0прийдется6 0 ограничит6ь0ся несколькими 7-8 точками, поскольку в6 0 противном6 0случае6 в0озможности6 0 системы6 0 преобразовывать переменные и подставлять их друг в друга будут исчерпаны.6 0Отсутствие в языке системы операторов6 организации циклов усложняет задачу.

Кроме 6того переменные в системе Eureka переопределить нельзя, что иллюстри- 6руется примером. Пусть в окне Edit записана приведенная ниже информа- 6ция. 6y 7 6p y sin y exp y 6p1 p 4 6y1 y 6y 847 6y2 y 6При этом в окне Solution после решения появляются следующие зна- 6чения переменных y 7 , y1 7 и y2 7. Значение p1 p 4 будет вычис- 6лено верно. 6б Приближенное решение задачи

Коши методом Эйлера заключается 6в приближенном решении диф. уравнения y4x5 6 f x,y x , удовлетворяющем 6начальному условию y x406 y406. Сеточное решение задачи состоит в пост- 6роении 4 6таблицы 4 6приближенных 4 6значений 4 6y416,y426, ,y4n 6 4 6в4 6 точках 6x416,x426, ,x4n6.4 6Чаще всего x4i6 x406 ih4 6, i 1,2, ,n. Точки x4i6 называются 6узлами сетки, a h - шагом сетки h 0 . 6В методе Эйлера y4i 16 вычисляется по формуле 6y4i 1 6 4 6y4i 6 4 6hf x4i6,y4i6 , i 0,1, 6Этот метод

относится к группе одношаговых методов, в которых для 6расчета точки x4i 16,y4i 16 требуется информация только о последней вы- 6численной точке x4i6,y4i6 . 6Метод имеет простую геометрическую интерпритацию. Предположим, что 6известна точка x4i6,y4i6 на искомой интегральной кривой. Тогда каса- 6тельная к этой кривой, проходящая через точку x4i6,y4i6 определяется 6уравнением 6z x

y4i 6 y4x5 6 x4i6 x-x4i6 ,а т.к. 5 6y4x5 6 x4i6 f x4i6,y4i6 4 6и4 6 x4i 16-x4i6 h , 6то z x4i 16 y4i6 hf x4i6,y4i6 y4i 1 6в Запишем в качестве примера следующее диф. уравнение y5 6-y e5x 6с начальными условиями x406 3 , y x406 y406 4e536 , где e7 6 2.71828 6Точным решением этого диф. уравнения является функция 5 6y x 1 e5x6. 6Выберем шаг сетки h 0.05 . В этом случае для решения диф. уравне- 6ния методом

Эйлера в окне Edit должна быть сделана следующая запись 6f x,y exp x y 6h 0.05 x0 3 y0 4 exp 3 6y1 y0 h f x0,y0 x1 x0 h 6y2 y1 h f x1,y1 x2 x1 h 6y3 y2 h f x2,y2 x3 x2 h 6y4 y3 h f x3,y3 x4 x3 h 6y5 y4 h f x4,y4 x5 x4 h 6y6 y5 h f x5,y5 x6 x5 h 6y7 y6 h f x6,y6 x7 x6 h 6Задание 6 6а Найдите точное решение предложенного вам диф. уравнения. 6б Найдите при помощи системы Eureka сетечное решение 6диф. уравнения методом

Эйлера. 6в Получите приближенное решение диф. уравнения в аналитичес- 6кой форме используя для этого предложенную вам аппроксимационную за- 6висимость. 6г Определите площадь, заключенную между графиком точного и 6графиком0 6приближенного решения на отрезке сеточного решения. 6д Определите площадь, заключенную между графиком точного ре- 6шения и осью 0x на отрезке сеточного решения. 6e

Определите в процентах отношение площади, вычисленной в 6пункте г , к площади, вычисленной в пункте д . РАБОТА В СИСТЕМЕ EUREKA. Введение Интегрированная многооконная система Eureka предназначена для решения не очень сложных и часто встречающихся математических задач. С помощью системы Eureka можно решать следующие задачи 1 Решение нелинейного уравнения 2 Вычисление корней полинома 3

Вычисление определенного интеграла 4 Вычисление производных функции 5 Поиск экстремумов функций одной или многих переменных 6 Решение системы линейных уравнений 7 Решение системы нелинейных уравнений 8 Аппроксимация функций 9 Интерполяция функций 10 Линейное и нелинейное программирование Система объединяет редактор, вычислитель, верификатор проверяет правильность вычислений ,генератор отчетов

и простой графопостро- итель.Система ориентирована на ПК класса IBM PC XT и AT и может размещаться на одном гибком диске объемом до 360 Кбайт. Система может работать на ПК без математического сопроцессора, однако его использование значительно повышает скорость работы. Загрузка системы Необходимо выполнить файл eureka.exe. После запуска на экране монитора появляется табло оболочки системы.

Экран оказывается разделенным на четыре окна Edit - для ввода и редактирования текста задачи Solution - для вывода результатов Report - для вывода отчета о вычислениях на экран,принтер или в файл с расширением log Verify - для проверки точности результата. Окно в пассивном состоянии обведено одинарной рамкой,а в ак- тивном - двойной.Курсор располагается в активном окне 2 - Меню системы

Кроме окон, табло оболочки содержит верхнюю и нижнюю строки меню. В верхней строке оболочки перечисляются позиции основного меню системы File - работа с файлами Edit - редактирование текущего файла Solve - запуск вычислителя Commands - выбор команды управления Report - подготовка отчета Graph - вывод графиков и таблиц

Options - задание опций системы Window - работа с окнами. Переход в верхнюю строку меню выполняется клавишей ESC. Нижняя строка меню показывает возможности работы с ключевыми клавишами hot keys . Ee содержимое может меняться в зависимости от режима работы системы.Наибольший интерес эта строка представ- ляет в режиме редактирования.

В этом случае она предлагает следую- щие команды F1 - Help - помощь по контексту можно получать в любой по- зиции меню и подменю F2 - Save - запись текущего файла на диск F3 - Load - загрузка файла с диска F5 - Zoom - расширение активного окна на весь экран и воз- вращение его при повторном нажатии к исходным размерам F6 - Next - переключение активности окон по циклу

F7 - BegBek - отметка начала блока F8 - EndBek - отметка конца блока SCROOL - Size move - изменение размера и положения окна. Нажатие клавиш Ctrl и Alt приводит к высвечиванию иных клю- чевых клавиш. Esc - отмена команды переход в вышестоящее меню Alt E - переход в окно редактирования Alt S - начать решение задачи

Alt C - включить встроенный калькулятор Alt X - выход из системы 3 - Операции с файлами Если активировать в верхней строке позицию File,то после нажатия клавиши Enter откроется подменю со следующими пунктами Load - загрузка файла New - подготовка к заданию нового файла очистка окон Save - запись текущего файла Directory - просмотр директории

Change dir - смена текущей директории New directory - создание новой директории Rename - переименование текущего файла OS shell - временный выход в MS DOS возврат по команде Exit Quit - выход из системы по окончании работы. Редактирование текста задачи Если активизировать вторую позицию верхней строки и нажать клавишу Enter, то мы окажемся в окне редактирования задач.

Решение задачи Третьей позицией верхней строки является команда Solve. После того как редактирование задачи окончено нужно нажать Esc для по- падания в верхнюю строку меню и активизировав пункт меню Solve, запустить задачу на счет нажатием клавиши Enter. Если в описании задачи ошибок с точки зрения системы нет, то начнется процесс ре- шения.

По окончании этого процесса результат работы будет предс- тавлен в окне Solution. Команды Четвертая позиция верхней строки - Commands. При активизации этой позиции и нажатие клавиши Enter открывается следующее подме- ню Verify - проверка решения результат работы этой команды выводится в одноименное окно Calculate - включение калькулятора для выключения -

Esc Find other - поиск другого решения Т.к. итерационные методы 4 - приводят только к одному из возможных решений, то для нахождения других надо исключить найден- ное и заново решить задачу. Именно это и делает данная команда. При этом радиус поиска иного решения задается установкой radius действи- тельное число. По умолчанию радиус равен нулю. Iterate - пуск итераций после остановки решения Команда ис- пользуется для уточнения найденного решения

при условии, что заданная точность не достигнута, а время отведенное на процесс решения закончено . Формирование отчета Отчет содержит титул, листинг программы, результат решения и его верификации и график заданной функции. Пятая позиция верхней строки Report открывает следующее подменю Go - составление отчета результат этой команды появляется в окне Report Output - направление вывода отчета экран, принтер

Formatted - форматирование отчета Capture - запись отчета в файл eureka.log По запросу EUREKA.LOG EXIST.A TO ADD,E TO ERASE этот файл можно дополнить или стереть. При включенной команде в строке переключений будет стоять ON, иначе OFF Logfile name - изменение имени log-файла. Построение графика Подменю шестой позиции верхней строки

Gragh состоит из четырех пунктов Plot - построение графика Output - вывод графика на экран или принтер List - вывод таблицы Function - задание функции, которую надо построить. Опишем последовательность действий, необходимых для построе- ния графика функции более подробно. Способ N 1 5 - Активизируйте т.е. подведите курсор и нажмите

Enter пункт верхнего меню под названием - Graph. В открывшемся подменю акти- визируйте пункт - Function. В появившуюся после этого строку вве- дите название вашей функции например y x или ab и нажмите En- ter. Во вновь появившуюся строку введите определение вашей функ- ции например sin x x 2 и нажмите Enter. После этого активизи- руйте пункт подменю с названием - Plot. В появившуюся строку вве- дите начало интервала построения графика и нажмите

Enter. Во вновь появившееся окно введите конец интервала и нажмите Enter. В результате всех перечисленных действий на дисплее появится окно, содержащее график, выполненный символами псевдографики. Если те- перь нажать F5, то график перерисуется на весь экран при помощи истинной графики. Повторное нажатие F5 приводит к возвращению эк- рана в состояние,существовавшее до первого нажатия этой клавиши. График может быть перерисован на весь экран в символах псевдогра- фики, если перед

F5 была нажата клавиша F4. При этом, для того чтобы вернуться в режим, позволяющий использовать истинную графи- ку, необходимо нажать F7. Способ N 2 Войдите в окно Edit. Запишите в нем определение одной или не- скольких функций например z x sin x x 2 p x deriv deriv 5 cos x ,x ,x m x 1 x и любую вычислительную задачу например t z 1 . Поднимитесь в верхнюю строку меню и активизируйте в ней пункт

Solve. После того, как вычислительная задача будет решена активи- зируйте пункт меню Graph. В открывшемся подменю активизируйте пункт Plot. При этом появится меню, позволяющее выбрать функцию из числа определенных в окне Edit для построения графика. Выбор функции осуществляется при помощи курсора. Его надо подвести к названию функции и нажать Enter.

Далее выполняются те же дейс- твия, что и в 1-ом способе после активизации пункта Plot. Если возникает потребность в построении графика другой функ- ции из числа определенных в окне Edit , то необходимо войти в окно Edit, выйти из этого окна при этом редактировать записи не обязательно , активизировать пункт Solve и далее повторить опи- санные выше действия 6 - Примечание Для вывода на экран функции в табличном виде при- годны оба описанных выше способа.

Отличием является только то, что вместо пункта Plot активизируется пункт List. При этом Eureka потребует ввести начало интервала вычислений, шаг вычисления и число точек, в которых вычисляются значения функции. Параметры системы Седьмая позиция верхней строки Options имеет следующее под- меню Variables - изменение значений переменных без вхождения в редактор

Settings - задание установок системы accuracy - задание погрешности вычислений complex yes no - с параметром yes разрешает вычисления с комплексными числами casefold yes no - с параметром yes отменяет имеющееся по умолчанию различия между пропис- ными и строчными буквами digits - определяет число цифр у результатов вычи- слений substlevel n - задает количество преобразований переменных,в ходе которых одни переменные автома- тически выражаются через другие. При n 0 такие преобразования не выполняются.

Допустимые значения n 0,1,2, ,6. По умолчанию эта установка равна шести. Если задача не решается или решается пло- хо, то варьирование n в указанных пределах в ряде случаев улучшает ситуацию. Так, в задаче N14 для самостоятельной работы рекомендуется в качестве первой строки листинга записать substlevel 2 . Кроме перечисленных, этот пункт подменю содер- жит еще ряд установок, о назначении которых можно узнать, воспользовавшись клавишей

F1 т.е. Help . Сolors - установка окраски окон, рамок и текстов Directories - установка директории Система и отдельные фай- лы могут храниться в разных директориях.В этом случае нужно указать системе, где находятся ее файлы и файлы с примерами расчетов. Load SETUP - загрузка установочного файла Write SETUP - запись установочного файла 7 - Работа с окнами Восьмая позиция верхней строки Window также имеет подменю

Open - открывает активное или указанное окно Close - закрывает активное или указанное окно Next - делает активным следующее окно Zoom - расширяет активное окно Tile - делает размеры окон равными Stack - располагает окна друг за другом Goto - переход в активное окно из меню. Сведения о системе Eureka имеет следующие ограничения - максимальная длина идентификатора до 40 символов,из них 10 являются

основными - число определенных пользователем функций не более 10 - число используемых числовых констант не более 200 - число переменных не более 12 - число подстановок одних переменных в другие до 6. При этом может использоваться подстановка одних переменных в другие, нередко сводящая задачу к точному решению. Алфавит системы Eureka содержит стандартный набор символов. Это латинские прописные от А до Z и строчные от а до z буквы, а также ряд спецзнаков - разделитель

для выражений размещенных в одной строке - отмечает начало строки комментария - внутри скобок размещается комментарий - используется для работы с размерными комментариями - указывает, что следующее слово - директива установка - операция присваивания - задание определение функции пользователя или началь- ных значений переменных. Длинные выражения после символа арифметической операции мож- но переносить на другую строку. Eureka может производить следующие операции сложение - вычитание 8 - умножение деление возведение

в степень изменение приоритета операций меньше больше меньше или равно больше или равно. Элементарные функции Eureka имеет функции re z и im z , возвращающие действи- тельную и мнимую части комплексного числа z x iy. Перед примене- нием этих функций необходимо ввести директиву complex yes и обозначить мнимую единицу i 2 -1 или i sqrt -1 . abs z - модуль exp z - вычисление e 2,71828 в степени z floor x - целая часть х ln z - вычисление натурального ло- гарифма z log10 z - вычисление десятичного

логарифма z sqrt z - вычисление корня квадратного из z pos x - возвращает х при х 0 и 0 в противном случае sgn x - возвращает 1 при х 0, -1 при х 0 и 0 при x 0 atan2 y,x - вычисление арктангенса по координатам x и у угол заключенный между осью Ох и отрезком, концы которого 0,0 и х,у polar x,y - преобразование декартовых координат в полярные sin z , cos z , tan z - вычис- ление синуса, косинуса и тангенса z sinh z , cosh z ,tanh z - вычисление гиперболических синуса, косинуса и тангенса z.

Кроме перечисленных выше функций Eureka имеет еще ряд функций и процедур fact n - вычисление факториала числа n ncum x - вычисляет специальную функцию ошибок Р х для нор- мального распределения sum f i ,i,n,k - вычисляет сумму f i при индексе i, меняю- щемся от n до k. В системе Eureka пользователь имеет возможность задавать не- обходимые ему функции через имеющиеся встроенные. Функции пользо- вателя задаются в виде

Имя функции список переменных выражение или Имя функции список переменных выражение Вторая форма используется, если заданная функциональная за- висимость рассматривается как приближенная 9 - Примеры задач решаемых системой EUREKA. L Пример N1 Решить нелинейное уравнение e5 x 2 0-5x 1 0. Решение Набираем в окне Edit exp x 2 -5 x 1 0. Производим действия описанные в пункте

Решение задачи далее это будет имено- ваться решить задачу . Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values x 1.3086594 При помощи отделения корня можно попробовать найти другое реше- ние, т.е. набрать в окне Edit exp x 2 -5 x 1 x-1.3086594 0 и решить задачу заново. Искать другое решение можно также при по- мощи пункта меню

Find other и установки radius. Пример N2 Вычислить корни полинома x560-x540-x530 3x520-1, т.е. решить уравнение x560-x540-x530 3x520-1 0. Решение Для вычисления значений, а также действительных и комплексных корней полинома в системе Eureka существует специальная функция poly x,an, ,a0 . Набираем в окне Edit settings Начало блока установок complex yes Работать с комплексными числами accuracy 1.0e-9 Задаваемая точность вычислений digits 8

Количество знаков у результатов вычислений end Конец блока установок i sqrt -1 Определение мнимой единицы p x poly x,1,0 1 1,3,0 1 Решив задачу получаем в окне Solution 10 - Roots to the polynomial p Real part Imaginary part 1 0.69807525 0.0 2 -0.54737816 0.0 3 0.94982970 0.6507578 4 0.94982970 -0.6507578 5 -1.0251783 0.9608054 6 -1.0251783 -0.9608054 После нахождения корней сделаем выборочную проверку.

Подста- вив первый, третий и четвертый корни в полином. Для этого сделаем в окне Edit следующие записи settings complex yes accuracy 1.0e-9 digits 8 end i sqrt -1 a 0.69807525 z1 a 6-a 4-a 3 3 a 2-1 b 0.94982970 0.6507578 i c 0.94982970-0.6507578 i z2 b b b b b b-b b b b-b b b 3 b b-1 z3 c c c c c c-c c c c-c c c 3 c c-1 Решив задачу убеждаемся в том, что значения полинома в выбран- ных точках практически равны нулю.

К сожалению другая форма записи при работе с комплексными числами в системе Eureka может привести к ошибочному результату. Если Eureka выдает сообще- ние Error 5 too many formulas , проверяем корни по очереди порциями, доступными для обработки системой. Пример N3 4 Вычислить производную функции f x 3lg x -7?0 x 2 x52 0 в точке 0,5 11 - Решение Т.к. в системе Eureka надежнее работает функция вычисляющая натуральный логарифм, то выразим

десятичный логарифм через отно- шение натуральных lg x ln x ln 10 . Набираем в окне Edit a 1 ln 10 f x 3 a ln x -sqrt x 2 x 2 x 0.5 z deriv f x ,x Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values a 0.43429448 x 0.50 z 3.1057669 Пример 4 lg 1 x Вычислить интеграл от функции f x 7 0 на интервале 0,1 . 1 x52 Решение Набираем в окне Edit a 1 ln 10 f x a ln 1 x 1 x 2 z integ f x ,x,0,1

Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values a 0.43429448 z 0.11821420 Пример 5 Проверить,что при a 0,9 выполняется равенство 7p 7!0 sin520 x 7 p 720 7 0 dx 7 710 1 2 a cos x a520 2 50 12 - Равенство проверить в точках a -0,9 -0,45 0 0,45 0,9. Решение Набираем в окне Edit t 3.1415926 2 f a,x sin x 2 1 2 a cos x a 2 t1 -0.9 i1 integ f t1,x ,x,0,3.1415926 t2 -0.45 i2 integ f t2,x ,x,0,3.1415926 t3 0 i3 integ f t3,x ,x,0,3.1415926 t4 0.45 i4 integ f t4,x

,x,0,3.1415926 t5 0.9 i5 integ f t5,x ,x,0,3.1415926 Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values i1 1.5707963 i2 1.5707963 i3 1.5707963 i4 1.5707963 i5 1.5707963 k 1.5707963 t1 -0.90 t2 -0.450 t3 0.0 t4 0.450 t5 0.90 Пример 6 Eureka позволяет решать задачу поиска экстремума функции при помощи задания директив min и max. При этом, если функция имеет несколько экстремумов, то для нахождения того, который ну- жен, имеет

смысл нарисовать график функции и исходя из этого гра- фика задать начальные приближения и ограничения для поиска экстремума. В противном случае поиск экстремума будет происходить от начальных значений, заданных системой Eureka по умолчанию и может привести не к тому экстремуму, который хотелось бы найти. Вычислить максимум функции f x 5xe5 -x 2 0 2 sin 3x , причем он должен быть больше 10 13 - Набираем в окне Edit max T V x 5 x exp -x 2 2 sin 3 x x 2

V x 10 T V x Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values T 10.629942 x 2.5805009 Пример 7 Вычислить минимум функции f x x520 y520 z520-1. Набираем в окне Edit min Fxyz F x,y,z x 2 y 2 z 2 -1 Fxyz F x,y,z Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values Fxyz -1.0000 x 6.1257e-13 y -1.3030e-12 z -5.9622e-14

Пример 8 Имеется квадратный лист бумаги со стороной a. Из листа делается коробка следующим образом по углам листа вырезаются четыре квадрата и коробка cклеивается по швам. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость. Решить задачу при a 6 14 - Набираем в окне Edit settings accuracy 1.0e-12 end Max Y a 6 G x x a-2 x 2 Y G x 0 x a 2 Решив задачу получаем в окне

Solution Variables Values a 6.0 x 1.0 Y 16.0 Пример 9 7 7 72 0 2x 3y z 11 Решить систему линейны уравнений 7 0 7 0x y z 4 720 7x - 2y - 3z -37 Решение7 9 Набираем в окне Edit 2 x 3 y z 11 x y z 4 7 x-2 y-3 z -37 Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values x -3.0 y 5.0 z 2.0 15 - Пример 10 5 7 Вычислить матрицу обратную к заданной

A . 2 3 Решение Система Eureka не имеет специальной функции для вычисления обратной матрицы. Однако нам известно, что A A5-10 E. Т.е. 5 7 a b 1 0 или 2 3 c d 0 1 5 7 a 1 5 7 b 0 и 2 3 c 0 2 3 d 1 Набираем в окне Edit 5 a 7 c 1 2 a 3 c 0 5 b 7 d 0 2 b 3 d 1 Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values a 3.0 b -7.0 c -2.0 d 5.0 Пример 11 7 720 7 0e52x0 sin 3x - y520 0 Решить систему нелинейных уравнений 7 720 x530 7 y tg 5 x520 0 79

при начальных условиях x400 -1 y400 0,3 16 - Набираем в окне Edit exp 2 x sin 3 x -y 2 0 x 3 7 y tan 5 x 2 0 x -1 y 0.3 Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values x -1.0414127 y 0.32744950 Пример 12 Получены экспериментальные данные зависимости твердости по Бринеллю Hb от степени деформации e для одного из сортов стали.

Эти данные представлены в следующей таблице T T T T T T T T T e 5 10 15 20 25 30 40 50 60 Hb 130 141 152 163 170 180 194 206 213 L Построить эмпирическую зависимость вида Hb e 118 a e b. Вычислить Hb e при e 25 для полученной зависимости. Набираем в окне Edit Hb e 118 a e b Hb 5 130 Hb 10 141

Hb 15 152 Hb 20 163 Hb 25 170 Hb 30 180 Hb 40 194 Hb 50 206 Hb 60 213 t 25 y Hb t Решив задачу получаем в окне Solution Variables Values a 5.2800065 b 0.70583936 t 25.0 y 169.21009 17 - Пример 13 Функция задана в виде таблицы. Построить интерполяционный полином Лагранжа и вычислить его значения в точках 6,9 и 7,9.

T T T T T x 2 4 6 8 10 y 13,14 8,28 9,91 5,976 16,68 L Если эмпирическая зависимость имеет вид полинома и при этом число точек заданных в таблице в точности равно степени полинома плюс единица, то система Eureka осуществляет лагранжеву интерполяцию. Набираем в окне Edit L x a x 4 b x 3 c x 2 d x e L 2 13.14 L 4 8.28 L 6 9.91 L 8 5.97 L 10 16.68 x 6.9 y L x x1 7.9 y1

L x1 В окне Solution получаем Solution Variables Values a 0.08406250 b -1.93250000 c 15.5950 d -51.97750000 e 68.830 x 6.90 x1 7.90 y 8.36504340 y1 6.11795090 18 - Задания для самостоятельной работы студентов. L Задача 1 Решить систему линейных уравнений 7 720 3x 2z v 0 7 0 -x 5y 4z - v -14 720 x y z v 1 790 1,5x 0,5y z -7 v -6,5 Задача 2 Найти матрицу обратную к заданной матрице

A 3 4 2 A 2 3 5 1 2 9 Задача 3 Определить коэффициенты a, b, c эмпирической зависимости y x ax520 bx c 19 - Таблица экспериментальных данных T T T T T T T x 1 1,5 2 2,5 3 4 5 y 0,1 0,225 0,4 0,625 0,9 1,6 2,5 L Провести вычисления по полученной формуле для точек x 1,5 3 и 5. Задача 4 Определить коэффициенты a, b, c и d эмпирической зависимости y x aT400 t bT410 t cT420 t dT430

t , где T400 t 1 , T410 t t , T420 t 2t520-1 , T430 t 4t530-3t. Таблица экспериментальных данных T T T T T T x 5 6 7 8 9 10 y 50,3 60,1 80,3 91,9 101,1 110,6 L Провести вычисления по полученной формуле для точек x 6 8 и 10. Задача 5 Найти значения функции f x , заданной таблично, в следующих точках 20 - h 3h 5h 7h 9h x410 7 0 , x410 7 0 , x410 7 0 , x410 7 0 , x410 7 0 . 2 2 2 2 2

Исходные данные h 0,005 x410 1,335 Функция задана таблицей T T T T T T x 1,335 1,340 1,345 1,350 1,355 1,360 f x 4,162 4,256 4,353 4,455 4,562 4,673 L Задача 6 Методом обратного интерполирования, найти значения аргу- ментов x, для которых значения функции y f x известны и равны 4,21 4,31 4,41 4,51 4,61 . Функция задана таблично T T T T T T x 1,335 1,340 1,345 1,350 1,355 1,360 y f x 4,162 4,256 4,353 4,455 4,562 4,673

L Задача 7 Определить, все ли корни уравнения 21 - x550 0,5x540 - 3x530 27x520 13,5x - 81 0 действительны. Задача 8 Проверить, что при a 0,9 выполняется равенство 7p 7!0 sin x 720 dx 2 . 720 7 710 7?0 1 - 2 a cos x a52 50 Равенство проверить в точках a -0,9 -0,45 0 0,45 0,9. Задача 9 Проверить равенство a a52 7!0 1 7! 720 x530 sin x520 dx 7 0 720 x sin x dx 720 2 72 710 71 500 50

при5 0a, изменяющемся от 1 до 2 с шагом h 0,2 . Задача 10 Определить, корень какого из уравнений, 7 0 1 7?0 x 1 - 7 0 07 0 или x520 - sin 7p0x 0, x 22 - принадлежащий отрезку 0,7 0,8 , больше ? Корни найти с точностью e 0,00001. Задача 11 Определить, корень какого из уравнений, 7 7 720 0,7854- x7?0 1-x527 0 72 lg 6x - 7 0 0 или 0,3 x-cos72 20 0, 6 2x 1 720 7 0 1-x527 0 7 2 79 0 7 0

принадлежащий отрезку 0,5 0,6 , меньше ? Корни найти с точностью e 0,00001 . Задача 12 Найти решение системы нелинейных уравнений 7 0 7 720 tg xyz52 0 0,4 - x520 7?0z - 1 0 , 72 72 7 0 0,5x520 2y520 z520 - 2 0 , 72 72 720 x y z - 2,54732 0 , 79 приняв за начальное приближение точку 1,1 0,5 0,95 и задав точность вычислений е 0,00001 . Задача 13 Найти решение системы нелинейных уравнений 23 -

7 0 7 720 e5XY0 - x520z520 y7?0z - 1,5 0 , 72 720 7 7 0 x 7?0z - 0,5 y520 - 1 0 , 72 72 720 x y z - 1,84643 0 , 79 приняв за начальное приближение точку 0,4 0,5 0,95 и задав точность вычислений е 0,00001 . Задача 14 Экспериментальные данные зависимости относительного удлине- ния от температуры для катанного молибдена представлены следующими таблицами Температура t , гр. C T T T T 27 327 402 477 627 777 927 1077 1227 1827

L Относительное удлинение 7d0 , T T T T 10 7,5 6 5,5 5 5 5 8 10 0 2 L Аппроксимировать экспериментальные данные зависимостью 24 - 7d0 t a b t c t d sin t . Выполнить вычисления по полученной зависимости для точек t 402 627 1077 1827. Задача 15 Значения интегрального синуса x 7!0 sin u Si x 720 du 710 u 0 даны в таблице T T T T T T T x 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000

Si x 0,000 0,493 0,946 1,325 1,605 1,779 1,849 L Вычислить Si 2,357 при помощи аппроксимирующей зависимости. Для сравнения вычислить интеграл при помо- щи встроенной в систему Eureka функции integ f x ,x,a,b . При вычислении интеграла нижний предел брать равным 0,01. Задача 16 Значения полного нормального эллиптического интеграла Лежандра второго рода 7p0 2 7!0 7 y t 720 7?0 1 - sin520 t sin520 x dx 71 0 25 - даны в таблице

T T T T T T T t 0,000 7p0 36 7p0 18 7p0 12 7p0 9 57p0 36 7p0 6 y t 1,571 1,568 1,559 1,544 1,524 1,498 1,467 L Методом обратного интерполирования, вычислить7 0t при y t 1,46 и 1,56. Проверить выполнение равенства 7p0 2 7! y t - 720 7?0 1 - sin520 t sin520 x dx 0 . 71 0 при полученных значениях 26 - Авторы Сигитов Евгений Васильевич, Гопенгауз Владимир Израильевич

Типография МГИСиС. Заказ . Тираж 800 экз.