LL(k)-грамматики

LLk - Грамматики. Определение LLk-грамматик. Для начала предположим, что GN,E,P,S - однозначная грамматика и wa1,a2 an - цепочка из LG. Тогда существует единственная последовательность левовыводимых цепочек b0,b1 bm, для которой Sb0,bi,pi Ю bi1 при 0 i m и amw. Последовательность p0p1 pm-1 - левый разбор цепочки w. Допустим, что мы хотим найти этот левый разбор, просматривая w один раз слева направо.

Можно попытаться сделать это, строя последовательность левовыводимых цепочек b0,b1 bm. Если bia1,a2 ajAB, то к данному моменту анализа мы уже прочли первые j входных символов и сравнили их с первыми j символами цепочки bi. Было бы желательно определить bi1, зная только a1,a2 aj часть входной цепочки, считанную к данному моменту, несколько следующих входных символов aj1aj2 ajk для некоторого фиксированного k и нетерминал A. Если эти три фактора однозначно определяют, какое правило надо применить

для развертки нетерминала A, то ai1 точно определяется по ai и k входным символам aj1aj2 ajk . Грамматика, в которой каждый левый вывод обладает этим свойством, называется LLk-грамматикой. Мы увидим, что для каждой LLk- грамматики можно построить детерминированный левый анализатор, работающий линейное время. Дадим несколько определений ОПР Пусть axb такая левовыводимая цепочка в грамматике

GN,E,P,S, что xОE, а b либо начинается нетерминалом, либо пустая цепочка. Будем называть x законченной частью цепочки a, а b - незаконченной частью частью. Границу между x и b будем называть рубежом. ПРМ Пусть xabacAaB, тогда abac - законченная часть цепочки x, AaB - незаконченная часть цепочки. Если xabc, то abc - законченная часть и е - незаконченная и рубежом служит конец цепочки. Иными словами идею LLk - грамматики можно объяснить так если имеется уже разобранная

часть цепочки, то на основании этого и еще нескольких неразобранных символов мы можем сделать вывод о том, какое правило неоюходимо применить. Таким образом грамматика посуществу не зависит не считая k последующих символов от того, что выводится из незаконченной части цепочки. В терминах деревьев этот процесс выглядит следующим образом дерево вывода цепочки строится начиная с корня и детерминировано сверху вниз. Вводят функцию

FIRSTx - возвращающую первых k символов. Обычно приписывают в качестве индексов k и G - количество символов и грамматика соответственно, но их возможно опускать, если это не вызовет недоразумений. ОПР KC- грамматика GN,E,P,S называется LLk-грамматикой для некоторого фиксированного k, если из существования двух левых выводов 1 SЮwAaЮwbaЮwx 2 IRSTxFIRSTy, вытекает что bc. Иначе это определение выражает то, что для имеющейся цепочки и зная следующие

k символов можно применить не более одного правила вывода. Грамматика называется LL- грамматикой, если она LLk- грамматика для некоторого k. ПРМ Пусть G состоит из правил SaASb, AabSA. Интуитивно G является LL1- грамматикой, потому что, коль скоро дан самый левый нетерминал С в левовыводимой цепочке и следующий входной символ с, существует не более одного правила, применимого

к С и приводящего к терминальной цепочке, начинающейся символом с. Переходя к определению LL1- грамматики, мы видим, что если SЮwSaЮwbaЮwx и SЮwSaЮwcaЮwy и цепочки x и y начинаются одним и тем же символом , то должно быть bc. В данном случае если x и y начинаются символом a, то в выводе участвовало правило SaAS и bcaAS. Альтернатива Sb здесь невозможна. С другой стороны, если x и y начинаются с b, то должно

применяться правило Sb и bcb. Заметим, что случай xye здесь невозможен, так как из S в грамматике G не выводится e. Когда рассматриваются два вывода SЮwAaЮwcaЮwy рассуждение аналогично. Грамматика G служит примером так называемой простой LL1- грамматики или разделенной грамматики. ОПР КС-грамматика GN,E,P,S без e-правил называется простой LLk - грамматикой или разделенной грамматикой , если для каждого

AОN все его альтернативы начинаются различными терминальными символами. Предсказывающие алгоритмы разбора. Разбор для LLk-грамматики очень удобно осуществлять с помощью так называемого k- предсказывающего алгоритма разбора. k-предсказывающий алгоритм использует входную ленту, магазин и выходную ленту. Алгоритм пытается проследить вывод цепочки, записанной на его входной ленте. При чтении анализируемой цепочки входная головка может заглядывать вперед на очередные k символа.

Эти символы называют аванцепочкой. Алгоритм имеет конфигурацию представляемую тройкой x,Xa,n, где x - неиспользованная часть входной цепочки Xa - цепочка в магазине и Х - верхний символ n - цепочка на выходной ленте Работой k- предсказывающего алгоритма руководит управляющая таблица, которая задает соответствие между множеством верхний символ магазинаХаванцепочка и множеством правая часть правила и его номерошибкавыбросдопуск.

Алгоритм является корректным для грамматики, если для любой цепочки из этой грамматики алгоритм позволяет получить упорядоченный список правил для ее разбора. Если работой некоего алгоритма руководит какая-то таблица и этот алгоритм оказывается корректным для рассматриваемой грамматики, то таблицу называют корректной. ПРМ Пусть дана грамматика с правилами 1 SaAS 2 Sb 3

Aa 4 AbSA Для такой грамматики будет построена таблица аванцепочка a b e верхний S aAS,1 b,2 ошибка символ A a,3 bSA,4 ошибка магазина a выброс ошибка ошибка b ошибка выброс ошибка ошибка ошибка допуск По такой таблице будет проведен анализ abbab,S,e - abbab,aAS,1 - bbab,AS,1 - bbab,bSAS,14 - bab,SAS,14 - bab,bAS,142 - ab,AS,142 - ab,aS,1423 - b,S,1423 - b,b,14232 - e 14232 k- предсказывающий алгоритм

разбора КС-грамматики G можно моделировать на детерминированном МП- преобразователе с концевым маркером на входной ленте. Так как входная головка МП- преобразователя может обозреть только один входной символ, аванцепочка должна храниться в конечной памяти управляющего устройства. Остальные детали моделирования очевидны. ТРМ Пусть

А - k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G. Тогда существует такой детерминированный МП- преобразователь, который позволяет разобрать любую цепочку из этой грамматики. Иначе говоря можно промоделировать любой алгоритм на указанном преобразователе. СЛВ Пусть А - k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G. Тогда для G существует детерминированный левый анализатор.

Следствия определения LLk-грамматики. Покажем что для каждой LLk грамматики можно механически построить корректный k- предсказывающий алгоритм разбора. Так как ядром алгоритма является управляющая таблица, надо показать, как строить по грамматике такую таблицу. Для этого выведем некоторые следствия определения LLk- грамматики. В определении LLk- грамматики утверждается, что для данной выводимой цепочки wAa цепочка

w и непосредственно следующие за ней k входных символов однозначно определяют, какое применить правило для развертки нетерминала A. Поэтому на первый взгляд может показаться, что для определения нужного правила надо помнить всю цепочку w. Однако это не так. Докажем теорему, очень важную для понимания LLk-грамматик ТРМ КС-грамматика GN,E,P,S является LLk-грамматикой тогда и только тогда, когда для двух различных правил

Ab и Ac из P пересечение FIRSTbaЗFIRSTca пусто для всех таких wAa, что SЮwAa. ДКВ Необходимость. Допустим, что w, A, a, b и c удовлетворяют условиям теоремы, а FIRSTbaЗFIRSTca содержит x. Тогда по определению FIRST для некоторых y и z найдутся выводы SЮwAaЮwbaЮwxy и SЮwAaЮwcaЮwxz. Заметим, что здесь мы использовали тот факт, что N не содержит бесполезных терминалов, как это предполагается для всех рассматриваемых грамматик.

Если x k то y z e. Так как b c, то G не LLk- грамматика. Достаточность. Допустим, что G не LLk- грамматика. Тогда найдутся такие два вывода SЮwAaЮwbaЮwx и SЮwAaЮwcaЮwy, что цепочки x и y совпадают в первых k позициях, но bc. Поэтому Ab и Ac - различные правила из P и каждое из множеств FIRSTba и FIRSTca содержит цепочку

FIRSTx совпадающую с FIRSTy. ЧТД. ПРМ Грамматика G из правила SaSa, не будет LL1- грамматикой, так как FIRST1aSFIRST1aa. Это можно объяснить так - видя только первый символ цепочки мы не можем определить какое правило необходимо применить левое или правое. С другой стороны эта грамматика является LL2k грамматикой - что вполне очевидно. ОПР Пусть GN,

E,P,S - КС-грамматика. Определим FOLLOWkb как множество терминальных символов, которые могут встречаться после нетеминала, являющегося аргументом функции. ТРМ КС-грамматика GN,E,P,S является LL1-грамматикой тогда и только тогда, когда для двух различных правил Ab и Ac пересечение FIRST1b FOLLOW1AЗFIRST1c FOLLOW1A пусто при всех AОN. Без ДКВ. Теорему можно выразить следующим по первому символу после нетерминала необходимо выбрать

применимое правило - следовательно эти символы различны и пересечение пусто. Эта теорема может применяться к LLk- грамматикам, но не всегда выполняться. Грамматики для которых выполняется теорема называются сильными, таким образом все LL1 грамматики - сильные. Необходимо так же заметить что каждая LLk- грамматика однозначна, поэтому если имеется неоднозначная грамматика - то она не

LLk. Имеется неразрешимая проблема распознавания, существует ли для данной КС-грамматики G, не являющейся LLk, эквивалентная ей LLk- грамматика. Однако в ряде случаев такое преобразование возможно. Применяется два способа Первый способ - устранение левой рекурсии. ПРМ Пусть G - грамматика SSab которая не является

LL- грамматикой. Заменим правила на следующие S bS SaSe получив при этом эквивалентную LL1- грамматику. Другой способ - левая факторизация. ПРМ Рассмотрим LL2- грамматику G с двумя правилами SaSa. В этих двух правилах вынесем влево за скобки символ a, записав их в виде SaSe. Иными словами, мы считаем что операция конкатенации дистрибутивна относительно операции

выбора альтернативы обозначаемой вертикальной чертой. Заменим эти правила на SaA ASe тем самым получим эквивалентную LL1-грамматику. Разбор для LL1- грамматик. Ядром предсказывающего алгоритма является управляющая таблица. В этом и следующих разделах будет показано как построить корректную управляющую таблицу. АЛГ 1 Управляющая таблица для LL1-грамматики. Вход

LL1- грамматика . Выход Корректная управляющая таблица. Метод Будем считать, что -маркер дна магазина. Таблица определяется следующим образом 1 Если A a - правило из P с номером i, то MA,aa,i для всех ae, принадлежащих FIRST1a. Если eОFIRST1a, то MA,ba,i для всех bОFOLLOW1A. 2 Ma,aвыброс для всех aОE. 3 M,eдопуск. 4 В остальных случаях

MX,aошибка для XОNИEИ и aОEИe. ТРМ Предложенный алгоритм строит корректную управляющую таблицу для LL1- грамматики G. Разбор для LLk- грамматик. Построим управляющую таблицу для произвольной грамматики. Если грамматика сильная, то можно применить предыдущий алгоритм с аванцепочками расширенными до k символов. В противном случае возникает несколько проблем. В 1-м предсказывающем алгоритме разбора в магазин помещались только символы из EИN и оказывалось, что для однозначного определения очередного применяемого правила

достаточно знать нетерминальный символ наверху магазина и текущий входной символ. Для не сильных грамматик этого может оказаться недостаточно. ПРМ Возьмем грамматику SaAaabAba Abe Если даны нетерминал A и аванцепочка ba, то не известно, какое из правил надо применить. Неопределенности такого рода однако можно разрешить, связав с каждым нетерминалом и частью левовыводимой

цепочки которая может оказаться справа, специальный символ, называемый LLk- таблицей. По данной аванцепочке LLk- таблица будет однозначно определять какое правило надо применить на очередном шаге вывода. ОПР Пусть E - некоторый алфавит. Если L1 и L2 - подмножества E, то положим L1 Еk L2 w для некоторых xОL1 и yОL2 либо w xy, если xy k либо w состоит из первых k символов цепочки xy ЛМА

Для любой КС- грамматики GN,E,P,S и любых a, bОNИE FIRSTkabFIRSTka Еk FIRSTkb ОПР Пусть GN,E,P,S - КС- грамматика. Для каждых AОN и LНE определим LLk- таблицу Ta,l, соответствующую A и L, как функцию Tu, значением которой служит 1 ошибка, если в P нет такого правила Aa, что FIRSTka Еk L содержит u 2

Aa, Y1,Y2 Ym , если Aa - единственное правило из P, для которого FIRSTka Еk L содержит u 3 не определено, если в множестве найдутся два и более правила эту ситуацию называют конфликтом между правилами На нормальном языке это означает что вырабатывается значение ошибка, если u вообще не является цепочкой грамматики, возвращается правило если оно существует и только одно и если несколько правил - то значение не определяется.

АЛГ 2 Построение LLk- таблиц. Вход LLk- грамматика GN,E,P,S. Выход Множество TG LLk- таблиц, необходимых для построения управляющей таблицы для G. Метод 1 Построить LLk- таблицу T0, соответствующую S и e. 2 Положить вначале TGT0. 3 Для каждой LLk-таблицы TОTG, содержащей элемент TuAx0B1x1 Bmxm, Y1,Y2 Ym включить в

TG LLk- таблицу T для 1im, если T еще не входит в TG. 4 Повторять шаг 3 пока в TG можно включать новые таблицы. ПРМ Построим соответствующее множество LL2- таблиц для грамматики SaAaabAba и Abe. Начнем с TGTS,e . Так как TS,eaa SaAaa,aa, то в TG надо включить TA,aa. Аналогично, так как T0bb SbAba,ba, то в

TG нужно так же включить . Элементы LL2- таблиц TA,aa и TA,ba, отличные от значения ошибка, приведены в таблице ниже. Сейчас TGTS,e,TA,aa,TA,ba, и алгоритм уже не может включить в TG новых таблиц, так что это три LL2- таблицы образуют множество соответствующее грамматике. TA,aa TA,ba u правило множества u правило множества ba

A b - ba A e - aa A e - aa A b - Теперь дадим алгоритм, которым можно построить корректную управляющую таблицу по соответствующему множеству LLk- таблиц. Управляемый этой таблицей k- предсказывающий алгоритм будет в качестве магазинных символов употреблять вместо нетерминалов LLk- таблицы. АЛГ 3 Построение управляющей таблицы для LLk- грамматики. Вход LLk- грамматика и соответствующее множество

TG LLk- таблиц. Выход Корректная управляющая таблица M для G. Метод M определяется на множестве TGИEИEk следующим образом 1 Если Ax0B1x1 Bmxm - правило из P с номером i и TA,LОTG, то для всех u, для которых TA,LuAx0B1x1 Bmxm, Y1 Ym полагаем MTA,L,ux0TB1,Y1 TBm,Ymxm,i. 2 Ma,avвыброс для всех vОEk-1. 3 M,eдопуск.

4 В остальных случаях MX,uошибка 5 TS,e - начальная таблица. ПРМ Построим управляющую таблицу для LL2- грамматики 1 SaAaa 2 SbAba 3 Ab 4 Ae используя соответствующее ей множество LL2-таблиц, найденное в предыдущем примере. Алгоритм должен выдать таблицу aa ab a ba bb b e T0 aT1aa,1 aT1aa,1 bT2ba,2 T1 e,4 b,3 T2 e,4 b,3 a выброс выброс выброс b выброс выброс выброс допуск

где T0TS,e, T1TA,aa и T2TA,ba. Подразумевается, что в пустых ячейках - ошибка. Допуск находится в последней колонке. Для входной цепочки bba 2-предсказывающий алгоритм выдаст такую последовательность тактов bba,T0,e - bba,bT2ba,2 - ba,T2ba,2 - ba,ba,24 - a,a,24 - e 24 ТРМ Описанный алгоритм строит для LLk- грамматики GN,E,P,S корректную таблицу, управляющую работой соответствующего k- предсказывающего

алгоритма. ПРМ Рассмотрим LL2- грамматику G с правилами 1 Se 2 SabA 3 ASaa 4 Ab Построим соответствующие LL2-таблицы. Начнем с T0TS,e. Затем по T0 найдем T1TA,e, далее T2TS,aa и T3TA,aa T0 T2 u правило множества u правило множества e S e - aa S e - ab S abA e ab S abA aa T1 T3 u правило множества u правило множества b

A b - aa A Saa aa aa A Saa aa ab A Saa aa ab A Saa aa ba A b - По этим таблицам построим управляющую таблицу aa ab a ba bb b e T0 abT1,2 e,1 T1 T2aa,3 T2aa,3 b,4 T2 e,1 abT3,2 T3 T2aa,3 T2aa,3 b,4 a выброс выброс выброс b выброс выброс выброс допуск Алгоритм построенный по таблице разберет цепочку abaa следующим образом abaa,

T0,e - abaa,abT1,2 - baa,bT1,2 - aa,T1,2 - aa,T2aa,23 - aa,aa,231 - a,a,231 - e 231 ТРМ Число шагов, выполняемых k- предсказывающим алгоритмом с управляющей таблицей, построенной предыдущим алгоритмом по LLk- грамматике G, линейно зависит от n, где n - длинна входной цепочки. Проверка LLk- условия. По отношению к произвольной данной грамматике G возникает ряд естественных вопросов 1 Является ли

G LLk- грамматикой для данного k 2 Существует ли такое k, что G - LLk- грамматика 3 Так как для LL1 левые разборы строятся особенно просто, то если G не LL1- грамматика, то существует ли эквивалентная ей LL1- грамматика G , для которой LG LG К сожалению, только для первого вопроса есть отвечающий на него алгоритм. Можно показать, что вторая и третья проблемы алгоритмически не разрешимы, но это доказательство

не приводится. Приведем алгоритм проверки LLk- условия АЛГ 4 Проверка LLk- условия. Вход КС- грамматика GN,E,P,S и целое число k. Выход Да - если G - LLk- грамматика и Нет в противном случае. Метод Суть алгоритма сводится к следующему Для каждого нетерминала, имеющего два или более правила раскрутки вычисляется пересечение первых k-

символов всех возможных цепочек раскрутки. Если это множество пусто, то переходят к следующему терминалу, иначе заканчивают со значением Нет. Если все пересечения пусты - заканчивают со значением Да. Для получения пересечения двух правил можно воспользоваться записью FIRSTkb ЕkLЗFIRSTkc ЕkL, где LFIRSTka и a - цепочка символов после терминала.