Метод конечных разностей или метод сеток

ВВЕДЕНИЕ Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных уравнения математической физики. Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа. Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удатся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближнно. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение

для приближнного решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток. Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек узлов, которое называется сеткой или решткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определнные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные

условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений сеточных или разностных уравнений. Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции. Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода

Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть у нас есть бигармоническое уравнение 2 U f Заданное на области G x,y 0 x a, 0 y b . Пусть также заданы краевые условия на границе области G . U 0 Y x0 b Uxxx 0 x0 G Ux 0 xa Uxxx 0 0 a X xa U 0 U 0 y0 yb Uy 0 Uxx Uyy 0 y0 yb yb Надо решить эту задачу численно.

Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач. По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hy соответственно . Wx xiihx, i0,1 N, hxNa Wy yjjhy, j0,1 M, hyMb Множество узлов Uijxi,yj имеющих координаты на плоскости хi,yj называется сеткой в прямоугольнике

G и обозначается W Uijihx,jhy, i0,1 N, j0,1 M, hxNa, hyMb Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых xxi и yyj. Пусть задана сетка W.Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определнном на нм сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы.

0ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию fAU называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора. Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W - сетка с шагом h введнная на R т.е. WXiaih, i0, 1, 2

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции YiYXi , Xi из W, определяется по формулам L1Yi Yi - Yi-1 , L2YiL1Yi1 h и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная L3YiYi1 - Yi-1 L1L2Yi 2h 2 Разностные операторы A1, A2, A3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при

апроксимации первой производной Luu . Разностные производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путм вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например YxxiYxi1 - Yxi Yi-1-2YiYi1 2 h h Yxxi Yxi1-Yxi-1 Yi-2 - 2YiYi 2 2 2h 4h которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных. Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя. Пусть нам дана система линейных уравнений

AU f или в разврнутом виде M aijUj fi , i1,2 M i1 Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы Аaij отличны от нуля aii 0 записывается в следующем виде i k1 M k aijYj aijYj fi , i1,2 M j1 ji1 k где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение k1-ой итерации начинается с i1 k1 M k a11Y1 - a1jYj f1 j2 k1 Так как a11 0 то отсюда найдм Y1. И для i2 получим k1 k1 M k a22Y2 - a21Y1 - a2jYj f2 j3 k1 k1 k1 k1 Пусть уже найдены Y1 , Y2 Yi-1 . Тогда Yi находится из уравнения k1 i-1 k1 M k aiiYi - aijYj - aijYj fi j1 ji1 Из формулы видно , что алгоритм метода

Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле значение Yi размещается на месте Yi. Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все aij не равны нулю, то вычисления по формуле требуют M-1 операций умножения и одного деления. Поэтому реализация 2 одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий. Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место

для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M. Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц A D L U где 0 0 0 0 a12 a13 a1M a21 0 0 0 a23 a2M a31 a32 0 0 .

L . U aM-1M aM1 aM2 aMM-1 0 0 0 И матрица D - диагональная. k k k Обозначим через Yk Y1 ,Y2 YM вектор k-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе D L Yk1 UYk f , k0,1 Приведм эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем D L Yk1 - Yk AYk f , k0,1 Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод

Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij для i j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы aii. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ Пусть YiYi сеточная функция дискретного аргумента i.

Значения сеточной функции Yi в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Yi - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение. Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка dU fx , x 0 dx можно заменить разностным уравнением первого порядка Yi1 - Yi fxi , xi ih, i0,1 h или Yi1Yihfx, где h - шаг сетки vxiih, i0,1,2 Искомой функцией является сеточная функция YiYi. При разностной аппроксимации уравнения второго поряда 2 d U fx 2 dx получим разностное уравнение второго порядка 2 Yi1 - 2Yi Yi1 yi , где yih f i fi fxi xi ih Для разностной aппроксимации производных

U , U , U можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка. Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij Ui,j двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема крест для уравнения Пуассона Uxx Uyy fx,y на сетке W выглядит следующим образом

Ui-1j - 2UijUi1j Uij-1 - 2UijUij1 fij 2 2 hx hy где hx - шаг сетки по X hy - шаг сетки по Y Сеточное уравнение общего вида можно записать так N CijUj fi i0,1 N j0 Оно содержит все значения U0, U1 UN сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица. В общем случае под i - можно понимать не только индекс ,

но и мультииндекс т.е. вектор i i1 ip с целочисленными компонентами и тогда СijUj fi i О W jОW где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами. Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения. UUx,y y M b M-1 Uij j j 1 0 1 2 i N-1 Na x i

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию UijUxi,yj , где xix0ihx yiy0jhy hx aN , hy bM и т.к. x0y0 то xiihx, yijhy, i0 N j0 M Найдм разностные производные входящие в уравнение 2 DU f т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения. Uxij Ui1j - Uij , Uxi-1j Uij - Ui-1j hx hx Uxxij Ui-1j -

2Uij Ui1j hx Рассмотрим Uxxxxij как разность третьих производных Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi1j Uxxxxij hx hx Ui-2j - 4Ui-1j 6Uij - 4Ui1j Ui2j 4 hx hx Анологично вычислим производную по y Uyyyyij Uij-2 - 4Uij-1 6Uij - 4Uij1 Uij2 4 hy Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij1 Uxxyyij hy hy

Uxxij-1 - 2Uxxij Uxxij1 2 hy hy Ui-1j-1 - 2Uij-1 Ui1j-1 - 2 Ui-1j - 2Uij Ui1j Ui-1j-1 - 2Uij1 Ui1j1 2 2 2 2 2 2 hxhy hxhy hxhy В силу того что DU f имеем Ui-2j - 4Ui-1j 6Uij - 4Ui1j Ui2j 4 hx 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 Ui1j-1 - 4 Ui-1j - 2Uij Ui1j 2 Ui-1j1 -2Uij1 Ui1j1 2 2 2 2 2 2 hxhy hxhy hxhy

Uij-2 - 4Uij-1 6Uij - 4Uij1 Uij2 fij 4 hy Это уравнение имеет место для i1,2, N-1 j1,2, M-1 Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее x0 i 0 xa xNa y0 Yo0 yb YMb 1 х0 левая граница области G Заменим условия U 0 xo Uxxx 0 xo на соответствующие им разностные условия Uoj0 U-1jU2j - 3U1j 1 2 ха правая граница области G iN

Ux 0 xa Uxxx 0 xa из того что Ui1j - Ui-1j 0 2hx UN1j UN-1j UNj 4 UN-1j - UN-2j 2 3 3 у0 нижняя граница области G j0 Ui 1 Ui1 Ui0 0 3 это есть разностный аналог Uy 0 yo U 0 yo 4 уb iM U 0 yb т.е. UiM0 Распишем через разностные производные Uxx Uyy 0 и учитывая что jM и получим UiM-1 UiM1 Итак краевые условия на уb имеют вид

UiM1 UiM-1 UiM 0 4 Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения заданного на сетке W и краевых условий 1-4 заданных на границе области G или на границе сетки W ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи ,1 - 4. В данном случае неизвестными являются Uij Uxi,yj где xi ihx yj jhy при чм hx aN , hy bM это есть

шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков 0 , а и 0 , b Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение 2 DU f как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки W , начиная с нижней строки. 1 Ui-2j - 4 4 Ui-1j 6 - 8 6 Uij - 4 4 Ui1j 1 Ui2j 2Ui-1j-1 - 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 hx hx hxhy hx hxhy hy hx hxhy hx hxhy

- 4 4 Uij-1 2 Ui1j-1 2 Ui-1j1 - 4 4 Uij1 2 Ui1j1 1 Uij-2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 hxhy hy hxhy hxhy hxhy hy hxhy hy 1 Uij2 f ij для i1 N-1, j1 M-1 4 hy и U удовлетворяет краевым условиям 1 - 4, так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение

k1 k1 k1 k1 6 - 8 6 Uij - 1 Uij-2 - 2 Ui-1j-1 4 4 Uij-1 - 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 hx hxhy hy hy hxhy hxhy hy k1 k1 k1 k - 2 Ui1j-1 - 1 Ui-1j 4 4 Ui-1j 4 4 Ui1j - 2 2 4 4 2 2 4 2 2 hxhy hx hx hxhy hx hxhy k k k k k - 1 Ui2j - 2 Ui-1j1 4 4 Uij1 - 2 Ui1j1 - 1 Uij2 fij 4 2 2 2 2 4 2 2 4 hx hxhy hxhy hy hxhy hy k При чем U удовлетворяет краевым условиям 1 - 4. Вычисления начинаются с i1, j1 и продолжаются либо по

строкам либо по столбцам сетки W. Число неизвестных в задаче n N-1M-1. Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче тринадцатиточечный т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек узлов сетки Рассмотрим вид матрицы А - для данной задачи. j2 j1 j j-1 Матрица метода получается следующим образом все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице

Так что все узлы попадают на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет тринадцатидиагональной . j-2 i-1 i i1 i2 i-2 Шаблон задачи ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ. Константы используемые в программе aq 1 - правая граница области G b 1 - левая граница области G N 8 - колличество точек разбиения отрезка 0,a M 8 - колличество точек разбиения отрезка 0,b h1 aqN - шаг сетки по

X h2 bM - шаг сетки по Y Переменные u0 - значения сеточной функции U на k-ом шаге u1 - значения сеточной функции U на k1-ом шаге a - массив коэффициентов шаблона Описание процедур procedure Prtumasa - печать результата function ffx1,x2 realreal - возвращает значение функции f в узле x1,x2 procedure Koef - задат значения коэффициентов Действие Бертся начальое приближение u0 и с учтом краевых условий ведтся вычисление с i2

N , j2 M. На каждом итерационном шаге получаем u1 по u0. По достижении заданной точности eps 0 вычисления прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг k1 , а те элементы которые лежат выше главной диагонали исключая главную диагональ получают итерационный шаг k. Примечание программа реализована на языке Borland

Pascal 7.0 Министерство общего и профессионального образования РФ Воронежский государственный университет факультет ПММ кафедра Дифференциальных уравнении Курсовой проект Решение бигармонического уравнения методом Зейделя Исполнитель студент 4 курса 5 группы Никулин Л.А. Руководитель старший преподаватель

Рыжков А.В. Воронеж 1997г.