Электродинамический принцип относительности

Инвариантность относительно преобразований Лоренца. Оказывается, одномерное волновое уравнение все же остается инвариантным при переходе от системы отсчета K к системе отсчёта К’, но если воспользоваться не преобразованиями Галилея, а так называемыми преобразованиями Лоренца, которые имеют вид:
Теперь не только координата Х, но и время Т преобразуются. Докажем инвариантность. Снова рассмотрим функцию где b=V/C. Тогда , дифференцируя её по t , получим Следовательно , Далее, дифференцируя по t, получаем Следовательно, Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение Даламбера Получим тогда уравнение Таким образом, приходим к уравнению слагаемые со смешанным вторым производным в обеих частях равенства сокращаются. Окончательно получаем уравнение Следовательно, приходим к уравнению т.е. в точности к исходному одномерному волновому уравнению Даламбера. Итак, приходим к заключению, что волновое уравнение Даламбера инвариантно относительно преобразований Лоренца. Это важное математическое открытие в своё время сделал Лоренц, который, однако, рассматривал не просто одномерное волновое уравнение, а уравнения Максвелла, которые можно считать усложненным трехмерным “волновым уравнением” - для поперечных электромагнитных волн. Именно это математическое открытие позволило Лоренцу в 1904 г. Объяснить отрицательный результат экспериментов первого и второго порядков по V/C по обнаружению скорости V поступательного движения относительно эфира. Отметим здесь ещё одну интересную возможную физическую интерпретацию полученного математического результата - с инвариантностью волнового уравнения относительно преобразований Лоренца. Для большей определённости снова рассмотрим звуковые волны в воздухе в акустическом приближении . Эти волны можно рассматривать как самостоятельные физические объекты , никак не связанные со средой - воздухом, колебаниями которого они на самом деле являются . Среда теперь - совершенно другой физический объект, даже иной физической природы. Звуковые волны существуют сами по себе ,безо всякой среды. И этот новый физический объект -“волны“ - поэтому совершенно естественно должен одинаково описываться во всех инерциальных системах отсчета, так как инерциальные системы отсчета не только механически, но и физически должны быть полностью равноправными. В отношении звуковых волн в воздухе такая физическая интерпретация вполне возможна, но только о рамках акустического приближения, т.е. для волн очень малой (даже бесконечно малой) амплитуды. В случае звуковых волн конечной и большой амплитуды такая, казалось бы, самая простая и естественная интерпретация, разумеется, неправильна. В специальной теории относительности обсуждаются не звуковые, а электромагнитные волны. Средой, подобной воздуху, для звуковых волн здесь является, правда, пока ещё экспериментально не открытая особая гипотетическая среда, называемая эфиром. Но эфир экспериментально не обнаружен , и вообще в настоящее время в современной фундаментальной физике электромагнитного поля ещё многое остаётся неясным. Поэтому можно считать, как это делают в настоящее время, описанную физическую интерпретацию единственно приемлемой, как это провозгласил Эйнштейн в 1905 г., что эфира в природе не существует. Как выше отмечалось, оптические и электродинамические эксперименты, проведённые на Земле с целью обнаружения и измерения поступательной скорости V Земли первого и второго порядков малости по величине V/C=10^-4, дали отрицательный результат. В частности, отрицательный результат дал и эксперимент Майкельсона - Морли с двухплечевым интерферометром. Никаких эффектов влияния поступательной скорости движения Земли все эти эксперименты не выявили .Скорость Земли в указанных экспериментах измерить не удалось. Таким образом, к концу Х|Х века в результате всех этих экспериментальных неудач удалось обобщить механический принцип относительности Галилея на электромагнитные (в том числе и оптические) явления и провозгласить общефизический принцип относительности, который иногда называют принципом относительности Эйнштейна. Электродинамический принцип относительности. Все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Нельзя с помощью каких-либо физических экспериментов в движущейся инерциальной системе отсчета определить скорость ее движения , если не производить наблюдений тел из системы отсчета , относительно которой мы хотим определить скорость движения. Математическое свойство инвариантности относительно преобразований Лоренца основных уравнений электродинамики - уравнений Максвелла использовалось Лоренцем в 1895 г. И в 1904 г. Для объяснения, почему с помощью электродинамических экспериментов нельзя определить скорость поступательногодвижения Земли в эффектах первого и второго порядков малости ( 1895 г.) и вообще во всех эффектах (1904 г. ). Обсуждение понятия скорости тела и построения полей времени в покоящейся и движущейся системах отсчета. Казалось бы, понятие скорости тела, как пройденного пути за определенный промежуток времени: настолько ясно, что не требует вообще никаких пояснений. Конечно, если тело движется неравномерно, то надо вводить в рассмотрение мгновенную скорость но не об этом сейчас речь. Вместе с тем в связи с данным определением скорости необходимо, однако, обсудить весьма существенный физический вопрос. Чтобы лучше представить себе ситуацию, рассмотрим конкретный эксперимент, проводимый для измерения скорости тела. Пусть имеется движущееся тело и пусть оно в какой-то момент времени проходит или пролетает через то место N , где мы сами сейчас находимся. Засечём этот момент t1 на имеющемся у нас измерителе времени - часам. Предположим, что мы находимся в месте N и наблюдаем из этого места за нашим движущимся телом. Через некоторое время, скажем в момент времени t2 , зарегистрированным по нашим часам, тело проходит через другое место M, расстояние до которого S2-S1 от нашего места N, мы можем измерить заранее. Тогда скоростью тела мы назовем отношение Вроде бы всё совершенно ясно. Но это не так. Мы должны учесть, что когда мы увидели, что тело проходит через место M ,мы на самом деле просто зарегистрировали световой сигнал, приходящий к нам из места M, свидетельствующий о совпадении тела и места M. Так как сигнал распространяется с некоторой конечной скоростью С, то мы должны это учесть и ввести поправку на время распространения сигнала от места M до места N, т.е. поправку на время запаздывания . Таким образом, мы должны в формуле для скорости V взять не момент t2, непосредственно экспериментально наблюдаемый и зафиксированный по нашим часам, а момент и скоростью тела должны на самом деле назвать величину которая лишь незначительно больше величины V, если тело движется не слишком быстро.
Так как скорость света C очень большая ( С=300000 км /c), то рассматриваемая поправка, конечно, будет для реально наблюдаемых движений тел на Земле чрезвычайно малой . Однако она становится тем больше, чем дальше удалено место М от места N и чем скорее движется тело. Если скорость V тела будет близка к скорости света, то поправка будет очень большой .
Именно эта поправка в определении скорости тела и учитывается в специальной теории относительности . Здесь следует сказать, что наше субъективное ощущение об окружающем нас мире в некоторый данный момент времени, действительно субъективно и неправильно. Дело в том, что удаленные предметы мы видим такими, какими они были в более ранние моменты времени, чем видимые нами близкие от нас предметы . Скажем, мы видим на улице “одновременно” идущих людей, здания, Солнце .Но ведь, на самом деле, Солнце мы видим не в тот момент, в который мы на него смотрим, а в момент примерно на 8,5 минут раньше (так как время распространения света от Солнца до Земли составляет примерно 8 мин. 20 сек. ). А если мы “одновременно” взглянем в телескоп на удаленные от нас звезды и галактики, то галактики на самом деле сейчас мы видим в такие моменты, когда мы ещё и сами не родились, и даже ещё не появилась наша Земля и наша Солнечная система . Таким образом, обсуждая понятие скорости движущегося тела, нам надо обязательно разобраться, что мы понимаем под временем в различных местах пространства. Чтобы экспериментально исследовать перемещение тела в пространстве с течением времени, лучше всего иметь локальные согласованные друг с другом измерители времени - часы, расставленные во всех точках пространства. Тогда совсем не нужно будет думать о поправках в отсчётах времени, скоростях световых сигналов и т.д. Множество локальных времен в различных точках системы отсчета образует то, что мы будем называть полем времени. Построим сначала поле времени в “покоящейся“ системе отсчета К. Для этого в начале отсчета О организуем “производство” совершенно одинаковых, идентичных, измерителей времени - часов, ход которых, по возможности, одинаков. Затем эти измерители времени достаточно осторожно разнесём по различным точкам пространства M, N,… . Если бы все эти часы мы сначала синхронизовали (выставили бы на них одинаковые показания времени), а затем разнесли по различным точкам пространства, то показания часов, помещенных в различных точках, мы могли бы и назвать временем в системе отсчета К. Так поступать, однако, нельзя. Чтобы перенести часы, например из точки «О» в точку М, мы должны сначала эти часы в точке О ускорить, затем передвинуть, а затем замедлить для остановки в точке М. При ускоренном и замедленном движениях при этом ход часов обязательно нарушится и в показания времени будет введена неконтролируемая ошибка. Поэтому поступим так, как поступил Эйнштейн в работе 1905 г. Будем все часы синхронизировать не в начале координат, до их разнесения, а лишь после того, как мы уже их разнесли и установили в разных точках пространства системы отсчета К. Синхронизацию проведем при помощи бесконечно коротких световых сигналов, которые будем испускать из начала координат О. В момент времени t = 0, фиксируемый по часам в точке О, мы испустим из точки О сигнал по направлению к точке М, и зарегистрируем момент прихода этого сигнала в точку М по часам в этой точке М и, наконец, выставим на часах в точке М время , где r - расстояние между точками N и M. Величиной скорости c при этом мы просто зададимся, т.е. возьмем в качестве нее любое положительное число. Очевидно, что если теперь, с помощью синхронизированных описанным способом локальных часов, мы будем измерять скорость используемых для синхронизации импульсных световых сигналов, то получим естественно значение c, причем эта скорость окажется изотропной, т.е. не зависящей от выбора направления в пространстве. Однако надо отчетливо понимать, что это не измерение скорости света, так как само понятие времени мы установили с помощью световых сигналов и значением скорости света с мы просто задались. Вместе с тем, для краткости, будем называть величину с - «скоростью света»(более точно, скоростью света в системе отсчета К ). Теперь в точности таким же образом, с помощью импульсных световых сигналов, установим поле времени в «движущейся системе отсчета К'. Конечно, можно было бы построить поле времени в системе отсчета К' и другим способом. Мы могли бы, например, рассудить следующим образом. Гипотетическая электромагнитная среда - эфир, колебаниями которой является свет, покоится в системе отсчета К, поэтому в системе отсчета К мы имеем свет в покоящейся среде. В системе отсчета К' имеем свет в движущейся среде, а поэтому скорость светового импульса, испущенного, например, в положительном направлении оси x' в системе отсчета К' равна не с, а c - u, а в отрицательном направлении оси x' равна c + u, где u - скорость движения системы К' относительно системы К. Но так сейчас мы поступать не будем, а просто примем, что в системе отсчета К' световые импульсы распространяются в точности так же, как в системе К. В этом заключено однако серьезное физическое предположение. При построении поля времени в системе отсчета К' используем то же самое число с, что и в системе отсчета К. Последнее по существу условное допущение, следуя работе Эйнштейна 1905 г., иногда неправильно называют «законом постоянства скорости света в инерциальных системах отсчета». Как мы видим, это вовсе не закон, а говоря словами Пуанкаре, «плод совершаемого неосознанного условного соглашения». Кинематический вывод преобразований Лоренца Приступим теперь к кинематическому выводу преобразований Лоренца. Объектом нашего рассмотрения будет так называемое мгновенное точечное событие, т.е. событие, происходящее в очень малом месте пространства и за очень короткий промежуток времени. Например, из некоторой точки N в фиксированный момент времени t = t0 испустим импульсную сферическую бесконечно тонкую световую волну. Уточняем - испускаем не периодическую гармоническую волну, а очень короткий световой импульс. Испускание светового импульса в момент времени t = t0 в точке N и есть пример мгновенного точечного события. Разумеется, мгновенные точечные события могут быть какие - угодно. Приведем еще один пример. Твердый стержень AB пусть движется в положительном направлении оси x. Мгновенным точечным событием теперь можно считать событие, заключающееся в совпадении, например, левого конца A стержня с фиксированной точкой N оси x. Другим мгновенным точечным событием является совпадение в какой-то момент времени правого конца B с фиксированной точкой M на оси x. Теперь, одно и то же какое-нибудь мгновенное точечное событие будем изучать с помощью наблюдений его в двух инерциальных системах отсчета K и K', или в двух системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга - «покоящейся» системы К и «движущейся» системы K', - движущейся со скоростью u вдоль оси x относительно покоящейся системы отсчета, причем в обеих этих системах координат размещены локальные часы, синхронизированные так, как мы разъяснили выше.
Пусть x, y, z, t - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x', y', z', t' - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К'.
Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x', считая что всегда y' = y и z' = z. Тогда в системах отсчета К и К' координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x', t' соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время - x, t. Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К'), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида x' = j(x, t), t' = y(x, t). Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К'. Наша конечная цель - найти вид функций j и y в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем. Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x1 оси x в момент t1 мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t2 этот импульс оказался в точке x2 оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t3 этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x3 = x1. Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K'. Мы увидим, что в точке x1' в момент времени t' был испущен в положительном направлении оси x' короткий световой импульс, который в момент времени t2' достиг точки x2', отразился в ней и в момент времени t3' оказался в точке x3', причем теперь x3' ¹ x1'. Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K' имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K: x3 = x1 и в системе отсчета K': Точка x1 = x3 на оси x системы отсчета K движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x', если ее наблюдать в системе отсчета K'. Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций j и y. Нахождение функции j. Составим функциональное уравнение для определения функции j. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде: Вычитая первое соотношение из третьего, получаем Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству Следовательно, или Таким образом, видим, что функция j удовлетворяет следующему функциональному уравнению: В этом уравнении величины x1, t1, x2, t2, x3, t3, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x1, x2 и t1. Величины x3, t2 и t3 можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем следовательно, Далее, из второго соотношения имеем а следовательно, мы воспользовались выражением для t2 и условием x3 = x1. Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции j: которое должно выполняться для произвольных значений x1, x2 и t1. Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x2. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от ). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению: Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид где F — пока произвольная функция. Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение: После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что или Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что
а следовательно, F где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.
Итак, мы показали, что исходная функция имеет следующий вид: где — некоторые пока не определенные постоянные. Нахождение функции . Найдем теперь аналогичным образом функцию . Три основных соотношения для системы отсчета представим в виде: Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение т.е. уравнение Видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению: в котором величины не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины и. Величины и выразим через указанные величины: Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции: которое выполняется при произвольных значениях и. Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по : производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от . Положим теперь в выведенном уравнении, и тогда придем к дифференциальному уравнению или уравнение Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения: в котором — пока произвольная функция. Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение или соотношение Так как аргументы у функций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях и совершенно произвольны, то получаем, что а следовательно, где — пока неопределенные постоянные. Определение констант . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного события в инерциальных системах отсчета и имеют вид Для нахождения констант привлечем дополнительное требование. Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),и наоборот. Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид: Теперь неопределенными остались только константы и . Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и . Имеем: Таким образом, приходим к заключению, что константы и равны друг другу:
= и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:
где — пока что неопределенная постоянная. Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и . Имеем уравнения Следовательно, и поэтому Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования: которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь — некоторое пока неизвестное нам число. Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства: из которых непосредственно заключаем, что и что величины a и a’ удовлетворяют соотношению Таким образом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x, t и x’, t‘ мгновенного точечного события в системах отсчета K и K’: и где величины a’ и a связаны вышеуказанным соотношением. Чтобы найти числа a’ и a, выставим ещё одно требование. Обратим внимание, что пока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны и времени в системах отсчета K и K ’. Разумеется, отчасти этот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеих системах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т.е. мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и K’. Но единица скорости есть только отношение единиц длины и времени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либо времени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующего требования. Требование 2. Длины l и l’ двух покоящихся в системах отсчёта K и K’ стержней одинаковой собственной длинны l0 (измеренной в этих системах отсчёта, в которых каждый из этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта K и K’ , относительно которых эти стержни движутся одинаковы. Возьмём стержень длинны l0 , покоящийся в “движущейся” системе отсчёта K’. Пусть он лежит на оси x’ и его левый конец пусть имеет координату x’A , а правый - координату x’B Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе отсчёта K. Пусть в одинаковые моменты времени tA и tB ( tA = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составить разность xA - xB = l , чтобы найти длину движущегося со скоростью u стержня, длина которого равна l0 в покоящейся системе координат. Согласно уже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенных точечных событий, имеем соотношения: Вычтем из и учтём условие Тогда получим Таким образом, имеем соотношение Если теперь, наоборот, взять стержень длины l0 , расположенный в “неподвижной” системе отсчёта K , и измерить его длину l’ в “движущейся” системе отсчёта K’ , то для этой длины, рассуждая аналогично, получаем соотношение Потребуем теперь, чтобы Тогда мы придём к равенству , а следовательно, с учётом выведенного соотношения к равенствам Знак минус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию, что a = 1 при u = 0 , когда мы имеем формулы тождественных преобразований. Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины l0 . Движущийся стержень как бы сокращается вдоль направления своего движения. Однако это не истинное, а кажущееся сокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целиком обязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системе отсчёта. Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений следующие формулы преобразований: которые называют формулами преобразований Лоренца.
В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращения длинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной на описаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта K и K’ , имеется ещё и эффект кажущегося замедления хода движущихся часов.
Пусть мы имеем часы, неподвижные в “движущейся” системе K’ , находящиеся в точке x’A = x’B . Пусть в них произошел один период колебаний, начавшийся в момент времени t’A (событие A) и окончившийся в момент времени t’B (событие B), так что t’B - t’A = t0 , где t0 - период колебаний часов в “собственной” системе отсчёта (где они покоятся). Обозначив через xA , xB , tA и tB координаты событий A и B в системе отсчёта K , получаем Вычитая второе равенство из первого для кажущегося периода колебаний t часов, определённого в “движущейся” системе K’ имеем следующую формулу так как x’A = x’B . Следовательно, окончательно получаем формулу для кажущегося, т.е. кинематического, замедления хода движущихся часов. 4.12 Кинематический вывод преобразований Галилея. Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея, изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета K и K ’. Построение полей времени в системах отсчета K и K ’. Будем теперь считать, что в системе отсчёта K среда, возбуждениями которой является свет, покоится. Тогда относительно системы отсчёта K’ эта Среда будет двигаться со скоростью u в отрицательном направлении оси x’. Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K оставим прежней. Но процедуру построения локальных времён в системе отсчёта K’ изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M но оси x’ с координатой x’M>0 , с помощью короткого импульсного светового сигнала, выпущенного из начала координат x’ = 0 в начальный момент времени t’ = 0, в момент прихода сигнала в точку M , на часах в точке M теперь поставим не время r/c , где r - расстояние между O и M , а время r . c + u Аналогично поступим с точкой M на оси x’ с координатой x’M r . c - u Основные соотношения. Рассмотрим снова три мгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующим образом. В точке x1 на оси x в момент t’1 пусть испускается короткий световой импульс в положительном направлении оси x. В момент t’2 пусть он приходит в точку x2 на оси x, отражается в ней и в момент t’3 возвращается в точку x1 , так что x1 = x3. Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K ’ , имеем теперь следующие шесть основных соотношений: Нахождение функций j и y. Составим сначала функциональное уравнение для функции j. Имеем Вычтем первое соотношение из третьего и результат сравним со вторым соотношением. Получим тогда уравнение или то есть С учётом соотношений отсюда приходим к следующему окончательному функциональному уравнению для определения вида функции j: которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1 , x2 и t1 . Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение: Положим в этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению так что имеем очень простое дифференциальное уравнение или для определения вида функции . Общее решение последнего уравнения имеет вид где F - произвольная функция. Подставим эту формулу в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем, что и поэтому получим соотношение Так как то приходим к следующему уравнению справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных x1,x2,t1. Следовательно, а потому , игнорируя получаем где a и b- некоторые пока не определенные постоянные. Составим теперь функциональное уравнение для функции y. Имеем где G - произвольная функция. Вычитая первое уравнение из третьего уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением, получаем соотношение Следовательно, или Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному уравнению для функции :
Разрешим это уравнение, для чего сначала продифференцируем его по x2. Тогда получим уравнение Полагая в этом последнем уравнении и, приходим к
дифференциальному уравнению или совсем простому уравнению Следовательно, Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Получим Следовательно, Так как величины совершенно произвольны, то аргументы функций G в правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения. Поэтому а следовательно, где - пока произвольные постоянные. Определение констант Мы получили следующие формулы преобразования координат и времен мгновенного точечного события: Найдем константы начнем с того, что выставим требование о согласовании начал отчетов координат и времени в обеих системах отсчета и . Требование 1. Событие, имеющее координаты 0, 0 в системе отсчета , имеет координаты 0, 0 в системе отсчета , и наоборот. Следовательно, в приведенных формулах и формулы преобразования приобретают следующий вид: Приведенные формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. В них входят пока не определенные нами величины и. Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть соотношений, мы можем найти ограничения на константы и. Так, собственно говоря, и получается. Действительно, имеем равенства Как видим, чтобы эти равенства выполнялись, необходимо потребовать, чтобы константы и были равны друг другу: Таким образом, искомые формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют вид где - пока не определенная константа . Как и в случае преобразований Лоренца, воспользуемся тем, что у нас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны, либо времени в обеих системах отсчета и . Чтобы фиксировать указанный произвол, выставим дополнительное требование. Требование 2. Длина l движущегося в системе стержня, покоящегося в системе , ориентированного вдоль оси и имеющего в этой системе длину , т.е. . Рассмотрим движущийся стержень, все время покоящийся в системе отсчета между точками от с координатами и . Пусть в одинаковые локальные моменты времени в системе отсчета левый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой(событие A), (событие B). Тогда Вычитая второе равенство из первого, с учетом условия получаем и так как согласно требованию 2, то приходим к заключению, что Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений, аналогичных использованным Эйнштейном при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея: 4.13. Гипотеза эфира и гипотеза четырехмерного мира. Подведем итог нашим рассуждениям. Исходя из условных в принципе процедур построения полей времени в «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета, используя очевидные дополнительные требования о согласовании единиц измерения длинны и времени в обеих рассматриваемых системах отсчета, мы вывели как преобразования Лоренца , так и преобразования Галилея . При этом мы следовали основным идеям кинематического рассуждения из работы Эйнштейна 1905 г. (усилив их только рассмотрением функциональных уравнений). Таким образом, вывод Эйнштейна, сделанный им в работе 1905 г., о ложности ньютоновской концепции абсолютного времени Ньютона следует считать необоснованным. Также не обосновано и утверждение, что он якобы доказал, что светоносного эфира не существует, что электромагнитные волны существуют сами по себе без какой-либо среды (в отличие от всех других известных нам физических волн).
Конечно, несмотря ни на что, мы можем принять утверждения Эйнштейна попросту за некую (пока, правда, существующими экспериментами еще не доказанную) научную гипотезу. Но одновременно мы должны считаться и с другой гипотезой классической физики - что светоносная среда (эфир) существует, что электромагнитные волны являются возмущениями эфира, что механическая абсолютная система отсчета - это система отсчета, в которой мировой эфир покоится.
Выбор того или иного локального поля времени в движущейся системе отсчета (ньютонова или эйнштейнова) является, по-видимому, вообще полностью чисто условным и диктуется исключительно соображениями удобства проведения тех или иных физических рассуждений. В классической механике удобно «ньютоново», а в теории элементарных частиц - «эйнштейново» время. Выбор той или иной концепции количественного времени, как утверждал Пуанкаре еще в 1898 г., т.е. за 7 лет до работы Эйнштейна 1905г., подобен выбору той или иной системы геометрических координат в трехмерном пространстве, скажем, прямоугольной декартовой или сферической. Только от конкретной задачи зависит, какая из этих систем координат удобнее и полезнее. Сформулируем таким образом, альтернативные фундаментальные физические гипотезы . Гипотеза эфира. Существует особая физическая среда - эфир, заполняющая пространство, возмущенными колебаниями которого являются электромагнитные волны (включая оптические, радио, телевизионные и т.д. волны). Система отсчета, в которой эта среда покоится, является физической абсолютной системой отсчета. Она, разумеется, единственна и уникальна по всем физическим свойствам. Класс систем отсчета, движущимся относительно абсолютной равномерно прямолинейно с постоянными скоростями, образует класс инерциальных систем отсчета. В этом классе систем отсчета механические, электродинамические и др. физические явления математически и физически описываются наиболее просто. Гипотеза эфира была провозглашена в классической физической оптике и разделялась многими физиками и математиками 17,18,19 вв., в частности Френелем в первой четверти 19 в., а также и Лоренцем в конце 19 в. и до его смерти в 1928г. Гипотеза четырехмерного мира. Ньютонова классическая механика ошибочна. Представления об абсолютном пространстве и времени ложны по существу. Пространство и время являются геометрическим, или точнее - физическим единым целым. Их нельзя рассматривать изолированно одно от другого, а надо объединять в “четырёхмерный мир”, или “пространство-время”, в рамках которого только и возможно дать правильное физическое описание явлений природы. Инерциальные системы отсчёта - отражение свойств симметрии четырёхмерного мира, и ничего более. Другими словами, в вопросе об инерциальных системах отсчёта речь идёт о чисто геометрических свойствах симметрии четырёхмерного пространства-времени. Существуют преобразования - преобразования симметрии четырёхмерного пространства-времени, при которых оно переходит само в себя подобно тому, как наше трёхмерное пространство переходит само в себя при произвольных параллельных переносах и произвольных поворотах вокруг любой оси на любой угол. Все декартовы системы координат в трёхмерном пространстве, полученные параллельным переносом и (или) произвольным поворотом относительно произвольно направленной оси одна из другой, - равноправны. Обсуждаемую скорее геометрическую, чем физическую гипотезу наиболее наглядно сформулировал Минковский в работе 1909 г. Но ранее него её совершенно чётко сформулировал Пуанкаре, хотя в математическом и намного более строгом, но не столь наглядном виде, как у Минковского. Этой гипотезы по существу придерживался и Эйнштейн в работе 1905 г. Геометрическая симметрия четырёхмерного мира Соображения, опирающиеся на симметрию, играют важную роль в физических, и не только физических исследованиях. Использование имеющихся симметрий существенно упрощает анализ любой ситуации. Пространство, в котором разыгрываются физические события, - наше обычное трёхмерное пространство или четырёхмерный мир, или пространство-время, рассматриваемые в специальной теории относительности, - тоже обладают определённой симметрией. Объясним, - Что это означает? Какой именно симметрией обладает четырёхмерный мир? Идея симметрии пространства возникла из идеи симметрии геометрической фигуры, например, равностороннего треугольника или идеально правильного куба. В частности, куб определённо обладает очень высокой симметрией, и под этим мы понимаем только то, что существуют операции, отличные от тождественной, которые переводят куб сам в себя. Если представить себе, что мы располагаем двумя идентичными экземплярами куба, то можно представить себе мысленно также и “совмещение” этих двух кубов друг с другом при перемещениях и поворотах их в пространстве так, чтобы и вершины, и рёбра, и грани кубов совместились друг с другом. Легко видеть, что такое совмещение можно осуществлять по-разному: повернув предварительно каким-либо определённым образом второй куб перед совмещением его с первым. В частности, второй куб можно совместить с первым, вообще не повёртывая его заранее. Такая операция совмещения называется тождественной. Кроме этой тождественной операции, существуют и другие операции, позволяющие совмещать по-разному повёрнутый предварительно один экземпляр куба с другим его экземпляром. Наличие таких операций, которые называют “операциями симметрии”, позволяющих совмещать геометрическую фигуру саму с собой, свидетельствует о геометрической симметрии рассматриваемой фигуры. Множество операций симметрии геометрической фигуры образуют то, что в математике называют группой симметрии этой фигуры. Чем больше число операций симметрии у геометрической фигуры, тем выше её симметрия. У куба, с учётом тождественной операции, которой обладает любое даже и совсем не симметричное тело, их оказывается 48. У треугольника на плоскости их 3. Может случиться, что множество операций симметрии в группе симметрии фигуры бесконечно. Тогда имеем случай чрезвычайно высокой симметрии. Так, шар в трёхмерном пространстве можно совместить с самим собой, повёртывая его на любой угол относительно любой оси, проходящей через центр шара, число таких поворотов очевидно бесконечно. Вернёмся к симметрии бесконечного неограниченного пространства. Здесь тоже следует рассматривать группу преобразований симметрии, переводящих пространство само в себя. Что касается обычного трёхмерного пространства, то его группа симметрии состоит из преобразований параллельных переносов пространства вдоль любой прямой на любое расстояние и из преобразований произвольных поворотов пространства на любой угол вокруг любой оси, проходящей через любую точку пространства. С указанной симметрией трёхмерного пространства очевидно связана инвариантность всех его свойств относительно выбора любой прямоугольной системы координат OXYZ, центр которой можно поместить в любую точку и оси которой можно ориентировать как угодно. Что касается четырёхмерного мира, то его группа симметрии тоже состоит из бесконечного числа преобразований, а именно - из преобразований произвольных параллельных переносов пространства вдоль любой “прямой” в этом пространстве, включая и ось времени, и произвольных “поворотов” пространства на любой “угол” вокруг любой “оси” в этом пространстве, включая и “повороты”, не затрагивающие осей y и z. Такие повороты как раз и являются рассматриваемыми нами здесь преобразованиями Лоренца.
С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана инвариантность его геометрических свойств относительно выбора одной из систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из друга равномерным движением в произвольном направлении с произвольной постоянной скоростью. Этот класс “систем координат” в четырёхмерном мире или по-другому - систем отсчёта, отражающих внутреннюю симметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом инерциальных систем отсчёта классической механики Галилея-Ньютона.
Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии пространства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины называют инвариантными величинами, или просто инвариантами. В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инвариантными относительно выбора декартовых осей координат, являются длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрезками. Это самые важные количественные геометрические величины в нашем трёхмерном пространстве. Если имеем две точки М1 и М2 с координатами x1,y1,z1 и x2,y2,z2, в декартовой системе координат К, то квадрат длинны r отрезка между этими точками даётся известным выражением r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2. Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1’, y1’, z1’ и x2’, y2’, x2’ обозначают координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К’, то имеем равенство r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2= = (x2 - x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2= r2, причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преобразования координат. Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф, производимым по правому винту вокруг оси z, то указанные формулы преобразования имеют вид: x’ = x cos Ф - y sin Ф, y’ = x cos Ф - y cos Ф, z’ = z. В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это - “расстояние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгновенных точечных события М1 и М2 с координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2, z2, t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с координатами x1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’, t2’ отсчитанными относительно другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразований Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’, инвариантна величина квадрата так называемого четырёхмерного ,или релятивистского интервала: s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2= =(x2 -x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2-c2(t2 -t1 )2= s2 В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действительно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые мы рассматривали выше: x - vt t - xv/c2 x’= , y’=y, z’=z, t’= 1-v2/c 2 1-v2/c2 Действительно, 1 s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2= * 1 - v2/c2 *{(x2-vt2-x1-vt1)2 - c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2} = 1 = {(x2-x1)2 - 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2}- 1-v2/c2 1 - {-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2 (x2-x1)2}= 1-v2/c2 =(x2-x1)2 - c2(t2-t1)2=s2 Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2 играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырехмерном пространстве. В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпадающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат релятивистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадающих точек, “расстояния” между которыми равно нулю. Например, рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем условие x2-c2t2= 0, или (x-ct)(x+ct)=0. Следовательно, искомым геометрическим местом нескольких точек будут две прямые, симметрично расположенные относительно оси времени. В четырехмерном мире, или в пространстве - времени множество точек, удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым. Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные квадраты релятивистского интервала до начала координат. Точки, расположенные вне светового конуса, имеют положительные квадраты релятивистского интервала до начала координат. Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала координат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид, окружающий световой конус. Рассматриваемое нами преобразование Лоренца - простейшее; оно затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “поворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt. Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict. Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих формул: 1 v/c x1’ = x1 + i x4 , 1- v2/c2 1-v2/c2 v/c 1 x1’ = i x1 + x4

1-v2/c2 1-v2/c2 x2’ = x2, x3’=x3 Здесь x1º x, x2ºy, x3º z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в плоскости x0 , x1 на угол j , которые имеют вид При таком, сравнении получим, что Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно, Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им, Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , или Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость , где Тогда имеем формулы преобразования Релятивистская механика материальной точки Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки. Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна и косинус угла между векторами а и b равен ,где - скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z , в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести "4-радиус-вектор" c компонентами причем квадрат длины этого вектора равен Мгновенной скорость материальной точки не является лоренц-инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную "4-скорость", которая имеет компоненты - интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds - релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки и соотношением , т.е. где v - обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что Аналогичным образом релятивистски инвариантное "4-ускорение " Минковский определил следующим образом: Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом: где - так называемая "масса покоя" материальной точки - компоненты так называемой "4-силы " Минковского. Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что так что т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с. Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие уравнения движения:
Три уравнения, в которые входят легко сопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки зависит от скорости по закону
а импульс движущейся материальной точки определяется формулой где v - вектор мгновенной скорости материальной точки. Четвертое уравнение, в которое входит , оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на и на -, соответственно и сложим. Получим тогда уравнение Отсюда можно найти . Имеем где - мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом, и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид : Таким образом, величину следует считать энергией движущейся материальной точки. Если , то приближенно получаем Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки а первое слагаемое - так называемая "энергия покоя". Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину Приведем еще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем так что имеем формулу В заключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классической механики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам и другим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошо описывают механические движения. Вместе с тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения уравнений классической механики Ньютона для системы даже двух материальных точек в релятивистской механике не увенчались успехом, здесь она столкнулись с серьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями.