Оборотный маятник. Измерение ускорения свободного падения

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 2. Теоретическая часть 3. Задание на выполнение лабораторной работы 4. Результаты измерений, обработка результатов
5. Выводы 6. Использованная литература ---- ВВЕДЕНИЕ ---- МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Среди всевозможных совершающихся вокруг нас механических движений часто встречаются повторяющиеся движения. Любое равномерное вращение является повторяющимся движением: при каждом обороте всякая точка равномерно вращающегося тела проходит те же положения, что и при предыдущем обороте, причём в такой же последовательности и с теми же скоростями. Если мы посмотрим, как раскачиваются от ветра ветви и стволы деревьев, как качается на волнах корабль, как ходит маятник часов, как движутся взад и вперёд поршни и шатуны паровой машины или дизеля; если мы будем наблюдать чередование морских приливов и отливов, размахивание руками при ходьбе и беге, биения сердца или пульса, то во всех этих движениях мы заметим одну и ту же черту – многократное повторение одного и того же цикла движений. В действительности не всегда и не при всяких условиях повторение совершенно одинаково. В одних случаях каждый новый цикл очень точно повторяет предыдущий (качания маятника, движения частей машины, работающей с постоянной скоростью), в других случаях различия между следующими друг за другом циклами может быть заметным (приливы и отливы, качания ветвей, движения частей машины при её пуске или остановке). Отклонения от совершенно точного повторения очень часто настолько малы, что ими можно пренебречь и считать движение повторяющимся вполне точно, т. е. считать его периодическим. Периодическим называется повторяющееся движение, у которого каждый цикл в точности воспроизводит любой другой цикл. Продолжительность одного цикла называется периодом. Период равномерного вращения равен продолжительности оборота. В природе, и особенно в технике, чрезвычайно большую роль играют тела и устройства, которые сами по себе способны совершать периодические движения. «Сами по себе» - это значит: не будучи принуждаемы к этому действием периодических внешних сил. Такие колебания называют поэтому свободными колебаниями в отличие от вынужденных. Если, например, толкнуть дверь и предоставить самой себе, то движение не будет повторяющимся. Иное дело, если толкнуть или отклонить от вертикали висящий на верёвке груз. Он начнёт качаться, т. е. будет совершать периодическое движение. Это и будут свободные колебания. Подобно этому будет периодически колебаться вода в стакане, груз, подвешенный на пружине, вагон или экипаж на своих рессорах, качели, зажатая одним концом металлическая пластинка, натянутая струна и т. д. Все такие тела или совокупность тел, которые сами по себе могут совершать периодические движения, или колебания, называются колебательными системами. Такими системами являются большинство источников звука, а воздух, в свою очередь, представляет собой колебательную систему. Кроме механических колебательных систем существуют электромагнитные колебательные системы, в которых могут совершаться электрические колебания, составляющие основу всей радиотехники. Наконец, имеется очень много смешанных – электромеханических - колебательных систем, используемых в технике. Одна из простейших механических колебательных систем – это маятник. Маятником называется всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса. - II - ---- ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ---- У всякой системы, способной совершать свободные колебания, имеется устойчивое положение равновесия. У маятника – это то положение, при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса. Наибольшее отклонение от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Физический маятник – твёрдое тело, имеющее возможность колебаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс под действием силы тяжести. Точка пересечения горизонтальной оси А с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 1). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия φ. Угол φ играет роль обобщённой координаты q. Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением: Екин=½Iφ2, где I – момент инерции маятника относительно оси А. Потенциальная энергия равна: Епот = mgh, где h – высота поднятия центра масс С над его самым нижним положением. Обозначим а расстояние между центром масс С и точкой подвеса А. Тогда Епот=mga/2·φ2. Таким образом, для малых колебаний потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду: d2α/dt2+mgd/I·α=0, где угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний. Таким образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими α=α0sin(ωt+φ0), где α0 – амплитуда колебаний угла α, а ω=(mgd/I)½ и T=2π(I/mgd)½ - циклическая частота и период малых колебаний физического маятника. Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближённо изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При бόльших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его примение в часах. Частным случаем физического маятника является математический маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке – в центре масс маятника С. Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника: a=l, I=mt2, где l – длина маятника и формула получает вид: T=2π(l/g)½. Из этого можно сделать вывод, что физический маятник колеблется также, как математический с длиной l=I/mα, (1)
которая называется приведённой длиной физического маятника. Мы доказали это утверждение только для малых колебаний маятников. Но оно справедливо и для колебаний с конечными амплитудами, когда колебания не изохронны. Требуется только, чтобы угловые амплитуды физического и математического маятников были одинаковы. Доказательство этого приводим ниже.
I. Отложим от точки подвеса А вдоль прямой АС отрезок АА´, длина которого равна приведённой длине физического маятника l (на рис. выше). Точка А´ называется центром качания. Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений. По теореме Гюйгенса-Штейнера I=Ic+ma2, где Ic – момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу (1), получим: l=a+Ic/ma (2) Отсюда следует: 1. l›a, т. е. точка подвеса А и центр качания А´ лежат по разные стороны от центра масс С; 2. всем точкам подвеса, одинаково удалённым от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведённая длина l, а следовательно, один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряжёнными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания А´, то его период не изменится и прежняя точка подвеса А сделается новым центром качания. Это положение называется теоремой Гюйгенса. Для её доказательства обозначим а´ длину отрезка А´С и допустим, что маятник подвешен за точку А´. Тогда его приведённая длина: l´=a´+Ic/ma´. (3) Но a´=l-a, или в силу соотношения (2) a´=Icma. Подставив это значение в формулу (3), получим l´=Ic/ma+a. Таким образом, l´=l, т. е. приведённая длина, а с ней и период колебаний физического маятника остались без изменений. Это и доказывает теорему Гюйгенса. II. Следующее доказательство теоремы Гюйгенса глубже раскрывает её содержание. Перемещая точку подвеса маятника вдоль одной и той же прямой, проходящей через центр масс С, посмотрим, как будет меняться его период колебаний. Когда точка подвеса А бесконечно удалена от С, маятник ведёт себя как математический. Его период колебаний бесконечно велик. При приближении точки подвеса А к центру масс С период колебаний сначала убывает. Когда точка подвеса совместиться с С, маятник при любом отклонении будет в безразличном равновесии. Это значит, что его период колебаний становится бесконечно большим. Поэтому по мере приближения точки А к С убывание периода должно смениться возрастанием. Положению точки подвеса, где это происходит, соответствует минимальный период колебаний. Когда точка подвеса переходит через точку Сна другую сторону прямой АА´, период колебаний, перейдя через бесконечность, начинает уменьшаться. При этом двум положениям точки подвеса, находящимся по разные стороны от С на одинаковых расстояниях, соответствуют равные периоды колебаний. Вместо периода колебаний можно пользоваться приведённой длиной маятника l, однозначно определяющей его период колебаний. При удалении точки подвеса в бесконечность или при приближении её к центру масс С приведённая длина l стремится к бесконечности и достигает минимума в каком-то промежуточном положении. Графически это представлено на рис. 2: На оси абсцисс отложена величина а, на оси ординат – приведённая длина маятника l. Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси ординат. Одна ветвь соответствует случаю, когда точка подвеса расположена по одну, а вторая – по другую сторону от центра масс С. Аналитически кривая изображается уравнением (3), которое можно представить в виде: a2-la+Ic/m=0 (4) Фиксированному значению приведённой длины l0 соответствует на рис. Горизонтальная прямая l=l0. Точки пересечения её с кривой определяют положение точек подвеса физического маятника, при которых его приведённая длина равна заданному значению l0. Таких точек пересечения четыре. Две из них расположены по одну, две остальные – по другую сторону от центра масс С. Их положение легко найти из квадратного уравнения: a2-l0a+Ic/m=0 (5) Если l0›2·(Ic/m)½, это уравнение имеет два вещественных положительных корня a1 и а2, причём a1+a2=l0 (6) В этом случае по одну и ту же сторону от центра масс С имеются две точки подвеса А1 и А2 (рис. 3), которым соответствует одна и та же приведённая длина l0. По другую сторону от центра масс С лежит вторая пара симметрично расположенных точек подвеса А1´ и А2´, характеризующаяся той же приведённой длиной l0. Если l0=2(Ic/m)½, то корни уравнения (5) совпадают, т. е. обе точки подвеса по каждую сторону от центра масс сливаются в одну. Если l0Ic/m)½ , то корни уравнения (5) мнимые. Таких точек подвеса не существует.
А2
А2´ Из соотношения a1+a2=l0 следует, что расстояние между точками А1 и А2´ , а также между точками А1´ и А2 равно приведённой длине маятника l. Если одну из точек каждой пары принять за точку подвеса, то вторая будет центром качания.
Но это и есть теорема Гюйгенса. Из приведённого здесь доказательства следует также, что точка подвеса и центр качания находятся по разные стороны от центра масс и расположены асимметрично относительно него. Исключение составляет только случай, когда l0=2(Ic/m)½.Тогда точки А1 и А2 сливаются в одну точку. Сливаются также и точки А1´ и А2´. Только в этом случае точка подвеса и центр качания расположены симметрично относительно центра масс.
Теорема Гюйгенса используется в оборотном маятнике для точных измерений ускорения свободного падения. Существуют разнообразные конструкции оборотного маятника. На рис.4 схематически изображена одна из них. Маятник состоит из стального стержня, длина которого обычно больше метра. На нём жёстко закреплены опорные стальные призмы А и А´ и стальная чечевица В, находящаяся между ними. Другая стальная чечевица D находится на одном из концов стержня (не между призмами), она может перемещаться по стержню и закрепляться в нужном положении. Перемещением этой чечевицы достигают совпадения периодов колебаний маятника, когда точками подвеса являются рёбра опорных призм А и А´. Эти рёбра закреплены асимметрично относительно центра масс С. Поэтому при совпадении периодов колебаний расстояние между ними даёт приведённую длину физического маятника l. Измерив период колебаний Т, можно вычислить g по формуле: T=2π(l/g)½; G=4π2l/T2, гдеl – приведённая длина физического маятника. Приведённой длиной физического маятника называется длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического. - III - ---- ЗАДАНИЕ ---- 1. Подвесить маятник на призму А (рис.4). Отклонить маятник на угол не более 5-10˚ и по секундомеру определить время 30 полных колебаний. По полученным данным рассчитать период колебаний Т1; 2. Подвесить маятник на призму А´ и определить Т2; 3. Передвинуть внутреннюю призму А на одно деление и проделать пункты 1 и 2; 4. По полученным данным построить графики зависимостей периодов колебаний Т1 и Т2 от длины маятника. По точке пересечения графиков определить приведённую длину и соответствующий период колебаний; Рассчитать значение ускорения свободного падения по формуле g=4π2l0/T2. Примечание. Если во всех случаях число колебаний выбрать равным, то можно строить график зависимости не Т(L), а t(L), определив по графику L0 и t, рассчитывают ускорение свободного падения по формуле:g=4π2Lпр/t2. - IV - ---- РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ. ---- I. Прямые измерения
Табл. 1 При длине маятника L1=40,5 см=0,405 м: №п/п t30, (с) ∆t30, (c) (∆t)2 1 39,08 0,02334 0,000544 2 39,06 0,00334 0,0000111 3 39,03 - 0,02666 0,00071 t30> 39,05666 ∑∆t=0 =(t1+t2+t3):3=39,05666 c; ∑(∆t2)=0,0012651; a) Средняя квадратичная погрешность единичного измерения по результатам n измерений: δ=(∑(ti-t>)2/(n-1))½; δ=0,0251495; б) квадратичная погрешность среднего значения из n=3 измерений: δt>=δ/n½; δt>=0,01452; в) найдём полуширину доверительного интервала ∆t>=kδt> для доверительной вероятности Р=0,95, взяв значение k из таблицы 2:

Табл. 2 K=∆t>/δ Доверит. интервал 1 0,68 2 0,95 2,6 0,99 3 0,997 ∆t>=0,02904; г) получим t1=t>±∆t>=39,057±0,03 c; д) относительная погрешность: ε=(∆t30>/t30>)·100%=0,07%;
е) период колебаний маятника: Т1=1,3 с ±0,07%; 1) При длине маятника L2=38,5 см=0,385 м:

Табл. 3 №п/п t30,(c) ∆t30, (c) (∆t)2 1 38,37 0,016667 0,0002778 2 38,32 -0,03333 0,0011109 3 38,37 0,016667 0,0002778 t30> 38,35333 ∑∆t=0 0,0016665 а) Определим среднюю квадратичную погрешность единичного измерения: δ=(∑(ti-t>)2/(n-1))½; d=0,0288652; б) Квадратичная погрешность среднего значения: δt>=δ/n½; δt>=0,0166653; в) Полуширина доверительного интервала: ∆t>=kδt>; ∆t>=0,0333306; г) t2=±∆=38,35±0,03 для Р=0,95; д) Относительная погрешность: ε=(∆/)·100%=0,08%; е) Период колебаний с учётом относительной погрешности: Т2=1,28 с ±0,08%; 2) При длине маятника L3=30,5 cм=0,305 м:


Табл. 4 №п/п t30,(c) ∆t30, (c) (∆t)2 1 37,92 -0,04 0,0016 2 38,02 0,06 0,0036 3 37,94 -0,02 0,0004 37,96 ∑∆t=0 0,0056 а) δ=(∑(ti-)2/(n-1))½; δ=0,052915; б) δ=δ/n½; δ=0,03055; в) ∆=kδ= 0,0611; г) t3=±∆=37,96±0,06; д) ε=(∆/)·100%=0,15%; е) Т3=1,265 с ±0,15%; 3) При длине маятника L4=27 cм=0,27 м:


Табл. 5 №п/п t30> ∆t30, (c) (∆t)2 1 37,72 -0,02 0,0004 2 37,74 0 0 3 37,76 0,02 0,0004 30 37,74 S=0 а) d=0,02; б) δ=0,011547; в) D=0,023094; г) t4=37,74 ±0,05%; д) ε=(∆/)·100%=0,05%; е) Т4=1,258 с±0,05%. II. При перевёрнутом маятнике 1) Длина маятника L01=0,405 м:

Табл. 6 №п/п t30> ∆t30, (c) (∆t)2 1 39,12 -0,06 0,0036 2 39,18 0 0 3 39,24 0,06 0,0036 30 39,18 S=0 а) d=0,06; б) δ=0,034641; в) D=0,069282; г) t01=39,18 ±0,07; д) ε=(∆/)·100%=0,18%;
е) Т01=1,3 с±0,18%. 2) Длина маятника L02=0,38 м:

Табл. 7 №п/п ∆t30, (c) (∆t)2 1 39,03 -0,04333 0,001877 2 39,09 0,01667 0,000277 3 39,10 0,02666 0,0007107 30 39,07333 S=0 а) d=0,0378457; б) δ=0,0218502; в) D=0,04370; г) t02=39,07 ±0,04; д) ε=(∆/)·100%=0,1%; е) Т02=1,3 с±0,1%. 3) Длина маятника L03=0,305 м:
Табл. 8 №п/п t30> ∆t30, (c) (∆t)2 1 40,78 -0,06 0,0036 2 40,72 0 0 3 40,66 0,06 0,0036 30 40,72 S=0 а) d=0,06; б) δ=0,03461; в) D=0,069282; г) t03=40,72 ±0,07; д) ε=(∆/)·100%=0,17%; е) Т03=1,35 с±0,17%. 4) Длина маятника L04=0,27 м:

Табл. 9 №п/п t30> ∆t30, (c) (∆t)2 1 40,89 -0,04333 0,001877 2 40,87 -0,02333 0,000544 3 40,78 0,066 0,004356 30 40,846 S=0 а) d=0,05821; б) δ=0,033608; в) D=0,067216; г) t04=40,846 ±0,07; д) ε=(∆/)·100%=0,17%; е) Т04=1,36 с±0,17%. L маятника Тпр Тобр 0,405 1,3 1,3 0,385 1,28 1,3 0,305 1,265 1,35 0,27 1,258 1,36 Табл. 10 На рис. 5 – график зависимости периодов колебаний в прямом о перевёрнутом положениях маятника от расстояния внутренней призмы. При L=40,5 см Т1=Т01≈1,3 с, следовательно, L0=0,405 м – и есть приведённая длина маятника. Итак, g=(4π2L0)/T2=(39,438·0,405)/1,69; g≈9,45 м/с2. II. Найдём среднее значение величины g по средним значениям величин Т и L: 1) g>=(4π2)/2; ≈0,341 м; ≈1,3 с; g>≈8 м/с2; 2) Составим таблицу значений длины маятника: №п/п L ∆Li (∆Li)2 1 0,405 0,064 0,004096 2 0,385 0,044 0,001936 3 0,305 -0,036 0,001296 4 0,27 -0,071 0,005041 L> 0,341 ∑∆Li=0 Табл.11 2) Применим метод расчёта погрешностей Стьюдента: а) определим среднеквадратичную погрешность среднего значения L: δL>=(∑(∆Li)2/(n(n-1))½=0,032105;
б) задаёмся доверительной вероятностью Р=0,95. По таблице коэффициентов Стьюдента определяем по известному значению числа измерений nкоэффициент Стьюдента kpn: kpn=3,18; в) определяем погрешность величины L: ∆L= kpnδL>≈0,1; г) составим таблицу значений периода Т, определённого по измеренным значениям tколебаний маятника: Табл. 12 №п/п Т ∆Т (∆Т)2 1 1,3 -0,001625 0,0000026 2 1,28 -0,021625 0,0004676 3 1,265 -0,036625 0,00134139 4 1,258 -0,043625 0,00190314 5 1,3 -0,001625 0,0000026 6 1,3 -0,001625 0,0000026 7 1,35 0,048375 0,002340764 8 1,36 0,058375 0,00340764 1,301625 ∑∆Т=0 д)определим среднеквадратичную погрешность среднего значения Т: δ=(∑(∆Тi)2/(n(n-1))½≈0,.28088698; е) коэффициент Стьюдента при Р=0,95 и n=8: kpn=2,36; ж) погрешность величины Т: ∆Т= kpnδ=2,36·0,028088698≈0,066289; ∆Т=0,066; з) ∆g=(dg/dL)∆L+(dg/dT)∆T=(4π2/T2)∆L-4π2L0·(2/T3)∆T= =(4π2/T2)∆L-(8π2L0/T3)∆T; ∆g≈1,53 м/с2; Итак, g=±∆g; g=8±1,53 м/с2 Относительная погрешность: ε=(∆g/g)·100%; ε=19,125% Табл. 13 Коэффициенты Стьюдента: п/р 0,8 0,9 0,95 0,98 3 1,89 2,92 4,30 6,96 4 1,69 2,35 3,18 4,54 5 1,53 2,13 2,77 3,75 6 1,48 2,02 2,57 3,36 7 1,44 1,94 2,45 3,14 ---- V ---- ВЫВОДЫ. 1. Отметив основные понятия по теме «Колебания» во введении, во второй части нашей работы, мы более детально коснулись одного из механизмов, совершающих колебания – маятников, и привели доказательство теоремы Гюйгенса-Штейнера4. 2. Проделав лабораторную работу, мы, при помощи оборотного маятника и измеренных значений определили величину ускорения свободного падения, равную: g≈9,45 м/с2; 3. Пользуясь измеренными в лабораторной работе значениями, определили средние значения и L> и, вычислив погрешности этих величин ∆L и ∆Т по методу расчёта погрешностей Стьюдента, определили среднюю величину ускорения свободного падения, а также относительную погрешность найденной нами величины:
g>≈8±1,53 м/с2. ---- VI ---- Использованная литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики. –М.: Наука, 1982; 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989;
3. Стрелков С.П. Механика. –М.: Наука, 1975; 4. Савельев А.И., Фетисов И.Н. Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента.: МГТУ, 1990; 5. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высшая школа, 1986.