Содержание:
1. Введение
2. Постановка задачи
3. Основные соотношения теории комбинированных оболочек
4. Построение оптимальной формы днища
5. Поверочный расчет
6. Заключение
7. Список литературы
1. Введение
Одной из конструкций, в которой удается наиболее полно реализовать высокую удельную прочность армированных материалов и учесть присущую им резкую анизотропию механических свойств, является баллон давления в форме оболочки вращения или цилиндрической оболочки с днищами.
Особенностью баллонов, работающих под действием под давлением длительное время, является требование сохранения ими герметичности. Существующие в настоящее время композиционные материалы с полимерной матрицей обладают достаточно большой проницаемостью и требуют введения герметизирующего слоя из различных материалов – резины, термопластов и металлов. Используемые способы герметизации не всегда соответствуют предъявленным требованиям. В частности, резиновый герметизирующий слой или слой специального герметика с течением времени теряют герметичность вследствие старения; слой термопласта можно использовать в сравнительно узком диапазоне температур. Отметим, что баллоны давления из композиционных материалов изготавливают методом непрерывной намотки ленты на удаляемые после отвержения связующего оправки. Одним из перспективных способов обеспечения герметичности является введение несущего металлического слоя, обладающего малой проницаемостью и позволяющего использовать металлическую оболочку в качестве технологической оправки при намотке баллона. Получаемая комбинированная конструкция, состоящая из внутреннего изотропного слоя и наружного армированного слоя, как правило, оказывается тяжелее баллона из композиционного материала, однако, обладает по сравнению с последним рядом технологических и эксплутационных преимуществ.
Введение металлического слоя требует решения задачи оптимального проектирования комбинированной конструкции, т. е. Выбора оптимального соотношения толщин металла и композиционного материала и формы баллона.
2. Постановка задачи
Композитный баллон давления представляет собой цилиндрическую оболочку с днищами, состоящую из внутреннего металлического слоя и наружного слоя композита.
Проектные параметры:
Рис. 1
где:
- размер полюсного отверстия
- радиус цилиндра
- толщина кольцевого слоя
- толщина спирального слоя
- толщина металлического слоя
материал наружного слоя - Армос+ЭХД (органопластик):
материал внутреннего слоя – Сплав АМГ-6:
3. Основные соотношения теории комбинированных оболочек
При выводе основных соотношений статической, геометрической и физической стороны задачи теории комбинированных оболочек будем предполагать напряженное состояние оболочки безмоментным.
Безмоментная оболочка является одной из распространенных схем, применяемых при расчёте и проектировании тонкостенных конструкций разного назначения.
Согласно данной расчётной схеме считается, что деформации равномерно распределены по толщине оболочки, а внешняя нагрузка воспринимается нормальными и сдвигающими усилиями, действующими в плоскостях, касательных к срединной поверхности.
Условия существования безмоментного напряженного состояния, включающие ограничения, накладываемые на форму оболочки, характер изменения внешней нагрузки и схему закрепления краев, как правило, достаточно хорошо реализуется в оболочках из композиционных материалов, изготовленных методом непрерывной намотки. Реализации безмоментного напряженного состояния способствует также относительно низкая жесткость связующего, соединяющего армирующие элементы и несущие слои.
Отмечу также, что в оболочках вращения, нагруженных давлением, моментное напряженное состояние имеет, как правило, локальный характер и появляется в окрестности закрепленных краев и линий возмущения, на которых нарушается непрерывность геометрических параметров конструкции или её жесткости. Основная часть оболочки, определяющая её массу, находится в безмоментном напряженном состоянии, по которому и целесообразно проектировать конструкцию.
В качестве условия совместности деформаций отдельных слоев будем использовать равенство их относительных удлинений в меридиональном и кольцевом направлениях и , которые связаны с тангенциальным перемещением и прогибом :
; , (1.1)
где , – главные радиусы кривизны; – элемент дуги меридиана.
Деформация оболочки предполагается осесимметричной.
Безмоментные меридиональное и кольцевое усилия и связаны с напряжениями в слоях соотношениями:
;
(1.2)
,
где:
, – меридиональное и кольцевое напряжения в изотропном слое;
– толщина изотропного слоя;
, , – напряжения в ленте композиционного материала, уложенной под углом к образующей;
– толщина - го слоя композиционного материала.
В случае баллона давления усилия и определяются следующими зависимостями:
, , (1.2’)
где:
– внутреннее давление.
При этом радиусы кривизны всех слоёв можно считать одинаковыми в силу малой толщины оболочки.
Как видно из уравнений (1.2), несмотря на то, что безмоментные усилия и не зависят от характеристик материала, задача определения напряженно-деформированного состояния комбинированной оболочки является статически неопределимой, так как два напряжения в изотропной оболочке , и напряжений в армированной ленте , , (1, 2, … , ) связаны двумя соотношениями (1.2).
Один из возможных способов решения данной задачи – решение в перемещениях, причем в качестве основных неизвестных примем общие для всех слоев перемещения и или меридиональное и кольцевое относительное удлинения и . Перемещения и могут быть найдены по известным деформациям и интегрированием уравнений (1.1).
Рассмотрим задачу расчёта комбинированного баллона при упругих деформациях. Напряжения в металлической оболочке связаны с деформациями законом Гука:
;
(1.3)
,
где:
и – модуль упругости, и коэффициент Пуассона материала.
Напряжения в армированной ленте слоя с номером связаны с соответствующими деформациями равенствами:
;
; (1.4)
,
,
где:
, – модули упругости ленты при растяжении вдоль и поперек армирующих волокон;
, – коэффициенты Пуассона,
– модуль сдвига в плоскости армирования.
Деформации ленты , , могут быть выражены через меридиональное и кольцевое относительное удлинения оболочки для случая осесимметричной деформации с помощью соотношений:
;
; (1.5)
,
Подставляя деформации (1.5) в равенства (1.4) и напряжения (1.3) и (1.4) в соотношения (1.2) получим с учётом равенств (1.2’) два уравнения относительно неизвестных и :
;
(1.6)
,
где:
, , – обобщённые жесткости:
Соотношения (1.6’):
;
;
,
Определив из уравнений (1.6) деформации и , можно далее с помощью формул (1.3) и (1.4), (1.5) найти напряжения в металлической оболочке и слоях композиционного материала.
Остановимся на анализе особенностей деформирования материалов, из которых изготовлена комбинированная оболочка. При возрастании давления в металлическом слое появляются пластические деформации, причем нагрузка, соответствующая переходу металла в пластическое состояние, определяется по достижению интенсивности напряжений предела текучести материала. Для плоского напряженного состояния интенсивность напряжений определяется равенством:
. (1.7)
В общем случае нагружение металлического слоя не является простым (т. е. напряжения и не изменяются прямо пропорционально давлению) и для решения упругопластической задачи следует воспользоваться теорией пластического течения. Физические соотношения для металлического слоя:
;
(1.8)
,
где:
– касательный модуль, определяемый по единой кривой (– интенсивность деформаций).
Единая кривая строится по диаграмме деформирования при одноосном растяжении образца и в первом приближении может считаться совпадающей с ней.
Для вывода разрешающей системы уравнений подставим в соотношения (1.2) и с помощью выражений (1.3) и выразим напряжения , , через деформации и согласно равенствам (1.4), (1.5). дифференцируя полученные уравнения и исключая и с помощью равенств (1.8) запишем окончательную систему:
;
(1.9)
Напряжения и определяются численным интегрированием уравнений (1.9) с учётом единой кривой и с начальными условиями:
(начальные напряжения, создаваемые предварительным натяжением ленты в процессе намотки, здесь не учитываются). Интегрированием равенств (1.8) находят деформации и с помощью соотношений (1.4), (1.5) – напряжения в слоях композиционного материала.
Ввиду того, что на оболочку действует только внутренне давление , нагружение металлического слоя может считаться близким к простому. Как известно, в этом случае достаточно точные результаты могут быть получены на основании деформационной теории пластичности. При этом физические соотношения для металлического слоя принимают вид:
;
(1.10)
,
где:
секущий модуль определяется по единой кривой .
Разрешая систему (1.10) относительно напряжений и подставляя последние в условия равновесия (1.2’), преобразованные с помощью равенств (1.3), (1.4), (1.5) получим:
;
(1.11)
.
Здесь обобщенные жесткости имеют вид:
; (1.12)
Заметим, что при упругих деформациях металлического слоя и уравнения (1.11) совпадают с (1.6).
Для решения уравнений (1.11) может быть применен метод последовательных нагружений. При этом диапазон изменения давления разбивается на участки, на начальном участке секущий модуль принимается равным , а на каждом последующем определяется по интенсивности напряжений, найденной на предшествующем этапе нагружения.
Следует отметить, что параметры , , , , характеризующие жесткость слоя из композиционного материала в общем случае не являются постоянными в процессе нагружения оболочки. Деформирование композиционного материала армированного волокнами сопровождается разрушением связующего, вызывающим уменьшение жесткости материала. Для учёта этого явления может быть использована модель, согласно которой при определении обобщённых жесткостей и т.д. для слоёв, где разрушено связующее, следует принимать . Таким образом, при численном интегрировании уравнений (1.9) или решении уравнений (1.11) методом последовательных нагружений необходимо на каждом шаге определять напряжения в ленте , , , устанавливать с помощью соответствующего критерия прочности момент разрушения связующего в слое и находить обобщённые жесткости композиционного материала. Предельное давление комбинированной оболочки в зависимости от соотношения удлинения металла и композиционного материала может определяться разрушением металлического или армированного слоя. В первом случае его устанавливают с помощью соответствующей теории прочности для изотропных материалов, а во втором – по достижению максимальными напряжениями в волокнах предельного значения.
4. Построение оптимальной формы днища
Большой интерес представляет случай оптимального проектирования комбинированных баллонов в форме оболочек вращения, образуемых намоткой армированной ленты на металлическую оболочку. Рассмотрим задачу о выборе рациональной формы комбинированной оболочки, в которой армированный слой образован одним семейством нитей, составляющих с меридианом угол .
Рис. 2
- внутреннее давление
- главные радиусы кривизны
- осевая сила
Армирование происходит по геодезическим линиям, при действии постоянного давления . Таким образом, намотка рассматриваемой оболочки по геодезическим линиям позволяет получить равно напряженную систему, т. е. Конструкцию минимальной массы.
Опр.: Геодезической называется линия на поверхности, главная нормаль которой совпадает с нормалью к этой поверхности (геодезическая кривизна которой равна нулю)
Свойства:
1. Линия минимальной длины, соединяющая две точки на поверхности.
2. Гибкая нить, лежащая без трения на выпуклой поверхности, принимает при натяжении форму геодезической.
3. Для того чтобы линия была геодезической на поверхности вращения, необходимо и достаточно, чтобы произведение синуса угла, образуемого ей меридианом, на расстоянии от точки до оси вращения, было постоянным (теорема Клеро).
4.
В соответствии с принятыми гипотезами будем предполагать, что напряжения во всех нитях постоянны и равны предельному, т. е.:
,
а напряжения в металлической оболочке равны пределу текучести, т. е.:
Напряжениями в связующем пренебрегаем, считая:
Тогда запишем уравнения равновесия в виде:
;
(2.1)
.
Учитывая, что необходимым условием равнопрочности нитяной системы является укладка армирующих элементов по геодезическим линиям поверхности, удовлетворяющим теореме Клеро:
(постоянная определяется через угол намотки на экваторе )
,
и принимая закон изменения толщины композиционного слоя из условия непрерывности намотки
где - толщина спирального слоя и его угол укладки на экваторе баллона.
Главные радиусы кривизны выражаются через уравнения образующей оболочки равенствами:
(2.2)
Теперь можно преобразовать уравнения (2.1), получим:
(2.3)
Разделив второе из уравнений на первое и вводя обозначение:
,
получим после некоторых преобразований уравнение, определяющее форму меридиана оптимальной оболочки:
. (2.4)
Первый интеграл этого уравнения имеет вид:
Постоянная может быть определена из условия , что дает:
Окончательно форма контура оболочки может быть найдена в результате вычисления следующего интеграла:
, (2.5)
где , - безразмерные координаты, отнесенные к величине радиуса экватора баллона.
Интеграл (2.5) является несобственным при , но его сходимость может быть легко доказана. Соответствующая оценка в районе экватора при будет:
.
Построим график зависимости , который показывает форму контура оптимального комбинированного баллона давления при параметрах .
Рис. 3
График зависимости . Формы контуров оптимальных комбинированных баллонов при различных параметрах для .
Найдем безмоментные усилия и и проверим выполнение каждого из уравнений равновесия (2.3). Подставим выражение для образующей (2.5) в правые части равенств (2.3), получим:
(2.6)
При этом первое из уравнений равновесия (2.3) приводится к виду:
Оно представляет собой условие прочности оболочки на экваторе (при )
. (2.7)
Подставляя из (2.6) во второе уравнение равновесия (2.3), можно показать, что оно обращается в тождество, если выполнено условие прочности на экваторе (2.7). Таким образом, полученная форма оболочки обеспечивает ее равнопрочность (конструкция минимальной массы) при заданном разрушающем давлении, если толщина металлического слоя и слоя композиционного материала на экваторе удовлетворяют условию (2.7).
Для определения общей массы комбинированного баллона найдем предварительно некоторые его геометрические параметры.
Длина нити от экватора до полюсного отверстия определяется равенством
(2.8)
Данный интеграл (2.8) является несобственным, как в окрестности , так и в окрестности . Соответствующие оценки данного интеграла имеют вид
;
.
Площадь поверхности половины баллона (при ):
. (2.9)
Оценка интеграла в окрестности экватора имеет вид:
.
Объем половины баллона:
(2.10)
Интеграл в районе экватора оценивается по формуле:
.
Масса баллона определяется выражением:
(2.11)
где , - плотность металла и композиционного материала соответственно;
, - число нитей, проходящих через поперечное сечение оболочки и приведенная площадь сечения одной нити .
Введем обозначения: , , ,
И преобразуя выражение (2.9), получим:
. (2.12)
Строим график зависимости относительной длины нити , площади поверхности баллона и объема от величины параметра при различных значениях относительного радиуса полюсного отверстия . Найдем значение относительного радиуса полюсного отверстия:
.
Рис. 4
Зависимость относительных длины нити , площади поверхности , объема : от параметра для комбинированного баллона с относительным полюсным отверстием .
Приведенные зависимости могут быть использованы на начальном этапе проектирования при определении геометрических характеристик оптимального баллона. Принимая в первом приближении форму баллона сферической определяем его радиус и относительную величину полюсного отверстия:
Задаваясь материалами герметизирующего металлического и несущего армированного слоев и принимая толщину металлического слоя, например, из технологических соображений, найдем потребную толщину армированного слоя на экваторе из равенства (2.7).
и величину параметра:
.
По значению из формулы (2.10) или непосредственно с помощью (Рис. 4) определяем и необходимую величину радиуса экваториального сечения из условия обеспечения заданного объема.
.
Далее находим значение и аналогично изложенному выше определяем величину параметра и уточняем относительный объем , а, следовательно, и геометрию баллона. Как правило, оказывается достаточным одного — двух приближений ввиду незначительной изменяемости кривой .
При выбранной геометрии и механических характеристиках исходных материалов массу баллона можно определить по формуле (2.12).
Рис. 5
Зависимость относительной массы комбинированного баллона от параметра .
На (Рис. 5) представлены зависимости относительной массы комбинированного баллона от параметра для некоторых реальных материалов, при относительном полюсном отверстии . Нетрудно видеть, что масса комбинированного баллона всегда будет больше массы композиционного баллона (). Выигрыш в массе, наибольший при использовании полимерных волокон, достигает 15% по сравнению с чисто металлическим титановым прототипом и до 25%, если прототипом является стальной баллон давления. Указанные результаты получены для механических свойств композиционных материалов.
5. Поверочный расчет
Приведенный выше проектировочный расчет основан на ряде упрощающих предположений, в частности, металл считался идеально- пластическим и не учитывалась жесткость связующего в композиционном материале. Поэтому представляется целесообразным провести проверочный расчет спроектированного баллона с учетом реального характера упрочнения металлического слоя, несущей способности связующего композиционного материала и возможности его растрескивания в процессе деформирования.
Более важной является задача определения несущей способности баллона давления, которую удобнее решать методом последовательных нагружений при начальном условии . При этом для каждого последующего шага секущий модуль определяется по величине интенсивности деформаций для предыдущего шага по диаграмме . При этом возможно накопление ошибки по мере увеличения пластических деформаций и для более точного определения, как было указано выше, на каждом шаге может быть применен метод последовательных приближений.
Исходными данными для расчета являются геометрические параметры оболочки — форма меридиана , величины радиусов экваториального сечения и полюсного отверстия, толщины отдельных слоев в различных сечениях, схема укладки армирующих элементов на поверхности баллона, характеристики материалов герметизирующего и армированного слоев. Заметим, что величины деформаций баллона весьма чувствительны к закону армирования, поэтому точность определения закона укладки нитей на поверхности требуется достаточно высокой.
Согласно принятой гипотезе малых деформаций, безмоментные меридиональное и кольцевое усилия на каждом шаге нагружения вычисляют независимо от характеристик слоев по известным геометрическим параметрам с помощью равенств:
(3.1)
Выражения (3.1) определяют необходимую точность задания формы меридиана , так как соответствующие радиусы кривизны , вычисляют с применением двукратного дифференцирования. В том случае, когда производится проверочный расчет оптимального баллона с формой меридиана, построенной по уравнению (2.5), безмоментные усилия удобно определять по формулам (2.6).
На начальном этапе нагружения в пределах упругих деформаций как металлического, так и несущего слоев, приращение меридиональной и кольцевой деформаций определяют на каждом шаге нагружения из уравнений, аналогичных (1.6):
(3.2)
где:
.
По известным приращениям деформаций и соотношениям (1.3), (1.4), (1.5) определяют приращение меридионального и кольцевого напряжений в металлической оболочке , и приращение напряжений в армированной оболочке вдоль нитей , поперек нитей и касательные напряжения . Полные напряжения находят суммированием результатов, полученных для каждого шага. Расчет продолжают до момента появления пластических деформаций в герметизирующей оболочке, определяемого по условию пластичности Мизеса:
или до момента растрескивания связующего в несущей оболочке, определяемого по одной из теорий прочности:
.
Удовлетворительные результаты дает использование 1 теории прочности или критерия Хилла:
.
Как правило, для большинства используемых на практике материалов исчерпание несущей способности связующего наступает раньше появления пластических деформаций. Тогда, начиная с этого момента, обобщенные жесткости в уравнениях (3.2) будут:
.
Наконец, с момента появления пластических деформаций в металлическом слое вычисляют обобщенные жесткости:
Расчет продолжается до величины давления, при которой напряжения вдоль армирующих элементов достигнут предела прочности или интенсивность напряжений в металлической оболочке станет равной пределу прочности материала.
6. Заключение
Как было рассмотрено выше, форма комбинированного баллона давления с металлической оболочкой, усиленного композиционным материалом не может быть задана произвольно и определяется в процессе проектирования конструкции. Особенностью проектирования комбинированного баллона давления с металлической оболочкой, усиленного композиционным материалом, является то, что величины деформаций баллона весьма чувствительны к закону армирования, поэтому точность определения закона укладки нитей на поверхности требуется достаточно высокой. Также требуется весьма точное определение оптимальной массы и геометрических параметров комбинированного баллона, что непросто, потому как их разрешающие уравнения содержат несобственные интегралы, а их оценки приблизительны. Комбинированный баллон всегда будет тяжелее композиционного баллона, но зато будет обладает рядом технологических и эксплуатационных преимуществ. Выигрыш в массе, достигает от 15%- 25% по сравнению с чисто металлическими баллонами давления.
7. Список литературы
1. И. Ф. Образцов, В. В. Васильев, В. А. Бунаков «Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов» М., Машиностроение, 1977 год.
2. А. П. Гуляев «Металловедение» М., Металлургия, 1986 год.
4. Справочник «Композиционные материалы» М., Машиностроение, 1990 г.
5. Курс лекций «Математические методы оптимизации»
6. Расчетная программа «MathCAD 2001»