Критерии принятия решений

Содержание · Введение · 1.Критерии принятия решений · 1.1.Минимаксный критерий · 1.2. Критерий Сэвиджа · 1.3. Критерий Байеса-Лапласа
· 1.4. Расширенный минимаксный критерий · 1.5. Критерий произведений · 1.6. Критерий Гермейера · 1.7. Критерий Гурвица · 1.8. Составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный · 2.Постановка задачи · Заключение · Список используемой литературы Введение Основные понятия системного анализа Системный анализ - наука, занимающаяся проблемой принятия решения в условиях анализа большого количества информации различной природы. Из определения следует, что целью применения системного анализа к конкретной проблеме является повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение множества вариантов, среди которых производится выбор, с одновременным указанием способов отбрасывания заведомо уступающим другим. В системном анализе выделяют · методологию; · аппаратную реализацию; · практические приложения. Методология включает определения используемых понятий и принципы системного подхода. Дадим основные определения системного анализа. Связь - важный для целей рассмотрения обмен между элементами веществом, энергией, информацией. Элемент - некоторый объект (материальный, энергетический, информационный), который обладает рядом важных для нас свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения. Система - совокупность элементов, которая обладает следующими признаками: · связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности; · свойством, отличным от свойств отдельных элементов совокупности. Практически любой объект с определенной точки зрения может быть рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая точка зрения. Большая система - система, которая включает значительное число однотипных элементов и однотипных связей. В качестве примера можно привести трубопровод. Элементами последнего будут участки между швами или опорами. Для расчетов на прочность по методу конечных элементов элементами системы считаются небольшие участки трубы, а связь имеет силовой (энергетический) характер - каждый элемент действует на соседние. Сложная система - система, которая состоит из элементов разных типов и обладает разнородными связями между ними. Автоматизированная система - сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: · в виде технических средств; · в виде действия человека. Для сложной системы автоматизированный режим считается более предпочтительным, чем автоматический. Например, посадка самолета выполняется при участии человека, а автопилот или бортовой компьютер используется лишь на относительно простых операциях. Типична также ситуация, когда решение, выработанное техническими средствами, утверждается к исполнению человеком. Структура системы - расчленение системы на группы элементов с указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее представление о системе в целом. Указанное расчленение может иметь материальную, функциональную, алгоритмическую или другую основу. Пример материальной структуры - структурная схема сборного моста, которая состоит из отдельных, собираемых на месте секций и указывает только эти секции и порядок их соединения. Пример функциональной структуры - деление двигателя внутреннего сгорания на системы питания, смазки, охлаждения, передачи крутящего момента. Пример алгоритмической структуры - алгоритм программного средства, указывающего последовательность действий или инструкция, которая определяет действия при отыскании неисправности технического устройства. Структура системы может быть охарактеризована по имеющимся в ней типам связей. Простейшими из них являются последовательное, параллельное соединение и обратная связь (рис.1.1). Декомпозиция - деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Примерами будут: разделение объекта на отдельно проектируемые части, зоны обслуживания; рассмотрение физического явления или математическое описание отдельно для данной части системы. Иерархия - структура с наличием подчиненности, т.е. неравноправных связей между элементами, когда воздействие в одном из направлений оказывают гораздо большее влияние на элемент, чем в другом. Виды иерархических структур разнообразны, но важных для практики иерархических структур всего две - древовидная и ромбовидная (рис.1.2). Древовидная структура наиболее проста для анализа и реализации. Кроме того, в ней всегда удобно выделять иерархические уровни - группы элементов, находящиеся на одинаковом удалении от верхнего элемента. Пример древовидной структуры - задача проектирования технического объекта от его основных характеристик (верхний уровень) через проектирование основных частей, функциональных систем, групп агрегатов, механизмов до уровня отдельных деталей. Принципы системного подхода- это положения общего характера, являющиеся обобщением опыта работы человека со сложными системами. Их часто считают ядром методологии. Известно около двух десятков таких принципов, ряд из которых целесообразно рассмотреть: · принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели; · принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности элементов; · принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями с окружением; · принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей; · принцип иерархии: полезно введение иерархии элементов и(или) их ранжирование; · принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой; · принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации; · принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации; · принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе. · Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования: · вероятность появления состояния Vj известна и не зависит от времени; · принятое решение теоретически допускает бесконечно большое · количество реализаций; · допускается некоторый риск при малых числах реализаций. В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации: Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Vj вместо варианта Ui выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.
Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [Wij] вычитается из наибольшего результата max Wij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей Wir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.
Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом: где r - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1]. Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [Wij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки (2.6). Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы Wir этого столбца. При r =1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r =0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r . В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r =0.5 принимается в качестве средней точки зрения. Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования: · о вероятности появления состояния Vj ничего не известно; · с появлением состояния Vj необходимо считаться; · реализуется лишь малое количество решений; 1.Критерии принятия решений Критерий принятия решений - это функция, выражающая предпочтения лица, принимающего решения (ЛПР), и определяющая правило, по которому выбирается приемлемый или оптимальный вариант решения. Всякое решений в условиях неполной информации принимается в с учетом количественных характеристик ситуаций, в которой принимаются решения. Наиболее часто принимаются следующие критерии принятия Севиджа, критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лимона, критерий Гермейера, соответствии с решений: минимаксный критерий, критерий Байеса-Лапласа, критерий какой-либо оценочной информацией, выбор которой должен осуществляться критерий произведений, составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный. Эти критерии можно использовать поочередно, причем после вычисления их значений среди нескольких вариантов приходится произвольным образом выделять некоторое окончательное решение. Что позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабить влияние субъективного фактора. Классические критерии принятия решений. 1.1. Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию ZММ, соответствующую позицию крайней осторожности. ZММ=max eir и eir=min eij. гдеzmm — оценочная функция ММ-критерия. Поскольку в области технических задач построение множества Е вариантовуже само по себе требует весьма значительных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рассмотрении с различных точек зрения. Оно должно напоминать о том, что совокупность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выбираемого варианта. Правило выбора решения в соответствии с этим критерием можно интерпретировать следующим образом: Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов eir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты Eio, в строках которых стоят наибольшие значения eir этого столбца. Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом,чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия Fjни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Zмм. Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. 1.2. Критерий Сэвиджа. С помощью обозначения
аij=max eij – eij – это eir=maxaij = max(max eij-eij), формируется оценочная функция
Zs=min eir = min [max (maxeij – eij)] Соответствующее правило выбора теперь интерпретируется так: Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Эти разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбираются те решения Еio, в строках которых стоит наименьшее значение для этого столбца и строится множество оптимальных вариантов решения
Для понимания этого критерия определяемую соотношением величину aij = max eij - eij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Мы можем, однако, интерпретировать aij и как потери (штрафы), возникающие в состоянии Fi при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. Тогда определяемая соотношением величина eir представляет собой — при интерпретации аij в качестве потерь—максимальные возможные (по всем внешним состояниям Fj, j==1, ., n) потери в случае выбора варианта Ei. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта Ei. Соответствующее S-критерию правило выбора теперь интерпретируется так: каждый элемент матрицы решений ||eij|| вычитается из наибольшего результата max eij соответствующего столбца. Разности aij образуют матрицу остатков ||aij|| Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение. По выражению оценивается значение результатов тех состояний, которые, вследствие выбора соответствующего распределения вероятностей, оказывают одинаковое влияние на решение, с точки зрения результатов матрицы ||eij|| S-критерий связан с риском, однако, с позиций матрицы ||aij|| он от риска свободен. 1.3. Критерий Байеса-Лапласа. Этот критерий учитывает каждое из возможных следствий. Пусть qj – вероятность появления внешнего состояния Fj, тогда для этого критерия оценочная функция запишется так:
ZBL=max eir, eir= åeijqj. Тогда правило выбора будет записано так: Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца. 1.4. Расширенный минимаксный критерий. В нем используются простейшие понятия теории вероятностей, а также, в известном смысле, теории игр. В технических приложениях этот критерий до сегоднешнего времени применяется мало. Основным здесь является предположение о том, что каждому из n возможных внешних состояний Fj приписана вероятность его появления : 0
Тогда расширенный ММ-критерий формулируется следующим образом:
где р—вероятностный вектор для Ei , a q—вероятностный вектор для Fj. Таким образом, расширенный ММ-критерий задается целью найти наивыгоднейшее распределение Ei вероятностей на множестве вариантов, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний Fj. Поэтому предполагается, что Fj распределены наименее выгодным образом.
1.5.Критерий произведений. С самого начала этот критерий ориентирован на величины выигрышей, то есть на положительные значения величины е Определим оценочную функцию: Zp=max eir. Привило выбора в этом случае формулируется так: Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты Еiо, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца. Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами: Вероятности появления состояний Fj неизвестны; с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо считаться; критерий применим при малом числе реализаций решения; некоторый риск допускается. Как уже упоминалось, этот критерий приспособлен в первую очередь для случаев, когда все eij положительны. Если указанное условие нарушается, а этот критерий приходится применять и в этом случае, то следует выполнить некоторый сдвиг eij+a с некоторой константой а > | min eij |. Разумеется, результат применения критерия существенно зависит от этого значения а. На практике в качестве значения, а охотно используют величину | min eij | + 1. Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то к таким проблемам этот критерий не применим. Выбор оптимального решения согласно критерию произведений оказывается значительно минее пессимистическим, чем, например, выбор в соответствии с минимаксным критерием. В результате применения критерия произведений происходит некоторое выравнивание между большими и малыми значениями eij, и, устанавливая оптимальный вариант решения с помощью этого критерия, мы можем при фиксированных состояниях Fj получить большую выгоду, чем при использовании минимаксного критерия, но при этом должна учитываться возможность появления и худших результатов. Следует отметить, что при использовании этого критерия ни число реализаций, ни информация о распределении вероятностей не принимаются во внимание. 1.6.Критерий Гермейера. Отправляясь от подхода Гермейера к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу решений в области полиоптимизации – т.е. всех решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, - можно предположить еще один критерий, обладающий в некотором отношении определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения eij. В качестве оценочной функции выступает ZG=max eij Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие eij0. Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом: Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те решения Еiо, в строках которых находится наибольшее значение eir этого столбца. 1.7.Критерий Гурвица. Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий, оценочная функция которого находится где-то между точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма: ZHW=max eir. Правило выбора согласно HW-критерию формулируется так: Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наибольшего и наименьшего результатов для каждой строки. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоят наибольшие элементы eij этого столбца. В технических приложениях правильно выбрать множитель с бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Вряд ли возможно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего весовой множитель с=0,5 без возражений принимается в качестве некоторой «средней» точки зрения. При обосновании выбора применяют обратный порядок действий. Для приглянувшегося решения вычисляется весовой множитель с, и он интерпретируется как показатель соотношения оптимизма и пессимизма. Таким образом, позиция исходя из которых принимаются решения, можно рассортировать, по крайней мере, задним числом. Этот критерий предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования: О вероятностях появления состояния Fj ничего не известно; с появлением состояния Fj необходимо считаться; реализуется лишь малое количество решений; допускается некоторый риск 1.8. Составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный. Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых состав­ных критериев. Исходным для построенного был BL-критерий Вследствие того, что распределение q=(q1, ., qn) устанавливается эмпирически и потому известно неточно, про­исходит, с одной стороны, ослабление критерия, а с другой, напротив, с помощью заданных границ для риска и посредством MM-Kритерня обеспечивается соответствующая свобода действий. Точные формулировки состоят в следующем. Зафиксируем прежде всего задаваемое ММ-критерием опорное значение: где i0 и j0—оптимизирующие индексы для рассматриваемых вариантов решений и, соответственно, состояний. Посредством некоторого заданного или выбираемого уровня допустимого риска Eдоп>0 определим некоторое множество со­гласия, являющееся подмножеством множества индексов {1, . ., т}:
Величина Ei:=ei0j0 - minjeij для всех i I1 характеризует наибольшие возможные потери в сравнении со значением ei0j0, задаваемым ММ-критерием. С другой стороны, в результате такого снижения открываются и возможности для увеличения выигрыша по сравнению с тем, который обеспечивается ММ-критерием. Поэтому мы рассматриваем также (опять-таки как подмножество множества {1, ., m}) некоторое выигрышное множество
Тогда в множество-пересечение I1 I2 мы соберем только такие варианты решений, для которых, с одной стороны, в определенных состояниях могут иметь место потери по сравнению с состоянием, задаваемым ММ-критерием, но зато в других состоя­ниях имеется по меньшей мере такой же прирост выигрыша. Теперь оптимальными в смысле BL (ММ)-критерия будут решения
Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом. Матрица решений ||еij|| дополняется еще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором—разности между опорным значением ei0j0 = ZMM и наименьшим значением minj(еij) соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением maxj еij каждой строки и наибольшим значением max ei0j той строки, в которой находится значение ei0j0. Выбираются те варианты Ei0 строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение ei0j0 – minj еij из второго столбца должно быть меньше или равно некоторому заранее заданному уров­ню риска εдоп. Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.
Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение: · вероятности появления состояний FJ неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения; · необходимо считаться с появлениями различных состояний как по отдельности, так и в комплексе; · допускается ограниченный риск; · принятое решение реализуется один раз или многократно. Таким образом, спектр применимости теории распро­страняется далеко за пределы предыдущих критериев. Особо следует подчеркнуть, что действие новых критериев остается вполне обозримым, хотя функция распределения может играть лишь подчиненную роль. BL (ММ)-критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и мо­жет считаться достаточно надежным. Однако задание границы риска εдоп и, соответственно, оценок риска εi не учитывает ни число применений решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью; Условие maxj еij – maxjеi0 j >= εi существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих случаях недостаточно ориентироваться на риск, связан­ный лишь с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, правда, можно понести некоторые по­тери в удачных внешних состояниях. При большом числе реа­лизации это условие перестает быть таким уж важным. Оно даже допускает разумные альтернативы.
2.Постановка задачи Необходимо проанализировать и выбрать наилучший и наихудший объект по признакам, использую критерий Севиджа, критерий произведений и составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный. Каждый из объектов характеризуется некоторыми статистическими данными, которые приведены в таблице 1.
Таблица 1. № n/n Наименование района Обеспеченность врачами на 10т. Рождаемость на 1 тыс. Смертность на 1 тыс. Смертность в трудовом возрасте 1 Панинский 19.7 7.9 21.0 1040.9 2 Петропавловский 14.7 8.1 19.6 644.8 3 Поворинский 18.9 7.2 18.4 1125.9 4 Подгоренский 18.6 7.4 18.1 846.0 5 Рамонский 21.8 6.4 23.3 1140.8 Приведённая матрица рассчитывается по следующей формуле: и выглядит следующим образом (Таблица 2):
Таблица 2. № n/n Наименование района Обеспеченность врачами на 10т. Рождаемость на 1 тыс. Смертность на 1 тыс. Смертность в трудовом возрасте 1
Панинский
0.930 1.874 1.079 0.960 2 Петропавловский -3.913
2.623 -0.563 -3.720 3 Поворинский
0.155
-0.750 -1.970 1.964 4 Подгоренский
-0.136
0.000 -2.321 -1.343 5
Рамонский
2.964
-3.748 3.775 2.140
3.Тестовый пример
В данной курсовой работе используется программа, которая обрабатывает, анализирует введенные данные и выдает окончательный результат. Также с помощью данной программы можно анализировать и другие данные. На рисунке 1 даны исходные данные: Рисунок 1. Затем, с помощью данной программы переведём исходные данные в приведённую матрицу (рисунок 2).
Рисунок 2. На рисунках 3, 4, 5, представлены окончательные результаты, где выведены наилучшие и наихудшие районы по заданным критериям.
Рисунок 3. Критерий произведений.

Рисунок 4. Составной критерий.

Рисунок 5.Критерий Севиджа.













Заключение В данной курсовой работе оценка наилучшего и наихудшего объектов производилась на основании трех критериев принятия решений: Критерий Сэвиджа; Критерий Байеса – Лапласа; Критерий Произведений; По критериям Севиджа, Байеса-Лапласа и критерию Произведений наилучшим объектом является Рамонский район, а наихудший Петропавловский, Панинский и Поворинский соответственно. Список литературы Бинкин Б.А., Черняк В.И. Эффективность управления: наука и практика. М.: Наука, 1982. 143 с. Мушик З., Мюллер П. Методы принятия технических решений. - М.: Мир, 1990. - 208с Могилевский В.Д. Методология систем: вербальный подход. / М., Экономика, 1999. 251 с. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. / М. Радио и связь. 1991.