Динамические ряды

Содержание Содержание. 2 Введение. 3 Глава 1. Основные задачи анализа временных рядов. 5 Глава 2. Анализ временных рядов. 11 2.1. Стационарные временные ряды и их основные характеристики. 11
2.2. Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания. 15 2.3. Модели стационарных временных рядов и их идентификация. 18 2.3.1. Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели) 20 2.3.2. Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели) 25 2.3.3. Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (ARMA(p, q)-модели) 28 Заключение. 31 Литература. 33
Введение В последние годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики временных показателей. Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические процессы и развернутых во времени в форме временных рядов. При этом нередко одни и те же временные ряды используются для решения разных содержательных проблем. Далеко не всегда значения временного ряда формируются только под воздействием каких-либо факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений или случайными флуктуациями. Особый интерес представляют процессы, находящиеся в «переходном» режиме, т.е. процессы, являющиеся по существу «стационарными», но на исследуемом промежутке времени проявляющие свойства нестационарного временного ряда, что объясняется далекими от стационарного режима начальными условиями. В ситуациях, когда временной ряд формируется под воздействием некоторого набора случайных и неслучайных факторов, анализ отдельных временных рядов, как результирующих, так и факторных, имеет огромное значение. Это необходимо для правильной идентификации моделей, которые строятся по информации об исследуемых процессах (векторные авторегрессии, модели коррекции ошибок, динамические модели с распределенными запаздываниями и т.п.) [21]. При анализе временных рядов основное внимание уделяется исследованию, описанию и/или моделированию их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире просто моделирования исследования соответствующих процессов. Построенная модель обычно используется для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких альтернативных моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация. В связи с наличием ошибок измерения экономических показателей, наличием случайных флуктуаций, свойственных наблюдаемым системам, при исследовании временных рядов широко применяется вероятностно-статистический подход. В рамках такого подхода наблюдаемый временной ряд понимается как реализация некоторого случайного процесса. При этом неявно предполагается, что временной ряд имеет какую-то структуру, отличающую его от последовательности независимых случайных величин, так что наблюдения не являются набором совершенно независимых числовых значений. (Некоторые элементы структуры ряда иногда можно выявить уже на основании простого визуального анализа графика ряда. Это относится, например, к таким компонентам ряда, как тренд и циклы.) Обычно предполагается, что структуру ряда можно описать моделью, содержащей небольшое число параметров по сравнению с количеством наблюдений, - это практически важно при использовании модели для прогнозирования. Примерами таких моделей служат модели авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации – модели AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q). При построении моделей связей в долгосрочной перспективе необходимо учитывать факт наличия или отсутствия у анализируемых макроэкономических рядов стохастического (недетерминированного) тренда. Иначе говоря, приходится решать вопрос об отнесении каждого из рассматриваемых рядов к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных) – TS (trend stationary) ряды, или к классу рядов, имеющих стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным трендом) и приводящихся к стационарному (или стационарному относительно детерминированного тренда) ряду только путем однократного или k-кратного дифференцирования ряда – DS (difference stationary) ряды. Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выражается в том, что в случае TS ряда вычитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к стационарному ряду, тогда как в случае DS ряда вычитание детерминированной составляющей ряда оставляет ряд нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда [19].
Глава 1. Основные задачи анализа временных рядов Принципиальные отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем: · во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда не являются независимыми; · во-вторых, члены временного ряда не обязательно являются одинаково распределенными, так что P{xt Это означает, что свойства и правила статистического анализа случайной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя по наблюденным значениям. Генезис наблюдений, образующих временной ряд (механизм порождения данных). Речь идет о структуре и классификации основных факторов, под воздействием которых формируются значения временного ряда. Как правило, выделяются 4 типа таких факторов. · Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака xt. Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функции fтр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или просто – трендом. · Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Поскольку эта функция j(е) должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи. · Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической или демографической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п.) Результат действия циклических факторов будем обозначать с помощью неслучайной функции y(t).
· Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов xt, а, следовательно, и необходимость интерпретации x1,…, xT как наблюдений, произведенных над случайными величинами x1,…, xТ. [17] Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок ») et.
Конечно, вовсе не обязательно, чтобы в процессе формирования значений всякого временного ряда участвовали одновременно факторы всех четырех типов. Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений конкретного ряда, могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных факторов. Таким образом, в общем виде модель формирования данных (при аддитивной структурной схеме влияния факторов) выглядит как: xt = c1f(t) + c2j(t) +c3y(t) + et. (1) где ci = 1, если факторы i-го типа участвуют в формировании значений ряда и ci = 0 – в противном случае. Основные задачи анализа временных рядов. [2] Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда: 1. определить, какие из неслучайных функций присутствуют в разложении (1), т.е. определить значения индикаторов ci; 2. построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1); 3. подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков et, и статистически оценить параметры этой модели. Успешное решение перечисленных задач, обусловленных базовой целью статистического анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического анализа временных рядов. · Большинство математико-статистических методов имеет дело с моделями, в которых наблюдения предполагаются независимыми и одинаково распределенными. При этом зависимость между наблюдениями чаще всего рассматривается как помеха в эффективном применении этих методов. Однако разнообразные данные в экономике, социологии, финансах, коммерции и других сферах человеческой деятельности поступают в форме временных рядов, в которых наблюдения взаимно зависимы, и характер этой зависимости как раз и представляет главный интерес для исследователя. Совокупность методов и моделей исследования таких рядов зависимых наблюдений называется анализом временных рядов. Главная цель эконометрического анализа временных рядов состоит в построении по возможности простых и экономично параметризованных моделей, адекватно описывающих имеющиеся ряды наблюдений и составляющих базу для решения, в первую очередь, следующих задач: (a) вскрытие механизма генезиса наблюдений, составляющих анализируемый (b) временной ряд; (c) построение оптимального прогноза для будущих значений временного ряда; выработка стратегии управления и оптимизации анализируемых процессов. · Говоря о генезисе образующих временной ряд наблюдений, следует иметь в виду (и по возможности модельно описать) четыре типа факторов, под воздействием которых могут формироваться эти наблюдения: долговременные, сезонные, циклические (или конъюнктурные) и случайные. При этом не обязательно в процессе формирования значений конкретного временного ряда должны одновременно участвовать факторы всех четырех типов. Успешное решение задач выявления и моделирования действия этих факторов является основой, базисным отправным пунктом для достижения конечных прикладных целей исследования, главные из которых упомянуты в предыдущем пункте. · Приступая к анализу дискретного ряда наблюдений, расположенных в хронологическом порядке, следует в первую очередь убедиться, действительно ли в формировании значений этого ряда участвовали какие-либо факторы, помимо чисто случайных. При этом под «чисто случайными» понимаются лишь те случайные факторы, под воздействием которых генерируются последовательности взаимно не коррелированных и одинаково распределенных случайных величин, обладающих постоянными (не зависящими от времени) средними значениями и дисперсиями. Если в результате проверки такой статистической гипотезы выяснилось, что имеющиеся наблюдения взаимно зависимы (и, возможно, неодинаково распределены), то приступают к подбору подходящей модели для этого ряда. Множество моделей, в рамках которого ведется этот подбор, ограничивается обычно следующими классами моделей: (а) классом стационарных временных рядов (которые используются, в основном, для описания поведения «случайных остатков»), (б) классом нестационарных временных рядов, которые являются суммой детерминированного тренда и стационарного временного ряда, (в) классом нестационарных временных рядов, имеющих стохастический тренд, который можно удалить последовательным дифференцированием ряда (т.е. путем перехода от ряда уровней к ряду разностей первого или более высокого порядка) [15]. В рамках эконометрического анализа временных рядов макроэкономических показателей российской экономики, проводимого в настоящей работе, мы объединяем ряды, входящие в классы (а) и (б), в один класс, который, следуя общепринятой в последнее время практике[1], называем классом TS-рядов (trend stationary series – ряды, стационарные относительно детерминированного тренда). Адекватным методом остационаривания временных рядов, принадлежащих классу (б), является вычитание из ряда детерминированного тренда. Напротив, для рядов, принадлежащих классу (в), адекватным методом остационаривания ряда является переход от ряда уровней к ряду разностей (первого или более высокого порядка). · Стационарные (в широком смысле) временные ряды xt характеризуются тем, что их средние значения Ext, дисперсии Dxt и ковариации g(t) = E[xt - Ext)(xt+t -Ext+t)] не зависят от t, для которого они вычисляются. Взаимозависимости, существующие между членами стационарного временного ряда, как правило, могут быть адекватно описаны в рамках моделей авторегрессии порядка p (AR(p)-моделей), моделей скользящего среднего порядка q (MA(q)-моделей) или моделей авторегрессии со скользящими средними в остатках порядка p и q (ARMA(p, q)-моделей) [6]. · Временной ряд xt называется интегрированным (проинтегрированным) порядка k, если последовательные разности Dkxt этого ряда порядка k (но не меньшего порядка!) образуют стационарный временной ряд. Поведение таких рядов, в том числе рядов, содержащих сезонную компоненту, в эконометрических прикладных задачах достаточно успешно описывают с помощью моделей авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего порядка p, k и q (ARIMA(p, k, q)-моделей) и некоторых их модификаций. К этому классу относится и простейшая модель стохастического тренда – процесс случайного блуждания (ARIMA(0, 1, 0)). Приращения случайного блуждания образуют последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин (“белый шум”). Поэтому процесс случайного блуждания называют также “проинтегрированным белым шумом”.
В настоящее время в класс интегрированных рядов порядка k включают также ряды, у которых разность порядка k (но не меньшего!) является процессом, стационарным относительно детерминированного тренда. В нашей работе используется именно такое определение. При этом если сам временной ряд является стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда (TS-рядом), то он определяется как интегрированный ряд нулевого порядка.
При наличии сезонности получить стационарный ряд иногда возможно, переходя к разностям не соседних значений ряда, а значений, отстоящих на соответствующее число единиц времени. Например, при квартальных данных для достижения стационарности бывает достаточно перейти к последовательности разностей значений ряда, отстоящих на 4 единицы времени. · Подобрать модель для конкретного временного ряда {xt}, t = 1, 2,…, T - это значит определить подходящее параметрическое семейство моделей в качестве допустимого множества решений, а затем статистически оценить параметры модели на основании имеющихся наблюдений x1, x2,…, xT. Весь этот процесс принято называть процессом идентификации модели, или просто идентификацией. Для правильной идентификации модели временного ряда необходимо решить вопрос о том, является ли исследуемый временной ряд стационарным, стационарным относительно детерминированного тренда (т.е. суммой детерминированных компонент и стационарного ряда) или в его составе содержится стохастический тренд. Решению этой задачи для ряда российских макроэкономических рядов посвящена основная часть настоящей работы. · В ситуациях, когда временные ряды {xt} и {yt}, t = 1, 2,…, T, являются исходными данными для построения регрессии y на x, причем воздействие единовременного изменения одной из них (x) на другую (y) растянуто (распределено) во времени, большой прикладной интерес представляют так называемые модели с распределенными лагами. В рамках этого специального класса моделей проводится, в частности, эконометрический анализ таких важных экономических явлений, как «процесс частичного приспособления», «модели адаптивных ожиданий» и др. · Важную роль в системах поддержки принятия экономических решений играет прогнозирование экономических показателей. Методы автопрогноза, основанные на анализе временных рядов, экстраполируют имеющийся в наличии ряд только на основании информации, содержащейся в нем самом. Такого рода прогноз может оказаться эффективным лишь в кратко- и, максимум, в среднесрочной перспективе. Серьезное решение задач долгосрочного прогнозирования требует использования комплексных подходов, и в первую очередь привлечения различных (в том числе, статистических) технологий сбора и анализа экспертных оценок. · Эффективный подход к решению задач кратко- и среднесрочного автопрогноза - это прогнозирование, основанное на использовании «подогнанных» (идентифицированных) моделей типа ARIMA(p, k, q), включая, в качестве частных случаев, и модели AR-, MA- и ARMA. · Весьма широко распространены в решении прикладных задач кратко- и среднесрочного автопрогноза и так называемые адаптивные методы, позволяющие по мере поступления новых данных обновлять ранее сделанные прогнозы с минимальной задержкой и с помощью относительно несложных математических процедур [13].
Глава 2. Анализ временных рядов 2.1. Стационарные временные ряды и их основные характеристики Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайных остатков et анализируемого временного ряда xt, производят, как правило, в рамках класса стационарных временных рядов. Определение 2.1. Ряд xt называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей m наблюдений такое же, как и для m наблюдений , при любых t, и t1,…, tm. Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда xt следует, что закон распределения вероятностей случайной величины xt не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики, в том числе: среднее значение Ext = m и дисперсия Dxt = s2. Очевидно, значение m определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд xt, а постоянная величина s характеризует размах этих колебаний. Поскольку закон распределения вероятностей случайной величины xt одинаков при всех t, то он сам и его основные числовые характеристики могут быть оценены по наблюдениям x1,…, xT. В частности: - оценка среднего значения, - оценка дисперсии. (2.1) Автоковариационная функция g(t). Значения автоковариационной функции статистически оцениваются по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле [11] где t = 1,… T - 1, а вычислено по формуле (2.1). Очевидно, значение автоковариационной функции при t = 0 есть не что иное, как дисперсия временного ряда, и, соответственно, (2.2) Автокорреляционная функция r(t). Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Поскольку в нашем случае коэффициент измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины r(t) в зависимости от значения t принято говорить об автокорреляционной функции r(t). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой [4]. Автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от -1 до +1. Кроме того, из стационарности следует, что r(t) = r(-t), так что при анализе поведения автокорреляционных функций ограничиваются рассмотрением только положительных значений t. Выборочный аналог автокорреляционной функции определяется формулой (2.3) Существуют общие характерные особенности, отличающие поведение автокорреляционной функции стационарного временного ряда. Другими словами, можно описать в общих чертах схематичный вид коррелограммы стационарного временного ряда [9]. Это обусловлено следующим общим соображением: очевидно, чем больше разнесены во времени члены временного ряда xt и xt+t, тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше должно быть по абсолютной величине значение r(t). При этом в ряде случаев существует такое пороговое значение r0, начиная с которого все значения будут тождественно равны нулю.
Частная автокорреляционная функция rчаст(t). С помощью этой функции реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделенными t тактами времени членами временного ряда xt и xt+t, при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех промежуточных членов этого временного ряда. Частная автокорреляция 1-го порядка может быть подсчитана с использованием соотношения:
(2.4) где m - среднее значение анализируемого стационарного процесса. Частные автокорреляции более высоких порядков могут быть подсчитаны аналогичным образом по элементам общей корреляционной матрицы R = ||rij||, в которой rij = = r(xi, xj) = r(|i - j|), где i, j = 1,…, T и r(0) = 1. Так, например, частная автокорреляция 2-го порядка определяется по формуле: (2.5) Эмпирические (выборочные) версии автокорреляционных функций получаются с помощью тех же соотношений (2.4), (2.5) при замене участвующих в них теоретических значений автокорреляций r(t) их статистическими оценками . Полученные таким образом частные автокорреляции rчаст(1),rчаст (2),… можно нанести на график, в котором роль абсциссы выполняет величина сдвига t. Знание автокорреляционных функций r(t) и rчаст(t) оказывает существенную помощь в решении задачи подбора и идентификации модели анализируемого временного ряда. Спектральная плотность p(w). Спектральную плотность стационарного временного ряда определяется через его автокорреляционную функцию соотношениемгде . Так как r(t) = r(-t), спектральная плотность может быть записана в виде Следовательно, функция p(w) является гармонической с периодом 2p. График спектральной плотности, называемый спектром, симметричен относительно w = p. Поэтому при анализе поведения p(w) ограничиваются значениями 0 £ w £ p. Спектральная плотность принимает только неотрицательные значения. Использование свойств этой функции в прикладном анализе временных рядов определяется как «спектральный анализ временных рядов». Достаточно полное описание этого подхода приведено, например, в [Дженкинс, Ватс (1971, 1972)] и [Ллойд, Ледерман (1990)]. Применительно к статистическому анализу экономических рядов динамики этот подход не получил широкого распространения, т.к. эмпирический анализ спектральной плотности требует в качестве своей информационной базы либо достаточно длинных стационарных временных рядов, либо нескольких траекторий анализируемого временного ряда (и та и другая ситуация весьма редки в практике статистического анализа экономических рядов динамики). Для содержательного анализа важно, что величина спектральной плотности характеризует силу взаимосвязи, существующей между временным рядом xt и гармоникой с периодом 2p/w. Это позволяет использовать спектр как средство улавливания периодичностей в анализируемом временном ряду: совокупность пиков спектра определяет набор гармонических компонентов в разложении (1). Если в ряде содержится скрытая гармоника частоты w, то в нем присутствуют также периодические члены с частотами w/2, w/3 и т.д. Это так называемое «эхо», повторяемое спектром на низких частотах. Эффект «эха» анализировался в статье [Granger (1963)] на примере ряда ежемесячных безналичных расчетов между банками США за 1875–1958 гг. Можно несколько расширить класс моделей стационарных временных рядов, используемых при анализе конкретных рядов экономической динамики [8]. Определение 2.2. Ряд называется слабо стационарным (или стационарным в широком смысле), если его среднее значение, дисперсия и ковариации не зависят от t. 2.2. Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания Существенную роль в решении задач выявления и оценивания трендовой, сезонной и циклической составляющих в разложении (1.1.1) играет начальный этап анализа, на котором: · выявляется сам факт наличия/отсутствия неслучайной (и зависящей от времени t) составляющей в разложении (1.1.1); по существу, речь идет о статистической проверке гипотезы H0: Ext = m = const (2.6) (включая утверждение о взаимной статистической независимости членов исследуемого временного ряда) при различных вариантах конкретизации альтернативных гипотез типа HА: Ext ¹ const; · строится оценка (аппроксимация) для неизвестной интегральной неслучайной составляющей f(t) = c1fтр(t) + c2j(t) +c3y(t), т.е. решается задача сглаживания (элиминирования случайных остатков et) анализируемого временного ряда xt. Методы выделения неслучайной составляющей в траектории, отражающей поведение временного ряда, подразделяются на два типа. Методы первого типа (аналитические) основаны на допущении, что известен общий вид неслучайной составляющей в разложении (1) f(t) = c1fтр(t) + c2j(t) +c3y(t). (2.8) Например, если известно, что неслучайная составляющая временного ряда описывается линейной функцией времени f(t) = q0 + q1t, где q0 и q1 - некоторые неизвестные параметры модели, то задача ее выделения (задача элиминирования случайных остатков или задача сглаживания временного ряда) сводится к задаче построения хороших оценок и для параметров модели. Методы второго типа (алгоритмические) не связаны ограничительным допущением о том, что общий аналитический вид искомой функции (2.8) известен исследователю. В этом смысле они являются более гибкими, более привлекательными. Однако «на выходе» задачи они предлагают исследователю лишь алгоритм расчета оценки для искомой функции f(t) в любой наперед заданной точке t и не претендуют на аналитическое представление функции (2.8). Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда. Эти методы реализуются в рамках моделей регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная xt, а в роли единственной объясняющей переменной - время t. Таким образом, рассматривается модель регрессии вида xt = f(t, q) + et, t = 1,…, T, в которой общий вид функции f(t, q) известен, но неизвестны значения параметров q = (q0, q1,…, qm). Оценки параметров строятся по наблюдениям . Выбор метода оценивания зависит от гипотетического вида функции f(t, q) и стохастической природы случайных регрессионных остатков et. Алгоритмические методы выделения неслучайной составляющей временного ряда (методы скользящего среднего). В основе этих методов элиминирования случайных флуктуаций в поведении анализируемого временного ряда лежит простая идея: если «индивидуальный» разброс значений члена временного ряда xt около своего среднего (сглаженного) значения a характеризуется дисперсией s2, то разброс среднего из N членов временного ряда (x1 + x2 +…+ xT) / N около того же значения a будет характеризоваться гораздо меньшей величиной дисперсии, а именно дисперсией, равной s2 / N. А уменьшение меры случайного разброса (дисперсии) и означает как раз сглаживание соответствующей траектории. Поэтому выбирают некоторую нечетную «длину усреднения» N = 2m + 1, измеренную в числе подряд идущих членов анализируемого временного ряда. А затем сглаженное значение временного ряда xt вычисляют по значениям xt-m, xt-m+1,…, xt, xt+1,…, xt+m по формуле
(2.9) где wk (k = -m, -m + 1,…, m) - некоторые положительные «весовые» коэффициенты, в сумме равные единице, т.е. wk > 0 и . Поскольку, изменяя t от m + 1 до T - m, мы как бы «скользим» по оси времени, то и методы, основанные на формуле (2.9), принято называть методами скользящей средней (МСС).
Очевидно, один МСС отличается от другого выбором параметров m и wk. Определение параметров wk основано на следующей процедуре. В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая гладкая функция f(x) при самых общих допущениях может быть локально представлена алгебраическим полиномом подходящей степени p. Поэтому берем первые 2m + 1 членов временного ряда x1,…, x2m+1, строим с помощью МНК полином степени p, аппроксимирующий поведение этой начальной части траектории временного ряда, и используем этот полином для определения оценки сглаженного значения f(t) временного ряда в средней (т.е. (m + 1)-й) точке этого отрезка ряда, т.е. полагаем . Затем «скользим» по оси времени на один такт и таким же способом подбираем полином той же степени p к отрезку временного ряда x2,…, xm+2 и определяем оценку сглаженного значения временного ряда в средней точке сдвинутого на единицу отрезка временного ряда, т.е. , и т.д. [7] В результате мы найдем оценки для сглаженных значений анализируемого временного ряда при всех t, кроме t = 1,…, m и t = T,… T - m + 1. Подбор наилучшего (в смысле критерия МНК) аппроксимирующего полинома к траектории анализируемого временного ряда приводит к формуле вида (2.9), причем результат не зависит от того, для какого именно из «скользящих» временных интервалов был осуществлен этот подбор. Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (метод Брауна [Brown (1963)]). В соответствии с этим методом оценка сглаженного значения в точке t определяется как решение оптимизационной задачи вида (2.10) где 0 (2.11) В отличие от обычного МСС здесь скользит только правый конец интервала усреднения и, кроме того, веса экспоненциально уменьшаются по мере удаления в прошлое. Формула (2.11) дает оценку сглаженного значения временного ряда не в средней, а в правой конечной точке интервала усреднения [12]. 2.3. Модели стационарных временных рядов и их идентификация В 2.2 рассматривался класс стационарных временных рядов, в рамках которого подбирается модель, пригодная для описания поведения случайных остатков исследуемого временного ряда (1). Здесь рассматривается набор линейных параметрических моделей из этого класса и методы их идентификации. Таким образом, речь здесь идет не о моделировании временных рядов, а о моделировании их случайных остатков et, получающихся после элиминирования из исходного временного ряда xt его неслучайной составляющей (2.8). Следовательно, в отличие от прогноза, основанного на регрессионной модели, игнорирующего значения случайных остатков, в прогнозе временных рядов существенно используется взаимозависимость и прогноз самих случайных остатков. Введем обозначения. Так как здесь описывается поведение случайных остатков, то моделируемый временной ряд обозначим et, и будем полагать, что при всех t его математическое ожидание равно нулю, т.е. Eet, º 0. Временные последовательности, образующие «белый шум», обозначим dt. Описание и анализ, рассматриваемых ниже моделей, формулируется в терминах общего линейного процесса, представимого в виде взвешенной суммы настоящего и прошлых значений белого шума, а именно: (2.13) где b0 = 1 и . Таким образом, белый шум представляет собой серию импульсов, в широком классе реальных ситуаций генерирующих случайные остатки исследуемого временного ряда. Временной ряд et можно представить в эквивалентном (2.13) виде, при котором он получается в виде классической линейной модели множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают его собственные значения во все прошлые моменты времени: (2.14) При этом весовые коэффициенты p1, p2,… связаны определенными условиями, обеспечивающими стационарность ряда et. Переход от (2.14) к (2.13) осуществляется с помощью последовательной подстановки в правую часть (2.14) вместо et-1, et-2,… их выражений, вычисленных в соответствии с (2.14) для моментов времени t - 1, t - 2 и т.д. Рассмотрим также процесс смешанного типа, в котором присутствуют как авторегрессионные члены самого процесса, так и скользящее суммирование элементов белого шума [5]:
Будем подразумевать, что p и q могут принимать и бесконечные значения, а также то, что в частных случаях некоторые (или даже все) коэффициенты p или b равны нулю. 2.3.1. Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели) Рассмотрим сначала простейшие частные случаи. Модель авторегрессии 1-го порядка - AR(1) (марковский процесс). Эта модель представляет собой простейший вариант авторегрессионного процесса типа (2.14), когда все коэффициенты кроме первого равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением et = aet-1 + dt, (2.15) где a - некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу (|a| Последовательности e, удовлетворяющие соотношению (2.15), часто называют также марковскими процессами. Это означает, что Eet º 0, (2.16) r(et, et±k) = ak, (2.17) Det = , (2.18) cov(et, et±k) = akDet. (2.19) Одно важное следствие (2.19) состоит в том, что если величина |a| близка к единице, то дисперсия et будет намного больше дисперсии d. А это значит, что если соседние значения ряда et сильно коррелированы, то ряд довольно слабых возмущений dt будет порождать размашистые колебания остатков et. [10]
Основные характеристики процесса авторегрессии 1-го порядка следующие. Условие стационарности ряда (2.15) определяется требованием к коэффициенту a: |a| Автокорреляционная функция марковского процесса определяется соотношением (2.17):
r(t) = r(et, et±t) = at. (2.20) Отсюда же, в частности, следует простая вероятностная интерпретация параметра a: a = r(et, et±1), т.е. значение a определяет величину корреляции между двумя соседними членами ряда et. Из (2.20) видно, что степень тесноты корреляционной связи между членами последовательности (2.15) экспоненциально убывает по мере их взаимного удаления друг от друга во времени. Частная автокорреляционная функция rчаст(t) = r(et, et+t | et+1 = et+2 =…= et+t-1 = 0) может быть подсчитана с помощью формул (2.4)–(2.5). Непосредственное вычисление по этим формулам дает следующий простой результат: значения частной корреляционной функции rчаст(t) равны нулю для всех t = 2, 3,…. Это свойство может быть использовано при подборе модели: если вычисленные выборочные частные корреляции статистически незначимо отличаются от нуля при t = 2, 3,…, то использование модели авторегрессии 1-го порядка для описания поведения случайных остатков временного ряда не противоречит исходным статистическим данным. Спектральная плотность марковского процесса (2.15) может быть подсчитана с учетом известного вида автокорреляционной функции (2.20):
. В случае значения параметра a близкого к 1, соседние значения ряда et близки друг к другу по величине, автокорреляционная функция экспоненциально убывает оставаясь положительной, а в спектре преобладают низкие частоты, что означает достаточно большое среднее расстояние между пиками ряда et. При значении параметра a близком к –1, ряд быстро осциллирует (в спектре преобладают высокие частоты), а график автокорреляционной функции экспоненциально спадает до нуля с попеременным изменением знака. Идентификация модели, т.е. статистическое оценивание ее параметров a и по имеющейся реализации временного ряда xt (а не его остатков, которые являются ненаблюдаемыми), основана на соотношениях (2.16)-(2.19) и может быть осуществлена с помощью метода моментов. Для этого следует предварительно решить задачу выделения неслучайной составляющей , что позволит оперировать в дальнейшем остатками (2.21) Затем подсчитывается выборочная дисперсия остатков по формуле где , а «невязки» (остатки) вычислены по формуле (2.21).
Оценку параметра a получаем с помощью формулы (2.18), подставляя в нее вместо коэффициента корреляции его выборочное значение, т.е. . Наконец, оценка параметра основана на соотношении (2.19), в котором величины Det и a заменяются оценками, соответственно, и : Модели авторегрессии 2-го порядка – AR(2) (процессы Юла). Эта модель, как и AR(1), представляет собой частный случай авторегрессионного процесса, когда все коэффициенты pj в правой части (2.14) кроме первых двух, равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением et = a1et-1 + a2et-2 + dt, (2.22) где последовательность d1, d2,… образует белый шум. Условия стационарности ряда (2.22) (необходимые и достаточные) определяются как:
В рамках общей теории моделей те же самые условия стационарности получаются из требования, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга. Характеристическое уравнение для модели авторегрессии 2-го порядка имеет вид: Автокорреляционная функция процесса Юла подсчитывается следующим образом. Два первых значения r(1) и r(2) определены соотношениями
а значения для r(t), t = 3, 4,… вычисляются с помощью рекуррентного соотношения
r(t) = a1r(t - 1) + a2r(t - 2). Частная автокорреляционная функция временного ряда, сгенерированного моделью авторегрессии 2-го порядка, обладает следующим отличительным свойством:rчаст(t) = 0 при всех t = 3, 4,… Спектральная плотность процесса Юла может быть вычислена с помощью формулы: Идентификация модели авторегрессии 2-го порядка основана на соотношениях, связывающих между собой неизвестные параметры модели a1, a2 и со значениями различных моментов «наблюдаемого» временного ряда et. [3] По значениям вычисляются оценки и , соответственно, дисперсии Det и автокорреляций r(1) и r(2). Это делается с помощью соотношений (2.2) и (2.3):
После этого можно получить оценки и из соотношений
Наконец, оценку параметра получаем с помощью Модели авторегрессии p-го порядка – AR(p) (p³ 3). Эти модели, образуя подмножество в классе общих линейных моделей, сами составляют достаточно широкий класс моделей. Если в общей линейной модели (2.14) полагать все параметры pj, кроме первых p коэффициентов, равными нулю, то мы приходим к определению AR(p)-модели [16]:
(2.23) где последовательность случайных величин d1, d2,… образует белый шум. Условия стационарности процесса, генерируемого моделью (2.23), также формулируются в терминах корней его характеристического уравнения
1 - a1z - a2z2 -…- apzp = 0. Для стационарности процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга, т.е. превосходили бы по модулю единицу. Автокорреляционная функция процесса (2.23) может быть вычислена с помощью рекуррентного соотношения по первым p ее значениям r(1),…, r(p). Это соотношение имеет вид: r (t) = a1r(t - 1) + a2r(t - 2) +…+ apr(t - p), t = p + 1, p + 2, . (2.24) Частная автокорреляционная функция процесса (2.23) будет иметь ненулевые значения лишь при t £ p; все значения rчаст(p) при t > p будут нулевыми[2]. Это свойство частной автокорреляционной функции AR(p)-процесса используется, в частности, при подборе порядка в модели авторегрессии для конкретных анализируемых временных рядов. Если, например, все частные коэффициенты автокорреляции, начиная с порядка k, статистически незначимо отличаются от нуля, то порядок модели авторегрессии естественно определить равным p = k - 1. Спектральная плотность процесса авторегрессии p-го порядка определяется с помощью формулы: Идентификация модели авторегрессии p-го порядка основана на соотношениях, связывающих между собой неизвестные параметры модели и автокорреляции исследуемого временного ряда. Для вывода этих соотношений последовательно подставляются в (2.24) значения t = 1, 2,…, p. Получается система линейных уравнений относительно a1, a2,…, ap: (2.25) называемая уравнениями Юла–Уокера[3]. Оценки для параметров ak получим, заменив теоретические значения автокорреляций r(k) их оценками и решив полученную таким образом систему уравнений. Оценка параметра получается из соотношения
заменой всех участвующих в правой части величин их оценками. 2.3.2. Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели) Рассмотрим частный случай общего линейного процесса (2.13), когда только первые q из весовых коэффициентов bj ненулевые. В это случае процесс имеет вид et = dt - q1dt-1 - q2dt-2 -…- qqdt-q, (2.26) где символы -q1,…, qq используются для обозначения конечного набора параметров b, участвующих в (2.13). Процесс (2.26) называется моделью скользящего среднего порядка q (МА(q)). Двойственность в представлении AR- и МА-моделей и понятие обратимости МА-модели. Из (2.13) и (2.14) видно, что один и тот же общий линейный процесс может быть представлен либо в виде AR-модели бесконечного порядка, либо в виде МА-модели бесконечного порядка. Соотношение (2.26) может быть переписано в виде dt =et + q1dt-1 + q2dt-2 +…+ qqdt-q. Откуда dt = et - p1et-1 - p2et-2 -…, (2.27) где коэффициенты pj (j = 1, 2,…) определенным образом выражаются через параметры q1,…, qq. Соотношение (2.27) может быть записано в виде модели авторегрессии бесконечного порядка (т.е. в виде обращенного разложения) [20]
Известно (см., например, [Бокс, Дженкинс, (1974)]), что условие обратимости МА(q)-модели (т.е. условие сходимости ряда ) формулируется в терминах характеристического уравнения модели (2.26) следующим образом: Все корни характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга, т.е. |zj| > 1 для всех j = 1, 2,…, q. Основные характеристики процесса МА(q). Справедливо следующее выражение для ковариаций: (2.28) Автокорреляционная функция процесса МА(q) получается непосредственно из (2.28): (2.29) Таким образом, автокорреляционная функция r(t) процесса МА(q) равна нулю для всех значений t, больших порядка процесса q. Это важное свойство используется при подборе порядка МА(q)-модели по экспериментальным данным [1]; Спектральная плотность процесса МА(q) может быть вычислена с помощью соотношения: Идентификация модели МА(q) производится на базе соотношений (2.29), а именно: 1) по значениям с помощью формулы
подсчитываются значения ; 2) в соотношения (2.29) последовательно подставляются значения t = 1,…, q с заменой в левой их части величин r(t) полученными ранее оценками ; 3) полученная таким образом система из q уравнений разрешается относительно неизвестных значений q1,…, qq; решения этой системы и дадут оценки неизвестных параметров модели; 4) оценка параметра может быть получена с помощью первого из соотношений (2.28) подстановкой в него вместо g(0), q1,…, qq их оценок. Заметим, что в отличие от системы уравнений Юла-Уокера (2.25), уравнения для определения оценок параметров МА(q)-модели нелинейны. Поэтому эти уравнения приходится решать с помощью итерационных процедур [4]. Взаимосвязь процессов AR(q) и МА(q). Сделаем ряд замечаний о взаимосвязях между процессами авторегрессии и скользящего среднего. 1. Для конечного процесса авторегрессии порядка p dt может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих e, или et может быть представлено как бесконечная сумма предшествующих d. В то же время, в конечном процессе скользящего среднего порядка q et может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих d или dt - как бесконечная взвешенная сумма предшествующих e. 2. Конечный процесс МА имеет автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но так как он эквивалентен бесконечному процессу AR, его частная автокорреляционная функция бесконечно протяженная. Главную роль в ней играют затухающие экспоненты и (или) затухающие синусоиды. И наоборот, процесс AR имеет частную автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но его автокорреляционная функция имеет бесконечную протяженность и состоит из совокупности затухающих экспонент и или затухающих синусоид.
3. Параметры процесса авторегрессии конечного порядка не должны удовлетворять каким-нибудь условиям для того, чтобы процесс был стационарным. Однако для того чтобы процесс МА был обратимым, корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга. 4. Спектр процесса скользящего среднего является обратным к спектру соответствующего процесса авторегрессии [18].
2.3.3. Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (ARMA(p, q)-модели) Представление процесса типа МА в виде процесса авторегрессии неэкономично с точки зрения его параметризации. Аналогично процесс AR не может быть экономично представлен с помощью модели скользящего среднего. Поэтому для получения экономичной параметризации иногда бывает целесообразно включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего. Такие линейные процессы имеют вид et = a1et-1 +…+ apet-p + dt - q1dt-1 -…- qqdt-q (2.30) и называются процессами авторегрессии - скользящего среднего порядка (p, q)(ARMA(p, q)). Стационарность и обратимость ARMA(p, q)-процессов. Записывая процесс (2.30) в виде (2.31) где , можно провести анализ стационарности (2.31) по той же схеме, что и для AR(p)-процессов. При этом различие “остатков” и dе никак не повлияет на выводы, определяющие условия стационарности процесса авторегрессии. Поэтому процесс (2.30) является стационарным тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения AR(p)-процесса лежат вне единичного круга. Аналогично, обозначив и рассматривая процесс (2.30) в виде
, получаем те же выводы относительно условий обратимости этого процесса, что и для процесса МА(q): для обратимости ARMA(p, q)-процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения МА(q)-процесса лежали бы вне единичного круга. Автокорреляционная функция анализируется аналогично, тому как это делалось для AR- и МА-процессов, что позволяет сделать следующие выводы. 1) Из соотношений g(t) = a1g(t - 1) +…+ apg(t - p) + ged(t) - q1ged(t - 1) -…- qqged(t - - q), (где ged(k) = E(et-kdt) - «перекрестная» ковариационная функция последовательностей et и dt) для t = 0, 1,…, q следует, что ковариации g(0), g(1),…, g(q) и, соответственно, автокорреляции r(1),…, r(q) связаны определенной системой зависимостей с q параметрами скользящего среднего q1,…, qq и p параметрами авторегрессии a1,…, ap. При этом перекрестные ковариации ged(t), ged(t - 1),…, ged(t - q) при положительных значениях сдвига по времени равны нулю, а при отрицательных - тоже могут быть выражены в терминах параметров a1,…, ap,q1,…, qq с помощью следующего приема: пусть k > 0; тогда ged(-k) = E(et-kdt); в произведении et-kdt с помощью (k + 1)-кратной последовательной подстановки первого сомножителя по формуле (2.30) он заменяется линейной комбинацией et-1, элементов белого шума d и параметров модели, что после применения к получившемуся произведению операции усреднения E дает выражение, зависящее только от параметров модели (поскольку E(et-1dt) = 0). 2) Значения автокорреляционной функции r(t) для t ³ q + 1 вычисляются по рекуррентному соотношению r(t) = a1r(t - 1) + a2r(t - 2) +…+ apr(t - p) при t ³ q + 1, которое в точности повторяет аналогичное рекуррентное соотношение (2.24) для автокорреляционной функции процесса AR(p). Это значит, что, начиная с t = q + 1, автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) ведет себя так же, как и автокорреляционная функция процесса AR(p), т.е. она будет состоять из совокупности затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид, и ее свойства определяются коэффициентами a1,…, ap и начальными значениями r(1),…, r(p). Частная автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) при больших t ведет себя как частная автокорреляционная функция МА(q)-процесса. Это значит, что в ней преобладают члены типа затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид (соотношение между теми и другими зависит от порядка скользящего среднего q и значений параметров процесса). Спектральная плотность процесса ARMA(p, q) может быть вычислена с помощью соотношения:
Идентификация процесса ARMA(p, q) базируется (так же как и AR-и МА-моделях) на статистическом оценивании параметров модели с помощью метода моментов. Процедура оценивания параметров ak (k = 1, 2,…, p), qj (j = 1, 2,…, q)и разбивается на два этапа. На 1-м этапе получаются оценки параметров ak, на 2-м - оценки параметров qj и . 1-й этап. Параметры автокорреляционной составляющей модели (2.30) удовлетворяют системе линейных уравнений: (2.32) Подставляя в (2.32) вместо r(k) их выборочные значения и решая получившуюся систему относительно aj (j = 1,…, p), получаем оценки . 2-й этап. Подставляя полученные оценки в (2.30) получаем набор из q + 1 соотношений:


Эта система позволяет получить нелинейные зависимости, связывающие искомые параметры , q1,…, qq с автоковариациями и построенными на 1-м этапе оценками.
Заключение Эконометрика - метод экономического анализа, который объединяет экономическую теорию со статистическими и математическими методами анализа. Это попытка улучшить экономические прогнозы и сделать возможным успешное планирование экономической политики. В эконометрике экономические теории выражаются в виде математических соотношений, а затем проверяются эмпирически статистическими методами. Данная система используется, чтобы создать модели с целью прогнозирования таких важных показателей, как валовой национальный продукт, уровень безработицы, темп инфляции и дефицит федерального бюджета. Эконометрика используется все более широко, несмотря на то, что полученные с помощью нее прогнозы не всегда оказывались достаточно точными. Проблемы в эконометрики многочисленны и разнообразны. Экономика - это сложный, динамический, многомерный и эволюционирующий объект, поэтому изучать ее трудно. Как общество, так и общественная система изменяются со временем, законы меняются, происходят технологические инновации, поэтому найти в этой системе инварианты непросто. Временные ряды коротки, сильно агрегированы, разнородны, нестационарны, зависят от времени и друг от друга, поэтому мы имеем мало эмпирической информации для изучения. Экономические величины измеряются неточно, подвержены значительным позднейшим исправлениям, а важные переменные часто не измеряются или ненаблюдаемы, поэтому все выводы неточны и ненадежны. Экономические теории со временем меняются, соперничающие объяснения сосуществуют друг с другом, и поэтому надежная теоретическая основа для моделей отсутствует. И среди самих эконометристов, по-видимому, нет согласия по поводу того, как следует заниматься их предметом.
В последние годы большое внимание в эконометрической литературе уделяется анализу структурных свойств экономических временных рядов. Это вызвано тем, что далеко не всегда значения временного ряда формируются под воздействием некоторых факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений или случайными флуктуациями. В последнее время появилось достаточно большое количество работ, в которых рассматриваются различные эконометрические аспекты развития Российской экономики.
Для временных рядов главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.
Литература 1. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики, М.: Инфра-Н, 2000г. 2. Елисеева И.И. Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Москва, «Финансы и статиска» 2005. 3. А.О.Крыштановский. Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51. [Статья] 4. Шмойлова Р. А. Теория статистики, М.: Финансы и статистика, 1996г. 5. Теория статистики. Учебник./Под ред. Шмойлова Р. А. 3-е изд., перераб.-М.: Финансы и статистика, 2002 6. Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: Аудит, 2001. – 248 с. 7. Кильдишев Г.С., Овсиенко В.Е., Рабинович П.М., Рябушкин Т.В. Общая теория статистики. – М.: Статистика, 2001. – 423 с. 8. Практикум по статистике: Учебное пособие для вузов (Под ред. В.М. Симчеры). ВЗФЭИ. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2001. – 259 с. 9. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие для Вузов / Под. ред. Т.Г. Морозовой, А.В. Пикулькина. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 1999. 10. Черныш Е.А. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие. – М.: ПРИОР, 1999. 11. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. (1998) Прикладная статистика и основы эконометрии. – М.: ЮНИТИ, 1998. 12. Бокс Дж., Дженкинс Г. (1974) Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. - Вып. 1, 2. 13. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. (1965) Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965. 14. Дженкинс Г., Ватс Д. (1971, 1972) Спектральный анализ и его применения. - М.: Мир, 1971, 1972. - Вып. 1,2. 15. Джонстон Дж. (1980) Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980. 16. Ллойд Э., Ледерман У. (1990) (ред.) Справочник по прикладной статистике. - М.: Финансы и статистика, 1990. - Том 2. 17. Осуга М. (1989) Обработка знаний. - М.: Мир, 1989. 18. Развитие российского финансового рынка и новые инструменты привлечения инвестиций. – М., 1998. 19. Экономика переходного периода. Очерки экономической политики посткоммунистической России 1991 – 1997. – М., 1998. 20. А. М. Трофимов. Ускорение темпов роста ВВП и роль государства в экономике (к дискуссии об уровне участия государства в экономике в журнале «Вопросы экономики» 2002-2003 гг.) 21. С. Дробышевский, В. Носко, Р. Энтов. А. Юдин. Институт экономики переходного периода. Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей [1][см., например, Maddala, Kim (1998), [2] см., например, [Бокс, Дженкинс (1974)]. [3]Yule (1927), Walker (1931). [4] см., например, Бокс, Дженкинс (1974)