Лекции по автоматике

Управление техническими системами. Оглавление 1. Основы теории управления и математическое описание динамических звеньев и систем. 2. Устойчивость САУ. 3. Анализ качества САУ в статике.
4. Анализ качества САУ в динамике. 5. Синтез систем автоматического управления. Библиографический список 1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.:Наука,1975. 2. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. – М.: Высшая школа, 1977. 3. Расчёт автоматических систем. Под ред. А.В.Фатеева. - М.: Высшая школа, 1973. 4. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. - М.: Машиностроение, 1985. 5. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука,1989. 6. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. - М.: Машиностроение, 1978. 7. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. - М.: Машиностроение, 1982. 8. Теория автоматического управления. Под ред. А.В. Нетушила. - М.: Высшая школа, 1976. 9. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: Учеб. пособие для втузов. - М.: Машиностроение, 1989. 10. Основные понятия автоматики. Терминология. - М.: Наука,1966. 11. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. - М.: Машиностроение, 1987. Исторический путь развития автоматики Со времён глубокой древности человечество занималось созданием автоматических устройств, предназначенных для облегчения быта, защиты от окружающих опасностей и развлечений. Ещё Герон Александрийский в одной из первых книг по технике описал устройство, в котором исполнялись различные действия автоматами - куклами. На рубеже нашей эры арабы снабдили водяные часы поплавковым регулятором уровня. В средние века в России был сконструирован автомат в виде фигуры Петра I, встававшей с трона при входе кого-нибудь в комнату. В 1675 г. Гюйгенс встроил в механические часы маятниковый регулятор хода. В это же время применяются центробежные маятниковые уравнители хода водяных мельниц. Быстрое развитие автоматики началось в эпоху первой промышленной революции в Европе на рубеже XVIII и XIX веков. В России в г. Барнауле Ползуновым И.И. в 1765 г. сконструирован первый промышленный регулятор – автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины. Английский механик Д. Уатт в 1784 г. получил патент на центробежный регулятор скорости паровой машины. Тем самым был открыт фундаментальный принцип управления – принцип обратной связи (принцип Ползунова-Уатта). В 1868 г. английский физик Д. Максвелл в работе “О регуляторах” впервые поставил и рассмотрел математическую задачу об устойчивости систем регулирования, где рассмотрены переход к исследованию малых отклонений и линеаризация дифференциальных уравнений, совместное рассмотрение уравнений регулятора и машины, формулировка условий устойчивости линейных систем третьего порядка и постановка перед математиками задачи о нахождении условий устойчивости для уравнений произвольного порядка, в результате чего появилась работа Рауса (критерий Рауса). В 1876 г. в трудах Парижской академии И.А. Вышнеградский опубликовал статьи “Об общей теории регуляторов” и “О регуляторах прямого действия”. В этих работах содержались не только основные этапы работы Максвелла: системный подход, линеаризация, исследование устойчивости, но и делался существенный шаг вперёд при рассмотрении основных показателей качества процесса регулирования: монотонность, колебательность, апериодичность. Работами И.А. Вышнеградского было вскрыто и объяснено знаменитое противоречие между точностью и устойчивостью регулирования: при уменьшении статической ошибки регулирования ниже некоторого критического значения система теряет устойчивость. Дальнейшее развитие техники регулирования пошло по пути поиска способов преодоления этого противоречия. Переход от регуляторов прямого действия, перемещающих регулирующие органы непосредственно за счёт энергии измерительного органа, к регуляторам непрямого действия, осуществляющим такие перемещения через силовые усилители, с одной стороны, осложнило проблему устойчивости, введя в контур дополнительные инерционные звенья, с другой стороны, сделало схемы регуляторов более гибкими, дав возможность введения в различные точки схемы дополнительных связей и корректирующих звеньев. В 1830 г. Понселе предложил построить регулятор, действующий по возмущению. Принцип Понселе (принцип компенсации возмущающего воздействия) – второй фундаментальный принцип управления. В 1845 г. братья Сименсы предложили воздействовать на регулируемый объект в функции производной отклонения регулируемой величины (принцип управления по производным). В 1892 г. вышла работа знаменитого русского учёного А.М. Ляпунова ”Общая задача об устойчивости движения”. Теория устойчивости движения, созданная А.М. Ляпуновым, имеет исключительное значение для многих прикладных дисциплин. К началу XX в. теория регулирования выходит из прикладной механики и формируется в общетехническую дисциплину. В начале ХХ в. выходят работы словацкого учёного А. Стодолы по регулированию гидротурбин и книга русского учёного Н.Е. Жуковского “Регулирование силовых машин”. В 1932 г. американский учёный Х. Найквист предложил критерий устойчивости по частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии, а в 1936 г. А.В. Михайлов показывает преимущества применения частотных методов, предложив свой критерий устойчивости, не требующий предварительного размыкания цепи. С введением частотных методов начинается новый этап ускоренного развития теории управления. Американские учёные Г. Боде и Л. Маккол в 1946 г., русский учёный В.В. Солодовников в 1948 г. разработали метод логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ). Если ранее синтез систем осуществлялся путём интуиции и изобретательства, то метод ЛЧХ открыл новые возможности для исследования качества регулирования и создания теории синтеза структур и параметров математическими методами. В 1940-1950 годы сформировалась по существу новая современная теория автоматического управления: в области устойчивости разработаны методы, существенно облегчающие применение различных критериев устойчивости, введены различные количественные оценки показателей качества процессов регулирования (время регулирования, перерегулирование, колебательность, выброс, степень устойчивости). К.Ф. Теодорчиком, Г.А. Бендриковым, У. Ивенсом, Дж. Тракселом разработан метод корневого годографа. П.С. Стрелков и Э.Г. Удерман получили важные результаты по детальному изучению влияния на переходный процесс расположения нулей и полюсов передаточной функции, в частности путём выделения доминирующих полюсов с целью упрощения исследования. Были развиты различные интегральные оценки качества с помощью определённых интегралов с бесконечным верхним пределом.
Впервые в 1940 г. В.В. Солодовниковым предложен метод исследования регуляторов путём воспроизведения условий работы системы на электронных моделях. Значительный вклад в развитие теории управления внесли А.А. Красовский, А.А. Фельдбаум, Г. Джеймс, Н. Никольс, Р. Филлипс, И.Н. Вознесенский, Г.В. Щипанов, Б.Н. Петров, Е.П. Попов, В.А. Бесекерский, А.В. Фатеев, А.А. Вавилов, С.М. Фёдоров, Я.З. Цыпкин.
Терминология 1. Автоматика - отрасль науки и техники, охватывающая теорию автоматического управления, а также принципы построения автоматических систем и образующих их технических средств. 2. Алгоритм функционирования - совокупность предписаний, ведущих к правильному выполнению технического процесса в каком-либо устройстве или совокупности устройств (системе). 3. Алгоритм управления - совокупность предписаний, определяющая характер воздействий извне на управляемый объект с целью выполнения им заданного алгоритма функционирования. 4. Управление - процесс осуществления воздействий, соответствующих алгоритму управления. 5. Управляемый объект - устройство (совокупность устройств), осуществляющее технический процесс, который нуждается в оказании специально организованных воздействий извне для выполнения его алгоритма функционирования. 6. Автоматическая система - совокупность управляемого объекта и автоматического управляющего устройства, взаимодействующих между собой. 7. Сигнал - обусловленное (заранее договоренное) состояние или изменение состояния представляющего параметра, отображающее информацию, которая содержится в воздействии. 8. Автоматическая система регулирования - автоматическая система с замкнутой цепью воздействий, в которой управляющие воздействия вырабатываются в результате сравнения действительных значений управляемой величины с предписанными значениями. 9. Элементарное звено - искусственно выделяемая часть автоматической системы, соответствующая какому-нибудь элементарному алгоритму. 10. Динамическое звено - элементарное звено, осуществляющее изменение функциональной зависимости воздействия, подаваемого на вход звена, во времени. 11. Представляющий параметр - количественный показатель (параметр) несущей величины, изменения которого определяют изменения воздействия, передаваемого этой величиной. 12. Несущая величина - физическая величина, посредством которой передаётся воздействие. 13. Функциональный блок - конструктивно обособленная часть автоматической системы, выполняющая определённую функцию. 14. Функциональная структура - совокупность функциональных блоков и связей между ними, образующая автоматическую систему или её часть. 15. Функциональная схема - графическое изображение функциональной структуры. 16. Типовое воздействие - детерминированное воздействие, выбранное с учётом специфики работы системы (наиболее часто встречающиеся или наиболее трудные для отработки). Объекты управления Объект регулирования - агрегат или элемент системы, в котором происходит процесс, подлежащий регулированию. Например, в системах автоматического регулирования скорости вращения в качестве объектов регулирования могут быть электродвигатели, турбины, дизели и т.д., в системах управления курсом судов - суда, в системах автоматического регулирования температуры - печи, котлы, помещения и т.д. Обобщенная структурная схема объекта управления Наиболее часто встречаются объекты регулирования следующих видов: 1. Объекты с самовыравниванием: - объект со свойствами апериодического звена первого порядка, - объект со свойствами колебательного звена, - объект со свойствами апериодического звена второго порядка, где - передаточная функция объекта, - передаточный коэффициент, - постоянные времени, - коэффициент затухания. Характерное свойство этих объектов – выходная координата принимает установившееся значение, если входное воздействие становится постоянным, причём после прекращения входного воздействия выходная координата стремится к нулю. Управление такими объектами возможно по пропорциональному (П-регулятор) или пропорционально-интегральному (ПИ-регулятор) законам регулирования. В последнем случае статическая ошибка равна нулю при постоянном входном воздействии. Если объект второго порядка, то применяют пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД-регулятор) закон регулирования. 2. Объекты без самовыравнивания.
Здесь после прекращения действия входного воздействия выходная координата не восстанавливает своего первоначального значения. - объект обладает свойствами апериодического и интегрирующего звеньев (реальное интегрирующее звено).
Применять интегральный закон регулирования нельзя, так как это приводит к повышению порядка астатизма системы (второй порядок), ибо сам объект является интегрирующим звеном. Системы с астатизмом второго порядка построить можно, но требуется сложное корректирующее звено, обладающее дифференцирующими свойствами. Обычно применяют регуляторы типа П или ПД. 3. Объекты с запаздыванием. Чаще других встречаются объекты с запаздыванием, описываемые передаточной функцией: . Регуляторы для этих объектов обязательно содержат дифференцирующую часть в законе регулирования, чтобы компенсировать запаздывание, вносимое в САУ объектом. Расчет систем управления с типовыми регуляторами проводят по методам, излагаемым ниже. Часто системы с регуляторами рассматриваются как системы с встречно-параллельными корректирующими цепями. В структурной схеме: Wпр(p) - передаточная функция прямой цепи регулятора, Wос(p) - передаточная функция местной отрицательной обратной связи. Пример 1. Гидравлический резервуар. Q - расход воды (управляющее воздействие U) H H - уровень воды в резервуаре (управляемая величина y) G - расход воды (внешнее возмущение ) Между переменными Q, H и G может быть написана следующая зависимость: - математическое описание объекта, где S - площадь поперечного сечения резервуара. преобразуем по Лапласу это дифференциальное уравнение: , тогда Поэтому структурная схема имеет вид Рассматриваемый объект нейтрален, так как при Q=0, G=0 и H=H0. Кратковременное увеличение расхода Q после снижения его до нуля приводит к повышению уровня H и переходу к новому состоянию Н0'>H0. Нейтральными объектами (без самовыравнивания) называются такие, в которых по окончанию воздействия устанавливается новое состояние равновесия, отличное от первоначального и зависящее от произведенного воздействия. Объект устойчив, если после кратковременного внешнего воздействия он с течением времени возвратится к исходному состоянию или близкому к нему. В неустойчивом объекте по окончании воздействия, как бы мало оно ни было, управляемая координата продолжает изменяться. Устойчивый объект Неустойчивый объект Нейтральный объект Механическая аналогия: Шар в лунке Шарик на вершине Шарик на горизонта- холма льной плоскости (трение ¹ 0) Пример 2. Управление курсом судна. Рассмотрим изменение курса движущегося судна в зависимости от положения его руля. a - угол отклонения курса судна a1 от заданного угла a0. d - угол отклонения руля. При движении судна со скоростью n вдоль его оси уравнение вращающих моментов, действующих относительно центра тяжести судна в плоскости, перпендикулярной вертикальной его оси, имеет вид , (1) где J - момент инерции судна; M - суммарный момент гидродинамических сил, зависящий от угла руля d, скоростей поступательного движения u и поворота судна, причем . (2) В значение М в качестве слагаемых входят также неконтролируемые воздействия на судно, обусловленные ударами волн, порывами ветра, течениями и т.п. Полученные уравнения дают возможность найти зависимость между координатами состояния движения судна и и управляющими координатами n и d. Процесс управления курсом летательного аппарата также описывается уравнениями (1) и (2) с соответствующим выражением нелинейной зависимости (2) на основании законов аэродинамики. Пример 3. Печи (топливные и электрические). Регулируемыми переменными являются значения температуры в определенных точках печи nп. Управляющие воздействия - положения вентилей и шиберов u1¸u4, регулирующих подачу горючего, приток воздуха и вытяжку газов. Внешние воздействия - изменение состава и расхода горючего, давление воздуха в системе, тепловых параметров, связанных с загрузкой и выгрузкой печи. Некоторые из этих величин могут контролироваться (например, расходы и температура), однако большинство не поддается контролю.
Тепловой режим печи описывается сложной системой дифференциальных уравнений в частных производных, которые обычно дают приближенное представление о характере процессов в печи. В приближенных расчетах систем, в которых управление ведется только путем изменения скорости подачи горючего в пламенных печах или мощности электрических нагревателей в электрических печах, математическое описание объекта может быть сведено к дифференциальному уравнению первого порядка.
Если Q - количество тепла, выделяемого в печи за единицу времени (управляющая величина), а uср - средняя температура печи, то уравнение теплового баланса может быть приближенно записано как
, где g - теплопроводность системы печь - внешняя окружающая среда, температура которой равна uвн; С - теплоемкость печи. Распределенный характер системы "печь - нагреваемая деталь" приближенно учитывается введением некоторого запаздывания между средней температурой печи uср и температурой детали или некоторой точкой печи u, являющейся регулируемой величиной, измеряемой в процессе управления. Таким образом, , где t - некоторое эквивалентное время запаздывания. В общем случае параметры печи g и C зависят от температуры и только в приближенных расчетах могут быть приняты постоянными. Неконтролируемыми воздействиями являются изменения окружающей внешней температуры uвн, теплоемкости печи C и условий теплообмена g. Зависимость между установившейся температурой печи uуст и количеством тепла Q, выделяемого в печи за единицу времени, выражается монотонной статической характеристикой управления: Обобщенная структурная схема САУ Функциональной схемой называется схема, в которой каждому функциональному элементу системы соответствует определенное звено. Динамической структурной схемой называется схема, в которой каждой математической операции преобразованиz сигнала соответствует определённое звено. Типовая структурная схема 3-х-координатной САУ Источники возмущения: изменение нагрузки генератора, ветер, действующий на самолёт, дрейф нулей усилителей, трение в передаче между двигателем и объектом, неуравновешенность вращающихся масс и т.д. Виды возмущений: 1. Внешние возмущения: изменение питания, нагрузки и т.п.; 2. Внутренние возмущения: изменение характеристик, изменение трения, изменение теплопроводности и т. д. Скорректированная структурная схема регулирования одной величины Для устойчивой работы системы и для придания системе определенных динамических свойств вводятся корректирующие цепи. Штриховыми линиями показаны реже применяющиеся корректирующие цепи. ЗУ - задающее устройство; КУ - компенсирующее устройство; КЦ - корректирующая цепь; У - усилитель; ИЭ - исполнительный элемент; ОР - объект регулирования. Информация с выхода системы на вход передается с помощью главной обратной связи. Эта структурная схема называется многоконтурной: I – контур главной обратной связи; II – контур корректирующей цепи 2; III – контур корректирующей цепи 3. Влияние возмущения компенсируется КУ 2. Цепь КУ1 предназначена для компенсации . При отсутствии местных контуров систему называют одноконтурной. При отсутствии III контура система не имеет перекрещивающихся связей. Есть системы для регулирования нескольких взаимосвязанных величин.
Классификация САУ Системы автоматического управления классифицируются по следующим признакам: I. По закону изменения выходной функции: 1. Системы автоматической стабилизации. Стабилизирующая автоматическая система – автоматическая система, алгоритм функционирования которой содержит предписание поддерживать управляемую функцию на постоянном значении. 2. Системы программного управления. Программная автоматическая система - автоматическая система, алгоритм функционирования которой содержит предписание изменять управляемую величину в соответствии с заранее заданной функцией. 3. Следящие системы. Следящая автоматическая система - автоматическая система, алгоритм функционирования которой содержит предписание изменять управляемую величину в зависимости от значения неизвестной заранее переменной величины на входе автоматической системы. II. По фундаментальным принципам управления: 1. Системы, работающие по принципу регулирования по отклонению выходной координаты от предписанных значений. 2. Системы, работающие по принципу компенсации возмущения. 3. Системы с комбинированным принципом управления. III. По числу контуров и регулируемых параметров: 1. Одноконтурные. 2. Многоконтурные. IV. По наличию источников вспомогательной энергии в регуляторе: 1. Прямого действия. 2. Непрямого действия ( с усилительными устройствами). V. По характеру изменения переменных во времени: 1. Непрерывные. 2. Дискретные. VI. По виду дифференциальных уравнений, описывающих работу САУ: 1. Линейные. 2. Нелинейные. VII. По свойствам в установившемся режиме: 1. Статические. 2. Астатические. VIII. По виду коэффициентов в дифференциальных уравнениях: 1. Системы с сосредоточенными параметрами. 2. Системы с распределенными параметрами. IX. По способу оптимизации параметров: 1. Экстремальные. 2. Адаптивные. 3. Оптимального управления. Фундаментальные принципы управления Выбор принципа управления, общей структуры системы и её элементов является первым этапом проектирования автоматической системы. Общая структура проектируемой системы, её основные элементы и принцип регулирования в значительной мере определяются свойствами объекта регулирования, условиями работы системы и требованиями, предъявляемыми к её точности. САУ должна решать две основные задачи: 1. Обеспечить требуемое изменение регулируемых величин. 2. Скомпенсировать действие на объект регулирования возмущений, вызывающих нежелательное изменение регулируемых величин. Обе эти задачи должны решаться с определённой точностью или с определёнными качественными показателями, определяемыми назначением разрабатываемой системы. Примем, что передаточная функция объекта регулирования по управляющему воздействию по возмущению
В самом общем случае управление регулирующим органом может осуществляться в функции ¦, y, u: -, это уравнение преобразуем по Лапласу при нулевых начальных условиях, пологая систему линейной
тогда после несложных преобразований многочлена получим (1) Уравнение объекта регулирования с одной регулируемой функцией при воздействии на него внешних возмущений имеет вид (2) подставим (1) в (2), получим (3) или, переходя к передаточным функциям, (4) где передаточная функция по каналу возмущения (5) и передаточная функция по каналу управления (6) Для того чтобы регулируемая функция y изменялась по закону u(t) при любых внешних возмущениях, необходимо, чтобы , а при всех условиях работы системы, т.е. необходимо с помощью сил, создаваемых регулирующим органом, скомпенсировать влияние внешнего воздействия, действующего на объект регулирования, и приложить к объекту такие силы, которые бы обеспечили требуемое изменение регулируемой величины у. Из (4)-(6) видно, что эти задачи могут быть решены различными способами, так как при этом необходимо выполнить два условия, а в законе регулирования (3) имеется три варьируемых оператора: S1(p), S2(p), S3(p). Один из операторов может быть произвольным. 1. Принцип управления по возмущению (принцип компенсации, принцип Понселе). Если принять в (3) S2(p)=0, то задача регулирования будет выполнена при ( 7 ), ( 8 ). Регулирующий орган в таком варианте управляется только в функции внешних воздействий F(р) и U(р). Фактическое изменение регулируемой функции у на работу регулятора влиять не будет, т.е. регулирование осуществляется по разомкнутому циклу. Рис. 1. Примем тогда так как если . Структура автоматической системы, показанной на рис.1, принципиально позволяет получить регулирование без ошибок. Однако практическая реализация такой системы наталкивается на затруднения: 1. Необходимо сравнительно точно измерять возмущающие воздействия, что не всегда может быть выполнено, так как возмущающие силы обычно не поддаются точному измерению. 2. Теоретически определение оператора S3(p) не представляет затруднений, но S3(p) есть обратная передаточная функция объекта регулирования по управляющему воздействию, т.е. S3(p) является дробно-рациональной функцией, у которой порядок числителя, как правило, больше порядка знаменателя. Реализация такого управляющего устройства в общем случае невозможна. Подобная система управления может быть реализована лишь в отдельных частных случаях для некоторых наперёд известных законов изменения регулируемой функции. Например, при U=const регулирование может быть осуществлено, если S3(p)=const. Действительно, в этом случае при определённых свойствах объекта Если S3(p) будет полином первого порядка, т.е. то появляется возможность точно воспроизвести гармонический сигнал и т.д. 3. Регулирование по возмущению может быть использовано в чистом виде лишь для объектов устойчивых. Только в этом случае все неточности в осуществлении этого принципа, а также все неучтенные внешние воздействия второго порядка малости не смогут привести к большим ошибкам. Если же объект регулирования неустойчив, т.е. полином a(р) имеет хотя бы один корень с неотрицательной вещественной частью, то даже самые малые неучтённые воздействия могут привести к недопустимым погрешностям в регулировании. Пример 1. Определить условие компенсации возмущения в системе с позиционными звеньями. Структурная схема системы приведена на рис.2. Рассмотреть установившийся режим работы системы. Рис. 2. В алгоритм управления вводится коррекция с целью компенсации отклонения выходной функции от действия возмущения. Для линейных позиционных систем в установившемся режиме справедливо следующее соотношение: где . При условии компенсируется влияние возмущения. Достоинства: 1. Возможна полная компенсация действия возмущения. 2. Компенсирующее устройство не влияет на устойчивость. Недостатки: 1. Компенсируется только измеренное возмущение. 2. Приборы для измерения возмущений сложные. Пример 2. Проведем анализ установившегося режима работы генератора постоянного тока с компенсирующей обмоткой ОВ2. Рис. 3. При условии компенсируется влияние Iн. Такие системы применяются в тех случаях, когда не требуется высокая точность выполнения алгоритма функционирования. 2. Принцип обратной связи (принцип управления по отклонению контролируемой функции от входного воздействия, принцип Ползунова-Уатта). Если в законе регулирования (1) положить S1(p)=0 и выбрать S2(p)=-S3(p)=-S(p), то выражение (1) примет вид тогда структура системы будет выглядеть так Рис. 4. В этом случае управление регулирующим органом производится в функции отклонения e регулируемой величины от заданного значения где
При регулировании по отклонению принципиально нельзя получить регулирование без ошибки, т.е. невозможно сделать , так как ошибка регулирования является сигналом, который управляет регулирующим органом. Это основной недостаток принципа регулирования по отклонению.
1. В рассматриваемом случае уравнение системы регулирования будет иметь вид . Если S(p) по модулю во всех режимах работы системы сделать достаточно большим (в идеале S(р)®¥), то у®u, так как при этом условии Wf(p) будет стремиться к нулю, а W0(p) - к единице. Следовательно, регулирование по отклонению позволяет одновременно уменьшить влияние на систему возмущающих воздействий (f) и увеличить точность воспроизведения заданного входного воздействия u. При правильном выборе параметров регулятора S(p) уменьшается влияние и всех неучитываемых возмущений. При этом на динамические свойства объекта a(р) и b(р) никаких ограничений не накладывается. Следовательно, регулирование по отклонению применимо к любым объектам регулирования, в том числе и к неустойчивым. 1. Такая универсальность – основное достоинство рассмотренного принципа регулирования. 2. Вторым важным достоинством этого принципа является отсутствие необходимости замера возмущений, что очень важно с практической точки зрения. Регулирование по отклонению будет и в том случае, если S3(p)=S(p), S2(p)=-S(p)-DS(p), тогда где Woc(p)=DS(p)/S(p). Структурная схема системы примет вид Рис. 5. Такая структура системы более гибкая, чем показанная на рис. 4, поэтому часто применяется в практических схемах. Управление по отклонению e(t)=u(t)-y(t) (рис. 4) называется регулированием. Управляющее устройство S(p) (УУ) в этом случае называется автоматическим регулятором (АР), а управляемый объект (УО) называется объектом регулирования (ОР). Замкнутая система, образованная объектом ОР и регулятором АР, называется системой автоматического регулирования САР. Регулятор вырабатывает в системе изменение y(t), направленное навстречу начальному отклонению, вызвавшему работу регулятора, то есть стремится компенсировать возникшее отклонение. Обратные связи в регуляторе или объекте называются местными обратными связями. Если система линейная и звенья статические, то в установившемся режиме тогда где обозначим k=kpky – общий передаточный коэффициент разомкнутой цепи регулирования. Уравнение статического равновесия имеет вид При увеличении k влияние ¦ уменьшается, поэтому достоинством этого принципа регулирования является его универсальность по отношению к возмущениям, а недостатком – склонность системы к неустойчивому режиму работы. Установившаяся ошибка регулирования в статической системе с единичной отрицательной обратной связью (статическая ошибка) если k>>1, то Управление – фундаментальная философская категория, решающая задачу формирования управляющих воздействий. Регулирование – производная философская категория, решающая задачу отработки заданных воздействий. Системы автоматического регулирования (САР) отличаются от систем автоматического управления (САУ) тем, что в последних происходит как формирование (выработка) желаемого поведения объекта на основании цели управления в виде задающих (управляющих) воздействий, так и их отработка; в САР происходит лишь их отработка, а сами управляющие воздействия, поступающие на элемент сравнения, считаются заданными. Теория автоматического регулирования является основой построения первого уровня, а теория автоматического управления – основой всей иерархической структуры информационных процессов управления, необходимых для комплексной автоматизации сложных объектов. Принцип действия любой САР состоит в том, чтобы обнаружить отклонения регулируемых величин, характеризующих работу машины, или протекание процесса от требуемого режима, и при этом воздействовать на машину или процесс так, чтобы устранить возникшие отклонения. В теории автоматического регулирования основными являются проблемы: устойчивости, управляемости, наблюдаемости, качества переходных процессов, динамической точности, автоколебаний, оптимизации, синтеза и идентификации. Пример 3. Определить уравнение статики системы регулирования напряжения генератора постоянного тока. где k=kг×kу, kг=F(Uг) определяется при Iн=0. Выходная статическая характеристика САР. 3. Комбинированный принцип управления. Если S1(p)¹0, S2(p)¹0 и S3(p)¹0, а также S2(p)=-S(p), S1(p)=S¦(p), S3(p)=S(p)+DS3(p), то X(p)= S¦(p)F(p)+ S(p)[U(p)-Y(p)] + DS3(p)U(p). , . Здесь одновременно используются как принцип регулирования по отклонению, так и по возмущению. Такая структура обеспечивает наибольшие возможности в отношении получения заданной точности регулирования. Так как регулирование производится по отклонению, то возможно регулирование любых объектов, т.е. объектов с любыми динамическими свойствами, а наличие дополнительных связей по возмущению и входному воздействию позволяет добиться высокой точности регулирования без существенного усложнения замкнутого контура регулирования. Если Wk(p) и S(p) выбрать так, чтобы W¦(p)º0, а Wu(p)=1, то e=0 во всех режимах, т.е. комбинированная система в основном будет работать, как система регулирования по возмущению, а на долю связи по отклонению останется лишь компенсация всех неучтённых возмущений, приводящих к изменению регулируемой величины. Так как эти возмущения имеют обычно 2-й порядок малости, то высоких требований к регулятору S(p) можно не предъявлять. Однако на практике введение связи по возмущению ¦ используется редко, так как возмущение трудно измерить, а в некоторых системах влияние возмущения ¦ бывает мало и его не учитывают (например, в большинстве следящих приводов, особенно быстродействующих). В системах стабилизации (U=const) применение дополнительных связей от входного воздействия обычно не используют.
Статические и астатические САУ. Теорема о предельном (конечном) значении.
Пусть непрерывная функция h(t) имеет предел, тогда справедливо равенство: . - ошибка системы, yэm – эталонная (безошибочная) выходная функция. . Передаточная функция по отклонению Система регулирования называется статической по отношению к возмущающему (управляющему) воздействию, если при воздействии стремящемся к установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины также стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. Статической системе присуща статическая (установившаяся) ошибка. Признаком статичности системы является выражение: где Фe(p) – передаточная функция по отклонению. Автоматическая система называется астатической по отношению к возмущающему (управляющему) воздействию, если при воздействии стремящемся к некоторому установившемуся постоянному значению отклонение регулируемой функции стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия. Одна и та же система может быть статической по отношению к возмущающему воздействию и астатической по отношению к управляющему воздействию. Астатические системы могут быть I–го и более высокого порядков. На практике находят применение астатические системы I-го и II-го порядка. Признаком системы с астатизмом I-го порядка служит равенство: или В передаточной функции разомкнутой системы с астатизмом I–го порядка имеется 1 нулевой полюс В системе регулирования с астатизмом второго порядка то есть имеется два нулевых полюса в передаточной функции разомкнутой системы Наличие двух нулевых полюсов приводит к тому, что система становится структурно-неустойчивой, и для её стабилизации обязательно применение корректирующих устройств. Вместе с тем ясно, что скоростная ошибка такой системы равна нулю. Порядок астатизма автоматической системы при введении корректирующих устройств может измениться, например статическая система может приобрести свойства астатической и наоборот. Поэтому при проектировании автоматических систем выбор статической или астатической системы определяется конструктивными особенностями системы, свойствами объекта регулирования и его регулирующего органа, возможностями проектируемой системы и требованиями, предъявляемыми к ней. Статизм регулирования - статическая ошибка от действия номинального возмущения, выраженная в % относительно значения выходной функции при отсутствии возмущения или при номинальном возмущении, или относительно ¦ном. Рис. 1. К статическим регуляторам принято относить такие, у которых от действия ступенчатого сигнала на входе выходной сигнал асимптотически устанавливается на уровне некоторой конечной величины. У астатических регуляторов от действия ступенчатого сигнала на входе происходит линейное или нелинейное нарастание сигнала на выходе без ограничения по уровню. Статические характеристики звеньев и объектов САУ. Статической характеристикой по каналу управления (возмущения) объекта называется функциональная зависимость выход-вход при отсутствии или постоянном значении возмущения (управления), все точки которой сняты в установившемся режиме (при t®¥). Возьмём для примера в качестве элемента системы полупроводниковый усилитель. Статическая характеристика усилителя имеет вид, приведенный на рис.1. Точка О – рабочая точка усилителя. Статический передаточный коэффициент усилителя Динамический передаточный коэффициент Статические характеристики определяют для того, чтобы можно было составить уравнение звена. Статический передаточный коэффициент характеризует работу только в статике. Для характеристики свойств звена в динамике пользуются динамическим передаточным коэффициентом. У объектов регулирования определяют статические характеристики по каналам управления и возмущения. Возмущение обычно Внешние характеристики объекта действует со знаком “-” Динамические характеристики систем регулирования. Свойства систем в переходных (динамических) режимах отображаются в реакциях систем на типовые входные воздействия. Сходящиеся (устойчивые) процессы: 1- Апериодический, 2- Апериодический с перерегули-рованием, 3- Колебательный быстро затухающий, 4- Колебательный медленно затухающий. Расходящиеся (неустойчивые) процессы: 5- Колебательный неустойчивый, 6- Параболический неустойчивый. u(t)-ступенчатое входное воздействие. Типовые входные воздействия 1. Ступенчатое (скачкообразное) воздействие. если U0=1 [размерность вх. возд.], то u(t)=1(t) – единичное ступенчатое воздействие.
2. Линейно-нарастающее (с постоянной скоростью) воздействие. где u(t) – линейная функция времени.
3. Параболическое (с постоянным ускорением) воздействие. где 4. Синусоидальное (качка) воздействие. 5. Воздействия в виде степенных функций времени. изображение по Лапласу степенных функций времени имеет вид При исследовании точности работы, например, следящих систем копировально-фрезерных станков и станков с программным управлением в установившихся режимах широко используются управляющие воздействия в виде степенных функций времени. В нормальных режимах работы управляющее воздействие в виде линейной функции времени u(t)=A×t×1(t) имеет место, например, в следящих системах копировально-фрезерных станков при постоянном угле копирования, в следящих системах станков с программным управлением – при обработке изделия с постоянной скоростью по одной или двум координатам. Управляющее воздействие в виде квадратичной степенной функции может быть, например, при обработке изделия с постоянным ускорением по одной из координат. В ряде случаев более сложные воздействия на систему можно представить в виде суммы S степенных функций времени 6. Дельта-функция (единичная импульсная функция, функция Дирака). Рассмотрим функцию Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток времени от 0 до h, а в остальное время равную нулю, то, очевидно, импульс этой силы будет равен единице. Изображение этой функции будет т.е. В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие очень короткий промежуток времени, как силы действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Поэтому вводят функцию d(t) как предел функции s1(t,h) при Следует иметь в виду, что d(t) не есть функция в обычном понимании. Многие авторы-физики функцию d(t) называют функцией Дирака. Эту функцию называют единичной импульсной функцией или дельта-функцией. Естественно положить L – изображение функции d(t) определим как предел изображения функции s1(t,h) при (здесь воспользовались правилом Лопиталя для нахождения предела). Итак, Линейные непрерывного действия системы автоматического регулирования В системах непрерывного действия между величинами на входе и выходе всех элементов существует непрерывная функциональная связь. При наличии в системах непрерывного действия только линейных элементов движение системы можно описывать обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, что значительно упрощает её теоретическое исследование. Линейность характеристик системы регулирования позволяет получить высокую плавность работы, возможность применения разнообразных корректирующих устройств и обеспечивает высокую точность работы системы. Основными недостатками непрерывных автоматических систем являются: неполное использование мощности исполнительных элементов, малое быстродействие при малых управляющих и возмущающих воздействиях. Математическое описание САУ Анализ и синтез САУ проводят по дифференциальным или интегродифференциальным уравнениям, определяющим поведение систем в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действий. Уравнения называются уравнениями динамики, если они описывают изменения входящих в них переменных во времени. Из уравнений динамики обычно можно получить уравнения статики, если положить все входящие в них производные и воздействия равными нулю или некоторым постоянным величинам. Уравнения статики описывают поведение систем в установившемся режиме. Обычно САУ разбивают на отдельные элементы и для каждого из них записывают дифференциальное уравнение, которое составляется на основании физических законов, определяющих протекание процесса в изучаемом элементе. Чаще всего исходными являются законы сохранения вещества и энергии, записанные применительно к рассматриваемому явлению. Для большого диапазона изменения регулируемой величины уравнение статики обычно нелинейно. Для малых отклонений регулируемой величины можно пользоваться линеаризованными уравнениями, а для больших отклонений – нелинейными уравнениями. Реальные элементы САУ почти всегда имеют нелинейные характеристики, обусловленные ограничением мощности, ограничением координат, зазорами, гистерезисом и т. д. Очевидно, что и связь между отдельными координатами элементов с нелинейными характеристиками будет описываться нелинейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при составлении уравнений отдельных элементов систем приходится идеализировать их характеристики, т. е. не учитывать некоторые особенности характеристик исследуемых элементов, а также не учитывать отдельные связи, если они не оказывают существенного влияния на работу всей системы. При такой идеализации обычно удаётся упростить дифференциальные уравнения элементов и всей системы и заменить нелинейную связь между координатами линейной связью. Дифференциальное уравнение общего вида для трёхкоординатной системы имеет вид Если нелинейная функция F и все её производные однозначны и непрерывны, то при малых отклонениях координат она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранной точки (n+m+k+3)-мерного пространства (для САР эта точка соответствует установившемуся режиму): где
так как выбранная точка (y0, u0, ¦0) – установившийся режим работы, где и производные координат равны нулю, для приращений начальные условия будут нулевыми. Ф – сумма членов ряда Тейлора высшего порядка малости и ими можно пренебречь (для устойчивых САУ отклонения переменных малы, ибо этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы).
Уравнение установившегося режима (2) есть уравнение статического равновесия системы. Для того чтобы получить линеаризованное уравнение первого приближения для системы, необходимо из уравнения возмущённого состояния (1) вычесть уравнение установившегося состояния (2) и отбросить нелинейные члены Ф ряда Тейлора. Опустим знак D, считая y, u и ¦ отклонениями от их установившихся значений, и запишем линеаризованное дифференциальное уравнение системы для окрестности точки (y0, u0, ¦0): , (3) где в левой части записаны выходная функция и её производные, в правой – входное и возмущающее воздействия и их производные. Из этого дифференциального уравнение можно получить уравнения установившегося режима для приращений переменных (уравнение статики для приращений переменных). Условия линеаризации дифференциального уравнения: 1. Функция F аналитическая, т. е. имеет непрерывные производные по всем аргументам; 2. Система автономна, т. е. время t не входит в функцию F явно; 3. Система стационарна (коэффициенты дифференциального уравнения не изменяются во времени); 4. Функция F не имеет разрывов непрерывности и неоднозначности по каким-либо из переменных. Если нелинейная связь между координатами элемента задана в виде графической зависимости y = ¦(u), показанная на рис.1, то при линеаризации нелинейная характеристика заменяется характеристикой в виде касательной, проведенной через рабочую точку А, соответствующую установившемуся значению координат до возмущения. Тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс определяет частную производную функцию ¦(ui) в рабочей точке, т. е. Рис. 1. В следящих системах используется большое число различных элементов и поэтому не представляется возможным вывести заранее уравнения для всех элементов, встречающихся на практике. Появление новых элементов в системах и учёт ряда дополнительных факторов, оказывающих влияние на систему, требует каждый раз заново решать задачу составления уравнений тех или иных элементов. Поэтому вывод исходных уравнений элементов всегда остаётся творческой задачей, которую необходимо решать при исследовании систем автоматического регулирования. Пример. Составить дифференциальное уравнение генератора постоянного тока с независимым возбуждением. При w=const eг=СгФ. Электрические машины, как правило, работают в области насыщения: . Вблизи рабочей точки О может быть записано линейное уравнение в приращениях где Запишем уравнения для контуров рассматриваемой системы: Совместное решение системы уравнений дает аналитическую зависимость выходной координаты от входной: Обозначим - постоянная времени обмотки возбуждения, - передаточный коэффициент. Опустим знак D, подразумевая под переменными приращения. Тогда - дифференциальное уравнение генератора. Передаточная функция САУ Передаточной функцией звена (системы) называется отношение изображений Лапласа выходной функции к входному воздействию при нулевых начальных условиях Эталонная передаточная функция – отношение изображений Лапласа требуемой (безошибочной) выходной функции к заданному входному воздействию при нулевых начальных условиях слева. Эта функция устанавливает заданную форму безошибочного преобразования входного воздействия в выходную функцию. Преобразуем по Лапласу при нулевых начальных условиях полученное выше дифференциальное уравнение трёхкоординатной системы управления (3), используя следующую теорему. Теорема. Пусть где Ф-класс преобразуемый по Лапласу функцией, тогда справедливо следующее преобразование В результате преобразования при равных нулю возмущающем воздействии и его производных получим: отсюда - передаточная функция по каналу управления, если в уравнении (3) принять входное воздействие и его производные равными нулю, то получим - передаточная функция по каналу возмущения. Знаменатель передаточной функции называют характеристическим полиномом, а, приравняв знаменатель к нулю, получим характеристическое уравнение. Корни знаменателя называются полюсами, а корни числителя – нулями. Передаточная функция зависит от конструкции устройства и свойств материала конструкции, но не зависит от входных воздействий и выходной функции. Правило определения передаточной функции замкнутой САУ Пусть структурная схема исходной САУ преобразована в эквивалентную так, что отсутствуют перекрёстные связи и прямые параллельные цепи, и пусть известны передаточные функции динамических звеньев, тогда передаточная функция элементарного (без внутренних обратных связей) замкнутого контура и всей САУ имеет вид где Wпк(p) – передаточная функция прямого канала САУ, Wос(p) – передаточная функция обратной связи, причём знак “+” в знаменателе соответствует отрицательной, а знак “-” - положительной обратной связи. Если входное воздействие инвертируется в цепи от точки входа до выхода, то передаточная функция записывается со знаком “-”. В цепи главной отрицательной обратной связи системы автоматического регулирования устанавливаются, как правило, безынерционные, апериодические или интегродифференцирующие звенья. Идеальные (или реальные) интегрирующие и дифференцирующие звенья в главной обратной связи не устанавливают, так как наличие в цепи интегрирующего звена приводит к нулевому уровню выходной функции, а дифференцирующих – к прекращению прохождения сигнала по цепи обратной связи в установившемся режиме вследствие большого сопротивления:
Заметим, что не во всех случаях целесообразно предъявлять к системе такие жёсткие требования, как Например, в технической литературе показано, что целесообразно применение апериодических обратных связей для улучшения динамических свойств автоматических систем управления судовыми механизмами и курсом судов. Один из способов определения эталонной передаточной функции – преобразование исходной структурной схемы к эквивалентной с единичной обратной связью (рис. 1). На рис.1 обозначено: u(t) – входное воздействие; Wпк(p) – передаточная функция прямого канала САУ; Wос(p) – передаточная функция обратной связи; y(t) – выходная функция; ФэтI(р) - эталонная передаточная функция контура с единичной обратной связью; Wэт(р) - эталонная передаточная функция последовательно с контуром включенного звена эквивалентной структурной схемы. Рис.1. Преобразование типовой структурной схемы непрерывной САУ. Если Wос(р)=1, тогда Wэт(р)=1 и Фэт(р)=ФэтI(p)Wэт(р)=1, т.е. y=u. Если Wос(р) - интегродифференцирующая цепь, апериодическое или безынерционное звено и допускается лишь изменение масштаба копирования, то т.е. y=kЭТu. В интегрирующих системах и Переходная функция САУ Переходной функцией называется реакция системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Если u(t)=1(t), то Импульсной переходной функцией (весовой функцией) называется реакция системы (звена) на воздействие вида d - функции (единичный мгновенный импульс) при нулевых начальных условиях. Если u(t)= d(t), тогда y(t)=k(t). В преобразованиях Лапласа Частотные характеристики Частотными называются характеристики звеньев (систем) в форме графиков или таблиц, отображающие изменение амплитуды и фазы выходной функции (т.е. реакцию) звеньев или систем относительно синусоидального входного воздействия в установившемся режиме при изменении частоты от 0 до ¥. Очевидно, что при экспериментальном определении частотных характеристик диапазон изменения частоты входного гармонического воздействия ограничен техническими возможностями аппаратуры. Для линейных систем справедлив ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ, который можно сформулировать следующим образом. Реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом. В качестве входных воздействий были выбраны гармонические воздействия в виду нескольких обстоятельств: 1) реально встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот (разложение Фурье); 2) в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными элементами и системами без искажений; 3) обычно не возникает затруднений в экспериментальном исследовании поведения таких элементов и систем при гармонических воздействиях. Пусть на вход стационарного линейного элемента или системы воздействует гармонический сигнал u=Um×coswt. (1) Решим уравнение линейной стационарной системы с одним входом (2) здесь p – оператор дифференцирования, подставив в правую часть выражение (1). Общее решение имеет вид где yс – общее решение однородного уравнения, а yв – частное решение неоднородного уравнения. Составляющая yс(t) определяет свободные движения (переходный процесс). В устойчивых системах она со временем затухает: при Вынужденное движение описывается частным решением yв(t). Чтобы найти его, отобразим входное воздействие (1) с помощью формулы Эйлера в пространство Фурье где , . (5) Используя принцип суперпозиции, решение уравнения (2) можно также представить в виде суммы y=y1+y2, где y1 – решение при u=u1, а y2 – решение при u=u2. Найдем отдельно каждое из этих решений. Подставим выражение для u1 в правую часть уравнения (2) вместо u. Так как уравнение (2) примет вид (3) Частное решение последнего уравнения будем искать в виде (4) где A1 не зависит от времени. При подстановке этого выражения в (3) получим , откуда Очевидно, это выражение совпадает с частотной передаточной функцией рассматриваемой системы: Подставив это выражение в формулу (4), получим (6) Теперь найдем частное решение y2 исходного уравнения, подставив вместо u выражение для u2 из (5). Так как то (2) в этом случае Частное решение этого уравнения будем искать в виде
Проделав те же выкладки, что и при нахождении частного решения y1, получим (7)
Сложив (6) и (7) для y1 и y2, найдем математическое описание вынужденного движения: При гармоническом воздействии в устойчивых системах после окончания переходного процесса, выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы – аргументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика показывает изменение отношения амплитуд, а фазовая частотная характеристика- сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от частоты входного гармонического воздействия. Из приведённой физической интерпретации частотных характеристик ясно, как строить их экспериментальным путём. Для экспериментального построения частотных характеристик имеется специальная аппаратура, в состав которой входят генератор гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний. Частотные характеристики используются для описания как устойчивых, так и неустойчивых систем. Но в последнем случае они не имеют такого ясного физического смысла. Функцию W( jw) можно представить в виде где Если то На комплексной плоскости (рис.1) частотная передаточная функция W(jw) определяет вектор , длина которого равна А(w), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - Q(w). Кривую, которую описывает конец этого вектора при изменении частоты от 0 до ¥ (иногда от -¥ до ¥), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ). Частотную передаточную функцию будем называть также амплитудно-фазовой частотной функцией. Её действительную часть U(w)= ReW(jw) и мнимую часть V(w)=JmW(jw) будем называть соответственно ВЕЩЕСТВЕННОЙ и МНИМОЙ ЧАСТОТНОЙ ФУНКЦИЕЙ. График вещественной частотной функции (кривая зависимости U=U(w) называют ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ, а график мнимой частотной функции – МНИМОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ. Модуль А(w)=½W(jw)½ называют амплитудной частотной функцией, а её график – амплитудной частотной характеристикой. Аргумент Q(w)=argW(jw) называют фазовой частотной функцией, её график – фазовой частотной характеристикой. Рис. 1. Кроме перечисленных частотных характеристик используют ещё логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) – логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). Назовём функцию L (w)= 20 lg A(w)= 20 lg½W( jw)½ - логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции L(w) от логарифма частоты lg(w) называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой ЛАЧХ. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению lg(w), пишут само значение w, а не значение lgw,а по оси ординат – L(w). ЛФЧХ называют график зависимости фазовой частотной функции Q(w) от логарифма частоты lgw. При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению lgw, пишут значение w. Единицей измерения L(w) является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку оси абсцисс, а не через точку w=0. Частоте w=0 соответствует бесконечно удалённая точка: lgw®-¥ при w®0. В инженерных расчётах используются, как правило, ЛЧХ. Белл-логарифмическая единица десятикратного увеличения мощности. Так как А(w)- отношение напряжений, токов, перемещений, то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в 100 раз, что соответствует 2 Белам или 20 дБ. Типовые динамические звенья САУ I. Статические (позиционные) звенья: 1. Безынерционное звено. 2. Звено апериодическое I порядка. 3. Звено апериодическое I I порядка. 4. Колебательное звено. II. Интегрирующие звенья: 1. Идеальное интегрирующее звено. 2. Реальное интегрирующее звено. III. Дифференцирующие звенья: 1. Идеальное дифференцирующее звено. 2. Реальное дифференцирующее звено. 3. Форсирующее звено. IV. Трансцендентные звенья. 1. Звено запаздывания (чистого запаздывания, транспортного запаздывания). V. Неустойчивые звенья. 1. Консервативное звено. 2. Звено неустойчивое апериодическое I порядка. I. Статические (позиционные) звенья. 1. Безынерционное звено. 1.1.Уравнение связи выход-вход y = ku. 1.2.Переходная функция h(t)=k×1(t) 1.3.Передаточная функция W(p)=k. 1.4.Амплитудно-фазовая характеристика 1.5.Логарифмические частотные характеристики Пример. Усилитель постоянного тока с отрицательной обратной связью (инерционностью усилителя пренебречь). Апериодическое (инерционное) звено I порядка. 2.1. Дифференциальное уравнение 2.2. Переходная функция 2.3. Передаточная функция 2.4. Амплитудно-фазовая частотная функция (частотная передаточная функция) 2.5. Логарифмические частотные характеристики .
При w®0 если то при .
Обычно строят асимптотические ЛАЧХ: на стандартной сетке ( с масштабом 1 декада – увеличение частоты в 10 раз – 100 мм, 20 дБ – 40 мм) проводят вертикальную штриховую линию через точку с частотой, называемой сопрягающей, w=1/Т. Левее сопрягающей частоты проводят прямую с уровнем 20lgk, а правее с наклоном – 20дБ/дек, соответствующую выражению 20lgk/wT. Точная ЛАЧХ будет несколько отличаться от асимптотической, причём наибольшее отклонение будет » 3 дБ. Если проводятся точные расчёты, то строятся точные ЛАЧХ звена Lт(w), если приближенные расчёты, то строятся асимптотические ЛАЧХ Lа(w). В подавляющем большинстве случаев строятся Lа(w), причём индекс “а” опускается. Пример 1. Определить передаточную функцию RС-цепи операторным методом. сделав замену T=RC, найдем Пример 2. Определить передаточную функцию генератора по его дифференциальному уравнению. Возьмём преобразование Лапласа от обеих частей уравнения при нулевых начальных условиях: 3. Инерционное звено 2-го порядка. Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида Преобразуем по Лапласу это уравнение: или Определим передаточную функцию звена где T – постоянная времени, с; x – коэффициент затухания (безразмерная величина); k – передаточный коэффициент. В зависимости от величины x классифицируются звенья второго порядка по видам: 1. x>1 – апериодическое звено II-го порядка. Характеристическое уравнение звена имеет корни действительные и отрицательные данное звено можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев с различными постоянными времени: тогда при T1>T2 переходная функция звена имеет вид x Корни характ. уравн. Переходная функция Амплитудно-фазовая характеристика 1 2 3 4 >1 действительные, разные, отрицательные 2. x=1, оба корня одинаковые и отрицательные. Можно разложить на два последовательно соединенных апериодических звена с одинаковыми постоянными времени. 1 2 3 4 =1 То же, что и в случае 1. То же, что и в случае 1. 3. 0корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью; КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО. Переходная функция звена имеет вид где при малых x, - имеет физический смысл собственной частоты колебаний, при малых x. Период собственных колебаний при малых x. 1 2 3 4 0 Корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью Чем меньше x, тем выше колебательность процесса. 4. x=0, такое звено имеет специальное название – КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО. Решение дифференциального уравнения имеет вид где
В случаях 1, 2, 3 энергия рассеивалась и колебания затухали, здесь же энергия не рассеивается, а перетекает из одной “емкости” (“емкость” - в универсальном смысле) в другую.
1 2 3 4 x=0 Корни равные, мнимые, комплексно-сопряженные 5. -1 1 2 3 4 -1 Корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью Это неустойчивое колебательное звено. 6. x 1 2 3 4 x Корни вещественные, разные, положительные Форма АФХ такая же, как и в случае 5 7. x=-1; отличается от случая 6 лишь тем, что корни одинаковые. Логарифмические частотные характеристики колебательного звена Частотная передаточная функция колебательного звена имеет вид откуда при ; при . Логарифмическая амплитудно-частотная функция имеет вид 1. низкочастотная асимптота имеет наклон 0 дБ/дек; 2. высокочастотная асимптота имеет наклон – 40дБ/дек. 3. обе асимптоты пересекаются на сопрягающей частоте. При значениях 0,5 на частоте В упрощенных расчетах достаточно находить Величина погрешности на сопрягающей частоте для различных x: при x=1 DL=6, x=0,5 DL=0, x=0,1 DL=-14. Если x от 1 до 0.3, то можно не строить точную ЛАЧХ, а доверитmся асимптотической. Примеры колебательных звеньев: двигатели постоянного тока, LRC-цепи, регуляторы Уатта и др. II. Интегрирующие звенья. Идеальное интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение переходная функция передаточная функция Дифференциальное уравнение может быть получено и в такой форме: проинтегрируем это уравнение и получим: Выведем передаточную функцию: - размерность передаточного коэффициента; в частном случае, когда входное воздействие и выходная функция имеют одинаковую размерность, [k]=c-1. Импульсная переходная характеристика: Пример. Двигатель постоянного тока, выходная координата которого - угол поворота ротора a¶. Постоянную времени двигателя принять малой и не учитывать. после интегрирования получим в форме изображений Лапласа III. Дифференцирующие звенья. 1. Идеальное дифференцирующее звено. Дифференциальное уравнение определим передаточную функцию
Дифференциальное уравнение записывают и в такой форме: Пример. Тахогенератор- генератор постоянного или переменного тока, предназначенный для измерения скорости вращения механизмов.
Стат. характ. ТГ Стат. характ. ТГ пост. тока. перем. тока. Тахогенератором пост. тока свойственны пульсации из-за коллектора. Высокий уровень помех и у тахогенераторов переменного тока. Если пренебречь инерционностью тахогенератора, то, считая входом угол поворота вала, выходом напряжение, тахогенератор можно считать идеальным дифференцирующим звеном. Пусть измерительным устройством (датчиком скорости) в проектируемой системе является тахогенератор постоянного тока (рис.1.) При использовании ТГ в качестве датчика угловой скорости в качестве преобразователя угла поворота Рис. 1. - конденсатор; если uc – вход, ic – выход, то конденсатор – идеальное дифференцирующее звено. 2. Форсирующее звено. Дифференциальное уравнение переходная функция передаточная функция Пример. ПД-регудятор. IV. Трансцендентные звенья. Звено чистого запаздывания. (транспортного) u - скорость перемещения ленты; Q1 – подается через шибер, может меняться (вход); Q2 – выход. Время чистого запаздывания . В природе нет ни одного процесса без чистого запаздывания. преобразуем по Лапласу это выражение (теорема запаздывания), получим отсюда Рассмотренные выше наиболее часто встречающиеся на практике основные типы звеньев характеризуются отсутствием корней с положительной вещественной частью характеристических уравнений числителя (т.е. нулей передаточных функций) и знаменателя (т.е. полюсов) называются МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫМИ. Из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками минимально-фазовые звенья обладают наименьшими по абсолютным значениям фазовыми характеристиками; второе их важное свойство – однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик (т.е. по амплитудной характеристике можно определить фазовую и наоборот (при k=1) для приведенных амплитудных характеристик). - неминимально-фазовое звено. В примерах рассматривались звенья, в которых переносчиком информации является постоянный ток. Иногда САУ строятся из звеньев с модулированным сигналом (на несущей переменного тока). Передаточные функции и частотные характеристики систем различной структуры 1. Последовательное соединение звеньев. Пусть тогда а При последовательном соединении звеньев передаточная функция системы равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в систему. Переходная характеристика системы не может быть найдена из переходных характеристик звеньев; она определяется специальными методами. Так как известны передаточные функции звеньев, то известны частотные функции звеньев Wi( jw), тогда Пример 1. Построение АФХ системы, состоящей из 2-х последовательно соединённых звеньев: A1= A11A21; Q1= Q11+Q21; вычисляем A2, Q2; A3, Q3 и т.д. строим АФХ системы. Пример 2. Построить логарифмические характеристики системы, если заданы ЛЧХ двух последовательно соединенных звеньев.
При последовательном соединении звеньев ЛАЧХ системы получается суммированием ЛАЧХ звеньев. Сначала проводят горизонтальную линию с ординатой 20lgk, где Затем отмечают сопрягающие частоты, в этих точках происходит излом результирующей ЛАЧХ.
Допущение: используются звенья направленного действия, т.е. отсутствует обратное действие нагруженного выхода на вход.