СОДЕРЖАНИЕ
Временные и частотные характеристики объекта управления
Выбор закона регулирования
Оптимизация параметров регулирования
Временные и частотные характеристики системы
Устойчивость и оценка качества
Список использованной литературы
ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ.
Временные характеристики.
Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные функции. Графическое представление переходных и импульсных функций называют временными характеристиками. Временные характеристики представляют процессы, происходящие в динамическом и статическом режимах. Переходной функцией h (t) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии, что на вход подано единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h (t) от времени t, называют переходной характеристикой.
Импульсной функцией w (t) называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График зависимости функции w (t) от времени называют импульсной характеристикой.
Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или составной части W (S) и известен входной сигнал X (t), то выходной сигнал y(t) определяется следующим соотношением:
Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t).
Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно , то изображение переходной функции определяется соотношением:
Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на S и выполнять переход от изображения к оригиналу.
Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:
Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.
Так как , то между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость:
Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.
Частотные характеристики САР
В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САР (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.
Если задана передаточная Функция W (S), то путём подставки S = jw получаем частотную передаточную функцию W (jw), которая является комплексным выражением т.е. , где А (w) вещественная составляющая, а К (w) мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:
где – модуль;
– аргумент частотной передаточной функции
Функция М(w), представленная при изменении частоты от 0 до ¥ получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).
Функция j(w), представленная при изменении частоты от 0 до ¥ называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Частотная передаточная функция W(jw) может быть представлена на комплексной плоскости. В этом случае для каждой из частот в диапазоне от 0 до ¥ производится определение вектора на комплексной плоскости и строится годограф вектора. Годограф будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Таким образом, для определенной частоты имеем вектор на комплексной плоскости, который характеризуется модулем М и аргументом j. Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного. Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выходного сигнала по отношению к входному. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.
Для упрощения графического представления частотных характеристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.ч.х.) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (л.ф.ч.х.).
Согласно варианту 110, объект управления представлен следующей передаточной функцией:
Передаточная функция имеет три полюса:
-0,1485 - 0,9371*i; -0,1485 + 0,9371*i; -0,703.
Переходная характеристика.
Вывод: Объект управления устойчивый, переходной процесс сходящийся, колеблющийся. Имеется около 4 колебаний.
Импульсная характеристика.
Вывод: При резком изменении уровня входного сигнала от 1 В до 0 В, выходной сигнал уменьшается до 0 В за время, приблизительно равное 36 с, при этом имеется около 4 колебаний.
Частотные характеристики.
Вывод: При частоте меньшей 0,1 с-1 сдвиг фазы составляет 0°. При увеличении частоты от 0,1 с-1 до 1 с-1 сдвиг фазы увеличивается до –270о. При частоте 1,5 с-1 сдвиг фазы составляет -180°.
ВЫБОР ЗАКОНА РЕГУЛИРОВАНИЯ.
Для выбора закона регулирования воспользуемся следующей моделью САР.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
Приведем перечень основных этапов, которые необходимо выполнить в среде ПК «МВТУ» для реализации режима работы ОПТИМИЗАЦИЯ:
· задать варьируемые параметры как глобальные параметры, используя соответствующие интерфейсные процедуры;
· сформировать локальные критерии оптимизации, которые необходимы для решения основной задачи оптимизации;
· ввести в диалоговые окна режима ОПТИМИЗАЦИЯ требуемые данные, включая:
· имена варьируемых параметров, пределы их изменения и погрешность расчета;
· имена локальных критериев и допустимые пределы их значений;
· расчетный метод оптимизации и его параметры.
Этап 1. Задание варьируемого параметра как глобального.
Процедура задания глобального пара метра выполняется в окне Редактора Глобальных параметров Проекта (Субмодели).
Открыв окно Редактора Глобальных параметров Проекта (Субмодели), введите поле окна:
ks = 1; kp = 1;
Изменим значение коэффициентов усиления, введя вместо числа параметры ks (для интегратора), kp (для усилителя).
Этап 2. Формирование локальных критериев оптимизации.
Применим блоки Максимум (библиотека Нелинейные звенья) и В память. В диалоговом окне блока В память в строке Имя переменной введите ymax.
Вставим субмодель time_p_p.sub (поставляется с ПК “МВТУ”).
Установим величину трубки в 5 %
Субмодель “Измеритель” времени ПП реализует измерение времени переходного процесса и автоматическое присвоение этого значения переменной tpp.
Этап 3. Задание параметров оптимизации.
Зададим переменные ks, kp как оптимизируемые параметры. Минимальным значением для них укажем ноль, максимальным – 100. Критериями примем tpp и ymax. Максимальное значение tpp положим равным двум секундам, минимальное – нулю. Для ymax минимальное значение равно нулю, максимальное – единице.
Выберем Поиск-2 в качестве метода оптимизации. Хотя он и является одним из простейших алгоритмов прямого поиска минимума функционала, но обладает высоким быстродействием и эффективностью, особенно, в учебных задачах.
Выберем вид общего критерия Квадратичный. Он определяет, что локальные критерии (tpp и ymax) будут свернуты в Глобальный критерий с использованием квадратичной формы, причем значения весовых коэффициентов будут рассчитаны автоматически по ограничениям и точности для параметра К и локальных критериев.
Этап 4. Проведение оптимизационного расчета.
Произведём расчёт. В конце расчёта получим окно с результатами: ks=0.4; kd=7.2831; t=0.77356;
Структурная схема нашей системы автоматического регулирования приведена на рис. 1.
Рис. 1
ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ.
Переходная характеристика и ошибка
Корневой годограф
УСТОЙЧИВОСТЬ И ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА.
Основные условия устойчивости.
Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия. Это поведение описывается свободной составляющей решения дифференциального уравнения, которое описывает систему. Если свободная составляющая рабочего параметра объекта управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами – устойчивость системы это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.
Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:
.
Решение уравнения (4.1) представляет собой сумму слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения:
Если система представлена в виде передаточной функции, то для анализа устойчивости используется ее собственный оператор (знаменатель передаточной фикции).
Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.
Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.
С целью упрощения анализа устойчивости систем разработано ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные – графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость.
Частотный критерий устойчивости Найквиста.
Данный критерий позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы оценить устойчивость системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами.
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охватывала точку с координатами (–1; j0). Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (–1; j0), то система будет нейтральной.
Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.
Оценки качества регулирования.
Кроме устойчивости САР анализируются с точки зрения качества регулирования. В общем случае качество регулирования представляет собой совокупность точности в установившемся режиме и качества переходных процессов.
Оценки качества могут быть прямыми и косвенными. В свою очередь прямые и косвенные могут быть статическими и динамическими. Динамические оценки характеризуют переходной процесс, а статические – установившийся режим.
Прямые оценки определяются непосредственно по переходной характеристике по каналу управления или возмущения.
Если переходная характеристика представляет собой затухающие колебания, то система считается устойчивой. При этом допускается не более 2-3 колебаний. К основным прямым оценкам относятся следующие: s - регулирование, tp – время регулирования, e – декремент затухания, w – частота колебаний, n – число колебаний, которое имеет переходная характеристика за время регулирования tp, tH - время нарастания переходного процесса, tmax - время достижения первого максимума.
Перерегулирование есть разность между максимальным значением hmax1 переходной характеристики и её установившимся значением, выраженная в процентах:
В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование не превышало 10 – 30%.
Время регулирования оценивает длительность переходного процесса. Так как теоретически длительность переходного процесса идеальных систем равно ¥, за время регулирования принимается тот интервал времени, по истечении которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения не превышает некоторой заданной величины q. Значение q выбирают обычно равным 5%.
При заданных значениях s и tp переходная характеристика не должна выходить из определенной области, которая называется областью допустимых отклонений.
В статическом режиме САР оценивается коэффициентом статизма (астатизма):
где x – задание; yуст – установившееся значение рабочего параметра.
Рассмотренные выше оценки качества относятся к прямым. Вместе с тем существуют косвенные, среди которых наибольшее распространение получили интегральные оценки. Существует две разновидности интегральной оценки: линейная и квадратичная. Численно линейная интегральная оценка равна площади, ограниченной кривой ошибки иди разности Х – Y. Значение Y берется в пределах временного интервала от 0 до tp. Линейная интегральная оценка определяется следующим выражением:
Эта оценка может быть применена только при монотонных переходных процессах при отсутствии колебаний.
Квадратичная интегральная оценка применяется как при монотонных, так и при колебательных переходных процессах и определяется следующим соотношением:
Недостаток квадратичной интегральной оценки заключается в том, что различные по характеру переходные процессы могут иметь одну и ту же величину оценки.
Оценки качества.
Время нарастания: tн = 50с
Время регулирования: tp = 50c
Число колебаний за время регулирования: n = 4
Время достижения максимума: tmax = 34c
hmax = 0,99B
hmin = 0,6B
s = 1%.
Устойчивость системы:
По годографу Найквиста видно, что АФЧХ разомкнутой системы не обхватывает точку (-1; j0). Следовательно, система является устойчивой. Запас устойчивости по амплитуде составляет 4 ДБ. Запас устойчивости по фазе составляет 175°.
СПИСОК ИЗПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1) Г. П. Малай – «Проектирование систем автоматического регулирования на персональном компьютере».
2) Г. П. Малай – «Теоретические основы систем автоматического управления и регулирования».
3) Г. П. Малай – «Лабораторные работы по ТАУ».
4) Краткая инструкция пользователя пакета МВТУ.