Рассмотрим параллельные прямые а, b и точку О. Через точку О проведём прямые α, β, γ, δ, пересекающие пару прямых а и b. Соединим точки пересечения попарно так, как показано на рис. 1 (зелёный цвет). Оказывается, что точки пересечения последних прямых (обведённые зелёными кружочками) лежат на одной прямой (красный цвет).
Докажем это. В трапеции АВСD треугольники АМD и ВМС подобны. Высоты, проведённые к сторонам АD и ВС, относятся так же, как сами эти стороны. А они, в свою очередь относятся как АО и ВО – из подобия треугольников ОАD и ОСВ, или, что то же самое, как расстояния от точки О до прямых а и b. Поскольку прямые ОА и ОD произвольные, то утверждение доказано: то есть, каковы бы эти прямые ни были, точка М будет находиться на одном и том же расстоянии от а и b.
Ещё одно доказательство: методом координат (рис. 2).
Пусть данные параллельные прямые – это у = d1 и у = d2, точка О – начало координат; вместо четырёх прямых α, β, γ, δ ограничимся только двумя: y = k1x и y = k2x ( как будет видно в дальнейшем, этого достаточно).
Найдём координаты точек пересечения прямых А, В, С, D.
уA = d2, хА = yB = d1, xB = yC = d1, xC = yD = d2, xD =
Уравнение прямой АВ: или
y(d2k2 – d1k1) = k1k2(d2 – d1)x – k1d1d2 + k2d1d2. (•)
Уравнение прямой СD: или
y(d1k2 – d2k1) = k1k2(d1 – d2)x – k1d1d2 + k2d1d2. (••)
Теперь найдём координаты точки пересечения прямых АВ и СD – точка М (впрочем, достаточно только ординаты). Для этого сложим почленно уравнения (•) и (••), после чего получим
уМ =
Как видим, ордината точки М не зависит от углов наклона прямых у = k1x и y = k2x, а зависит лишь от расстояния между прямыми у = d1 и y = d2 и от расстояния до них от точки О. Это значит, что какие бы мы прямые не провели из точки О, точки пересечения ЗЕЛЁНЫХ прямых будут находиться на одном и том же расстоянии от параллельных прямых, т.е. лежать на одной прямой, причём, параллельной исходным параллельным прямым.
Можно также заметить, что результат не изменится, если точку О брать между параллельными прямыми. Если, скажем, нижняя прямая проходит в нижней полуплоскости, то величина d1 будет отрицательной, и значение уМ может оказаться отрицательным: всё будет зависеть от того, к какой из параллельных прямых точка О будет ближе. Главное же заключается в том, что при этом четырёхугольник АСВD (рис. 2) станет самопересекающимся: диагонали и две стороны поменяются местами, в силу чего красная прямая будет располагаться не между данными параллельными прямыми, а вне их (рис. 2‛).
Единственный случай, когда бы мы не получили красной прямой, - это если бы точка О была ровно посредине между данными параллельными прямыми. Тогда четырёхугольник АDВС стал бы параллелограммом, и зелёные прямые не пересеклись бы.
Что будет, если вместо параллельных прямых а и b взять пересекающиеся прямые? Эксперимент показывает (рис. 3), что и в этом случае точки пересечения зелёных прямых лежат на одной прямой. Однако доказать это с помощью подобий или методом координат не так-то просто.
Обратимся к методу центральной проекции. Даны две плоскости α и β, точка О – центр проекции (рис. 4). Пусть на плоскости α имеется фигура А. Если прямые, проходящие через точку О (назовём их проецирующими), проходят через фигуру А и пересекают плоскость β, то на плоскости β образуется фигура В – образ фигуры А в центральной проекции. Можно наоборот: фигуру А называть образом фигуры В в той же проекции. Если одна из указанных прямых пересекает обе плоскости в двух различных точках, то одну из них можно называть образом другой. Может оказаться, что для некоторых точек одной плоскости не найдётся образов в другой. Это будет, если проецирующая прямая параллельна какой-нибудь плоскости. Понятно, что все такие «безо́бразные» точки располагаются на прямой, параллельной другой плоскости. Если эта прямая проходит через фигуру А, то её образ будет разорван: одна часть фигуры В будет по одну сторону от прямой пересечения плоскостей, другая – по другую.
Очевидно, что если прямая не «безо́бразная», то она отображается в прямую: все прямые, проходящие через точку О и одновременно через данную прямую, образуют плоскость, пересекающую другую плоскость по прямой, которая и будет образом данной. Правда, если данная прямая пересекает «безо́бразную» прямую, то у её образа будет на одну точку «больше», так как для точки пересечения образа не существует. Если две прямые в плоскости α пересекаются не на «безо́бразной» прямой, их образы будут также пересекающимися прямыми: в той точке будет пересекать плоскость β прямая пересечения плоскостей, проходящих через точку О и каждую из данных прямых.
Поставим важный для нашей задачи вопрос: могут ли параллельные прямые отобразиться в пересекающиеся? Обратимся к рис. 5.
Пусть плоскости α и β перпендикулярны, центр проекции – точка Р – конец перпендикуляра РА к плоскости β, прямые а и b (зелёный цвет), лежащие в плоскости α, параллельны между собой и перпендикулярны плоскости β. Тогда образы а и b – пересечение плоскостей, проходящих через точку Р и каждую из прямых а и b, с плоскостью β – красные прямые. И эти красные прямые пересекаются в точке А.
Заметим, что зелёные прямые можно считать образами красных.
Теперь мы можем решить задачу (см. рис. 3) о принадлежности точек пересечения зелёных прямых одной прямой (красный цвет) в случае, когда прямые а и b пересекаются.
Обратимся к рис. 6. пусть прямые а и b, лежащие в плоскости β, пересекаются. Из точки О, лежащей в той же плоскости, выходят четыре прямые, пересекающие а и b. Точки пересечения попарно соединены зелёными прямыми. Нас интересует: лежат ли точки пересечения последних на одной прямой?
Сделаем так, чтобы прямые а и b стали образом параллельных прямых – прямые синего цвета в плоскости α. При этом четыре прямые, выходящие из точки О будут образом четырёх прямых, выходящих из точки О΄ и пересекающих синие прямые. Зелёные прямые плоскости β – образ зелёных прямых плоскости α. Как мы уже знаем, точки пересечения зелёных прямых в плоскости α лежат на одной прямой. А поскольку прямая отображается в прямую, то и в плоскости β точки пересечения зелёных прямых лежат на одной прямой. Легко понять, что эта прямая проходит через точку А.
Важным моментом здесь является то, что проецирование с плоскости α на плоскость β происходит ПО ОДНУ СТОРОНУ от «безо́бразных» прямых – в нашем случае это верхняя кромка плоскости α и левая кромка плоскости β.
Как показывают наблюдения, если параллельные или пересекающиеся прямые заменить окружностью, то получается тот же результат (рис. 7): вновь образуется прямая, содержащая точки пересечения зелёных прямых.
Как мы покажем далее, образом окружности при центральной проекции могут быть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола. Значит, если наше наблюдение будет доказано для окружности, то тем самым оно будет доказано и для других трёх фигур.
Пусть точка М'(х'; z) окружности, расположенной в плоскости α, отображается в точку М(х; у), расположенную в плоскости β (рис. 8). Плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Центр проекции – точка Р перпендикуляра РА к плоскости α. Длина РА равна «h». Расстояние от основания перпендикуляра до прямой пересечения плоскостей АО равно «а». Пусть окружность имеет радиус «R» и касается прямой пересечения плоскостей в точке О. Тогда её уравнение (x')2 + (z – R)2 = R2.
Из подобия треугольников Ару и Оzy а из подобия треугольников АОх' и АуМ
Из первого равенства выражаем из второго
Подставляем в уравнение окружности:
После преобразований а2х2 + (у(h – R) – aR)2 = R2(a + y)2,
a2x2 + (h – R)2y2 – 2aR(h – R)y = 2aR2y + R2y2,
a2x2 + (h2 – 2hR)y2 – 2aRhy = 0, (•)
a2x2 + (h2 – 2hR)(y2 – 2yּ) = 0.
Выражение с переменной «у» дополним до полного квадрата.
a2x2 + (h2 – 2hR)(y2 – 2yּ+ ()2) =
И, наконец, (••)
При h > 2R (когда горизонтальный проецирующий луч проходит выше окружности) это уравнение эллипса. Эллипс, как образ окружности, легко можно представить и увидеть на рис. 9.
Если h
Если же h = 2R, то уравнение (•) превратится в у = , что задаёт параболу, изображённую красным цветом на рис. 11.
Теперь докажем, что в случае с окружностью точки пересечения зелёных прямых лежат на одной прямой.
Воспользуемся методом координат (рис. 12).
Пусть центр окружности радиуса R располагается в точке (а; 0), причём, а > R, таким образом, её уравнение (х – а)2 + у2 = R2.
И пусть прямые, пересекающие окружность, выходят из начала координат. Как будет видно в конце, достаточно ограничиться только двумя из них: у = k1x и y = k2x. Точки пересечения прямых с окружностью соответственно А, В, С, D.
Подставим в уравнение окружности вместо «у» выражение k1x:
(k12 + 1)x2 – 2ax + a2 – R2 = 0.
Решив это уравнение относительно переменной х, получим абсциссы точек А и В: xA,B = yA,B = k1 где знак «+» соответствует точке А, а «–» точке В,
D1 = a2 – (a2 – R2)(k12 + 1).
Аналогично хС, D = yC,D = k2 где знак «+» соответствует точке C, а «–» точке D, D2 = a2 – (a2 – R2)(k22 + 1).
Составим уравнение прямой АD, зная координаты точек А и D.
или Подставим соответствующие значения:
Умножив и разделив выражение на сопряжённое, получим , аналогично
Подставив это в выражение для у, получим:
, после сокращений
Это и есть уравнение АD.
Составим уравнение СВ. Его можно получить из уравнения АD простой переменой индексов.
Приравнивая правые части, находим абсциссу точки пересечения зелёных прямых:
или, окончательно,
Как видим, абсцисса точки пересечения в независимости от угловых коэффициентов k1 и k2 одна и та же: какие бы мы секущие из точки О ни проводили, точки пересечения зелёных прямых располагаются таким образом, что их абсциссы неизменны, то есть, в нашем случае на вертикальной прямой. Приближая секущие к положению касательной, естественно предположить, что эта прямая соединяет точки касания касательных, проведённых из начала координат. Действительно, из подобия прямоугольных треугольников откуда
Что бы изменилось, если бы точка О была внутри окружности? В вычислениях – ничего. Геометрически – четырёхугольник АВDС, как и в случае с параллельными прямыми, стал бы самопересекающимся: в нём диагонали и две стороны поменялись бы местами. Но прямые AD и ВС пересекались бы на одной прямой (рис. 12‛), перпендикулярной к прямой, проходящей через точку О и центр окружности.
Случай, когда зелёные прямые не пересекаются, - если точка О является центром окружности.
Вспомним, во что отображается окружность при центральной проекции: либо в эллипс, либо в гиперболу, либо в параболу. Доказательство следующего вывода нисколько не будет отличаться от случая с пересекающимися прямыми.
Пусть через точку О проходят прямые, пересекающие либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу; соединим точки пересечения попарно прямыми, и если эти прямые пересекаются, то точки пересечения лежат на одной прямой, за исключением случая, когда точка О является центром эллипса или гиперболы.
Случай с эллипсом представлен на рис. 13.