Исследование функции с помощью производной

План.
Стр. Введение. 3 Глава I. Развитие понятия функции. 4 Глава II. Основные свойства функции. 7 2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции. 7
2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции). 8 2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10 Глава III. Исследование функций. 12 3.1. Общая схема исследования функций. 12 3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12 3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13 3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14 Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15 Заключение. 22 Список литературы 23 Введение. Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной. Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций. Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи: - систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели; - усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций. Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики. Работа над содержанием темы «Исследование функций с помощью производной» повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом. Глава I. Развитие понятия функции. Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса. Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач. Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных. Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы. Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли : «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки». В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам. Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом. Глава II. Основные свойства функции. 2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции. Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики. Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.
Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x). Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический. Аналитический – с помощью формул. Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.
Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции. Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f. Пример 1. Найти область определения функции y=lg (2x-3) y=lg(2x-3) D(y): 2x-3>0 2x>3 x>1,5 Ответ: D(y)=(1,5; +∞ ). Одним из понятий для исследования функции является нули функции. Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля. Пример 2. Найти нули функции y=x2-5x. y=x2-5x D(y)=R По определению : y=0, тогда x2-5x=0 x(x-5)=0 x=0 или x=5 Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5. Пример 3. Найти нули функции y=4x-8 y=4x-8 D(y)=R По определению: у=0, тогда 4х-8=0 4x=8 x=2 Ответ: нулями этой функции является точка х=2. 2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции). Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные. Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x. y=2cos2x, D(y)=R y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная. Пример 5. Определить вид функции y=x4-2x2+2. y=x4-2x2+2, D(y)=R. y(-x)=(-x)4-2(-x)2+2=x4-2x2+2=y(x) – четная. Определение:Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x. y=2sin2x, D(y)=R y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная. Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x. y=3x+1/3x y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная. Пример 4. Пример 5. Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T). Пример 8. Определить период функции y=cos2x. cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2π, т.е. Т=π. Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох. Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x. f(x)=sin2x, sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π. 2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы. Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2>х1 , выполнено неравенство f(x2)>f(x1). Функция f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2>х1 , выполнено неравенство f(x2)Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (xmin) и максимума (xmax). Точка х0 называется точкой максимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x0). Точка х0 называется точкой минимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≥ f(x0). Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума. Пример 10. Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x2+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции. y=x2+2x, D(y)=R y’=(x2+2x)’=2x+2 y’=0, т.е. 2х+2=0 2х=-2 х=-1 Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки. - + -1 min x=-2, y’=-4+2 x=0, y’=0+2>0 Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х=-1, это точка минимума функции. Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1]. Точки экстремума: xmin= -1 Экстремумы функции: ymin=y(-1)=1-2= -1 Глава III. Исследование функций. 3.1. Общая схема исследования функций. Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования: 1) D(y) – область определения (область изменения переменной х) 2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у) 3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида. 4) Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности). 5) Промежутки знакопостоянства: а) функция принимает положительное значение : f(x)>0 б) отрицательное значение : f(x)6) Промежутки монотонности функции: а) возрастания; б) убывания; в) постоянства ( f=const). 7) Точки экстремума (точки минимума и максимума) 8) Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума) 9) Дополнительные точки. Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции. Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции. 3.2. Признак возрастания и убывания функций. Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции. Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции.
Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы. Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х1 и х2 этого интервала из условия х1f(x2), то функция называется убывающей на этом интервале.
Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале. Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства. Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)
3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. Определение точек экстремума функции. Пусть х0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x0- δ, x0+ δ [ точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x0) (неравенство f(x)≥f(x0)), точка х0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции. Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции. Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции. Теорема Ферма. Если х0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x0)=0. Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х0 функция имеет экстремум. Определение критических точек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Достаточные условия существования экстремума. Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f ‘(x)>0 на интервале [a, x0] и f ‘(x)Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f ‘(x)0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой минимума функции f(x). Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума. 3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. Пример 11. Исследовать функцию y=x3+6x2+9x и построить график. y=x3+6x+9x 1) D(y)=R 2) Определим вид функции: y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+6x2-9x функция общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y. Ox: y=0, x3+6x2+9x=0 x(x2+6x+9)=0 x=0 или x2+6x+9=0 D=b2-4ac D=36-36=0 D=0, уравнение имеет один корень. x=(-b+D)/2a x=-6+0/2 x=-3 (0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х. 4) Найдем производную функции: y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9 5) Определим критические точки: y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0 сократим на 3 x2+4x+3=0 D=b2-4ac D=16-12=4 D>0, уравнение имеет 2 корня. x1,2=(-b±√D)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2 x1=-1 x2=-3 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: 0 -4 + - + -3 -1 x=-4, y’=3*16-48+9=9>0 x=-2, y’=12-24+9=-3 x=0, y’=0+0+9=9>0 7) Найдем xmin и xmax: xmin=-1 xmax=-3 8) Найдем экстремумы функции: ymin=y(-1)=-1+6-9=-4 ymax=y(-3)=-27+54-27=0 9) Построим график функции: 10)Дополнительные точки: y(-4)=-64+96-36=-4 Пример 12. Исследовать функцию y=x2/(x-2) и построить график y=x2/(x-2)=x+2+4/(x-2) Найдем асимптоты функции: x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота _x2 x-2 x2-2x x+2 _2x 2x-4 4 y=x+2 – наклонная асимптота, т.к. lim 4/(x-2)=0 x→∞ Найдем область определения. 1) D(y)=R \ {2} 2)Определим вид функции. y(-x)=(-x)2/(-x-2)=x2/(-x-2), функция общего вида. 3)Найдем точки пересечения с осями. Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y. Ox: y=0, x2/(x-2)=0 x3-2x2=0 x2(x-2)=0 x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-4x-x2)/(x-2)2=(x(x-4))/(x-2)2=(x2-4x)/(x-2)2 5) Определим критические точки: x2-4x=0 x(x-4)=0 y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 (x-2)2≠ 0 x≠ 2 x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2 x(x-4)=0 x=0 или x=4 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции. 0 8 + - - + 0 2 4 x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0 x=1, y’=(1-4)/1=-3 x=3, y’=(9-12)/1=-3 x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0 7) Найдем точки минимума и максимума функции: xmin=4 xmax=0 8) Найдем экстремумы функции: ymin=y(4)=16/2=8 ymax=y(0)=0 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9 y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9 Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x2+3) и построить график. 1) Найдем область определения функции: D(y)=R 2) Определим вид функции: y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+1))/(x2-3) – функция общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: Oy: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.
(6(x-1))/(x2+3)=0 Ox: y=0, x2+3≠ 0 6x-6=0 6x=6
x=-1 (1;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=(6(x-1)/(x2+3))’=6(x2+3-2x2+2x)/(x2+2)2=-6(x+1)(x-3)/(x2+3)2 5) Определим критические точки: y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2=0 -6(x+1)(x-3)=0 y’=0, если х1=-1 или х2=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки. 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: -3 2 - + - -1 3 x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)2=-30/49 x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)2=2>0 x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)2=-30/361 7) Найдем точки минимума и максимума: xmin=-1 xmax=3 8) Найдем экстремумы функции: ymin=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3 ymax=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2 y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77 Пример 14. Исследовать функцию y=x ln x и построить ее график: 1) Найдем область определения функции: y=x ln x D(y)=R+ (только положительные значения) 2) Определим вид функции: y(-x)=-x ln x - общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: Oy, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет. Ox: y=0, то есть x ln x=0 x=0 или ln x=0 0 ¢ D(y) x=e0 x=1 (1;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1 5) Определим критические точки: y’=0, то есть ln x +1=0 ln x=-1 x=e-1 x=1/e (≈ 0,4) y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e – критическая точка. 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: -1/e - + 1/e x=1/(2e); y’=log(2e)-1+1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2 x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0 7) 1/e – точка минимума функции. 8) Найдем экстремумы функции: ymin=y(1/e)=1/e ln e-1=-1/e (≈ -0,4). 9) Построим график функции: Заключение. Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки. Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме. Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему.
Список литературы. 1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983. 3. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888. 4. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974. 5. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980. 6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, 1993.