Оглавление:
Введение . 2
1. Общая схема методов спуска . 3
2. Метод покоординатного спуска 4
3. Градиентные методы 7
3.1 Обзор градиентных методов 7
3.2 Ограничения, накладываемые на функцию . 9
3.3 "Овражный" характер функции . 10
Список литературы 15
Введение
Оптимизационная задача в евклидовом пространстве представляет собой отыскание наименьшего или наибольшего значения некоторой скалярной функции , , на заданном множестве .
Эта задача записывается следующим образом
(1)
Задача (1) называется задачей без ограничений или задачей безусловной оптимизации, если и задачей с ограничениями или задачей условной оптимизации, если .
Решить задачу (1) означает найти точку (а также соответствующее значение ) такую, что () или установить неразрешимость этой задачи. Решение называют оптимальным, а значение - оптимумом функции на множестве .
Задачи , и , называют соответственно задачей минимизации и максимизации функции на множестве .
Отметим, что задачу максимизации функции можно свести к задаче минимизации, заметив, что на .
Рассмотрим задачу безусловной минимизации
. (2)
Основным недостатком аналитических методов оптимизации является сложность их практической реализации. Для его преодоления разработаны специальные численные методы, позволяющие построить последовательность точек (3)
удовлетворяющих условию
(4)
Методы построения таких последовательностей принято называть методами спуска. Универсального метода (алгоритма) решения любой задачи оптимизации не существует.
1. Общая схема методов спуска
Все методы спуска решения задачи безусловной минимизации различаются либо выбором направления спуска, либо способом движения вдоль направления спуска. Это позволяет написать общую схему методов спуска.
При построении последовательностей (3)-(4) применяют следующую схему. Пусть на -й итерации имеется точка . Тогда выбирают направление спуска и длину шага вдоль этого направления . Следующую точку последовательности определяют по формуле
,
Согласно этой формуле, величина продвижения из точки в точку зависит как от , так и от . Однако традиционно называют длиной шага.
Формально различные методы спуска отличаются друг от друга способом выбора числа и вектора . Если для определения и требуется вычислять только значения целевой функции, соответствующие методы называют методами нулевого порядка или методами поиска. Методы первого порядка требуют, кроме того, вычисления первых производных целевой функции. Если же метод предполагает использование и вторых производных, то его называют методом второго порядка и т. д.
С помощью методов нулевого порядка можно решать задачи более широкого класса, чем с помощью методов первого или второго порядка. Однако методы нулевого порядка, как правило, требуют больших вычислений для достижения заданной точности, поскольку использование только значений целевой функции не позволяет достаточно точно определить направление на точку минимума.
Важнейшей характеристикой любых методов спуска является их сходимость. Сходимость здесь понимается в том смысле, что последовательность должна сходиться к точке глобального (локального) минимума. Однако точки минимума могут составлять целое множество, и многие алгоритмы позволяют построить последовательность , которая сама не является сходящейся, но любая ее сходящаяся подпоследовательность имеет в качестве предельной некоторую точку минимума. В этом случае говорят, что каждая предельная точка последовательности является точкой минимума. С помощью подобных алгоритмов можно строить последовательности точек, сколь угодно близко приближающихся ко множеству точек минимума.
Возможен случай, когда ничего определенного сказать и о сходимости последовательностей нельзя, однако известно, что соответствующая последовательность значений функции сходится к минимальному значению (локальному или глобальному минимуму). Тогда говорят, что последовательность сходится к минимуму по функции. Кроме того, существуют еще более слабые типы сходимости, когда, например, последовательность (каждая ее подпоследовательность) имеет в качестве предельной стационарную точку (т.е. точку, в которой градиент равен нулевому вектору), являющуюся лишь «подозрительной на оптимальную».
Как правило, тип сходимости одного и того же метода зависит от конкретного вида целевой функции, т.е. в разных задачах метод может сходиться по-разному. При достаточно жестких требованиях к функции с помощью метода можно строить последовательность, сходящуюся в точке глобального минимума. Если же этот метод применить к функциям, не удовлетворяющим этим требованиям, то может быть получена последовательность, сходящаяся только по функции, либо последовательность, не являющаяся сходящейся ни в каком смысле.
Методы спуска в силу условия монотонности (4) обычно не приводят к точке локального (глобального) максимума.
Отметим, что даже в тех случаях, когда нет сходимости ни в одном смысле, последовательное уменьшение значения целевой функции может представлять практический интерес.
2. Метод покоординатного спуска
Согласно этому методу, направление спуска выбирают параллельным координатным осям. Сначала осуществляют спуск вдоль первой оси , затем – вдоль второй - и т.д. до последней оси .
Обозначим -й орт пространства через , т.е. вектор, у которого все координаты нулевые, кроме -й, равной единице. Пусть - начальная точка и - некоторое положительное число. Точку определяют следующим образом. Вычисляют значение функции при и проверяют выполнение неравенства
(5)
Если это неравенство справедливо, то вдоль направления оси значение функции уменьшилось и поэтому полагают
, .
Если (5) не имеет места, то делают шаг в противоположном направлении, т.е. проверяют неравенство
. (6)
В случае выполнения этого неравенства полагают
, .
Возможно, что оба неравенства (5) и (6) окажутся невыполненными. Тогда следует считать , .
Второй шаг производят вдоль координатной оси : если
,
то полагают
, .
Если же последнее неравенство не имеет места, то проверяют неравенство
И в случае его выполнения считают
, .
Если ни одно из двух неравенств не выполняется, то полагают
, .
Так перебирают все направлений координатных осей. На этом первая итерация закончена; на -м шаге будет получена некоторая точка . Если при этом , то, аналогично, начиная с осуществляют вторую итерацию. Если же (это имеет место в том случае, когда на каждом шаге ни одно из пары проверяемых неравенств не окажется выполненным), то величину шага следует уменьшить, взяв, например, , и в следующей итерации использовать новое значение величины шага.
Последующие итерации производят аналогично. На практике вычисления продолжают до тех пор, пока не выполнится некоторое условие окончания счета. Часто используют следующие условия:
или , (7)
где и - заданные положительные числа, характеризующие точность решения исходной задачи минимизации.
На рис. 1 изображены несколько линий уровня некоторой функции двух переменных и проиллюстрирован описанный метод.
Рис. 1
Сходимость метода покоординатного спуска устанавливает следующее утверждение.
Пусть функция определена, выпукла и непрерывно дифференцируема на , причем начальная точка выбрана так, что множество ограничено. Тогда каждая предельная точка последовательности, построенной по методу покоординатного спуска, является точкой глобального минимума.
Заметим, что сходимость гарантируется, если начальная точка выбрана надлежащим образом.
Рассматриваемый метод относится к классу методов нулевого порядка и для его реализации не требуется вычислять производные. Однако в условиях сформулированного утверждения имеется требование непрерывной дифференцируемости . Примеры показывают, что если метод покоординатного спуска применять к функциям, не удовлетворяющим этому требованию, то точка минимума может быть не получена.
Иногда, стремясь ускорить сходимость метода, величину подбирают так, чтобы при переходе от к вдоль направления спуска обеспечивалось наибольшее возможное убывание целевой функции. Другими словами, находят из условия минимума функции одной переменной :
,
Где номер определяется номером шага . Такой выбор приводит к меньшему числу шагов для достижения заданной точности. Однако выполнение каждого шага сопряжено с решением задачи минимизации функции одной переменной, что приведет к дополнительным вычислениям. Кроме того, нахождение точного значения в этой задаче не всегда возможно; если же вместо точного значения использовать приближенное, то может нарушаться условие убывания .
Блок-схема поиска минимума функции методом покоординатного спуска.
3. Градиентные методы
Ненулевой антиградиент указывает направление, небольшое перемещение вдоль которого из приводит к значению функции меньшему, чем . Это замечательное свойство антиградиента лежит в основе градиентных методов, согласно которым на -й итерации полагают , т.е.
, , .
Рис. 2.
3.1. Эти методы отличаются друг от друга способом выбора величины шага .
1) На практике нередко довольствуются нахождением какого-либо , обеспечивающего условие монотонности:
. (8)
С этой целью задаются какой-либо постоянной и на каждой итерации берут . При этом для каждого проверяют условие монотонности, и в случае его нарушения дробят до тех пор, пока не восстановится монотонность метода. Время от времени полезно пробовать увеличить с сохранением условия монотонности.
2) Часто величину рекомендуют выбрать так, чтобы имело место более жесткое условие убывания, чем (8):
, (9)
Где - некоторая фиксированная константа. Здесь также сначала фиксируют некоторое (например, ), одинаковое для всех итераций, а затем при необходимости уменьшают его до тех пор, пока не будет выполнено неравенство (8).
3) В методе наискорейшего спуска (рис. 3) величину определяют в результате минимизации функции одной переменной :
. (10)
Функция в точке достигает минимума, поэтому ее производная в этой точке равна нулю:
Последнее равенство означает ,что направление спуска на -й итерации ортогонально направлению спуска на предыдущей -й итерации (рис. 3). Таким образом, кривая движения по методу наискорейшего спуска представляет собой ломаную, соседние звенья которой взаимно ортогональны, причем звено, соединяющее и , лежит в гиперплоскости, касательной к поверхности уровня .
Рис. 3.
4) Возможно априорное задание величин из условий
, ; , . (11)
Например, в качестве можно взять , где , а число таково, что . В частности, если , , то получим . Такой выбор в (8) очень прост для реализации, но не гарантирует выполнения условия монотонности и, вообще говоря, сходится медленно.
5) В тех случаях, когда заранее известна нижняя грань , в (8) можно принять
- это абсцисса точки пересечения прямой с касательной к кривой в точке .
Допустим, что какой-либо способ выбора в (8) уже выбран. Тогда на практике итерации (8) продолжают до тех пор, пока не выполнится некоторый критерий окончания счета. Здесь часто используются условие (7), а также критерий , где - фиксированная точность вычислений. Иногда заранее задают число итераций; возможны различные сочетания этих и других критериев. Разумеется, к этим критериям окончания счета надо относиться критически, поскольку они могут выполняться и вдали от искомой точки минимума. К сожалению, надежных критериев окончания счета, которые гарантировали бы получение решения задачи минимизации с требуемой точностью, и применимых к широкому классу задач, пока нет. Сделанное замечание о критериях окончания счета относится и к другим излагаемым методам.
В теоретических вопросах, когда исследуется сходимость метода, предполагается, что процесс (8) продолжается неограниченно и приводит к последовательности . Здесь возникают вопросы, будет ли полученная последовательность минимизирующей для задачи минимизации, будет ли она сходиться к множеству точек минимума
,
Или, иначе говоря, выполняются ли соотношения
, ?
Для положительного ответа на эти вопросы на функцию , кроме условия непрерывной дифференцируемости на , приходится накладывать дополнительные более жесткие ограничения.
Блок-схема метода наискорейшего спуска
3.2. Подробнее рассмотрим эти вопросы для методов 2 и 3 (наискорейшего спуска).
Пусть функция ограничена снизу, непрерывно дифференцируема на и ее градиент удовлетворяет условию Липшица:
для всех , ,
где - некоторая фиксированная константа. Кроме того, пусть выбор величины шага производится на основе условия (9) или (10). Тогда, какова бы ни была начальная точка , оба градиентных метода приводят к построению последовательности , обладающей свойством .
Если, кроме того, функция дважды непрерывно дифференцируема и существуют такие числа , что
для всех , , (12)
То для обоих указанных градиентных методов последовательность будет сходиться к точке глобального минимума.
Первая часть утверждения гарантирует сходимость лишь в смысле , т.е. сходимость по функции либо к точной нижней грани , либо к значению функции в некоторой стационарной точке . При этом сама точка не обязательно является точкой локального минимума; она может быть точкой седлового типа. Однако на практике подобная ситуация маловероятна и применение градиентных методов, как правило, позволяет получить приближенное значение минимума целевой функции.
3.3. Рис. 4 а) и б) показывают, а теоретические исследования и численные эксперименты подтверждают, что метод наискорейшего спуска и другие варианты градиентного метода медленно сходятся в тех случаях, когда поверхности уровня функции сильно вытянуты и функция имеет так называемый «овражный» характер. Это означает, что небольшое изменение некоторых переменных приводит к резкому изменению значений функции – эта группа переменных характеризует «склон оврага», а по остальным переменным, задающим направление «дна оврага», функция меняется незначительно (на рис. 4 б) изображены линии уровня «овражной» функции двух переменных). Если точка лежит на «склоне оврага», то направление спуска из этой точки будет почти перпендикулярным к направлению «дна оврага», и в результате приближения , получаемые градиентным методом, будут поочередно находиться то на одном, то на другом «склоне оврага». Если «склоны оврага» достаточно круты то такие скачки «со склона на склон» точек могут сильно замедлить сходимость градиентного метода.
Рис. 4.
Для ускорения сходимости этого метода при поиске минимума «овражной» функции можно предложить следующий эвристический прием, называемый овражным методом. Сначала опишем точки , , из которых производят спуск с помощью какого-либо варианта градиентного метода, и получают две точки , на «дне оврага». Затем полагают
,
где - положительная постоянная, называемая овражным шагом. Из точки,
которая, вообще говоря. Находится на «склоне оврага», производят спуск с помощью градиентного метода и определяют следующую точку на «дне оврага».
Если уже известны точки , то из точки (12)
Совершают спуск с помощью градиентного метода и находят следующую точку на «дне оврага».
Величина овражного шага подбирается эмпирически с учетом информации о минимизирующей функции, получаемой в ходе поиска минимума. От правильного выбора существенно зависит скорость сходимости метода. Если шаг велик, то на крутых поворотах «оврага» точки могут слишком удаляться от «дна оврага» и спуск из точки в точку может потребовать большого объема вычислений. Кроме того, при больших на крутых поворотах может произойти выброс точки из «оврага», и правильное направление поиска точки минимума будет потеряно. Если шаг слишком мал, то поиск может очень замедлиться и эффект от применения овражного метода может стать незначительным.
Эффективность овражного метода может существенно возрасти, если величину овражного шага выбирать переменной, реагирующей на повороты «оврага» с тем, чтобы: 1) по возможности быстрее проходить прямолинейные участки на «дне оврага» за счет увеличения овражного шага: 2) на крутых поворотах «оврага» избежать выброса из «оврага» за счет уменьшения овражного шага; 3) добиться по возможности меньшего отклонения точек от «дна оврага» и тем самым сократить объем вычислений, требуемый для градиентного спуска из точки в точку . Интуитивно ясно, что для правильной реакции на поворот «оврага» надо учитывать «кривизну дна оврага», причем информацию о «кривизне» желательно получить, опираясь на результаты предыдущих итераций овражного метода.
Пример. Минимизировать в функцию методом градиентного спуска, завершив вычисления при , .
Решение. Выбрав начальное приближение и , построим последовательность , , , записывая результаты в таблицу.
Таблица 1.
k
x1k
x2k
f(xk)
df(xk)/dx1
df(xk)/dx2
αk
Примечание
0
1
0
5,436564
10,87313
-5,43656
0,5
Условие выполнено
1
0,5
-0,5
3,397852
8,834416
-6,11613
0,5
Условие выполнено
2
-3,91721
2,558067
0,084126
0,064168
-0,0532
0,5
Условие выполнено
3
-3,94929
2,584668
0,080717
0,061726
-0,05131
0,5
Условие выполнено
4
-3,98015
2,610321
0,077553
0,059451
-0,04953
0,5
Условие выполнено
5
-4,00988
2,635088
0,074612
0,057328
-0,04787
0,5
Условие выполнено
6
-4,03854
2,659025
0,07187
0,055342
-0,04631
0,5
Условие выполнено
7
-4,06621
2,682181
0,069309
0,053481
-0,04484
0,5
Условие выполнено
8
-4,09296
2,704603
0,066913
0,051734
-0,04346
0,5
Условие выполнено
9
-4,11882
2,726333
0,064666
0,050091
-0,04216
0,5
Условие выполнено
10
-4,14387
2,747412
0,062555
0,048544
-0,04092
0,5
Условие выполнено
11
-4,16814
2,767874
0,060569
0,047084
-0,03976
0,5
Условие выполнено
12
-4,19168
2,787753
0,058698
0,045704
-0,03865
0,5
Условие выполнено
13
-4,21453
2,807079
0,056931
0,044399
-0,0376
0,5
Условие выполнено
14
-4,23673
2,825882
0,055262
0,043163
-0,03661
0,5
Условие выполнено
15
-4,25831
2,844186
0,053682
0,04199
-0,03566
0,5
Условие выполнено
16
-4,27931
2,862017
0,052184
0,040876
-0,03476
0,5
Условие выполнено
17
-4,29975
2,879398
0,050763
0,039817
-0,0339
0,5
Условие выполнено
18
-4,31966
2,896349
0,049412
0,038809
-0,03308
0,5
Условие выполнено
19
-4,33906
2,912891
0,048128
0,037848
-0,0323
0,5
Условие выполнено
20
-4,35798
2,929041
0,046905
0,036931
-0,03155
0,5
Условие выполнено
21
-4,37645
2,944818
0,045739
0,036055
-0,03084
0,5
Условие выполнено
22
-4,39448
2,960237
0,044626
0,035218
-0,03015
0,5
Условие выполнено
23
-4,41209
2,975313
0,043563
0,034418
-0,0295
0,5
Условие выполнено
24
-4,4293
2,990061
0,042547
0,033651
-0,02887
0,5
Условие выполнено
25
-4,44612
3,004495
0,041575
0,032916
-0,02826
0,5
Условие выполнено
26
-4,46258
3,018626
0,040644
0,032211
-0,02768
0,5
Условие выполнено
27
-4,47869
3,032467
0,039751
0,031535
-0,02712
0,5
Условие выполнено
28
-4,49445
3,046029
0,038895
0,030885
-0,02659
0,5
Условие выполнено
29
-4,5099
3,059322
0,038073
0,03026
-0,02607
0,5
Условие выполнено
30
-4,52503
3,072357
0,037283
0,029659
-0,02557
0,5
Условие выполнено
31
-4,53986
3,085143
0,036524
0,02908
-0,02509
0,5
Условие выполнено
32
-4,5544
3,097689
0,035793
0,028523
-0,02463
0,5
Условие выполнено
33
-4,56866
3,110004
0,03509
0,027985
-0,02418
0,5
Условие выполнено
34
-4,58265
3,122096
0,034412
0,027467
-0,02375
0,5
Условие выполнено
35
-4,59638
3,133971
0,033758
0,026967
-0,02333
0,5
Условие выполнено
36
-4,60987
3,145639
0,033128
0,026484
-0,02293
0,5
Условие выполнено
37
-4,62311
3,157105
0,03252
0,026017
-0,02254
0,5
Условие выполнено
38
-4,63612
3,168376
0,031933
0,025566
-0,02217
0,5
Условие выполнено
39
-4,6489
3,179458
0,031365
0,025129
-0,0218
0,5
Условие выполнено
40
-4,66146
3,190358
0,030816
0,024707
-0,02145
0,5
Условие выполнено
41
-4,67382
3,201081
0,030285
0,024298
-0,0211
0,5
Условие выполнено
42
-4,68597
3,211633
0,029772
0,023902
-0,02077
0,5
Условие выполнено
43
-4,69792
3,222019
0,029274
0,023518
-0,02045
0,5
Условие выполнено
44
-4,70968
3,232243
0,028792
0,023145
-0,02014
0,5
Условие выполнено
45
-4,72125
3,242311
0,028325
0,022784
-0,01983
0,5
Условие выполнено
46
-4,73264
3,252227
0,027873
0,022434
-0,01954
0,5
Условие выполнено
47
-4,74386
3,261996
0,027434
0,022094
-0,01925
0,5
Условие выполнено
48
-4,7549
3,271621
0,027007
0,021763
-0,01897
0,5
Условие выполнено
49
-4,76579
3,281108
0,026594
0,021442
-0,0187
0,5
Условие выполнено
50
-4,77651
3,290458
0,026192
0,02113
-0,01844
0,5
Условие выполнено
51
-4,78707
3,299677
0,025801
0,020827
-0,01818
0,5
Условие выполнено
52
-4,79749
3,308768
0,025422
0,020531
-0,01793
0,5
Условие выполнено
53
-4,80775
3,317734
0,025053
0,020244
-0,01769
0,5
Условие выполнено
54
-4,81787
3,326578
0,024694
0,019965
-0,01745
0,5
Условие выполнено
55
-4,82786
3,335305
0,024345
0,019692
-0,01722
0,5
Условие выполнено
56
-4,8377
3,343915
0,024005
0,019427
-0,017
0,5
Условие выполнено
57
-4,84741
3,352414
0,023674
0,019169
-0,01678
0,5
Условие выполнено
58
-4,857
3,360803
0,023352
0,018917
-0,01656
0,5
Условие выполнено
59
-4,86646
3,369085
0,023037
0,018672
-0,01636
0,5
Условие выполнено
60
-4,87579
3,377262
0,022731
0,018432
-0,01615
0,5
Условие выполнено
61
-4,88501
3,385338
0,022433
0,018199
-0,01595
0,5
Условие выполнено
62
-4,89411
3,393315
0,022142
0,017971
-0,01576
0,5
Условие выполнено
63
-4,90309
3,401195
0,021858
0,017748
-0,01557
0,5
Условие выполнено
64
-4,91197
3,408979
0,021581
0,017531
-0,01538
0,5
Условие выполнено
65
-4,92073
3,416672
0,021311
0,017319
-0,0152
0,5
Условие выполнено
66
-4,92939
3,424274
0,021047
0,017111
-0,01503
0,5
Условие выполнено
67
-4,93795
3,431788
0,020789
0,016909
-0,01485
0,5
Условие выполнено
68
-4,9464
3,439215
0,020537
0,016711
-0,01469
0,5
Условие выполнено
69
-4,95476
3,446558
0,020291
0,016518
-0,01452
0,5
Условие выполнено
70
-4,96302
3,453818
0,02005
0,016328
-0,01436
0,5
Условие выполнено
71
-4,97118
3,460997
0,019815
0,016143
-0,0142
0,5
Условие выполнено
72
-4,97925
3,468098
0,019586
0,015962
-0,01405
0,5
Условие выполнено
73
-4,98723
3,47512
0,019361
0,015785
-0,01389
0,5
Условие выполнено
74
-4,99513
3,482067
0,019141
0,015612
-0,01375
0,5
Условие выполнено
75
-5,00293
3,48894
0,018926
0,015442
-0,0136
0,5
Условие выполнено
76
-5,01065
3,49574
0,018715
0,015276
-0,01346
0,5
Условие выполнено
77
-5,01829
3,502469
0,018509
0,015113
-0,01332
0,5
Условие выполнено
78
-5,02585
3,509128
0,018307
0,014953
-0,01318
0,5
Условие выполнено
79
-5,03332
3,515719
0,018109
0,014797
-0,01305
0,5
Условие выполнено
80
-5,04072
3,522243
0,017916
0,014644
-0,01292
0,5
Условие выполнено
81
-5,04805
3,528701
0,017726
0,014494
-0,01279
0,5
Условие выполнено
82
-5,05529
3,535094
0,01754
0,014347
-0,01266
0,5
Условие выполнено
83
-5,06247
3,541425
0,017358
0,014202
-0,01254
0,5
Условие выполнено
84
-5,06957
3,547693
0,01718
0,014061
-0,01242
0,5
Условие выполнено
85
-5,0766
3,553901
0,017005
0,013922
-0,0123
0,5
Условие выполнено
86
-5,08356
3,560049
0,016833
0,013786
-0,01218
0,5
Условие выполнено
87
-5,09045
3,566138
0,016665
0,013652
-0,01206
0,5
Условие выполнено
88
-5,09728
3,57217
0,016499
0,013521
-0,01195
0,5
Условие выполнено
89
-5,10404
3,578145
0,016337
0,013393
-0,01184
0,5
Условие выполнено
90
-5,11073
3,584065
0,016178
0,013266
-0,01173
0,5
Условие выполнено
91
-5,11737
3,589931
0,016022
0,013142
-0,01162
0,5
Условие выполнено
92
-5,12394
3,595743
0,015869
0,01302
-0,01152
0,5
Условие выполнено
93
-5,13045
3,601502
0,015719
0,012901
-0,01142
0,5
Условие выполнено
94
-5,1369
3,60721
0,015571
0,012783
-0,01131
0,5
Условие выполнено
95
-5,14329
3,612868
0,015426
0,012668
-0,01121
0,5
Условие выполнено
96
-5,14963
3,618475
0,015283
0,012554
-0,01112
0,5
Условие выполнено
97
-5,1559
3,624033
0,015143
0,012443
-0,01102
0,5
Условие выполнено
98
-5,16212
3,629544
0,015006
0,012333
-0,01093
0,5
Условие выполнено
99
-5,16829
3,635007
0,014871
0,012225
-0,01083
0,5
Условие выполнено
100
-5,1744
3,640423
0,014738
0,01212
-0,01074
0,5
Условие выполнено
101
-5,18046
3,645794
0,014607
0,012015
-0,01065
0,5
Условие выполнено
102
-5,18647
3,651119
0,014479
0,011913
-0,01056
0,5
Условие выполнено
103
-5,19243
3,656401
0,014353
0,011812
-0,01048
0,5
Условие выполнено
104
-5,19833
3,661638
0,014229
0,011713
-0,01039
0,5
Условие выполнено
105
-5,20419
3,666833
0,014106
0,011616
-0,01031
0,5
Условие выполнено
106
-5,21
3,671985
0,013986
0,01152
-0,01022
0,5
Условие выполнено
107
-5,21576
3,677096
0,013868
0,011425
-0,01014
0,5
Условие выполнено
108
-5,22147
3,682167
0,013752
0,011332
-0,01006
0,5
Условие выполнено
109
-5,22714
3,687196
0,013638
0,011241
-0,00998
0,5
Условие выполнено
110
-5,23276
3,692187
0,013525
0,011151
-0,0099
0,5
Условие выполнено
111
-5,23833
3,697138
0,013414
0,011062
-0,00983
0,5
Условие выполнено
112
-5,24386
3,70205
0,013305
0,010975
-0,00975
0,5
Условие выполнено
113
-5,24935
3,706925
0,013198
0,010889
-0,00968
0,5
Условие выполнено
114
-5,25479
3,711763
0,013092
0,010804
-0,0096
0,5
Условие выполнено
115
-5,2602
3,716564
0,012988
0,010721
-0,00953
0,5
Условие выполнено
116
-5,26556
3,721328
0,012886
0,010638
-0,00946
0,5
Условие выполнено
117
-5,27088
3,726057
0,012785
0,010558
-0,00939
0,5
Условие выполнено
118
-5,27615
3,730751
0,012686
0,010478
-0,00932
0,5
Условие выполнено
119
-5,28139
3,73541
0,012588
0,010399
-0,00925
0,5
Условие выполнено
120
-5,28659
3,740035
0,012491
0,010322
-0,00918
0,5
Условие выполнено
121
-5,29175
3,744626
0,012396
0,010245
-0,00912
0,5
Условие выполнено
122
-5,29688
3,749184
0,012302
0,01017
-0,00905
0,5
Условие выполнено
123
-5,30196
3,753709
0,01221
0,010096
-0,00899
0,5
Условие выполнено
124
-5,30701
3,758202
0,012119
0,010023
-0,00892
0,5
Условие выполнено
125
-5,31202
3,762664
0,012029
0,009951
-0,00886
0,5
Точность достигнута
Точность:
0,01
Итак, ,
Решение средствами дифференциального исчисления функций нескольких переменных:
Частные производные в точке экстремума равны нулю:
,
,
Список литературы Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и Связь, 1988, Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М: Наука,
1980, Исрапилов Р.Б., Обухов А.Г. Теория оптимизации. – Екатеринбург: Изд. УГГГА, 1998, Ногин В.Д. и др. Основы теории оптимизации. – М.: В. Школа, 1986.