I. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов.
Для решения дифференциального уравнения:
(I.1)
где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t0 с радиусами сходимости ri :
i=0,1,2
необходимо найти два линейно-независимых решения j1(t), j2(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:
Решения ji будем искать в виде степенного ряда:
(I.2)
методом неопределенных коэффициентов.
Для решения воспользуемся теоремами.
Теорема 1: (об аналитическом решении)
Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x0 и p0(x)≠0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y’ + p2(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l0 + l1(x-x0) + l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + …
Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)
Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0 является нулем конечного порядка S функции a0(x), нулем порядка S-1 или выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a2(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:
y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …
где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.
Рассмотрим уравнение:
(I.3)
a0(t) = t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ≠ 0 t
по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = cn(t-t0)n
возьмем t0 = 0, будем искать решение в виде (t) = cntn (I.4)
Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим
(t) = ncntn-1, (t) = n(n-1)cntn-2
(2+t)( n(n-1)cntn-2) – (ncntn-1) – 4t3( cntn)=0
Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:
t0 : 4c2 – c1=0 4c2-c1-4c-3=0
t1 :
рекуррентное соотношение имеет вид
n N, c-3=0, c-2=0, c-1=0 (I.5)
при n=0,
n=1,
n=2, c4=0
n=3,
n=m-2,
Итак,
Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.
Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):
а)
б)
Итак, область сходимости
II. Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.
Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:
Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х1,х2) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).
На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не более одного переключения.
положение равновесия
Д=-7 фокус, т.к.
III. Малые возмущения системы линейных уравнений
В этой задаче рассматривается система:
с действительными коэффициентами аij.
Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:
(1)
Сведем систему (1) к системе вида:
(2)
с помощью замены
(3)
Запишем систему (1) в виде
, где (4)
Подставим в систему (4), а в систему (3), тогда получим:
(5)
Найдем собственные значения матрицы А:
,
Систему (2) можно записать в виде:
, где (6)
Из системы (5) и (6) следует, что
Подберем матрицу С такую, что пусть и AC = CB
=
Решив эту систему, получим: a=-2, b=-1, c=1, d=0, т.е. и
Поставим матрицу С в замену:
Подставим полученные значения в систему (2):
, где
При получаем систему
Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых e решение (на конечном интервале времени) отличается поправкой порядка e от гармонических колебаний:
Следовательно, при достаточно малом e = e(Т) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса А в течении интервала времени Т.
При фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка e). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него, рассмотрим приращение энергии за один оборот вокруг начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу:
Подставляя значения и , получим:
Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O() по окружности радиуса А.
Пусть , тогда
для (при малых положительных значениях ), поэтому фазовые точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.
Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)
Так как detC>0, то при замене на ориентация системы координат не изменилась.
Литература
1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.
2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.
3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.
4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.
6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.