Акиоматика геометрии

Введение Lascante ogni speranca voi ch’entrate! Dante Современная геометрия построена по т. н. аксиоматическому методу, согласно которому в основу теории кладутся некоторые исходные положения – аксиомы (от греческого axiǒma – удостоенное, принятое положение, от axiόǒ – считаю достойным), или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теории) должны выводиться чисто логическим путём посредством доказательств. Назначение аксиоматического метода состоит в том, чтобы ограничить произвол при принятии научных суждений в качестве истин для данной теории. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Основной областью применения аксиоматического метода была и остаётся математика, хотя в той или иной мере метод использовался для изложения философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и других наук. Ищете промышленное оборудование: полипропиленовые трубы. Нужна труба полипропиленовая?
Система аксиом (аксиоматика) должна обладать рядом свойств, таких как непротиворечивость, полнота и независимость. Непротиворечивость (совместимость) аксиоматики – свойство, состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения, взаимно исключающие друг друга. Полнота – свойство научной теории или системы аксиом, характеризующее достаточность для каких-либо целей её выразительных и (или) дедуктивных средств. Обычно рассматривают два аспекта понятия полноты: так называемые функциональную и дедуктивную полноту. Непосредственно к аксиоматике относится полнота дедуктивная (именно она имеется в виду, когда говорится о полноте системы аксиом; слово «дедуктивная», как правило, опускается), однако само понятие полноты удобно проиллюстрировать на примере функциональной полноты применительно к естественному языку. Итак, полнота языка – то (неформальное) его качество, благодаря которому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Например, английский язык функционально полон с точки зрения целей, которые имел в виду Уильям Шекспир, создавая «Гамлета» (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из «живых» языков, на которые переведён «Гамлет» полон в том же смысле: перевод (если он абсолютно точно передаёт замысел Шекспира) как раз и служит доказательством функциональной полноты. Дедуктивная полнота. В зависимости от выбора критерия «достаточности» приходят к той или иной точной модификации понятия. Вообще аксиоматическая система называется (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или интерпретации, что то же, что и чаще употребляемый в этом реферате термин «модель»), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. В ряде случаев понятие дедуктивной полноты удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения математическими средствами. Такая дедуктивная полнота определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы. Независимость – свойство системы аксиом, заключающееся в том, что ни одну из этих аксиом и ни одно из предположений, обратных им нельзя вывести логически, используя остальные аксиомы данной системы. Если рассматривать свойство независимости на примере «живого» (естественного) языка, то его следует представить так: независимость понятия (термина или утверждения) от данной системы понятий (терминов или утверждений) – такое его свойство, которое не позволяет определить (вывести) его из той же системы понятий. Так, например, того же Гамлета мы можем описать тремя утверждениями: «Гамлет – литературный персонаж, принц датский, влюблённый в Офелию». Любое из этих утверждений никак не следует из остальных двух. Зато заменив утверждение о том, что Гамлет – литературный персонаж на другое – о том, что он был сыном датского короля, получим систему утверждений, в котором два первых не будут независимы от неё. Чтобы доказать независимость утверждения (аксиомы) от данной системы, необходимо построить две модели, в одной из которых будут выполняться все утверждения этой системы, а в другой – все, кроме данного утверждения. Исторический очерк Диплом писал про древние святыни, О скифах, о языческих богах. При этом так ругался по-латыни, Что скифы эти корчились в гробах. Владимир Высоцкий Геометрия как эмпирическая наука в ранний период достигла особенно высокого уровня развития в Египте в связи с землемерными и ирригационными работами. В первом тысячелетии до н. э. геометрические сведения от египтян перешли к грекам, в Греции начался новый этап в развитии геометрии. В IV веке до н. э. Аристотель создал основы логики. К тому времени Фалес уже ввёл в математику метод рассуждения и доказательства (при доказательстве Фалес обходился вовсе без аксиоматики – не указывал на аксиомы, не пытался определить их наименьший необходимый для доказательств набор). Аристотель учил, что изложение теории должно начинать с первоначальных положений – аксиом, из которых выводятся дальнейшие факты – теоремы. За период с VII по III век до н. э. греческие геометры не только обогатили науку многочисленными новыми фактами, но предприняли также серьёзные шаги к строгому её логическому обоснованию. Многовековая работа греческих учёных за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330 – 275 гг. до н. э.) в его знаменитом труде «Начала». Это сочинение даёт первое дошедшее до нас строгое логическое построение геометрии. В нём изложение настолько безупречно для тех времён, что в течение двух тысяч лет с момента появления «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию. «Начала» включают тринадцать книг, из коих собственно геометрии посвящены I –IV и VI, где излагается планиметрия, а также XI – XIII, рассматривающие стереометрию. Остальные книги «Начал» посвящены арифметике в геометрическом изложении. Хотя «Начала» Евклида и были длительное время образцом для сравнения, они далеко не достигают современного уровня строгости изложения. Данные в первой книге определения геометрических образов являются скорее описанием их, причём далеко не совершенным. Так, например, определение прямой линии не отличает её от окружности, а определение линии произвольной содержит упоминание о длине и ширине, понятия которых сами нуждаются в определении. Не следует думать, однако, что дефектны все определения, данные Евклидом в первой книге «Начал». Наоборот, целый ряд определений, например, треугольника, окружности, острого, тупого и прямого углов либо безупречны, либо содержат незначительные, легко устранимые недостатки. Если при этом учесть, что свойства геометрических образов, содержащиеся в дефектных определениях, нигде в доказательствах не используются, то эти определения могут быть опущены без всякого ущерба для изложения.
Что касается постулатов и аксиом, то их формулировки безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств. Однако несмотря на то, что согласно Евклиду доказательства всех предложений должны в конечном итоге опираться на свойства геометрических образов, определяемых постулатами и аксиомами, уже беглое знакомство с доказательствами Евклида убеждает нас в том, что в них неоднократно используются такие свойства геометрических образов и отношения между ними, которые не выясняются ни постулатами, ни аксиомами. Так, например, для доказательства предложения 4 (фактически, эквивалентного первому признаку равенства треугольников) он пользуется движением, а в ряде других доказательств ссылается на свойства взаимного расположения точек на прямой, выражаемые словами «лежать между». (Например, говоря о свойствах прямоугольного треугольника, Евклид считал понятным, ссылаясь на чертёж, что перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла, проходит внутри треугольника, т. е. Основание перпендикуляра лежит между концами гипотенузы (рис. 1) Иначе говоря, система аксиом или аксиоматика, построенная Евклидом, не является полной. Возникает естественный вопрос, нельзя ли освободить евклидовы доказательства от этого недостатка, заменив, быть может, их другими, опирающимися только на постулаты и аксиомы. Ответ на этот вопрос был получен сравнительно недавно. Оказалось, что это возможно только после надлежащего пополнения системы постулатов и аксиом (аксиоматики) Евклида.
В 1882 году немецкий математик Мориц Паш (1843-1930) сформулировал несколько аксиом о расположении точек и прямых. Привнесённую им группу аксиом принято называть аксиомами порядка. Одна из этих аксиом носит его имя (аксиома Паша; см. гл. «Аксиоматика Гильберта», стр. 6, рис. 2) Исследование аксиоматики евклидовой геометрии завершил к 1889 году Давид Гильберт. Предложенная им система аксиом считается полной. Она состоит из пяти групп: аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности (т. е. равенства), аксиомы непрерывности и аксиома параллельности. Аксиомы эти пяти групп относятся к объектам трёх родов – точкам, прямым, плоскостям и трём соотношениям между ними, выражаемым словами «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая, плоскость, и каков конкретный смысл указанных соотношений, Гильберт не уточняет. И всё, что предполагается известным о них, это то, что выражено в аксиомах. Гильберт подвергнул предложенную им систему аксиом глубокому и всестороннему исследованию. В частности, он доказал, что его система непротиворечива (см. ниже), если непротиворечива теория действительных чисел. Далее, Гильберт доказал независимость некоторых аксиом, помимо аксиомы параллельных. Наконец, Гильберт исследовал вопрос о том, как далеко можно развить геометрию, если класть в её основание те или иные группы аксиом, на которые расчленяется система. Работой Гильберта были в основном завершены многовековые исследования по обоснованию элементарной геометрии. Эта работа получила очень высокую оценку современников и в 1903 году была отмечена премией имени Н. И. Лобачавского. Аксиоматика Гильберта Хотя в современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикой Гильберта, приведём её, как первую полную, независимую и непротиворечивую систему аксиом. Все двадцать аксиом системы Гильберта подразделены на пять групп. · Группа I содержит восемь аксиом принадлежности. · Группа II содержит четыре аксиомы порядка. · Группа III содержит пять аксиом конгруэнтности. · Группа IV содержит две аксиомы непрерывности. · Группа V содержит одну аксиому параллельности. Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие из формулируемых аксиом. I. Аксиомы принадлежности I, 1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки. I, 2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки. I, 3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой. Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии. I, 4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка. I, 5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки. I, 6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости. I, 7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обоим этим плоскостям. I, 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. С целью использования привычной для нас геометрической лексики договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой a (плоскости α)», 2) «прямая а (плоскость α) проходит через точку А» 3) «точка А лежит на прямой а (плоскости α)» 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости α)» и тому подобные. Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки. Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки. Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки. Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость. Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки. II. Аксиомы порядка II, 1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А. II, 2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая, что С лежит между А и В. II, 3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Сформулированные три аксиомы относятся к расположению объектов на прямой и потому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того, чтобы сформулировать эту аксиому, введём понятие отрезка.
Пару различных точек А и В назовём отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между ними, будем называть внутренними точками, или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ. II, 4 (Аксиома Паша). Если А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – некая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС (Рис. 2 ). Подчеркнём, что из одних аксиом порядка II, 1 – 4 ещё не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако привлекая ещё аксиомы принадлежности I, 1 – 3 можно доказать следующее утверждение: Теорема 6. Каковы бы ни были две различные точки А и В на прямой, ими определяемой, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В. Теорема 7. Среди любых трёх точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими. Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает[1] какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий из указанных отрезков. Теорема 9. Если В лежит на отрезке АС, и С – на отрезке ВD, то В и С лежат на отрезке АD. Теорема 10. Если С лежит на отрезке АD, а В – на отрезке АС, то В лежит также на отрезке АD, а С – на отрезке BD. Теорема 11. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечно много других её точек. Теорема 12. Пусть каждая из точек С и D лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и D, то М лежит и между А и В. Теорема 13. Если точки С и D лежат между точками А и В, то все точки отрезка СD принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок СD лежит внутри отрезка АВ). Теорема 14. Если точка С лежит между точками А и В, то 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка CВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ. Указанные утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление. Будем говорить, что две различные точки А и В прямой a лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А и В. Из указанных выше утверждений вытекает следующая теорема. Теорема 15. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О. Таким образом, задание на любой прямой двух различных точек О и Е определяет на этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая её точка и точка Е лежат по одну сторону от О. Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: 1) если А и В – любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В, 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ, 3) будем говорить, что любая точка, принадлежащая той же прямой и не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке луча ОЕ, 4) если А и В – любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О. Легко проверить, что для выбранного нами порядка следования точек прямой а справедливо свойство транзитивности: если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С. Аксиомы, приведённые выше, позволяют упорядочить и точки, принадлежащие произвольной плоскости α. Теорема 16. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости α, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два непустых класса так, что любые две точки А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две точки А и А’ из одного класса определяют отрезок АА’, внутри которого не лежит ни одна точка прямой а. В соответствие с утверждением этой теоремы мы можем говорить, что точки А и А’ (одного класса) лежат в плоскости α по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости α по разные стороны от прямой а. III. Аксиомы конгруэнтности III, 1. Если А и В – две точки на прямой а, А’ – точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.1 III, 2. Если отрезки А’B’ и А”B” конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой. III, 3. Пусть АВ и ВС – два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ – два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’. Сформулированные три аксиомы относятся к конгруэнтности отрезков. Для формулировки следующих аксиом нам понадобятся понятие угла и его внутренних точек. Пара полупрямых h и k, выходящих из одной и той же точки О и не лежащих на одной прямой, называется углом и обозначается символом или . Если полупрямые задаются двумя своими точками ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом или . В силу теоремы 4 любые два луча h и k, составляющие угол , определяют, и притом единственную, плоскость α. Внутренними точками будем называть те точки плоскости α, которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч h, что и любая точка луча k, и, во-вторых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч k, что и любая точка луча h. III, 4. Пусть даны на плоскости α, прямая а’ на этой же или на какой-либо другой плоскости α’ и задана определённая сторона плоскости α’ относительно прямой а’. Пусть h’ – луч прямой а’, исходящий из некоторой точки О’. Тогда на плоскости α’ существует один и только один луч k’ такой, что конгруэнтен , и при этом все внутренние точки лежат по заданную сторону от прямой а’. Каждый угол конгруэнтен самому себе.
III, 5. Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, А’, B’ и С’ – другие три точки, также не лежащие на одной прямой. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’ и конгруэнтен , то конгруэнтен и конгруэнтен
Договоримся теперь о сравнении неконгруэнтных отрезков и углов. Будем говорить, что отрезок АВ больше отрезка А’B’, если на прямой, определяемой точками А и В, найдётся лежащая между этими точками точка С такая, что отрезок АС конгруэнтен отрезку А’В’. Будем говорить, что отрезок АВ меньше отрезка А’B’, если отрезок А’B’ больше отрезка АВ. Символически тот факт, что отрезок АВ меньше отрезка А’B’ (конгруэнтен отрезку А’B’) будем записывать так: АВ
Будем говорить, что больше , если в плоскости, определяемой , найдётся луч ОС, все точки которого являются внутренними точками , такой, что конгруэнтен . Будем говорить, что меньше , если больше . С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности можно доказать целый ряд теорем элементарной геометрии. Сюда относятся: 1) три широко известные теоремы о конгруэнтности (равенстве) двух треугольников, 2) теорема о конгруэнтности вертикальных углов, 3) теорема о конгруэнтности всех прямых углов, 4) теорема о единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, 5) теорема о единственности перпендикуляра, проведённого к данной точке прямой, 6) теорема о внешнем угле треугольника, 7) теорема о сравнении перпендикуляра и наклонной. IV. Аксиомы непрерывности С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности мы произвели сравнение отрезков, позволяющее заключить, каким из трёх знаков связаны эти отрезки. Указанных аксиом, однако, недостаточно 1) для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющее поставить в соответствие каждому отрезку определённое вещественное число, 2) для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным. Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам I, II и III две аксиомы непрерывности. IV, 1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD – произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками А и В существует конечное число точек А1, А2, ., Аn, расположенных так, что точка А1 лежит между А и А2, точка А2 лежит между А1 и А3, ., точка Аn-1 лежит между Аn-2 и Аn, причём отрезки АА1, А1А2, ., Аn-1An конгруэнтны отрезку CD и точка В лежит между А и Аn. IV, 2 (аксиома линейной полноты). Совокупность всех точек произвольной прямой а нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы 1) на пополненной прямой были определены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен», определён порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности III, 1 – 3 и аксиома Архимеда IV, 1, 2) по отношению к прежним точкам прямой определённые на пополненной прямой соотношения «лежит между» и «конгруэнтен» сохраняли старый смысл. Присоединение к аксиомам I, 1 – 3, II и III, 1- 3 аксиомы Архимеда позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольной прямой а определённое вещественное число х, называемое координатой этой точки, а присоединение ещё и аксиомы линейной полноты позволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел. Пользуясь этим, можно обосновать метод координат. V. Аксиома параллельности Самая последняя аксиома играет в геометрии особую роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии. В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так. V. Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости α, определяемой точкой А и прямой а существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а. Долгое время геометры пытались выяснить, не является ли аксиома параллельности следствием всех остальных аксиом. Этот вопрос был решен Николаем Ивановичем Лобачевским, который доказал независимость аксиомы V от аксиом I – IV. По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если к аксиомам I – IV присоединить утверждение, отрицающее справедливость аксиомы V, то следствия всех этих положений будут составлять логически непротиворечивую систему (неевклидову геометрию Лобачевского). Систему следствий, вытекающих из одних только аксиом I – IV обычно называют абсолютной геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом I – IV, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского. Доказательство непротиворечивости аксиоматики Гильберта Чтобы доказать непротиворечивость некоей теории Х, необходимо из материала другой, заведомо непротиворечивой, теории А построить такую модель, в которой выполняются все аксиомы теории Х. Если это удастся, теорию Х можно считать непротиворечивой. Следовательно, для того, чтобы доказать непротиворечивость гильбертовой системы, необходимо построить такую модель евклидовой геометрии, в которой выполнялись бы все аксиомы, предложенные Гильбертом. Для построения такой модели, необходима вышеупомянутая заведомо непротиворечивая теория. В модели, построенной Гильбертом, такой теорией служит теория действительных чисел. Идея построения модели состояла в рассмотрении системы координат на плоскости. В такой системе каждой точке М плоскости соответствуют два числа х и у – её координаты (рис. 3). Чтобы понять суть построения модели забудем о плоскости и имеющейся на ней координатной системе, «точками» будем называть упорядоченные пары действительных чисел (х; у) т. е. пары (х; у) и (у; х) с различными х и у будем считать различными. Теперь попытаемся определить «прямую». Вспомним, что каждая прямая описывается в координатах линейным уравнением вида ax + by + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля. Например, уравнение прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид у = kx + l, или, что то же самое, ax + by + c = 0, где a = k, b = -1, c = l (рис.4). Если же прямая параллельна оси ординат, ей соответствует уравнение x = p (т. е. уравнение ax + by + c = 0, где a = 1, b = 0, c = -p; рис. 5). При этом если все коэффициенты уравнения ax + by + c = 0 умножить на одно и то же число k ≠ 0, то полученное уравнение будет описывать ту же прямую. Мы же в своей модели будем называть «прямой» любое линейное уравнение вида ax + by + c = 0, в котором хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, причём коэффициенты рассматриваются с точностью до ненулевого множителя пропорциональности (при k ≠ 0 уравнения ax + by + c = 0 и (ak)x + (bk)y + kc = 0 считаются одной и той же прямой).
Далее, «точка» (х1; у1) лежит на «прямой», если числа х1 и у1 удовлетворяют указанному уравнению. Как видим, для определения «прямых», «точек» и расположения «точек» на «прямой» достаточно опереться на теорию действительных чисел. Легко проверить, что в указанной модели выполняются, например, такие аксиомы:
1. Через две различные «точки» проходит «прямая» 2. На «прямой» имеется не менее двух «точек» Легко определить случай, при котором одна из трёх «точек» лежит на «прямой» «между» двумя другими. Когда A(x1; y1), B(x2; y2) и C(x3; y3) – три «точки», лежащие на одной «прямой», «точка» B считается расположенной «между» A и C при условии, что число x2 заключено между числами x1 и x3 (если x1 = x2 = x3, то y2 заключено между y1 и y3). Тогда очевидно, что 3. Из трёх «точек», лежащих на одной «прямой», одна и только одна расположена между двумя другими. Выполняются и другие аксиомы порядка (в частности, аксиома Паша). Заметим, что мы специально не иллюстрируем содержание аксиом чертежами, поскольку при чисто аксиоматическом изложении не следует использовать привычные геометрические представления. Будем говорить, что две «прямые» a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0 «параллельны», если коэффициенты a1, b1 и a2, b2 пропорциональны. Это можно кратко записать равенством a1b2 – a2b1 = 0. Нетрудно проверить, что две «параллельные» «прямые» либо не имеют ни одной общей «точки», либо совпадают (в обычной геометрии тоже часто принимают, что прямая параллельна самой себе). Более того, 4. Через любую «точку» A1(x1; y1) проходит одна и только одна «прямая», параллельная данной «прямой» Ax + By + C = 0. Иначе говоря, в указанной модели выполняется аксиома параллельности. Можно здесь говорить и о длинах отрезков, и о величинах углов. Например, «расстоянием» между двумя «точками» A1(x1; y1) и A2(x2; y2) называется число A1A2 = Далее, в привычной евклидовой геометрии справедлива теорема косинусов (рис. 6): cos C = (величина угла С равна арккосинусу правой части равенства; рис. 6). Можно возразить, что тригонометрические функции (и, в частности, косинус) определяются геометрически и обойтись без обычной евклидовой геометрии в данном случае невозможно. Однако это неверно. В математическом анализе доказывается, что функция cos x задаётся бесконечным рядом cos x = , который сходится для любого действительного x. Таким образом, в рассматриваемой модели допустимо говорить и о расстояниях, и о величинах углов. Так же легко проверить, что в ней выполняются и аксиомы конгруэнтности (в частности, первый и второй признаки равенства треугольников). В итоге все гильбертовы аксиомы (представляющие собой развитие и уточнение аксиом Евклида) в рассматриваемой модели выполняются. Это и означает, что система аксиом евклидовой геометрии условно непротиворечива. Другими словами, она непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел. Другие системы аксиом геометрии Вернёмся, однако, к евклидовой геометрии. В настоящее время систему аксиом Гильберта часто заменяют эквивалентной ей системой. Мы приведём те группы аксиом одной такой системы, по которым она отличается от вышеизложенной системы (группы аксиом порядка и движения, заменяющей в этой системе группу аксиом конгруэнтности). Преимущество этой системы заключается в том, что она позволяет проще и быстрее получить первоначальные геометрические факты, лучше, как многим кажется, описывает свойства основных геометрических объектов с точки зрения привычных представлений. II. Аксиомы порядка Будем полагать, что на прямой есть два направления, взаимно противоположных друг другу, и по отношению каждому из них каждая пара точек А и В находится в известном отношении, которое выражается словом «предшествовать». Это отношение обозначается знаком А Требуется, чтобы указанное отношение для точек на прямой удовлетворяло нижеследующим пяти аксиомам. II, 1. Если А II, 2. В одном из двух направлений А II, 3. В одном из двух направлений если А II, 4. В одном из двух направлений для каждой точки В найдутся точки А и С такие, что А Каждое из утверждений аксиом II, 2 – 4 относится к одному из двух направлений на прямой. По аксиоме II, 1 оно верно также и для противоположного направления. Прежде чем сформулировать последнюю аксиому, определим некоторые понятия. Пусть а – прямая и А – точка на ней. При фиксированном направлении на прямой точка А разбивает её на две части (полупрямые), для каждой точки Х одной из них Х Пусть А и В – две точки прямой а. Если для точки С прямой а выполняется условие А II, 5. Прямая а, лежащая в плоскости α, разбивает эту плоскость на две полуплоскости так, что если X и Y – две точки одной полуплоскости, то отрезок XY не пересекается с прямой а, если же X и Y принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок XY пересекается с прямой а. Из аксиом принадлежности (связи), которые в этой системе аксиом аналогичны аксиомам принадлежности Гильберта, и аксиом порядка выводятся следующие следствия. Теорема 1. Среди точек А, В, С на прямой а одна и только одна лежит между двумя другими. Теорема 2. Каждый отрезок содержит по крайней мере одну точку. Теорема 3. Если В – точка отрезка АС, то отрезки АВ и ВС принадлежат АС, т. е. каждая точка отрезка АС и каждая точка отрезка ВС принадлежит отрезку АС. Теорема 4. Если В – точка отрезка АС и X – точка того же отрезка, отличная от В, то она принадлежит либо отрезку АВ, либо ВС. Теорема 5. Пусть α – плоскость, и а – лежащая на ней прямая, b – другая прямая, или полупрямая, или отрезок в той же плоскости α.
Тогда, если b не пересекает а, то все точки b лежат по одну сторону от а, т. е. в одной из полуплоскостей, определяемых прямой а. Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой. Фигура, составленная из трёх отрезков АВ, ВС и АС называется треугольником, точки А, В и С – вершинами треугольника, а отрезки АВ, ВС и АС – сторонами треугольника.
Теорема 9. Пусть АВС – треугольник в плоскости α и а – прямая в этой плоскости, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если эта прямая пересекает сторону АВ, то она пересекает и притом только одну из двух других сторон ВС или АС. Нельзя не заметить, что последняя приведённая теорема почти аналогична аксиоме Паша, входящей в систему Гильберта (см. страницу 9), и отличается от неё только тем, что в аксиоме не утверждается единственность второй пересекаемой стороны треугольника. III. Аксиомы движения В данной системе группа аксиом конгруэнтности заменена этой группой аксиом. Впрочем, третьи группы аксиом обоих систем в конечном итоге выполняют одну и ту же задачу, определяя разными способами одни и те же явления (группа аксиом конгруэнтности у Гильберта определяет отношения конгруэнтности напрямую, аксиомы движения – через свои следствия). Итак, будем требовать, чтобы существовали такие отражения точек, прямых и плоскостей на точки, прямые и плоскости, именуемые движениями, удовлетворяющие следующим аксиомам. III, 1. Каждое движение Н сохраняет отношение принадлежности. То есть, если точка А принадлежит прямой а (плоскости α), то её образ при движении Н (обозначаемый НА) принадлежит образу прямой На (соответственно образу плоскости Нα). III, 2. Каждое движение Н сохраняет отношение порядка на прямой. Это означает, как, наверное, уже догадался читатель, что каждому из двух направлений на прямой а можно сопоставить такое направление на прямой На, что каждый раз, когда для точек X и Y прямой а имеет место X Из этих двух аксиом следует, что каждое движение переводит полупрямую в полупрямую, полуплоскость в полуплоскость. III, 3. Движения образуют группу. Это значит: а) Сопоставление Н0 каждому элементу х (точке, прямой, плоскости) его самого есть движение. Это движение называется тождественным. б) Если движение Н1 сопоставляет произвольному элементу х элемент y, а движение Н2 сопоставляет y элемент z, то сопоставление элементу х элемента z есть движение. Оно обозначается Н2Н1 и называется произведением движений. в) Для каждого движения Н существует движение Н-1 такое, что Н-1Н=Н0. Движение Н-1 будем называть обратным. III, 4. Если при движении Н прямая h, как целое, и её начальная точка А остаются неподвижными, то все точки полупрямой h остаются неподвижными. III, 5. Для каждой пары точек А и В существует движение Н, которе переставляет их местами: НА=В, НВ=А III, 6. Для каждой пары лучей h, k (полупрямых), исходящих из одной точки, существует движение Н, их переставляющее: Нh=k, Hk=h. III, 7. Пусть α и β – любые плоскости, а и b – прямые в этих плоскостях, А и В – точки на прямых а и b. Тогда существует движение, которое переводит точку А в В, заданную полупрямую прямой а, определяемую точкой А, - в заданную полупрямую прямой b, определяемую точкой В, заданную полуплоскость плоскости α, определяемую прямой а, – в заданную полуплоскость плоскости β, определяемую прямой b. Теорема 10. Пусть α – плоскость, и а – принадлежащая ей прямая. Тогда если движение Н переводит каждую из полуплоскостей плоскости α, определяемых прямой а, в себя и оставляет неподвижными точки прямой а, то оно является тождественным. Действительно, тождественное движение Н0 обладает указанными в теореме свойствами Н, а следовательно, по аксиоме III, 7 совпадает с ним. Определим теперь понятие конгруэнтности. Фигуру F1 мы будем называть конгруэнтной фигуре F2, если существует движение Н, переводящее F1 в F2: HF1=F2. Из групповых свойств движения (аксиома III, 3) вытекают следующие свойства отношения конгруэнтности: 1. Каждая фигура F конгруэнтна сама себе. Действительно, тождественное движение Н0 переводит F в F. 2. Если фигура F1 конгруэнтна F2, то фигура F2 конгруэнтна F1. В самом деле, если Н – движение, переводящее фигуру F1 в F2, то движение Н-1 переводит фигуру F2 в фигуру F1. 3. Если фигура F1 конгруэнтна F2, а фигура F2 конгруэнтна фигуре F3, то фигура F1 конгруэнтна F3. Действительно, если Н' – движение, переводящее фигуру F1 в F2, а Н'' – движение, переводящее фигуру F2 в F3, то движение Н''Н' переводит F1 в F3. Впервые подобную систему предложил спустя десять после появления гильбертовой аксиоматики Фридрих Шур. Спустя ещё десять лет немецкий математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Эльмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюрих) создал векторную аксиоматику геометрии. У Вейля первоначальными являются понятия «точка» и «вектор», а прямая и отрезок определяются с их помощью. Имеются аксиомы сложения векторов (означающие, что векторы образуют коммутативную группу), аксиомы умножения вектора на действительное число, аксиомы откладывания векторов (в частности, аксиома треугольника: ), аксиомы скалярного произведения векторов и аксиома размерности (для планиметрии в ней утверждается: если даны три ненулевых вектора , и , то какой-нибудь из них выражается в виде комбинации двух других: ). При заданных точке А и ненулевом векторе прямая (А, ) определяется как множество всех точек М, для которых вектор пропорционален , то есть найдётся такое действительное число t, что (рис. 7). Далее определяются отрезки, углы, многоугольники, окружность и другие фигуры: например, расстояние между А и В – как квадратный корень из скалярного квадрата вектора , то есть . Теорема Пифагора легко доказывается с помощью скалярного произведения, а аксиома параллельности – с помощью векторного определения прямой и аксиомы разномерности.
В заключение отметим, что гильбертова аксиоматика полностью уточнила не вполне совершенную систему аксиом, созданную Евклидом более двух тысяч лет тому назад. Аксиоматика Фридриха Шура и аксиоматика Германа Вейля связали геометрию с понятиями группы преобразований и векторного пространства, которые играют важнейшую роль во многих разделах современной математики, физики, экономики, химии, биологии и других областей знания.
Неевклидова геометрия …Are you the one? Scorpions …Самое несложное из всего…тем, кто хорошо знаком с пятым измерением, ничего не стоит… Михаил Булгаков Неевклидова геометрия оформилась в XIX веке, однако период её становления был длительным. В течение двух тысяч лет после Евклида и появления первых, сформулированных им, аксиом многие математики вели напряжённый научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого исторического процесса. Исходной точкой логической системы Евклида является положение о том, что выдвинутые им постулаты очевидны и единственно верны. Имеются пять постулатов: 1. Через две точки проходит единственная прямая. 2. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить. 3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются, и притом с той стороны от третьей прямой, с которой эта сумма меньше двух прямых (рис. 8). Последний, пятый постулат известен как постулат о параллельных. Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения, например: «Если к двум равным величинам прибавляются равные, то и суммы будут равными». Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть применимо условие самоочевидности, однако формулировка постулата такова, что не поддаётся восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознано позже. Вопрос заключается в том, можно ли этот постулат считать не самим по себе верным, а выводимым из других постулатов и аксиом, иными словами, является ли он независимым (см. гл. «Введение», стр. 3). Если утверждение может быть доказано, то нет никакой необходимости выдвигать его в качестве постулата. А если так, то это свидетельствует, по выражению Д’Аламбера, о «подводных камнях и капризном характере геометрии…» Многие комментаторы Евклида пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода оканчивались безрезультатно. Не исключено, что и сам Евклид пришёл к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата после нескольких неудачных попыток найти его доказательство, основываясь на остальных сформулированных аксиомах. По-видимому, его исследования в этом направлении скорее также не увенчались успехом, чем были незавершёнными. Этот опыт породил в настоящее время целое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геометрии, но и всей математической теории. Относительно геометрии можно сказать, что в результате длительных исследований были получены равноценные постулату о параллельных формулировки, например утверждение, входящее в аксиоматику Гильберта как аксиома параллельности (см. гл. «Аксиоматика Гильберта», стр. 6), или – «сумма внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых углов». Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о том, что постулат о параллельных верен, и наоборот, допустив, что любое из приведённых суждений правильно, можно доказать справедливость постулата о параллельных. В этом смысле приведённые утверждения равносильны, или, как ещё говорят, эквивалентны. Среди попыток доказательства пятого постулата Евклида особого внимания заслуживают исследования Дж. Саккери (1677 – 1733) и Адриена Мари Лежандра (1752 – 1833). Саккери, проведя к горизонтальной прямой вертикальные и равные отрезки, соединил их концы. Он получил четырёхугольник с тремя прямыми углами (рис. 9). Предполагая, что четвёртый угол (обозначим его φ) – прямой, можно вывести постулат о параллельных. Саккери, проявляя достаточную широту подхода к вопросу, рассмотрел три случая: 1) Когда угол φ – прямой; 2) Когда угол φ – тупой; 3) Когда угол φ – острый. Затем он пытался доказать осуществимость только первого случая. Первую гипотезу, допускающую существование четырёхугольника, у которого четвёртый угол φ тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что и гипотеза острого угла неверна, ни сам Саккери, ни его последователи не смогли. Хотя в конечном итоге Саккери потерпел неудачу, результаты, полученные им позволили глубже вникнуть в суть рассматриваемого вопроса. Среди таких результатов имеется следующая теорема: Если предположить, что для какой-либо построенной таким образом фигуры справедливо одно из трёх вышеупомянутых положений, то такое условие будет иметь место для любой другой фигуры, построенной подобным образом. Исходя из одного из трёх допущений, можно вывести, что сумма внутренних углов треугольника либо равна двум прямым, либо больше, либо меньше суммы двух прямых. Так из первого допущения о прямом угле можно вывести, что если при пересечении двух прямых третьей величины соответственных углов одинаковы, то в этом случае (и только в этом случае) эти две прямые не пересекутся при их продолжении. Далее, из второго допущения следует, что они, напротив, пересекутся. И, наконец, из третьего допущения вытекает, что существует неограниченное число прямых, которые пересекутся с данной прямой, если проводить их через точку, не лежащую на этой прямой. Вероятно, в конечном счете Саккери, подобно другим исследователям, потерял основную нить в «безграничном болоте» рассуждений. Вполне возможно, что если бы в какой-то момент он отказался от привычной мысли о том, что «евклидова геометрия – это единственная истина», то, как знать, он, может быть, стал бы первооткрывателем неевклидовой геометрии. Много усилий для доказательства пятого постулата приложил также и Лежандр. Благодаря его усилиям этой проблемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Его книга, посвящённая евклидовой геометрии хорошо написана и выдержала несколько изданий. Почти в каждом из них Лежандр публиковал рассуждение, в котором, по его мнению, доказывался пятый постулат. Но неизменно в следующем издании автор признавал, что в его рассуждении использовалось некое утверждение (не сформулированное им явно) – «очевидное». То есть, постулат доказывался им с помощью утверждения, доказуемого с помощью самого постулата, если он верен. Другими словами, Лежандр заменял недоказуемый пятый постулат другой аксиомой.
Вот краткое описание одной из попыток Лежандра. Пусть а и b – две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой и пересекающие её в точках А и В. Эти две прямые а и b не пересекаются. Допустим, что пятый постулат Евклида неверен и через А можно провести ещё одну прямую а', также не пересекающую b (рис. 10). Симметричная ей (относительно АВ) прямая а'' также не пересекает прямую b. Рассматривая два получающихся острых угла α' и α'' (симметричных друг другу), Лежандр строго доказывает, что прямая а как при продлении её вправо, так и при продлении её влево всё более удаляется от прямой b. Но прямые а и b не могут вести себя подобным образом: если они не пересекаются, то должны находиться на ограниченном расстоянии друг от друга на всём своём протяжении. Рассуждения Лежандра кажутся весьма убедительными, однако на самом деле это просто другая аксиома: она следует из постулата о параллельных, и, в свою очередь, из неё вытекает справедливость постулата.
Основными результатами исследований Лежандра были, судя по всему, следующие выводы: из допущения, что длина прямых линий неограниченна следует, что сумма внутренних углов треугольника не может быть больше суммы двух прямых углов; если в одном треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым, то во всяком треугольнике эта сумма равна двум прямым. Считая, как и Саккери, евклидову геометрию «единственно истинной», он направил все свои силы на доказательство существования треугольника, сумма внутренних углов которого равна сумме двух прямых, но цели не достиг. В это же время Карл Гаусс (1777 – 1855) и некоторые из его учеников – Швейкарт (1780 – 1859), Тауринус (1794 – 1874) и другие – вступали в «эпоху неевклидовой геометрии». Первоначально Гаусс испытывал большое влияние Канта (1724 – 1804) и придерживался воззрений предшественников, считавших евклидову геометрию единственно истинной. Однако постепенно он пришёл к мысли о невозможности доказательства постулата о параллельных. Гаусс, по существу, был первым, кто поверил в возможность существования другой геометрии, помимо геометрии Евклида. Название «неевклидова геометрия» принадлежит ему (письмо Тауринусу от 8 ноября 1824 года). Хотя из писем и заметок Гаусса явствует, какое значение он придавал новой геометрии, он, однако, не напечатал трудов по этому вопросу. Считают, что это произошло потому, что Гаусс боялся шумных скандалов со стороны невежд и ретроградов, «мудрецов из Готама», которые могли вспыхнуть из-за исключительной новизны его идей. Говорят, что у него была идея опубликовать «в элегантной манере» положения неевклидовой геометрии вплоть до деталей. В 1832 году Гаусс прочёл приложение («Appendix») к учебнику по геометрии «Тентамент», изданному в том же году его другом Фаркашем Бойяи (1775 – 1856). В нём сын Фаркаша, Янош Бойяи (1802 – 1860), изложил основы неевклидовой геометрии. Пока же кратко обрисуем достижения учеников и последователей Гаусса. Швейкарт, профессор права в Марбургском университете, в 1818 году передал Гауссу свои геометрические исследования, содержание которых сводилось к новой системе геометрических представлений, в основе которых лежало положение о том, что сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Сам он дал своей системе название «Небесная или звёздная геометрия». Племянник Швейкарта Тауринус, который также интересовался проблемой параллельных линий, написал сочинение под названием «Основные элементы геометрии», в приложении к которому была приведена важная формула для углов треугольника в неевклидовой геометрии. Этот труд тогда не привлёк внимания учёного мира, и большую часть своих «Элементов» Тауринус сжёг. В начале XIX века начал свои попытки доказательства пятого постулата русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Первое время он шёл тем же путём, что и его предшественники, то есть пытался рассуждать от противного. Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не принадлежащую прямой b, (рис. 11) можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с b. Пусть прямые а' и а'' не пересекаются с b. При их расположении как на рисунке будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. Тогда найдётся прямая с', которая последним образом прямой а' при этом движении, который не пересекает b. Значит прямые, получающиеся из с' при повороте по часовой стрелке на сколь угодно малый угол будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из с' при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых, проходящих через точку А, прямая с' отделяет пересекающие b прямые от прямых, не пересекающих её. Сама прямая с' не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой с'', симметричной с' относительно перпендикуляра AP, опущенного на b. Лобачевский называет прямые с' и с'' параллельными прямой b, причём с' параллельна b вправо, а с'' параллельна b влево. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b (такие, как а' и а''), именуются расходящимися с прямой b. Далее обозначим длину отрезка АР через x, а острый угол, образуемый прямой с' или с'' с прямой АР, – через П(х) (рис. 12). Лобачевский вводит эти определения и обозначения стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие. Лобачевский доказывает (всё в том же предположении о неверности постулата о параллельных), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в стороны параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 13). А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 14). Это очень похоже на то, о чём писал Лежандр, но мы знаем, что здесь пока нет противоречия. Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые b и с и брёт на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону, обратную параллельности (рис. 15). В каждом положении точки М он восставляет перпендикуляр р к прямой b до его пересечения с прямой с. Длина перпендикуляра непрерывно возрастает при движении точки М, и, когда она попадает в некое положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. Точнее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой b в точке Q, параллелен прямой с (рис. 16). Построив прямую с1, симметричную с относительно перпендикуляра р, получим три прямые – b, с и с1, которые попарно параллельны друг другу (рис. 17). Возникает своеобразный «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они как бы находятся в бесконечности; рис. 18). Это уже никак не согласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий, но противоречия и здесь нет.
Тогда, применяя введённую им функцию П(х), он получает зависимости, позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказывается, что в любом треугольнике сумма внутренних углов меньше 180°. Значит, в четырёхугольнике Саккери (если разбить его диагональю на два треугольника; рис. 19) сумма углов меньше 360°.
Это означает, что мы находимся в условиях гипотезы острого угла – когда в четырёхугольнике Саккери угол φОднако Лобачевский оказался теперь намного богаче: он имел формулы, выражающие зависимости между сторонами и углами треугольника. Пользуясь своими зависимостями, Лобачевский доказал: если известны углы треугольника, можно однозначно вычислить его стороны. Однако существуют подобные треугольники, в которых при равных углах стороны могут отличаться по длине сколь угодно сильно. Казалось бы – вот оно, желанное противоречие. Но наличие подобных, но неравных друг другу треугольников доказывается с помощью аксиомы о параллельных прямых. А потому сам факт, что такие треугольники существуют, может рассматриваться как ещё одна новая аксиома, эквивалентная пятому постулату. И тогда Лобачевский сделал вывод: противоречия не будет никогда. Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получается непротиворечивая (см. гл. «Введение», стр. 3; «Аксиоматика Гильберта», прил. «Доказательство непротиворечивости аксиоматики Гильберта», стр. 11) геометрическая система – привычная нам евклидова геометрия; если же мы присоединим к остальным аксиомам утверждение, отрицающее пятый постулат, то получим другую геометрическую систему («Воображаемую» геометрию по Лобачевскому), которая тоже непротиворечива. Однако доказать непротиворечивость своей системы, построить её модель на материале евклидовой геометрии Лобачевскому не удалось. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей. Гаусс, не решившись поддержать Лобачевского, добился, однако, избрания его членом-корреспондентом Гёттингенского учёного общества. Это была единственная почесть, возданная Лобачевскому как учёному при жизни. Первая работа Лобачевского, посвященная этому вопросу вышла в 1826 году. Позднее, в 1840 году, им была опубликована работа «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Незадолго до смерти им была написана работа, подводившая итог его исследованиям, – «Пангеометрия». Фаркаш же Бойяи был другом Гаусса ещё по Гёттингену, и можно полагать, что они обсуждали проблему параллельных линий. Более того, два раза, в 1804 и 1808 году, Бойяи писал Гауссу о трудностях в поиске доказательства постулата о параллельных. Гаусс, обнаружив у него ошибки, ничего не ответил. Ф. Бойяи, впав в меланхолию от безрезультатных поисков ответа на этот вопрос, и занялся сочинением стихов и пьес. Его сын, Янош унаследовал от отца интерес к проблеме параллельных линий. Сначала он продолжал исследования отца, но затем стал склоняться к мысли о недоказуемости пятого постулата. В 1823 году он сформулировал идею неевклидовой геометрии и 23 ноября сообщил отцу о намерении опубликовать результаты своих исследований. Именно в это время Лобачевский в Казани, Гаусс в Гёттингене, Тауринус в Кёльне также находились на пороге великого открытия. Однако работа Бойяи не была опубликована до 1832 года. Сочинение Лобачевского «Геометрические исследования…» стало известно ему в 1848 году. Тогда он предпринял своего рода рывок, стремясь завершить большую работу по теории пространства, задуманную им ранее. Однако значительная часть его работы представляла собой нагромождение различных черновых набросков, не до конца осознанных и отработанных идей. Его стремление превзойти русского соперника осталось неосуществлённым. Сегодня является общепризнанным, что Бойяи, Лобачевский и Гаусс одновременно и независимо друг от друга открыли неевклидову геометрию, т. е, по сути непротиворечивую систему основывающуюся на своей непротиворечивой аксиоматике. Однако вызывает удивление тот факт, что неевклидова геометрия рассматривалась лишь в пределах гипотезы острого угла. Неевклидова геометрия, основанная на гипотезе тупого угла была рассмотрена Риманом в 1854 году. В его новой геометрии на сферической поверхности любые две линии пересекаются. Позже математикам (Клейну, Кэли, Пуанкаре и др.) удалось создать модель геометрии Лобачевского на материале евклидовой, и, таким образом, доказать непротиворечивость и законность новой геометрии. Часто встречающиеся в литературе названия геометрии Лобачевского – «гиперболическая», Римана – «эллиптическая» и евклидовой – «параболическая» принадлежат Клейну. Гаусс пытался выяснить, какова геометрия реального пространства Вселенной – гиперболическая, эллиптическая или параболическая. Для этого необходимо было ответить на вопрос, какова сумма внутренних углов треугольника. Известно, что Гаусс, будучи научным руководителем астрономической обсерватории, проводил измерения углов треугольников, образованных вершинами гор[2]. Однако он не вполне отдавал себе отчёт в том, сколь значительны неизбежные погрешности таких измерений. Открытие неевклидовой геометрии было первым ударом по взглядам на аксиомы, как на вечные и непреложные, «априорные» истины. Вместе с тем, крушение старого взгляда на аксиомы привело к раздвоению самого понятия «аксиома». Всё возрастающая в связи с запросами практики необходимость экспериментировать в области построения новых теорий, заменять одну аксиому другой, а так же их относительность, зависимость от ранее встречавшихся конкретных условий опыта и уровня науки, приводящая к невозможности выбрать раз и навсегда в качестве аксиомы такие положения, которые будут истинны абсолютно во всех условиях – всё это обусловило появление понятия аксиомы, несколько отличного от традиционного. Понятие аксиомы в этом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как оно проводится. Аксиомами данной теории называются просто те предложения этой теории, которые при данном построении её как дедуктивной принимаются за исходные, притом совершенно независимо от степени их простоты и очевидности. Заключение
Всё это лишь безумье. Так с ним бывает, на него находит, - а погодя, смиреннее голубки, уж выведшей птенцов своих златых, он замолчит, потупясь.
Уильям Шекспир Тема эта реферата такова, что её можно было бы рассматривать ещё долго, однако на этом мы остановимся и попытаемся подвести итоги проделанной работы. В реферате было рассмотрено историческое развитие аксиоматики геометрии, кратко указаны основные положения аксиоматического метода вообще, приведена современная геометрическая аксиоматика, рассмотрена также проблема аксиомы о параллельности и неевклидовых геометрий, в связи с чем представлен современный взгляд на понятие аксиомы. В школьном курсе геометрии аксиоматика в целостном виде не рассматривается, в программе не представлена даже сведённая воедино система аксиом. Аксиомы вводятся по мере изучения тем, с которыми они связаны, что не даёт возможности составить целостного мнения об аксиоматике. Эта работа решает, и, в первую очередь, для меня эту проблему. В своём реферате я попытался систематизировать материал возможно более удобным для читателя, «логичным» образом, не отходя там, где это необходимо, от строгого языка математики, и, в то же время стараясь не пресыщать изложение наукообразностью, вести его по возможности в относительно непринуждённом стиле. Некоторые выводы (например, рассуждения Лобачевского, приведшие к открытию неевклидовой геометрии) проиллюстрированы в реферате чертежами. Эта тема была выбрана мной постольку поскольку она позволяет рассмотреть достаточно широкий круг вопросов, включающий в себя не только математические выкладки, но могущий быть описан достаточно интересно как для меня, так и для непосвящённого читателя, если такой найдётся. Реферат вмещает достаточный объём строгих математических выводов и доказательств. Безусловно, одними из основных частей реферата являются те части, в которых приводятся сами системы аксиом геометрии и доказательства их законности. Чтобы иметь право рассматривать подобные доказательства представилось необходимым привести и общий метод их построения, сформулировать условия, которым должна отвечать система аксиом, дать определения используемым в изложении этих систем и доказательствах их законности терминам и понятиям. Не последнюю роль в выборе этой темы сыграло и то, что она напрямую затрагивает самые основы науки геометрии. Аксиоматика – система словесных утверждений, опирающихся на неопределяемые понятия, и тема, таким образом, балансирует на неуловимой грани между строгими логическими обоснованиями теории и тем, что принято отдавать на волю интуиции, а такое положение интересно само по себе. Использованная литература 1. Выпуск пятый в составе «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова – В. А. Ильин, Э. Г. Позняк «Аналитическая геометрия». Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1981 год. 2. Алексей Васильевич Погорелов «Основания геометрии», Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1979 год. 3. Мацуо Комацу «Многообразие геометрии», Москва, «Знание», 1981 год. 4. Энциклопедия для детей «Математика», Москва, «Аванта+», 1998 год. 5. Большая Советская Энциклопедия, Гл. Ред.: А. М. Прохоров, издание 3-е, Москва, «Советская Энциклопедия», 1969 год. [1] Под термином «прямая пересекает отрезок» мы подразумеваем, что указанная прямая содержит некоторую внутреннюю точку этого отрезка. 1 Из этой аксиомы вытекает возможность перемещения отрезка АВ вдоль прямой, на которой он лежит (с сохранением его длины и направления). Будем говорить, что направленный отрезок получен в результате перемещения направленного отрезка , если отрезок CD конгруэнтен отрезку АВ и если либо отрезок AD лежит внутри отрезка ВС, либо отрезок ВС лежит внутри отрезка AD. 1 Так как в неевклидовых геометриях отклонение суммы углов треугольника от 180° тем заметнее, чем больше его размеры, то Гаусс пытался уловить это отклонение, проводя при помощи световых лучей измерения очень больших треугольников, образованных вершинами соседних гор.