1. Табличные процессоры (электронные таблицы, назначение, структура, особенности, область применения). Указать способ имитации трехмерной таблицы, построение графика трехмерной таблицы.
Табличный процессор обеспечивает работу с большими таблицами чисел и другой информации. При работе с табличным процессором на экран выводится прямоугольная таблица, в клетках которой могут находиться числа, пояснительные тексты и формулы для расчета значений в клетке по имеющимся данным; в клетках таблицы могут содержаться ссылки на другие таблицы. Программные средства для проектирования электронных таблиц называют табличными процессорами. Они позволяют не только создавать таблицы, но и автоматизировать обработку табличных данных. С помощью электронных таблиц можно выполнять различные экономические, бухгалтерские и инженерные расчеты, а также строить разного рода диаграммы, проводить сложный экономический анализ, моделировать и оптимизировать решение различных хозяйственных ситуаций и т.д.
Функции табличных процессоров весьма разнообразны:
- создание и редактирование электронных таблиц;
- создание многотабличных документов;
- оформление и печать электронных таблиц;
- построение диаграмм, их модификация и решение экономических задач графическими методами;
- создание многотабличных документов, объединенных формулами;
- работа с электронными таблицами как с базами данных: сортировка таблиц, выборка данных по запросам;
- создание итоговых и сводных таблиц;
- использование при построении таблиц информации из внешних баз данных;
- создание слайд-шоу;
- решение оптимизационных задач;
- решение экономических задач типа “что – если” путем подбора параметров;
- разработка макрокоманд, настройка среды под потребности пользователя и т.д.
Наиболее популярными электронными таблицами для персональных компьютеров являются табличные процессоры Microsoft Excel, Lotus 1-2-3, Quattro Pro и SuperCalc. И если после своего появления в 1982 году Lotus 1-2-3 был фактически эталоном для разработчиков электронных таблиц, то в настоящее время он утратил свои лидирующие позиции. Результаты тестирования продемонстрировали явное преимущество Excel по многим параметрам. Единственное превосходство Lotus 1-2-3 – это скорость работы, но, опять же, превышение - небольшое.
Перспективные направления в разработке электронных таблиц основными фирмами-разработчиками определены по-разному. Фирма Microsoft уделяет особое внимание совершенствованию набора функциональных средств Excel, и в этом ее пакет явно лидирует среди всех электронных таблиц. Фирма Lotus основные усилия сконцентрировала на разработке инструментов групповой работы. Пакет Quattro Pro в результате тестирования получил достаточно высокие оценки, но ни одна из особенностей пакета не вызвала к себе повышенного внимания. Наиболее привлекательными оказались лишь возможности сортировки данных.
Ситуация, сложившаяся на рынке электронных таблиц, в настоящее время характеризуется явным лидирующим положением фирмы Microsoft – 80% всех пользователей электронных таблиц предпочитают Excel. На втором месте по объему продаж – Lotus 1-2-3, затем Quattro Pro. Доля других электронных таблиц, например SuperCalc, совершенно незначительна.Трехмерный график подразумевает, что задана функция z=f(x,y) двух переменных (x и y). Пример трехмерного графика показан на рис. 1 (функция ; x,yÎ[-5,5]):
Рис. 1.
Данные для построения трехмерного графика (трехмерную таблицу) можно хранить следующим образом: 1) известно, что аргументы x и y могут принимать значения в своих пределах: x Î [xn,xk], y Î [yn,yk], с постоянным шагом по каждой переменной: xi = xn+i*hx, yi = yn+j*hy, где x,y – независимые переменные; xn, yn, xk, yk – соответственно, начальные и конечные значения пределов изменения переменных; hx = (xk-xn)/nx, hy = (yk-yn)/ny – соответственно, шаги по независимым переменным x, y (при построении графика). 2) для построения графика в этом случае достаточно хранить в первых 6-ти ячейках таблицы – xn, xk, yn, yk, nx, ny, а в 7-й ячейке – ссылку на таблицу значений z=f(xi,yi), с количеством строк nx, столбцов – ny.
2. Случайная величина, закон распределения случайной величины. Смысл равновероятностного распределения величины. Отобразить графически распределение «белого шума».
Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая величина, которая при осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение. В опыте с подбрасыванием игральной кости нас интересовало число выпавших очков, т.е. величина, которая в зависимости от случая принимала одно из следующих шести значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Примерами случайных величин могут служить также:
а) количество бракованных изделий в определенной партии;
б) количество солнечных пятен с площадью, большей некоторого определенного значения, зарегистрированных астрономом в течение дня на солнечном диске,
в) число лепестков в цветке сирени,
г) количество дорожно-транспортных происшествий в городе в течение суток.
Для полной характеристики случайной величины необходимо, прежде всего, знать те значения, которые она может принимать. Но этого, разумеется, недостаточно. Помимо этого, нужно знать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное конкретное значение.
Будем обозначать случайную величину буквой X, ее возможные значения х1, х2, … хn., а соответствующие вероятности, с которыми эти значения принимаются Р1, Р2 , … , Рn.
Если для случайной величины Х известны все значения х1, х2, ., xn, , которые она может принимать, и все вероятности р1, р2, ., рn, с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения случайной величины X или просто распределение величины X.
Закон распределения удобно записывать п виде следующей таблицы:
Таблица 1.
x1
х2
х3
.
Хk
.
Хn
Р1
Р2
Р3
.
Рk
.
Рn
В первой строке таблицы записываются все возможные значения случайной величины, а под ними, во второй строке, - соответствующие вероятности появления соответствующих значений.
Рассмотрим n случайных событий:
А1 - случайная величина Х приняла значение х1,
А2 - случайная величина Х приняла значение x2,
………………………………………………………
Аn - случайная величина Х приняла значение An.
Очевидно, что сумма событий A1 A2, . , An является достоверным событием, так как хотя бы одно из значений x1, x2, xn случайная величина обязательно принимает.
Поэтому P (A1 È А2 È . È Аn) = 1.
Кроме того, события А1, А2, ., An - несовместны, т. к. случайная величина при однократном осуществлении опыта может принять только одно из значений х1, х2, ., xn. По теореме сложения для несовместных событий получаем
Р(А1)+Р(А2)+ .+Р(Аn)=1,
т. е. p1+p2+ . +pn = 1, или, короче,
Следовательно, сумма всех чисел, расположенных во второй строке Таблицы 1, дающей закон распределения случайной величины X, должна быть равна единице.
ПРИМЕР 1. Пусть случайная величина Х - число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения (в виде таблицы).
Случайная величина Х принимает значения
x1=1, х2=2, … , x6=6
с вероятностями
р1= р2 = … = р6 =
Закон распределения задается таблицей:
Таблица 2
1
2
3
4
5
6
ПРИМЕР 2. Биноминальное распределение. Рассмотрим случайную величину Х — число появлений события А в серии из независимых опытов, в каждом из которых А наступает с вероятностью р.
Случайная величина Х может, очевидно, принимать одно из следующих значений:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, равное k, определяется формулой Бернулли:
Рn(k)= где q=1- р.
Такое распределение случайной величины называется биномиальным распределением или распределением Бернулли. Распределение Бернулли полностью задается двумя параметрами: числом n всех опытов и вероятностью р, с которой событие происходит в каждом отдельном опыте.
Условие для биномиального распределения принимает вид:
Для доказательства справедливости этого равенства достаточно в тождестве
(q+рх)n=
положить x=1.
ПРИМЕР 3. Распределение Пуассона. Так называется распределение вероятностей вида:
Р(k)=.
Оно определяется одним единственным (положительным) параметром а. Если ξ – случайная величина, имеющая распределение Пуассона, то соответствующий параметр а - есть среднее значение этой случайной величины:
а=Мξ=, где М – математическое ожидание.
Случайная величина равна:
ПРИМЕР 4. Показательное распределение.
Если время является случайной величиной, обозначим его τ, таково, что
где 0Среднее значение случайной величины t есть:
Плотность распределения имеет вид:
4) Нормальное распределение
Пусть - независимые, одинаково распределенные случайные величины и пусть Если слагаемые достаточно малы, а число n достаточно велико, - если при n à ∞ математическое ожидание случайной величины Мξ и дисперсия Dξ равная Dξ=M(ξ–Мξ)2, таковы, что Мξ~а, Dξ~σ2, то
- нормальное или гауссово распределение
Функция распределения имеет вид:
.
5) Геометрическое распределение. Обозначим ξ число испытаний, предшествующих наступлению первого "успеха". Если считать, что каждое испытание длится единицу времени, то можно считать ξ временем ожидания до первого "успеха". Распределение имеет вид:
Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Гипергеометрическое распределение.
Имеется N – объектов среди которых n - "особых объектов". Среди всех объектов случайным образом выбирается k-объектов. Найти вероятность того, что среди отобранных объектов находится равно r - "особых объектов". Распределение имеет вид:
Р(x=r)=
7) Распределение Паскаля.
Пусть x - общее число "неудач", предшествующих поступлению r-го "успеха". Распределение имеет вид:
Функция распределения имеет вид:
Равновероятностное распределение подразумевает, что случайная величина x может принимать любые значения на отрезке [a,b] с одинаковой вероятностью. Плотность распределения при этом вычисляется как
Графики плотности распределения и функция распределения представлены ниже.
Перед тем, как объяснить понятие «белый шум», необходимо дать ряд определений.
Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента, является случайной величиной. Например, если U – случайная величина, то функция X(t)=t2U – случайная.
Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин {X(t)}, зависящих от параметра t.
Реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайной функции X(t) называют неслучайную функцию аргумента t, равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания. Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.
Реализации функции X(t) обозначают строчными буквами x1(t), x2(t) и т.д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X(t)=U sin t, где U – непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение u1=3, а во втором испытании u2=4.6, то реализациями X(t) являются соответственно неслучайные функции x1(t)=3 sin t и x2(t)=4.6 sin t.
Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.
Если t – время, то случайную функцию называют случайным процессом.
Математическое ожидание случайной функции:
неслучайная функция, значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента. Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать как «среднюю кривую», около которой расположены другие кривые – реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты).
Центрированной случайной функцией называют разность между случайной функцией и ее математическим ожиданием:
Рассмотрим случайную функцию X(t). При двух фиксированных значениях аргумента, например при t=t1 и t=t2 получим два сечения – систему случайных величин X(t1) и X(t2) с корреляционной функцией
Стационарной случайной функцией называется такая случайная функция, математическое ожидание которой сохраняет одно и то же значение при всех значениях аргумента t и корреляционные функции зависят только от разности аргументов t2-t1:
Спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называют функцию sx(w), которая связана с корреляционной функцией взаимно-обратными преобразованиями Фурье:
Белый шум – стационарная случайная функция, спектральная плотность которой постоянна: sx(w) = s = const. Корреляционная функция белого шума:
. Здесь 2ps – коэффициент пропорциональности, называемый интенсивностью белого шума; d(t) – дельта-функция (математическая абстракция):
Название «белый шум» объясняется некоторой аналогией с белым светом: белый свет представляет собой сумму всех спектральных составляющих, имеющих одну и ту же интенсивность. Белый шум представляет собой сумму гармонических колебаний всех частот, имеющих одну и ту же дисперсию амплитуды. Белый шум является к тому же чисто случайной функцией – т.е. для него x(t1), x(t2),… взаимно независимы для любого конечного множества значений аргумента t1, t2, … .
Библиография:
1. Колемсов О.В., Старовертов В.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., Высшая школа, 1991г.
2. Яковлев Г.И. Алгебра и начала анализа. чII.- М., Науки, 1988г.
3. Прохоров Ю.В., Розаков Ю.А. Теория вероятностей. – М., Наука, 1987г.
4. Гончаров Р.В., Любимов М.Ф. Информатика. Задачи, примеры и контрольные задания. - Ростов-на-Дону; РГЭА, 1999.
5. Гончаров Р.В., Любимов М.Ф., Савельева Н.Г. Информатика. Компьютерные системы и сети. Учебное пособие. - Ростов-на-Дону; РГЭА, 1998.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.
7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.
8. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: Энергоатомиздат, 1987.