Синергетика как естественная наука о структурных преобразованиях в открытой диссипативной нелинейной системе

Содержание Что такое синергетика Фазовые переходы и критические явления Динамический подход Диссипативные системы Газ Ван-дер-Ваальса
Магнитный фазовый переход. Точка Кюри Процесс горения в открытой системе Модель Шлёгля Динамика Ферхюльста Список литературы
Что такое синергетика Проблемы порядка и беспорядка, пространственной и временной организации являются предметом для изучения в самых разных областях современной науки. Как правило, общая черта этих явлений – это коллективное согласованное поведение системы и ее составляющих. Явления такого рода изучает новая дисциплина, получившая название синергетика. Чаще всего, под синергетикой понимают более узкую научную дисциплину о процессах самоорганизации в открытых неравновесных системах. Термин «синергетика» впервые был введен Германом Хакеном из Штутгартского университета (ФРГ) в начале 1970-х годов. Этот термин, происходящий от греческого слова synergetikos - совместный, согласованно действующий, определяет новое направление в науке, связанное с изучением закономерностей пространственно-временного упорядочения в самых разнообразных системах. Строго говоря, синергетика не является новой наукой, а представляет новое объединяющее направление в науке, цель которого состоит в выявлении общих идей, методов, закономерностей перехода материи от одного уровня организации к другому, проявляющихся в самых различных областях естествознания. Являясь одним из создателей теории лазеров, Г.Хакен заметил, что образование внутренних структур в лазере происходит в соответствии с законами, очень напоминающими конкуренцию молекулярных видов, описанную Манфредом Эйгеном (Институт Макса Планка в Геттингене). Анализ многочисленных подобных примеров приводит к выводу, что процессы структурообразования и самоорганизации в самых разных системах , являющихся предметом исследования в физике, химии, биологии, экономике, социологии, происходят в соответствии с небольшим числом сценариев, не зависящих от конкретной системы. Можно сказать, что возникновение синергетики тесно связано, с одной стороны, с созданием в 70-х годах общей физической теории фазовых переходов и критических явлений, а с другой стороны, с принципиальным пересмотром возможностей динамического подхода к описанию физических систем.
Фазовые переходы и критические явления Фазовые переходы, связанные с появлением в физической системе упорядочения, всегда были представлены как традиционный раздел классической термодинамики и статистической физики. Они имеют место в самых различных физических системах, и их общая черта – это переход от одной степени упорядочения к другой. Например, ферро- и антиферромагнетизм – упорядочение расположения магнитных моментов, сегнетоэлектричество – упорядочение электронных состояний, сверхтекучесть – упорядочение атомов гелия и т.д. Простой термодинамический подход, иллюстрирующий общую закономерность перехода к упорядоченному состоянию при изменении температуры, сводится к сравнению энтропии и внутренней энергии системы. Энтропия S связана со степенью беспорядка, и чем больше возможных состояний (конфигураций – пространственных и энергетических) имеет система, тем больше ее энтропия. Внутренняя энергия Е системы минимальна, как правило, при упорядоченном расположении частиц. Термодинамическая устойчивость системы при постоянном ее объеме в зависимости от температуры определяется минимумом свободной энергии F = E – TS. Следовательно, при высоких температурах отрицательное второе слагаемое в F существеннее первого, и минимум свободной энергии соответствует неупорядоченному состоянию. При низких температурах, наоборот, минимум свободной энергии связан с минимумом внутренней энергии, т.е. с упорядоченным расположением частиц. Компромисс энергетического и энтропийного факторов и определяет температуру упорядочения. Однако оказывается, что эта температура, если ее выразить в энергетических единицах, одного порядка с энергией межчастичного взаимодействия Это обусловливает основную теоретическую сложность проблемы фазовых переходов. Поскольку других величин размерности энергии в задаче нет, то не удается ввести малый параметр, так необходимый в любой физической задаче, когда ее невозможно решить точно. Наблюдаемые общие закономерности упорядочения у совершенно несхожих физических систем, позволяют предположить, что конкретный вид межчастичного взаимодействия может быть несущественным с точки зрения определения характера поведения различных термодинамических параметров вблизи точки фазового перехода. Следующий шаг – учет межчастичного взаимодействия в рамках теории среднего или "самосогласованного" поля. "Самосогласование" сводится к тому, что частица (молекула, атом и т.п.) считается находящейся в некотором усредненном поле, создаваемом другими такими же частицами, и, в свою очередь, сама частица создает поле для других частиц. Этот подход приводит к нелинейному уравнению для определения параметра порядка системы, в котором температура является параметром, определяющим характер его решения. Например, для магнитного фазового перехода при Т>Тс (Тс – точка Кюри) возможно только нулевое значение параметра порядка (намагниченности системы), а при ТОднако вблизи точки фазового перехода теория среднего поля несправедлива в силу усиления флуктуаций. Принципиально новым подходом к описанию фазовых переходов и критических явлений стала скейлинговая теория, основанная на гипотезе масштабного подобия критических флуктуаций.
Динамический подход Считается общепринятым представление о физике как о науке, имеющей дело с рядом точно решаемых динамических задач. Успех ньютоновской механики в описании и предсказании астрономических явлений в свое время выглядел чрезвычайно впечатляющим. Поэтому представлялось довольно естественным перенесение динамического подхода и на другие разделы физики, исходя из хорошо известной концепции лапласовского детерминизма, основанного на том, что какой бы сложной не была система, ее поведение можно принципиально предсказать точно, зная начальные условия и силы, действующие между ее составляющими частями. Однако практическое применение динамических методов к системам многих взаимодействующих частиц оказалось совершенно нереальным. Поэтому физика пошла по пути отказа от полного детерминированного описания многочастичных систем и перехода к неполному (частично детерминированному) описанию с использованием малого числа параметров. Но, тем не менее, идеология описания всегда была близка к динамической. Так, например, раздел физики, изучающий тепловые явления, недаром называется термодинамикой, так как он также построен по принципу динамики, то есть основан на некоторой системе уравнений, в принципе решаемых и дающих вполне определенное значение термодинамических величин. Статистическую физику (или как ее часто называют статистическую механику) можно в какой то мере рассматривать как особый вид динамики.
В квантовой физике появляется принципиально новое понятие вероятностного предсказания поведения системы. Но и в квантовой теории сказывается влияние динамического подхода. Это проявляется хотя бы в том, что этот раздел физики чаще всего называют квантовой механикой. Вслед за А. Эйнштейном неоднократно предпринимались попытки объяснить вероятностный характер поведения квантовой системы на основе неполноты ее описания, то есть предположения о существовании скрытых динамических параметров, подчиняющихся более точной динамической теории.
В последние годы было убедительно показано не только то, что в квантовой теории принципиально не может быть скрытых локальных параметров, но и существенно изменились взгляды на классическую механику. Оказывается, что большая часть механических систем принципиально неинтегрируема. И дело даже не в том, что математики не умеют найти решение дифференциальных уравнений в конечном виде, а в том, что само поведение реальной динамической системы больше похоже на хаотическое, случайное. В физике появился новый термин - динамический хаос. Так, например, до сих пор не получен ответ на вопрос об устойчивости солнечной системы, и специалисты склоняются к тому, что долгосрочный прогноз ее поведения невозможен. Несмотря на то, что современные компьютеры позволяют успешно управлять космическими объектами, остается верным и то, что их траектории по истечении достаточно большого времени становятся непредсказуемыми. Похожие проблемы возникают и в других областях. Невозможность адекватного представления о характере движения заряженных частиц в системе магнитных зеркал является главной причиной того, что физики до сих пор не смогли решить проблему управляемого термоядерного синтеза.

Диссипативные системы Хаотическое поведение могут проявлять не только консервативные системы, т.е. системы у которых энергия сохраняется, но и диссипативные системы. В гамильтоновых системах, для которых справедлива теорема Лиувиля о постоянстве фазового объема, хаотичность поведения проявляется в том, что начальное состояние ансамбля систем, непрерывно заполняющее некоторую локально ограниченную область фазового пространства, с течением времени сложным образом деформируется как бы "прорастая" и заполняя все фазовое пространство. Так как фазовый объем при этом сохраняется, то со временем исходная компактная область начальных состояний ансамбля превращается в рыхлый запутанный клубок множества нитей - фазовых траекторий отдельных систем ансамбля. В диссипативных системах фазовый объем с течением времени сокращается и в самом простом случае система стремится к состоянию равновесия, а фазовая траектория имеет вид устойчивого фокуса. Если диссипативная система является отрытой и извне в систему поступает энергия, то фазовый портрет системы может иметь вид предельного цикла (система испытывает колебания), а может перейти в режим сложного стохастического движения, которое называется странным аттрактором. Таким образом, фазовые траектории диссипативных систем соответствуют аттракторам - равновесию, периодическим колебаниям или странному аттрактору. В открытых диссипативных системах со многими аттракторами может развиваться процесс упорядочения или самоорганизации, что означает появление порядка в первоначально однородной системе. При рассмотрении процессов пространственно-временного упорядочения в открытых диссипативных системах, находящихся в сильно неравновесном состоянии, И.Пригожин ввел термин «диссипативные структуры». Дальнейшее развитие теории диссипативных структур и неравновесных фазовых переходов позволило не только проследить глубокую аналогию с теорией равновесных фазовых переходов, но и дать более обобщенное толкование критических явлений.

Газ Ван-дер-Ваальса Одно из наиболее известных уравнений состояния для N взаимодействующих между собой молекул газа, занимающих объем V при температуре T имеет вид (1.1) где P - давление, a и b - константы Ван-дер-Ваальса, характеризующие соответственно межмолекулярное притяжение и отталкивание. Нестрогий феноменологический вывод уравнения Ван-дер-Ваальса можно найти в школьном учебнике физики. Более строгий вывод с обоснованием принимаемых допущений будет подробно рассмотрен в лекции 4. Здесь отметим лишь, что межмолекулярное взаимодействие в уравнении состояния (1.1) учитывается в рамках теории самосогласованного поля. Рассмотрим зависимость удельного объема v=V/N от давления при заданном значении температуры. (1.2) Ясно, что удельный объем в данном случае может служить параметром, характеризующим фазовый переход газ-жидкость. Вводя безразмерные переменные где значения давления, объема и температуры в критической точке газ-жидкость, после соответствующего преобразования (1.1) получим следующее уравнение: , (1.3) решение которого дает искомую зависимость (1.2). На рис. 1.1 показан характерный вид зависимостей v = f(p,t). При t > 1 каждому заданному значению давления соответствует одно единственное значение удельной плотности. Это означает, что при Т>Ткр есть только одно фазовое состояние газа. При t обращается в бесконечность, что, в частности, определяет ее сингулярное поведение. обращается в бесконечность, что, в частности, определяет ее сингулярное поведение. Каждому промежуточному значению р между p1 и p2 соответствует три возможных значения удельного объема системы v1Рис. 1.1. физического смысла, т.к. соответствует отрицательной сжимаемости, а два других определяют жидкое и газообразное состояния системы. Значение давления, при котором происходит фазовый переход для данной температуры, определяется правилом равных площадей Максвелла (см. рис. 1.1).
Магнитный фазовый переход. Точка Кюри Рассмотрим пример перехода ферромагнетика из парамагнитного состояния в ферромагнитное состояние. Связь между намагниченностью m и внешним магнитным полем h согласно теории Кюри-Вейсса (более подробно см. лекцию 4) определяется нелинейным уравнением
, где t = Т/Тс – приведенная температура, а Тс – точка Кюри. В нулевом магнитном поле h=0 при t>1 уравнение (1.4) имеет только одно нулевое решение m=0, а приt На рис. 1.2 показан вид функции m = f(h=0, t) Точка t = 1 (или Т=Тс) является характерным примером так называемой точки бифуркации, т.е. переходу из области значений управляющего параметра (в данном случае температуры), отвечающей единственному решению уравнения, определяющего значение параметра порядка (в данном случае намагниченности), в область двух возможных значений параметра порядка. Следует отметить, что в самой макроскопической модели никак не заложено, какое конкретно решение уравнения (1.4) будет реализовано при охлаждении парамагнитного вещества ниже точки Кюри, когда вещество начинает вести себя как ферромагнетик. (1.4) Рис.1.2.
Процесс горения в открытой системе Предположим, что в некоторой ячейке (реакционном объеме) может происходить экзотермическая химическая реакция (1.5) характеризующаяся зависящей от температуры константой скорости k(T) и тепловым эффектом Q. Скорость выделения тепла при постоянной концентрации вещества [A], которая поддерживается за счет непрерывного притока от внешнего источника, определяется формулой (1.6) Здесь используется обычное выражение для константы скорости химической реакции, где k0 – предэкспоненциальный множитель, Еа – энергия активации реакции. Выделяющееся в результате реакции тепло расходуется на нагрев ячейки, а также имеет место теплообмен между ячейкой и окружающей средой. Тогда изменение температуры ячейки будет определяться следующим уравнением (1.7) где C - теплоемкость ячейки, g - коэффициент теплопроводности, T1 - температура среды. В зависимости от значения параметров возможны три различных ситуации (рис.1.3). Одна из них отвечает отсутствию горения (рис. 1.3а), Т=Т1, воспламенение невозможно, единственное стационарное состояние. Другая ситуация соответствует установившемуся стационарному режиму горения Т=Т3, и избыточное тепло, выделяющееся в результате реакции, отводится в окружающую среду (рис. 1.3в). И наконец, возможна ситуация, когда уравнение f(T)=0 имеет три решения Т1 Рис.1.3. Ячейка может находиться либо при температуре T1 (горение отсутствует), либо при температуре T3 - стационарное горение, при котором все выделяющееся тепло отводится в среду.
Модель Шлёгля Рассмотрим гипотетическую схему химических превращений, (1.8) происходящих при постоянных значениях концентраций веществ A и B. Тогда кинетическое уравнение для изменения во времени концентрации вещества Х имеет вид: dX/dt=k1AX2- k2X3-k3X+k4B=f(X) (1.9) Функция f(X), стоящая в правой части уравнения (1.9), является кубическим полиномом. Поэтому при определенном соотношении констант ki возможно одновременное существование трех стационарных значений концентрации вещества X (рис.1.4), два из них, Х1 и Х3, отвечают устойчивым стационарным состояниям, а Х = Х2 является неустойчивым. Кинетическое уравнение (1.9) записано в предположении равномерного пространственного перемешивания реагирующих веществ. В реальной системе пространственные локальные флуктуации концентрации могут Рис. 1.4. служить малыми возмущениями. Поэтому при этих условиях возникает бистабильный режим - колебания концентрации вещества Х между двумя устойчивыми значениями Х1 и Х3.
Динамика Ферхюльста Рассмотрим динамику изменения численности популяции исходя из следующих предположений. Пусть x0 - начальное значение численности популяции, а хn - численность популяции через n лет. Тогда относительный прирост популяции будет Рис. 1.5. Если R = const, то xn+1 = f(xn) = (1+R)xn = (1+R)xn = (1+R)nx0 . Пусть оптимальное значение численности популяции, которое соответствует ее равновесию со средой обитания Xопт = 1. Предположим, что относительный прирост популяции зависит от ее численности следующим образом Rn = r(1-xn) , где r - параметр роста xn+1 = f(xn) = r(1-xn)xn + xn = (1+r)xn - rxn2 Если начальное значение x0 = 0 или x0 = 1, то численность популяции со временем не изменяется, то есть x0 = 0 и x0 = 1 являются стационарными точками, причем x0 = 0 неустойчивое состояние, если r > 0. Рассмотрим устойчивость состояния x0 = 1. Пусть xn = 1 -dn , где dn - малое отклонение от состояния равновесия. Тогда xn+1 = (1-r)(1 -dn) - r(1 -dn)2 ~ (1+r) - (1+r) dn - r + 2rdn = 1 - (1-r) dn То есть dn+1 ~ (1-r) dn и xn+1 = 1 - dn+1 Если r 2,570 то поведение системы становится хаотичным (рис. 1.5). В данном примере мы имеем дело с последовательными бифуркациями (рис. 1.6). При изменении параметра r сначала происходит одна бифуркация (r=2), затем при r= Ö6 на каждой из двух ветвей появляется еще одна бифуркация. Рис. 1.6.
Список литературы 1. А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Введение в синергетику. — М. Наука. 1990. 2. "Новое в нелинейной динамике". — Физическая мысль России. 1997. т. 2/3. 1–112 с. 3. Ф. Мун. Хаотические колебания. — М.: Мир. 1990.
4. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение. — М., Мир, 1988.