Евклід

Під час завойовницьких воєн цар Олександр Македонський заснував багато міст. Деякі з них, особливо Александрія, значно розвинулись. Грецькі архітектори збудували Александрію за докладно розробленим планом. Місто перетинали під прямим кутом дві магістралі. Тут були широкі, вулиці й прямокутні квартали. Головна вулиця мала ширину 30 м і довжину 5,5 км. Близько третини міста займали царські палаци, храми, будинки жерців, вельмож і багатіїв.

Після смерті Олександра Македонського його величезна держава розпалася. Єгиптом почала правити династія грецьких царів Птолемеїв. Щоб звеличити себе і підвладну державу, цар Птолемей І запрошував до Александрії учених, поетів, скульпторів і філософів. Для них був збудований розкішний палац при храмі Муз — дев'ятьох супутниць бога Аполлона. У греків ці Музи вважалися охоронцями наук і мистецтва, тому збудований палац назвали Музейоном. Учені жили там на повному царському утриманні і займалися тільки науковими дослідженнями, філософією, поезією і мистецтвом. Музейон був центром наукового і культурного життя Єгипту, своєрідною академією наук.

Він приваблював до себе освічених людей, учених та поетів і своєю чудовою бібліотекою, у сховищах якої зберігалось понад п'ятсот тисяч рукописів. Серед учених, що жили і працювали у Музейоні, було багато грецьких математиків — Ератосфен, Герон та інші. Та найбільше для розвитку математики зробив геометр Евклід.

Історія не зберегла для нас достовірних відомостей про життя цього видатного вченого. Вважають, що Евклід народився в Афінах близько 325 p. до н. е. і на запрошення царя Птолемея І на початку III ст. до н. е. прибув до Александрії.

Працюючи в бібліотеці Музейону над упорядкуванням математичних манускриптів, Евклід створив славнозвісну працю з математики, яку назвав «Начала».

«Начала» Евкліда складаються з 13 «книг»-сувоїв. Перші шість книг присвячені планіметрії, VII—X книги — арифметиці і несумірним величинам, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, XI— XIII — стереометрії. І книга починається викладом 23 означень і 10 аксіом, причому перші п'ять з цих аксіом називаються «загальними поняттями», а решта — «постулатами» (у різних списках «Начал» є різні кількості аксіом і постулатів). Дальші означення містяться у вступах до інших книг. Формулюючи постулати, Евклід користується співвідношеннями рівності, які означаються «загальними поняттями» — аксіомами. Під розв'язанням задач Евклід розумів побудову за допомогою циркуля та лінійки. Зокрема, для Евкліда знайти площу або об'єм означало побудувати циркулем і лінійкою квадрат чи куб потрібної площі або об'єму.

«Начала» Евкліда закінчувались побудовою за допомогою циркуля і лінійки ребер п'яти правильних многогранників, вписаних у сферу даного радіуса, і дослідженням здобутих несумірних величин.

Видатний учений подолав неабиякі труднощі, щоб систематизувати, узагальнити та довести багато складних співвідношень між елементами просторових і плоских фігур, які виражаються деякими числами.

У той час ще не було не тільки буквеної символіки, а навіть знаків дій додавання, віднімання тощо. Усе записували словами та зображували геометричними малюнками.

Тепер, користуючись запровадженою в XVI—XVII ст. буквеною символікою, ми швидко і легко виводимо найрізноманітніші формули, які виражають залежності між різними, у тому числі й геометричними, величинами. Наведемо хоч би такий приклад. Кожний учень VI класу може швидко вивести формулу, за якою обчислюється квадрат суми двох чисел. Для цього досить суму чисел, позначених буквами, помножити саму на себе, тобто

(a + b)(a + b)=a2 + 2ab + b2.

Цю саму формулу Евклід виводить геометричне так (дивись малюнок). Він пропонує на відрізку АВ побудувати квадрат ABCD. Через точку Е (яка ділить АВ на два відрізки а і 6) провести ЕРЦВС, побудувати діагональ BD і провести через О пряму KM\\AB. Потім доводить таку теорему:

«Якщо дану пряму АВ поділити у будь-якій точці на два відрізки, то квадрат, побудований на цілій лінії, дорівнює двом квадратам і двом прямокутникам, побудованим на цих відрізках».

Суть міркувань полягає в обґрунтуванні того, що чотирикутники МВЕО і POKD — квадрати, з чого випливає, що чотирикутники ОЕАК і СМОР — два рівні прямокутники.

Ми навели приклад не дуже складного доведення. Проте у «Началах» чисто геометричними міркуваннями (без допомоги символів) доведено набагато складніші залежності. Серед них, наприклад, така, яку за допомогою сучасної символіки можна записати у вигляді:

Вираз лише при деяких значеннях букв є раціональним числом. Здебільшого це число ірраціональне. Такими числами виражаються відношення довжин несумірних відрізків. Можливо, що до їх вивчення Евклід прийшов, виводячи алгоритм (правило) знаходження спільної міри двох відрізків, тобто такого третього відрізка, який вкладається в першому і другому ціле число разів. Щоб знайти спільну міру двох відрізків, накладемо менший відрізок на більший так, щоб утворилася остача, менша від меншого відрізка, потім цю першу остачу відрізка (якщо вона є) —на менший відрізок, далі на першу остачу — другу, на другу — третю і т. д., аж поки якась з остач не вкладеться ціле число разів у попередній остачі. Це число і буде спільною мірою двох відрізків. Якщо ж процес нескінченний, то відрізки — несумірні. Процес, за допомогою якого знаходять спільну міру двох відрізків, називають алгоритмом Евкліда.

Величезне значення діяльності Евкліда у тому, що він підсумував і узагальнив всі попередні досягнення грецької математики і створив фундамент для її дальшого розвитку. Історики вважають, що «Начала»— це обробка творів попередніх грецьких математиків X—IV ст. до н. е. Історичне значення «Начал» Евкліда полягає в тому, що це була перша наукова праця, в якій зроблено спробу дати аксіоматичну побудову геометрії.

Аксіоматичний метод, що є провідним у сучасній математиці, своїм виникненням великою мірою зобов'язаний Евкліду. Жодна наукова праця не мала такого великого успіху, як «Начала» Евкліда. З 1482 р, «Начала» витримали понад 500 видань багатьма мовами світу.