Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин Обчислення площ пло

П
лан

• Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин


• Обчислення площі плоскої фігури


• Обчислення площі в декартових координатах


• Площа криволінійного сектора в полярних координатах

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

1. Площа плоскої фігури

1.1. Обчислення площі в декартових координатах

В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю
кривою

причому
на відрізку
може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою

(10.1)

Нехай у прямокутній системі координат фігура
(рис.10.1) обмежена кривими

Виділимо у фігурі смужку шириною
. Її довжина дорівнюватиме
. Тоді площа смужки
.

Звідси
Отже,

(10.2)

Рис.10.1 Рис.10.2

Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі

(10.3)

Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію
на відрізку
а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою

Зробивши заміну в цьому інтегралі
і враховуючи, що
одержимо

(10.4)

1.2. Площа криволінійного сектора
в полярних координатах

Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури
якщо:
,

У фігурі
виділимо сектор з центральним кутом
Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор
, є дугами кіл радіусів
. Очевидно, що площа сектора
між дугами
i
дорівнює
Інтегруючи, одержимо

(10.5)

Приклад 1.

Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою
, віссю
і прямою, яка з’єднує точку
, що лежить на гіперболі, з початком координат.

Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо

Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури
, а потім від площі трикутника
відняти площу фігури
.

Отже,
.

Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо

Оскільки

то
.

Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді

Рис.10.3 Рис.10.4

,

де
- функція, обернена відносно функції
.

Пропонується переконатися в цьому самостійно.

Приклад 2.
Знайти площу фігури, обмеженої кривою

.

Р о з в ’ я з о к.Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що
, тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса
з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках
, проходить

через початок координат при
, дотикаючись до прямих
. Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,