Пошукова робота
на тему:
Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.
План
Основні правила диференціювання.
Похідні від елементарних функцій.
Похідна від степеневої функції.
Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
Похідні від тригонометричних функцій.
Похідні від обернених тригонометричних функцій.
Похідна від складної функції.
1. Правила диференціювання
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.
10. Похідна від аргументу
Отже, якщо
1. Похідна від сталої функції
Значення цієї функції у точках
Перейшовши до границі, в останній рівності при
Границя відношення
Теорема. Якщо функції
Д о в е д е н н я. Надамо
Перейдемо в цій рівності до границі при
Тому
Отже, в цій точці
Теорему доведено.
Наслідок. Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто
4. Похідна від добутку.
Теорема. Якщо функції
Д о в е д е н н я. Надамо
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі
а
Отже,
Теорему доведено.
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо
5. Похідна від частки.
Теорема. Якщо функції
Д о в е д е н н я. Надамо
Знайдемо відношення
За умовою теореми
а
Теорему доведено.
Наслідок 1. Якщо знаменник дробу - стала величина, то
Наслідок 2. Якщо чисельник дробу стала величина, то
6. Похідна від оберненої функції.
Теорема. Нехай функція
Д о в е д е н н я. Надамо
Отже, від функції
Теорему доведено.
Якщо функція
або, що те саме,
У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними:
Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.
Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями
2. Похідні від елементарних функцій
Похідна від степеневої функції
Випадок натурального показника. Нехай
Розкриємо
Знайдемо відношення
Перейшовши в цій рівності до границі при
Отже похідна
Випадок довільного показника. Нехай
Нехай
Знайдемо відношення
або
де
Перейдемо до границі у рівності (6.28) при
Обчислимо окремо
Для цього введемо таке позначення:
причому
Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо
Отже,
Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо
тобто якщо
Розглянемо випадок, коли
тоді
Звідси випливає, що у випадку
Якщо
Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти
Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим.
3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій
1. Нехай маємо показникову функцію
Знайдемо в довільній точці
Тоді
Перейдемо тут до границі при
Таким чином, похідна від показникової функції
Зокрема,
2. Нехай маємо логарифмічну функцію
Оскільки
Отже,
Зокрема,
4. Похідні від тригонометричних функцій
1.
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі при
Отже похідна від функції
2.
3. Зобразимо
Скориставшись формулою (6.20), маємо
Отже,
4.
5. Похідні обернених тригонометричних функцій
1.
Тоді згідно з означенням функції
причому похідна
Оскільки
Отже, остаточно
2. Аналогічно можна вивести формули похідних
6. Похідна від складної функції
Функція однієї змінної.
Теорема. Нехай маємо складну функцію
або
Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.
Зауваження. Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції
Приклади.
1. Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення
2. Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення
Тому
Похідна від степенево-показникової функції.
Означення. Функція
Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.
Нехай дана функція
Диференціюємо обидві частини цієї рівності по
Звідси
або
Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу
Приклади.
1. Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к.
Зауваження. Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.
Приклад.
Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності:
Звідси
Похідна від складної функції кількох змінних.
Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції
Приклади.
1. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
Нехай задана функція
Нехай
Приклад.
Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к.
Якщо, зокрема,
Нехай
Приклад.
Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |