Математические методы исследования экономики.

Лекия 1
Всегда и во всех сферах своей деятельности человек принимал
решения. Важная область принятия решений связана с производством.
Чем больше объем производства, тем труднее принять решение и,
следовательно, легче допусить ошибку. Возниает естественный
вопрос: нельзя ли во избежание таких ошибок использовать ЭВМ ?
Ответ на этот вопрос дает наука, называемая кибернетика.
Кибернетика (произошло от греческого "kybernetike" - искусство
управления) - наука об общих законах получения, хранения, передачи
и переработки информации.
Важнейшей отраслю кибернетики является экономическая кибернетика
- наука, занимающаяся приложением идей и методов кибернетики к
экономическим системам.
Экономическая кибернетика использует совокупность методов
исследования процессов управления в экономике, включая экономико-
математические методы.
В настоящее время применение ЭВМ в управлении производством
достигло больших масштабов. Однако, в большинстве случаев с помощью
ЭВМ решают так называемые рутинные задачи, то есть задачи, связанные
с обработкой различных данных, которые до применения ЭВМ решались так
же, но вручную. Другой класс задач, которые могут быть решены с
помощью ЭВМ - это задачи принятия решений. Чтобы использовать ЭВМ для
принятия решений, необходимо составить математическую модель.
Так ли необходимо применение ЭВМ при принятии решений ?
Возможности человека достаточно разнообразны. Если их упорядочить,

0Z
VЃY
]
`[
T1W


Z
UaY
]
@[
X
X

0Z
VБY
]
`[
S
QS
R R
P
SPR
PSQ[
T1X

Z
UaY
]
@[
WЃ
X

0Z
VБY
]
`[
S
S
QR
R P
QR
R QQR
R P
QR
R PQR
R P
QR
R QQR
R P
QR
R PQR
R P
QR
R QQR
R P
QR
R PQR
R P
QR
R QQR
R P
QR
R 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ень правдоподобия времени выполнения задачи; одна
оценка достаточна лишь для случая полной уверенности.В свою очередь,правдо
подобие может быть выражено в статистических терминах,то есть в виде кривой
плотности распределения,описывающей частоту реализации различных длительностей
операции,выполняемой большое число аз.
Вероятность завершения операции в рассматриваемом примере за 4 ( или
за 7)рабочих дней составляет,как указывалось выше,0.01.Наиболее ве-
роятно,что операция закончится за 6 дней.Предполагается,что если опе-
рация выполняется большое число раз, причем ведется регистрация всех
данных, то график частот длительности даст асимметричную кривую, на-
зываемую функцией.Приведенные числовые оценки длительности выпол-
нения операций и вероятность реализации представлены b-функцией на
схеме 1. Вертикальные линии над точками 4.0 6.0 7.0 обозначают час-
тоту реализации операции за то число рабочих дней, которое измеряется
по горизонтальной линии.
Вследствие того, что вертикальная линия в точке 6.0 не делит площадь
под кривой на две равные части, вероятность завершения этой операции
за 6 (или меньше) рабочих дней не равна 0.5. Для определения ожидаемой
длительности операции этого типа используются средневзвешанные значе-
ния. Ожидаемая длительность, или математическое ожидание, как мы пом-
ним, вычисляется по формуле;
а+4m+b
=------
6
То есть в нашем примере равна
4+4*6+7
------- = 5.8

Лицо, оценившее наиболее вероятную длительность операции в 6 дней,
было настроено пессимистически, поскольку 5.8 меньше 6.
На схеме 2 делит площадь под -функцией на 2 равные части.
Таким образом, вероятность окончания операции не более чем за 5.8
рабочего дня равна 0.5.
Другая интерпретация этого обстоятельства такова; представляет
собой длительность, для которой существуют равные шансы на окончание
операции либо раньше, либо позже.

Рассмотрим другой случай, где оценки таковы;
а=4
m=5
b=18
4+4*5+18
=-------- = 7.0
6

Это показано на рисунке 3.
Как и на предыдущем рисунке, здесь делит площадь под b-функцией на
две равные части. Т. о., вероятность окончания операции за ожидаемое
время 7.0 рабочих дней равна 0.5. В этом случае прогноз был оптимисти-
ческим, поскольку больше оценки наиболее вероятной длительности,
равной 5.

МЕРА РАЗБРОСА

Рассмотрим две операции А1 и А2 со следующими длительностями;
А1 А2
а=4 а=3
m=6 m=5
b=8 b=13

4+24+8 3+20+13
=------ =6 =------- =6
6 6

Для каждой операции =6, хотя оптимистическая, наиболее вероятная,
и пессимистическая оценки сильно различаются. Мера разброса указанных
оценок называется дисперсией D.
b-a 2
D( )= (-----)
6

8-4 2
D(А1)=(-----) =0.444
6

13-3 2
D(А2)=(------) =2.777
6
По существу мера разброса характеризует неопределенность, связанную с
процессом оценивания продолжительности операции. Если мера разброса велика,
то есть оптимистическая и пессимистическая оценки сильно отличаются друг
от друга, то это означает большую неопределенность относительно времени
завершения оаерации. Соответственно малая мера разброса указывает на
сравнительную определенность времени завершения операции.

****,длительность выполнения проекта и резервы могут быть рассчитаны
с помощью прямого и обратного прохода.
Поскольку вероятность выполнения каждой операции за ожидаемое время
t(ij) =0.5.,то вероятность окончания всего проекта за время Ts =
сумме t(ij),также равна 0.5. Но длительность выполнения проекта уже
не описывается B-функцией,как это имеет место для отдельных операций
проекта. Предполагая,что проект состоит из большого числа операций,
получим результирующее распределение его длительности,близкое к нор-
мальному;поэтому можно принять,что ожидаемая длительность выполнения
проекта имеет нормальное распределение.
Может оказатья,что ожидаемая длительность выполнения проекта Ts
неприемлима для руководства,вместо нее выбирается другое время Tc,
меньше,чем Ts. Tc
Для определения вероятности реализации проекта за Tc нужно рассмотреть
стандартное отклонение кривой нормального распределения, вычисляемое
по формуле:
g(t)= корень квадратный из суммы мер разброса операций.
Рассмотрим пример состоящий из четырех операций:
A B C D
1-------------2-------------3---------------4----------5
a = 4 a = 3 a = 2 a = 4
m = 6 m = 8 m = 4 m = 5
b = 8 b = 9 b = 7 b = 6
******=6+7.33 + 4.17 + 5 = 22.5
Величина стандартных отклонений длительности выполнения проекта равна
g(t)=***********=1.5
на рисунке изображена плотность
распределения вероятностей длит
ельности выполнения проекта для
нашего примера.
Здесь стандартное отклонение иллюстрирует степень неопределенности вы-
полнения проекта за время Tc. В пределах одного стандартного отклонения
с обеих сторон от Ts длительность выполнения проекта может измениться
от 21 до 24 единиц времени (22.5+-1.5) вероятность этого равна 0.68.
(площадь под кривой в границах +-g)
Чтобы найти вероятность завершения проекта к определенному моменту
времени необходимо вычислить величину Z по формуле
планируемая длительность - ожидаемая длительность
Z =-----------------------------------------------------
стандартное отклонение
а затем использовать эту величину для определения вероятности по таб-
лице стандартного нормального распределения, где для каждой величины Z
соответствует определенная величина вероятности.
В нашем примере определим вероятность выполнения проекта не позднее,
чем за 21.5 дней.
21.5 - 22.5
Z =-------------- = - 0.67.
1.5
в таблице для данного Z вероятность выполнения составит 0.25.
**********************************************************************
и субкритический, длительностью немного меньше.
Но если сумма мер разброса для этого субкритического пути больше,чем
для критического, то на практике такой субкритический путь с большой
вероятностью может стать критическим.
Так,имея критический путь ожидаемой длительностью = 80 ед.времени
и стандартном отклонении =2, вероятность окончания проекта между 74
и 86 ед. времени равно 0.9987.
Если субкритический путь имеет длительность = 78,то стандартное от
клонение =5,то с той же вероятностью 0.9987 работа на этом пути будет
закончена между 63 и 93. Отсюда следует,что превращение субкритического
пути в критический весьма вероятно.