Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет.
Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.
Расчетно-проектировочная работа
Плоская задача теории упругости
Выполнил:
Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила:
Т.П. Виноградова
Н.Новгород 2002 г.
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена
пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепления пластины.
[pic]
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть
коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля
упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений (х, (у, (ху (объемные силы не
учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на
миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив
компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для
наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем
масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.
Дано: а3=1/3, а4= 1
Е=0,69*106 кг/см2
(=0,33
Решение:
1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому
уравнению.
Ф(х,у)=[pic]
Поскольку производные
[pic]
-бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы
равными нулю.
(х=[pic]
(у=[pic]
(ху=[pic]
3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным
аналитическим напряжениям.
[pic]
4.Проверяем равновесие пластины
[pic]
Уравненения равновесия:
(х=0 -Т5+Т6=0 > 0=0
(y=0 Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0
(M=0 M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений
и положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основных площадках. (х=0, (у=-1,33,
(ху=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:
[pic]=-0,665(3,396 кгс/см2 [pic]
(max=(I=2,731 МПа
(min=(II= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.
[pic]
[pic] (I=39,36o
[pic] (II=-50,64o
6.Определяем компоненты деформации
[pic]
7.Находим компоненты перемещений
[pic]
Интегрируем полученные выражения
[pic]
((у), ((х) –некоторые функции интегрирования
[pic]
[pic] или
[pic]
После интегрирования получим
[pic] где с1 и с2 – постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для ((у) и ((х) компоненты перемещений
имеет вид
[pic]
Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:
1) [pic]v =0 или [pic]
2) v =0 или [pic]
3) u =0 или [pic]
Окончательные выражения для функций перемещений u и v
[pic]
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого
перемещение в 9-ти точках.
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 | |координаты |Х(см) |-10 |0 |10 |10 |10 |0 |- 10 |-10 |0 | | |У(см) |10 |10 |10 |0 |-10 |-10 |-10 |0 |0 | |V*10-4 |3,8 |0,77 |0,58 |-0,19 |0 |0,19 |3,2 |3,1 |0 | |U*10-4 |-3,1 |-3,5 |-3,9 |-1,9
|0 |-0,23 |-0,45 |-1,8 |-1,9 | |
[pic]
Масштаб
V длин: в 1см – 2см
V перемещений: в 1см - 1*10-4см