Московский энергетический институт
(технический университет)
ТВЕРДОТЕЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
Конспект лекций
Москва, 2002 г.
Содержание
Лекция 1 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ 4 1.1. Электропроводность полупроводников 4
Лекция 2 9 1.2. Электроны в кристалле 9
1.2.1. Энергетические зоны. Свободные носители зарядов: электроны и дырки. 9
1.2.3. Легирование кристаллов донорной или акцепторной примесью, полупроводники "n" и "p" типа . 22
Лекция 3 27
1.2.4. Расчет концентрации носителей заряда в кристалле. 27
Лекция 4 39
1.2.5. Зависимость скорости электрона от напряженности электрического поля. Понятия эффективной массы и подвижности. 39
1.2.6. Расчет электропроводности полупроводниковых кристаллов на основе рассмотренных моделей. 47
Лекция 5 55
1.2.7. Неравновесные электроны и дырки. Рекомбинация неравновесных носителей заряда. 55
Диффузионный и дрейфовый токи. 58
1.2.8. Уравнение непрерывности. 60
ВВЕДЕНИЕ
Современная научно-техническая революция и переход от
индустриального к информационному обществу в значительной степени
обусловлены повышением производительности интеллектуального труда за
счет информационных технологий, материальную основу которых составляют
твердотельные полупроводниковые приборы и устройства на их основе.
Полупроводниковые приборы широко используются и в силовой электронике
предоставляя эффективные способы преобразования и генерации
электроэнергетических потоков. Поэтому курс полупроводниковой
электроники стал одним из базовых курсов практически для всех
специальностей электротехнического профиля и начинает изучаться
сравнительно рано - на втором курсе. При этом имеется тенденция к его
дальнейшему "омоложению" - к более раннему изучению разделов, связанных
непосредственно с физикой электронных процессов в твердом теле, что
предъявляет особые требования к доступности изложения сравнительно
сложных электронных взаимодействий, позволяющих осуществлять управление
электронными потоками в твердых телах и создавать современные
устройства информационной и силовой электроники.
Основное содержание дисциплины составляет изучение принципов работы и
характеристик основных приборов, являющихся базовыми для любых
полупроводниковых приборов. Поскольку курс предназначен для подготовки
инженеров, рассмотрение любых процессов в приборе, заканчивается
составлением некоторой модели и выводом расчетных соотношений. Безусловно
использованные модели являются упрощенными, однако тем не менее они
позволяют связать параметры материалов и конструкции прибора с его
характеристиками и позволяют оценить реакцию прибора на то или иное
воздействие окружающей среды и, что особенно важно, способствуют
установлению связи между разрозненными процессами и их свойствами и
созданию некоторого обобщенного образа твердотельной электронной среды и
сформированных на ее основе устройств. Именно последнее является наиболее
важной и наиболее трудной задачей курса достижению которой способствует
лабораторный практикум и расчетный проект.
Лекция 1
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
1.1. Электропроводность полупроводников
По способности проводить электрический ток все твердотельные
материалы принято делить на проводники, полупроводники и диэлектрики
или изоляторы. К группе проводников относят материалы с
проводимостью ? > 106 Ом-1см-1, к ним относятся металлы, в
которых высокая проводимость обеспечивается высокой концентрацией
электронов проводимости. Напротив в диэлектриках, как правило при
комнатной температуре электронов очень мало и их проводимость, в
основном носит ионный характер, поэтому она мала ?
Ом-1см-1. В промежуточную группу попадают полупроводники, которые в
зависимости от их состава и концентрации примесей могут иметь
концентрацию электронов близкую к нулю (тогда они являются
изоляторами) и близкую к концентрации электронов в металле (тогда они
являются проводниками). Возможность изменять в широких пределах
электропроводность не только технологическими методами, но и
используя внешние воздействия, позволила создать на основе
полупроводников твердотельные электронные приборы. Именно изучение
этих приборов и используемых в них методов управления электронными
потоками и составляет основное содержание данного курса. Металлы и полупроводники помимо величины электропроводности
отличаются так же и зависимостью электропроводности от температуры. В
металлах электропроводность с температурой, как правило, падает почти
по линейному закону .
[pic], (1.1)
где T и T0 – температуры измерения (T > T0), ? – температурный коэффициент.
В полупроводниках, в которых отсутствуют дефекты и примеси (их принято
называть собственными) с ростом температуры проводимость растет примерно по
экспоненциальному закону:
[pic] (1.2)
где ?0 – некоторая слабо изменяющаяся величина (часто ее
температурной зависимостью пренебрегают), ?E – энергия температурной
активации проводимости (ее принято измерять в эВ), k – постоянная
Больцмана (8.614210-5 эВ.К-1), T - абсолютная температура
(в градусах К). Если прологарифмировать (1.2), то получим:
[pic] (1.3)
[pic]
Рис. 1.1. Зависимость электропроводности не легированных материалов от температуры
Из (1.3) видно - логарифм проводимости линейно зависит от 1/T, причем
наклон прямой линии определяется величиной ?E, поэтому для
полупроводников графики электропроводности очень удобно строить
откладывая по вертикальной оси проводимость в логарифмическом
масштабе, а по горизонтальной оси величину пропорциональную обратной
температуре (для удобства используют масштабный множитель 1000), см.
рис. 1.1.
На следующем рисунке показана зависимость электропроводности собственного
кремния от температуры при освещении его солнечным светом, подтверждающая
сильное влияние внешних воздействий на свойства полупроводников.
[pic]
Рис. 1.2. Влияние освещения на температурную зависимость электропроводности: 1 – зависимость измеренная в темное,
2 – на свету.
Изменение электропроводности может быть связано изменением
концентрации носителей заряда и их скорости. Как показали
эксперименты в большинстве случаев в полупроводниках основным
фактором является изменение концентрации носителей заряда. Особенно
сильно концентрация носителей заряда зависит от концентрации
введенной примеси (обычно говорят от степени легирования). На рис.
1.3 показана измеренная на образцах кремния, легированных примесью
фосфора или бора, зависимость удельного сопротивления кремния ? = 1/?
от концентрации примеси. Из графика видно, что путем введения
примеси проводимость полупроводника действительно можно изменять
вплоть до проводимости близкой к металлической ? ? 104 (? ? 10-4).
[pic]
Рис. 1.3. Влияние легирования на электропроводность кремния (пунктиром показана линейная зависимость).
Следует обратить внимание на тот факт, что при увеличении концентрации
примеси на 9 порядков, проводимость образца возрастает на 8 порядков, т.е.
существует почти линейная зависимость между проводимостью и концентрацией
примеси.
Легирование влияет не только на величину электропроводности, но и
на ее температурную зависимость, что демонстрируют кривые,
приведенные на рис. 3.4. Как видно из графиков в области высоких
температур электропроводность легированного материала стремится к
электропроводности нелегированного. В области низких температур
проводимость изменяется незначительно, имея слабо выраженный
максимум. Для сильно легированных кристаллов проводимость изменяется
с температурой подобно проводимости металлов.
[pic]
Рис. 1.4. Температурная зависимость электропроводности легированных кристаллов, степень легирования в см-3 проставлена около соответствующих кривых, пунктирная линия соответствует нелегированному материалу.
Поскольку для создания полупроводниковых приборов с заданными
характеристиками необходимо объяснить наблюдаемые особенности
полупроводниковых материалов, научиться ими управлять и заранее
прогнозировать поведение материала в тех или иных условиях, то
необходимо создать модель описывающую процессы электропроводности
полупроводников. Эта модель в первом приближении должна объяснять:
. экспоненциальный рост проводимости с температурой для нелегированных материалов;
. изменение проводимости и ее температурной зависимости при легировании полупроводников;
. изменение проводимости и ее температурной зависимости при облучении полупроводников светом, бомбардировке высокоэнергетическими частицами и т.п. По определению электропроводность характеризует изменение
протекающего через образец тока при изменении приложенного к нему
напряжения. В свою очередь величина электрического тока
характеризуется количеством заряда переносимого через поверхность в
единицу времени, т.е. для его характеристики необходимо знать
концентрацию и скорость способных перемещаться зарядов. Таким образом
приступая к изучению твердотельной электроники прежде всего
необходимо рассмотреть процессы, которые приводят к появлению в
однородном образце свободных носителей заряда и то как внешнее
электрическое поле влияет на скорость их перемещения. Контрольные вопросы. 1. Каково соотношение значений проводимости для проводников, полупроводников и диэлектриков?
1. Каково соотношение значений удельного сопротивления для проводников, полупроводников и диэлектриков?
2. Как экспериментально определить к какому классу материалов относится образец: к полупроводникам или металлам?
3. По какому закону изменяется с температурой электропроводность чистых
(собственных полупроводников)?
4. Как влияет введение примесей на величину и температурную зависимость электропроводности полупроводников?
Лекция 2
1.2. Электроны в кристалле
1.2.1. Энергетические зоны. Свободные носители зарядов: электроны и дырки.
Известно, что первичными и единственными носителями заряда являются
электроны и протоны. В вакууме и газах электроны и протоны могут быть
свободными, в твердых телах и жидкостях электроны и протоны связаны с
атомами и их заряды нейтрализуют друг друга.
Полупроводниковые кристаллы образуются из атомов, расположенных в
определенном порядке. Естественно возникает вопрос, если в атоме
электроны связаны с ядром, то откуда в состоящем из атомов кристалле
берутся свободные заряды, способные перемещаться по кристаллу
создавая электрический ток. Действительно, если представить атом как
изолированный шарик, то тело полученное из миллиардов уложенных в
правильном порядке шариков все равно останется изолятором, поскольку
в нем способные переносить заряд не появятся. Для того, чтобы
объяснить как в металлах и полупроводниках появляются свободные
электроны необходимо использовать закономерности микромира. Впервые
эти закономерности были использованы Бором для объяснения электронной
структуры атома. Работы бора стимулировали работы по квантовой
механике, которая в настоящее время используется для объяснения
поведения электронов в атомах, молекулах и твердых телах.
Согласно современным представлениям атомы состоят из положительно
заряженных ядер вокруг которых распложены заполненные электронами
оболочки. При этом каждому электрону соответствует строго
определенный уровень, на котором не может находиться более двух
электронов с разными значениями спина, характеризующего вращение
электрона. В магнитном поле этот уровень расщепляется на два близко
расположенных уровня.
Согласно законам квантовой механики, электроны могут находиться
только в строго определенных энергетических состояниях. Изменение
энергии электрона возможно при поглощении или испускании кванта
электромагнитного излучения с энергией, равной разности значений
энергий на начальном и конечном уровне. Поэтому оптические спектры
поглощения (или излучения) атомов, соответствующие электронным
переходам на свободные дискретные уровни, так же должны быть
дискретны, что и наблюдается в экспериментах (рис. 1.5.)
[pic]
Рис. 1.5. Диаграмма, иллюстрирующая энергетический спектр электронов в атоме (модель Бора) и ожидаемый спектр поглощения.
Электронные оболочки принято обозначать буквами и числами (N).
Число N называют главным квантовым. Отсчет его значения
осуществляется от уровня, ближайшей к ядру N = 1, 2, 3, 4 и т.д.,
оболочки имеют соответствующие буквенные обозначения: K, L, M, N, и
т.д.
На каждой оболочке может находиться несколько электронов, причем
каждому из них соответствует свой энергетический уровень, со своим
пространственным распределением заряда, который часто называют
орбиталью. Энергетические уровни электронов (орбитали) внутри
оболочки (с одним числом N) принято обозначать буквами: s (нижний
уровень), p, d, f и т.д. Причем чем выше энергия оболочки (больше N),
тем большее число электронов может на ней находиться, или другими
словами ей соответствует большее число орбиталей. Так первой оболочке
соответствует один уровень - орбиталь 1s, т.е. на этой оболочке могут
находиться только два электрона с разными спинами. Соответственно
конфигурацию с одной оболочкой имеют только два атома – водорода и
гелия.
Второй оболочке соответствуют три уровня: одна орбиталь 2s и
три орбитали 2p, т.е. в этой оболочке могут находиться шесть
электронов.
Третей оболочке соответствуют девять уровней: одна орбиталь 3s,
три орбитали 3p, пять орбиталей 3d, т.е. в этой оболочке могут
находиться до 18 электронов.
При увеличении числа электронов в атоме, заполнение оболочек
происходит по определенным правилам:
. первыми заполняются низшие по энергии орбитали ;
. на любой орбитали может находиться не более двух электронов с противоположными значениями спина (принцип запрета
Паули);
. заполнение орбиталей одной оболочки начинается одиночными электронами с параллельными спинами, пары начинают образовываться только после того как каждая орбиталь имеет по одному электрону (правило Гунда).
Именно на основе правил заполнения оболочек построена
периодическая таблица элементов Д.И. Менделеева. Один ряд таблицы
соответствует элементам, в которых происходит заполнение внешней
(валентной) оболочки, переход от одной ячейке к другой в пределах
ряда соответствует добавлению одного электрона.
При сближении двух атомов , например водорода, их орбитали
начинают перекрываться и возможно возникновение связи между ними.
Существует правило, согласно которому число орбиталей у молекулы
равно сумме чисел орбиталей у атомов, при этом взаимодействие атомов
приводит к тому, что уровни у молекулы расщепляются, при этом чем
меньше расстояние между атомами, тем сильнее это расщепление.
На рис. 1.6. показана схема расщепления уровней для пяти атомов
при уменьшении расстояния между ними. Как видно из графиков при
образовании между атомами связей валентные электроны формируют
разрешенные для электронов зоны, причем число состояний в этих зонах
тем больше, чем больше взаимодействующих атомов. В кристаллах число
атомов более чем 1022 см-3, примерно такое же количество уровней в
зонах. При этом расстояние между уровнями становится чрезвычайно
малым, что позволяет считать, что энергия в разрешенной зоне
изменяется непрерывно. Тогда электрон, попавший в незанятую зону
можно рассматривать как классический, считая, что под действием
электрического поля он набирает непрерывно энергию, а не квантами,
т.е. ведет себя как классическая частица.
[pic]
Рис. 1.6. Энергетическое расщепление 1s и 2s уровней для пяти атомов в зависимости от расстояния между ними
При образовании кристаллов образуемые валентными электронами
зоны могут быть частично заполненными, свободными или полностью
заполненными электронами. При этом если между заполненными и
свободными состояниями запрещенная зона отсутствует, то материал
является проводником, если существует небольшая запрещенная зона, то
это полупроводник, если запрещенная зона большая и электроны за счет
тепловой энергии в нее не попадают, то это изолятор. Рисунок 1.7.
иллюстрирует возможные конфигурации зон.
Для проводников разрешенная зона частично заполнена электронами,
поэтому даже при приложении внешнего напряжения они способны набирать
энергию и перемещаться по кристаллу. Такая структура зон характерна
для металлов. Уровень F, разделяющий заполненную электронами и
незаполненную часть зоны называют уровнем Ферми. Формально его
определяют как уровень вероятность заполнения которого электронами
равна 1/2.
[pic]
Рис. 1.7. Возможная структура энергетических зон, создаваемых валентными электронами в кристаллах
Для полупроводников и диэлектриков структура зон такова, что
нижняя разрешенная зона полностью заполнена валентными электронами,
поэтому ее называют валентной. Потолок валентной зоны обозначают Ev.
В ней электроны перемещаться под действием поля (и соответственно
набирать энергию) не могут, поскольку все энергетические уровни
заняты, а согласно принципу Паули электрон не может переходить с
занятого состояния на занятое. Поэтому электроны в полностью
заполненной валентной зоны не участвуют в создании
электропроводности. Верхняя зона в полупроводниках и диэлектриках в
отсутствии внешнего возбуждения свободна от электронов и если каким
либо образом туда забросить электрон, то под действием электрического
поля он может создавать электропроводность, поэтому эту зону называют
зоной проводимости. Дно зоны проводимости принято обозначать Ec.
Между зоной проводимости и валентной зоной находится запрещенная зона
Eg, в которой согласно законам квантовой механики электроны
находиться не могут (подобно тому как электроны в атоме не могут
иметь энергии не соответствующие энергиям электронных оболочек). Для
ширины запрещенной зоны можно записать:
Eg = Ec – Ev (1.4.)
В полупроводниках в отличие от изоляторов ширина запрещенной
зоны меньше, это сказывается в том что при нагреве материала в зону
проводимости полупроводника попадает за счет тепловой энергии
значительно больше электронов, чем в зону проводимости изолятора и
проводимость полупроводника может быть на несколько порядков выше чем
проводимость изолятора, однако граница между полупроводником и
изолятором условная.
Поскольку в отсутствии внешнего возбуждения валентная зона
полностью заполнена (вероятность нахождения электрона на Ev = 1),
зона проводимости полностью свободна (вероятность нахождения
электрона на Eс = 0), то формально уровень Ферми с вероятностью
заполнения Ѕ должен был бы находиться в запрещенной зоне. Расчеты
показывают, что действительно в беспримесных бездефектных
полупроводниках и диэлектриках (их принято называть собственными) он
лежит вблизи середины запрещенной зоны. Однако электроны там
находится не могут, поскольку там нет разрешенных энергетических
уровней.
[pic]
Рис. 1.7. Схематическое представление бездефектного кристалла кремния.
Основные элементарные полупроводники относятся к четвертой группе
таблицы Менделеева, они имеют на внешней оболочке 4 электрона.
Соответственно эти электроны находятся в S (1 электрон) и p (3
электрона). При образовании кристалла внешние электроны
взаимодействуют и образуются полностью заполненная оболочка с восьмью
электронами, как это показано на диаграмме рис. 1.7.
Элементы четвертой групп используют четыре электрона находящихся в s
и p орбиталях, но в разных электронных оболочках (N изменяется от 2
для С до 6 для Pb). При взаимодействии образуется гибридная sp3
орбиталь) в ее образовании участвует одна s орбиталь и 3p – орбитали).
Эта орбиталь состоит из гибридизированных четырех орбиталей каждая из
которых с учетом спина может принять четыре электрона и таким образом
образуется заполненная внешняя оболочка с восьмью электронами. При этом
атом может образовывать химические связи с четырьмя соседями, т.е.
является четырежды координированными. Все связи эквивалентны и образуют
тетраэдрическую решетку (тетраэдр – фигура с четырьмя одинаковыми
поверхностями). Схема образования гибридной sp3 орбитали показана на
рис. 1.8.
Тетраэдрическая структура свойственна кристаллам алмаза. Такие
известные полупроводники как Si и Ge имеют структуру типа алмаза, это
и понятно, поскольку у них внешние электроны находятся на sp3
орбиталях.[pic]
Рис. 1.8. Схема образования гибридной sp3 орбитали и соответственно тетраэдрической структуры кристалла (типа алмаза).
На рис. 1.9 показана схема образования энергетических зон и sp3
орбиталей для кристаллов других элементов четвертой группы
периодической системы элементов Д.И. Менделеева. Как видно из рисунка
все зоны формируются на основе s и p состояний, но принадлежащих к
разным оболочкам (различно значение главного квантового числа N). Так
для углерода валентная оболочка формируется из 2s и 2p состояний
соответственно структура алмаза определяется гибридными 2sp3
состояниями. Для Si валентная оболочка формируется из 3s и 3p
состояний атома Si, соответственно структура кристаллической решетки
создается 3sp3 орбиталями, является тетраэдрической и аналогична
структуре алмаза. В Ge в образовании химических связей участвую 4s и 4p
электроны, Sn 5s и 5p электроны и т.д. При этом для образовавшаяся sp3
оказывается полностью заполненной, верхняя полностью свободной, т.е.
имеет место энергетическая структура соответствующая полупроводникам и
диэлектрикам с валентной зоной и зоной проводимости. Следует обратить
внимание на тот факт, что по мере роста числа N , движении по группе
таблицы Менделеева сверху вниз, ширина запрещенной зоны уменьшается и
для свинца обе зоны перекрываются, т.е. для этого материала реализуется
зонная структура, характерная для проводника.
[pic]
Рис. 1.9. Схема образования зон элементарных полупроводников четвертой группы периодической системы элементов.
Следует отметить, что sp3 гибридизация может происходить не только
для кристаллов элементарных полупроводников, но и для полупроводниковых
соединения. Необходимым для этого условием является то, чтобы электроны
внешней оболочки исходных компонентов принадлежали к s и p оболочкам и
чтобы суммарное число на внешней оболочки соединения равнялось 8 (тогда
нижняя зона оказывается полностью заполненной). Последнее условие будет
выполняться для соединений элементов первой и седьмой групп, второй и
шестой, третьей и пятой, т.е. для соединений A1B7, A2B6 , A3B5.
Действительно большинство из этих соединений является полупроводниками,
причем для них так же выполняется правило, что с увеличением номера
электронной оболочки атомов из которых образуется соединение ширина
запрещенной зоны уменьшается.
В качестве примера рассмотрим такое несколько полупроводниковых
соединений. Примеры из группы A3B5: GaAs: Eg = 1.43эВ (при Т=300К),
атомы компонентов имеют электронную конфигурацию внешних оболочек –
3s24p1 (Ga), 4p3 (As); InSb: Eg=0.18 эВ (при Т=300К), электронная
конфигурация валентной оболочки – 4s24p1 (In), 5p3 (Sb).
При уходе электрона в зону проводимости он делокализуется и может
перемещаться по зоне от одного атома к другому. Он становится
электроном проводимости и может создавать электрический ток. Обычно
говорят: появился свободный носитель заряда, хотя на самом деле
электрон не покидал кристалл, у него только появилась возможность
перемещаться из одного места кристалла в другое.
На месте откуда ушел электрон условие электронейтральности
нарушается и возникает положительно заряженная вакансия электрона,
которую принято называть дыркой (положительный заряд обусловлен не
скомпенсированным зарядом ядра).
На место откуда ушел электрон может переместиться соседний
электрон, что приведет к перемещению положительно заряженной дырки.
Таким образом перемещение валентных электронов заполняющих свободное
электронное состояние (запрет Паули снят) приводит к перемещению
вакансии в которой нарушено условие компенсации заряда, т.е. дырки.
Вместо того, чтобы рассматривать движение валентных электронов,
которых в валентной зоне чрезвычайно много рассматривают перемещение
положительно заряженных дырок, которых мало и которые так же как
электроны могут переносить заряд. Этот процесс поясняет рис. 1.10.
На рисунке 1.10 показан кристалл, в котором каким либо внешним
возбуждением, например квантом света с h? > Eg один из электронов
переброшен в зону проводимости (стал свободным), т.е. у одного из
атомов была разорвана одна из валентных связей. Тогда в кристалле
помимо не связанного с атомом электрона возник положительно
заряженный ион. Способность под действием поля перемещаться самого
иона очень мала, поэтому ее учитывать не следует. Поскольку в
кристалле атомы расположены близко друг от друга к этому иону может
притянуться электрон от соседнего атома. В этом случае положительная
дырка возникает у соседнего атома откуда ушел валентный электрон и
т.д. Для совершенного, не имеющего примесей и дефектов, кристалла
концентрация электронов будет равна концентрации дырок. Это
собственная концентрация носителей заряда ni = pi, значок i означает
концентрацию носителей для собственного полупроводника (intrinsic
–собственный). Для произведения концентраций электронов и дырок можно
записать: np = ni2 (1.5)
Следует отметить, то это соотношение выполняется не только для
полупроводников с собственной проводимостью, но и для легированных
кристаллов, в которых концентрация электронов не равна концентрации
дырок.
[pic] Рис. 1.10. Схематическое изображение возникновения электрона и дырки при поглощении света
Направление движения дырки отложено направлению движения электрона.
Каждый электрон находящийся в валентной связи характеризуется своим
уровнем. Все уровни валентных электронов расположены очень близко и
образуют валентную зону, поэтому перемещение дырки можно
рассматривать как непрерывный процесс, аналогичный движению
классической свободной частицы. Аналогично поскольку в зоне
проводимости энергетические уровни расположены очень близко,
зависимость энергии от импульса можно считать непрерывной и
соответственно движение электрона можно в первом приближении
рассматривать как движение классической свободной частицы. Таким
образом разгоняемый (говорят разогреваемый) электрическим полем
электрон в твердом теле на энергетической диаграмме перемещается от
дна зоны проводимости к ее потолку. Аналогично дырка разогреваемая
полем перемещается от потолка валентной зоны к ее дну (для нее отсчет
энергии идет относительно электрона в другую сторону). Поведение
электрона и дырки, как квазиклассических частиц нарушается в тот
момент когда они достигают высокоэнергетической границы
энергетической зоны. Для свободного классического электрона таких
границ нет и теоретически его можно разгонять вплоть до скорости
свет. Электрон в твердом теле достигший потолка зоны проводимости
должен упруго от нее отразится и пойти в обратном направлении,
достигнув дна зоны проводимости он отражается от него и идет вверх и
т.д. Таким образом если бы удавалось разогреть электронный (или
дырочный) газ в твердом теле до энергий порядка ширины разрешенной
зоны, то должны были бы возникнуть мощные высокочастотные колебания.
Однако осуществить такой разогрев не удается, поскольку горячие
носители начинают взаимодействовать с решеткой, отдавая ей часть
своей энергии, поэтому как для электронов, так и для дырок существует
некоторое предельное значение скорости (насыщение скорости в
электрическом поле) близкое к тепловой скорости электронов в твердом
теле (106 – 107 см/c)
[pic]
Рис. 1.11. Энергетическая диаграмма , поясняющая возникновение электрона и дырки в совершенном кристалле.
Таким образом в качестве носителей заряда в любой среде могут
выступать способные перемещаться под действием электрического поля
электроны - n, дырки - p, положительно и отрицательно заряженные ионы- ip и in . Для концентрации заряда в единице объема можно записать:
N = n + p + in + ip, (1.6)
Если (in + ip ) >> (n + p), то это материалы с ионной проводимостью,
что типично для диэлектриков.
Если (n + p ) >> (in + ip), то это материалы с электронной
проводимостью, это типично для полупроводников и металлов.
1.2.3. Легирование кристаллов донорной или акцепторной примесью, полупроводники "n" и "p" типа .
Наличие в кристалле примесей и дефектов приводит к появлению в
запрещенной зоне энергетических уровней, положение которых зависит от
типа примеси или дефекта. Для управления электрическими свойствами
полупроводников в них специально вводят примеси (легируют). Так
введение в элементарный полупроводник IV группы периодической системы
элементов, например Si, примеси элементов V группы (доноров) приводит
к появлению дополнительных электронов и соответственно преобладанию
электронной проводимости (n - тип), введение элементов III группы
приводит к появлению дополнительных дырок (p-тип).
[pic]
Рис. 1.12. Схема образования свободного электрона и заряженного донорного атома при легировании Si элементами V группы периодической системы
На рис. 1.12 показана схема кристалла Si, в который введен фосфор
(V группа). Элемент V группы (донор) имеет 5 валентных электронов,
четыре из них образуют связи с соседними атомами Si, пятый электрон
связан только с атомом примеси и эта связь слабее остальных, поэтому
при нагреве кристалла этот электрон отрывается первым, при этом атом
фосфора приобретает положительный заряд, становясь ионом.
[pic][pic] (1.7)
где Ed - энергия ионизации (активации) донорного атома.
Энергия ионизации доноров, как правило не велика (0.005 - 0.01
эВ) и при комнатной температуре они практически все отдают свои
электроны. При этом концентрация электронов, появившихся за счет
ионизации доноров примерно равна концентрации введенных атомов
примеси и значительно превосходит собственную концентрацию электронов
и дырок n>>ni, поэтому такие материалы и называют электронными
материалами (n-тип).
Введение донорной примеси приводит к увеличению концентрации
электронов, поскольку энергия связи электронов с примесным атомом
меньше, чем с основным атомом решетки, то ему легче оторваться.
При некоторой температуре (ее называют температурой истощения
примеси) почти все примесные атомы будут термически ионизованы, тогда
концентрация электронов в зоне проводимости будет примерно равна
концентрации донорных атомов: n ~ Nd+ ~ Nd (1.8)
При этом концентрация электронов становится значительно больше
концентрации дырок, которые могут возникнуть только за счет тепловой
активации валентных электронов. Такие материалы будут обладать
электронной проводимостью. Из называют материалами n – типа. Будем
называть электроны в них основными носителями и обозначать nn,
соответственно дырки будем называть неосновными носителями заряда и
обозначать pn.
Используя (1.5) и (1.7) получим для области истощения примеси:
[pic] (1.7)
Согласно (1.7) чем больше концентрация основных носителей, тем
меньше концентрация неосновных, это хорошо подтверждается в
экспериментах.
Рассмотрим, что происходит при введении в тот же Si элемента III
группы, например B. Элемент III группы имеет 3 валентных электрона,
которые образуют связи с соседними атомами Si, четвертая связь может
образовываться, если к атому B перейдет еще один электрон от одного
из его ближайших соседей, см. рис. 10. Энергия такого перехода не
велика, поэтому соответствующий принимающий (акцепторный) электрон
энергетический уровень расположен вблизи валентной зоны. При этом
атом бора ионизуется заряжаясь отрицательно, а в том месте откуда
ушел электрон образуется положительно заряженная дырка, которая может
участвовать в переносе заряда.
[pic]
где ev - электрон из валентной зоны, Ea - энергия акцепторного уровня
относительно потолка валентной зоны.
[pic]
Рис. 1.13. Схема образования свободной дырки и заряженного акцепторного атома при легировании Si элементами III группы периодической системы
Количество дополнительно появившихся дырок примерно соответствует
количеству введенных акцепторных атомов и, как правило, значительно
превосходит количество электронов, возникающих за счет переходов из
валентной зоны, поэтому материал легированный акцепторной примесью
является дырочным (p тип).
Введение акцепторной примеси приводит к увеличению концентрации
дырок и соответственно смещению уровня Ферми к валентной зоне (чем он
ближе к ней, тем больше концентрация дырок). При этом в соответствии
с (18) концентрация дырок уменьшается. Действительно используя (17) и
(20) получим для области истощения примеси:
[pic] (1.9)
Согласно (1.90 чем больше концентрация акцепторных примесей Na, тем выше концентрация основных носителей дырок заряда и ниже концентрация неосновных носителей электронов.
Контрольные вопросы.
1. Каковы отличия электронного спектра атомов от электронного спектра кристаллов?
2. Каковы будут отличия электронного системы состоящей из невзаимодействующих атомов (разреженный газ) от системы состоящей из взаимодействующих атомов (кристалл)?
3. Почему электроны в полупроводниковом кристалле могут переносить заряд, если он находятся в зоне проводимости и не могут переносить заряд, если они находятся в заполненной валентной зоне?
4. Объясните, почему кристаллы состоящие из элементов первой группы являются хорошими проводниками?
5. Как вы считаете, если бы удалось получить кристаллический водород, то он был бы проводником или полупроводником?
6. Почему в элементарных полупроводниках (четвертая группа периодической системы элементов Д.И. Менделеева) при увеличении атомарного веса ширина запрещенной зоны уменьшается?
7. Почему введение в кремний (германий) примесных атомов, принадлежащих к пятой группе периодической системы элементов приводит к появлению свободных электронов в зоне проводимости?
8. Почему введение в кремний (германий) примесных атомов, принадлежащих к третьей группе периодической системы элементов приводит к появлению свободных дырок в зоне проводимости?
9. Почему дырки в полупроводнике часто называют квазичастицами?
Лекция 3
1.2.4. Расчет концентрации носителей заряда в кристалле.
Приводимость любых твердых тел определяется прежде всего
концентрацией в них электронов и дырок способных переносить заряд.
Концентрация носителей заряда (этим термином будем обозначать только
свободные электроны и дырки) должна зависеть от температуры,
поскольку с увеличением температуры возрастает тепловая энергия
решетки и следовательно вероятность того, что какая то часть
валентных связей будет нарушена и соответственно возникнут электроны
и дырки.
Перечислим основные положения модели, которая используется для
расчета концентрации носителей заряда в кристаллах:
. кристалл является квантовой системой, поэтому поведение всех находящихся в нем электронов (и дырок) подчиняется закономерностям квантовой механики, т.е. как локализованные
(привязанные к атомам), так и “свободные” (способные перемещаться по кристаллу) электроны находятся в определенных квантовых состояниях, характеризуемых соответствующими энергетическими уровнями;
. в кристалле имеются состоящие из большого количества
(1022 эВ-1см-3) близко расположенных уровней зоны (расстояние между уровнями порядка 10-22 эВ);
. на одном энергетическом уровне в соответствии с принципом запрета Паули не может находиться более двух электронов с разным значением спина, т.е. электроны не могут перемещаться по состояниям занятым другими электронами;
. в термодинамическом равновесии электроны распределяются по энергетическим состояниям в соответствии с функцией распределения Ферми - Дирака:
[pic] (1.10)
где f(E,T) – вероятность нахождения электрона в состоянии с энергией
E, T –температура системы (в градусах К), k – постоянная Больцмана, F
– энергия уровня Ферми (это характеристическая энергия системы ниже
которой при T = 0K все состояния заполнены выше пустые
);
. поскольку энергетические уровни в разрешенных зонах очень близко расположены друг друга можно дискретное распределение состояний по энергиям заменить непрерывным N(E). На рис. 1.13 показан вид функции Ферми-Дирака при различных
значениях температуры.
[pic]
Рис. 1.13. Вид функции вероятности распределения по состояниям для различных температур
Как видно из (1.10) и рис. 1.13 вероятность нахождения частицы на
уровне с элегией F всегда равна Ѕ при всех температурах. В то же
время по мере роста температуры вероятность появления частиц выше
уровня Ферми возрастает. При температурах отличных от нуля, если E -
F > kT, то функция Ферми-Дирака хорошо представляется
экспоненциальной зависимостью (область в квадрате на рис. 1.13).
Соответствующее распределение называется распределением Больцмана:
[pic] (1.11)
Используя сделанные допущения возможно рассчитать количество
электронов находящихся в заданном энергетическом интервале ?E = E2
-E1:
[pic] (1.12)
где N(E) – распределение плотности энергетических состояний по
энергиям, f(E) – вероятность нахождения электрона на уровне с
энергией E.
В качестве примера на рис. 1.12 показано как используя функцию
распределения f(E) и функцию плотности состояния (N(E)~E1/2)
определить распределение электронов по энергиям в металле.
[pic]
Рис. 1.12. Схема расчета распределения электронов по энергиям в металле (или вырожденном полупроводнике) при использовании зависимостей N(E), f(E)? n(E)=N(E)f(E)
На рис. 1.12 (нижний график) показано распределение электронов
характерное для металлов или вырожденных полупроводников, т.е
полупроводников имеющих настолько высокую концентрацию примесей, что
в них уровень Ферми попадает в разрешенную зону и их проводимость
становится близкой к металлической. Из распределения рис. 1.12 можно
сделать один важный вывод, то в проводимости металлов могут
участвовать не все электроны, а только те энергия которых лежат
вблизи уровня Ферми (в объемном случае вблизи поверхности Ферми).
Действительно в электрическом поле электрон приобретает энергию,
следовательно он должен перемещаться на уровень расположенный выше
его начального состояния, а сделать это возможно только в том случае,
если лежащий над ним уровень не занят (запрет Паули), такая ситуация
имеет место только для электронов расположенных в энергетической
области непосредственно примыкающей к уровню Ферми.
В собственных полупроводниках и не вырожденных легированных
полупроводниках вероятность нахождения электронов в зоне проводимости
мала (много меньше 0,5), вероятность нахождения электрона в валентной
зоне велика (много больше 0,5), следовательно уровень вероятность
нахождения электрона на котором равна 0,5 (уровень Ферми) должен
находиться между зоной проводимости и валентной зоной, т.е. лежать
в запрещенной зоне. Действительно для невырожденных полупроводников
уровень Ферми всегда находится в запрещенной зоне и для расчета
концентрации электронов находящихся в зоне проводимости и дырок
находящихся в валентной зоне можно вместо уровня Ферми
воспользоваться распределением Больцмана.
Рассчитаем концентрацию электронов проводимости:
[pic] (1.13)
где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, она
зависит от форма зоны - Е(p) и температуры (слабо).
[pic] , (1.14)
где mn* - эффективная масса электронов в зоне проводимости, m – масса
о электрона, k- постоянная Больцмана, h- постоянная Планка [1].
Для того, чтобы рассчитать количество дырок в зоне проводимости
учтем, что вероятность заполнения энергетического уровня дыркой
равна:
[pic] (1.14)
Рассчитаем концентрацию дырок в валентной зоне:
[pic] (1.15)
где Nv – эффективная плотность состояний в валентной зоне.
[pic] (1.16)
Рассчитаем концентрацию электронов и дырок в собственном
полупроводнике. Для этого мы должны определить для него положение
уровня Ферми. Положение уровня Ферми в полупроводниках определяется
из условия электронейтральности.
[pic] (1.17)
Откуда получим:
[pic] (1.18)
Поскольку (Ec+Ev)/2 >>(kT/2)ln(Nv/Nc), то мы получили, что в
собственном полупроводнике уровень Ферми лежит примерно посередине
запрещенной зоны и его положение слабо зависит от температуры.
Обозначим концентрацию носителей в собственном полупроводнике
через ni2 и рассчитаем чему равно произведение концентрации
электронов и дырок, а так же значение ni2:
[pic] (1.19)
Т.е. концентрация электронов и дырок растет с температурой по
экспоненциальному закону с показателем равным половине ширины
запрещенной зоны. Эту зависимость удобно представлять на графиках
откладывая по вертикальной оси концентрацию в логарифмическом
масштабе, а по горизонтальной обратную температуру 1/T (обычно
откладывают 1000/T). Действительно прологарифмировав первое выражение
(1.17) получим:
[pic] (1.20)
Соответствующие зависимости для Ge, Si и GaAs показаны на рис.
1.13.
[pic]
Рис. 1.14. Зависимость концентрации носителей от температуры
Поскольку ni является некоторой характеристической величиной для
полупроводникового материла из соотношения np = ni2 следует, что
увеличение концентрации электронов за счет легирования материла будет
приводить к уменьшению концентрации дырок и наоборот увеличение
концентрации дырок при введении акцепторной примеси будет приводить к
уменьшению концентрации электронов. Таким образом это соотношение
позволяет по известной концентрации основных носителей заряда
рассчитать значения концентрации неосновных.
Рассмотрим как влияет легирование на концентрацию носителей
заряда и их температурную зависимость. Соотношения (1.13) и (1.15)
показывают, что между концентрацией носителей заряда и положением
уровня Ферми в образце существует однозначное соответствие:
[pic]
Зная концентрацию носителей мы можем определить положение
уровня Ферми (из 1.15 и 1.16 ):
[pic] (1.21)
Рассмотрим как изменяется концентрация носителей заряда и положение
уровня Ферми в легированном полупроводнике. Вначале рассмотрим
электронный полупроводник (n - тип), который получен легированием
донорной примесью, c соответствующим энергетическим уровнем Ed. На
рис. 1.15 показано ожидаемое изменение с температурой положения
уровня Ферми (изменением с температурой ширины запрещенной зоны и
положения донорного уровня в виду малости этих величин можно
пренебречь).
Поскольку при температурах близки к 0К все донорные уровни
заполнены электронами (f = 1), а зона проводимости свободна от
электронов (f = 0), то уровень Ферми (f = 1/2) должен находиться
между этими двумя уровнями (функция Ферми-Дирака непрерывна), т.е. в
запрещенной зоне. При повышении температуры электроны начинают
переходить с донорного уровня зоны в зону проводимости, переходами
из валентной зоны для температурной области 1 можно пренебречь.
Энергетическая конфигурация для этого случай такая же как для
собственного полупроводника с шириной запрещенной зоны Ec-Ed, в
котором вместо эффективная плотность состояний в валентной зоне равна
Ed, поэтому для расчета концентрации электронов и уровня Ферми в этой
области мы можем воспользоваться формулой (1.13), сделав
соответствующие замены:
[pic] (1.22)
Из (1.22) видно, что при температурах близких к 0K уровень Ферми
находится посередине между Eси Ed и затем по мере ухода электронов с
примесного уровня (переходы 1 на рис. 1.15) приближается к уровню Ed.
При некоторой температуре Ts уровень Ферми достигнет уровня Ed
концентрация электронов в зоне проводимости будет равна Nd/2 (f=1/2).
При дальнейшем увеличении температуры почти все электроны с донорного
уровня оказываются в зоне проводимости и донорный уровень больше не
может поставлять электроны в зону проводимости, поэтому эту
температурную область (2 на рис. 1.15) называют областью истощения
примеси. В области 2 концентрация электронов с ростом температуры
увеличивается только за счет электронных переходов из валентной зоны
(как в собственном полупроводнике): n (T) = Nd + ni(T) (1.23)
Соответственно для уровня Ферми в этой области мы можем записать см.
(1.21):
[pic] (1.24)
Начиная с некоторой температуры Ti начинает выполняться условие ni>Nd, с этого момента имеет место переход от примесной проводимости к собственной. При дальнейшем увеличении температуры будет выполняться условие ni>>Nd (область 3) и членом Nd в (1.24) можно пренебречь. Тогда (1.24) преобразуется к виду:
[pic]
Эту формулу мы уже получали для собственного полупроводника см.
(1.18). Таким образом в области высоких температур концентрация носителей заряда для легированных материалов стремится к концентрации носителей в собственном материале, т.е. легирование перестает оказывать влияние на концентрацию носителей, поскольку число электронов и дырок, генерируемых в результате переходов из зоны проводимости становится значительно больше концентрации введенной примеси (и соответственно концентрации носителей заряда полученных при ее ионизации).
[pic]
Рис. 1.15. Диаграмма, поясняющая изменение положения уровня Ферми с температурой, и возникновения трех различных областей изменения с температурой концентрации носителей в донорном полупроводнике.
Из рис. 1.15 видно, что по характеру поведения уровня Ферми
температурой можно выделить три основные области: область собственной
проводимости (1), область истощения примеси (2) и область
вымораживания примеси.
[pic]
Рис. 1.16. Температурные зависимости концентрации электронов в кремнии при различной степени легирования донорной примесью.
Концентрация доноров в см-3 проставлена около соответствующих кривых.
Областям с различным поведением уровня Ферми должно
соответствовать и различное поведение концентрации носителей заряда
см. (1.13) и (1.15) –основные формулы для расчета концентрации
носителей заряда. На рис. 1.16 схематически показано как будет
изменяться с температурой концентрация носителей заряда в
легированных полупроводниках (зависимости будут аналогичны для
материала легированного электронами и дырками). Представленные на
рисунке графики отличаются степенью легирования, при увеличении
степени легирования изменяются не только значения концентрации в
примесной области, но и значение температуры перехода к области
истощения Ts и к собственной проводимости Ti. Следует отметить, что
поскольку в большинстве полупроводниковых приборов используются
легированные полупроводники, то как правило их температурный диапазон
определяется областью истощения примеси Ts
(к сожалению это не справедливо для неосновных носителей).
[pic]
Рис. 1.17. Диаграмма, поясняющая способ определения положения уровня Ферми по температурной зависимости концентрации примеси в образце кремния.
Контрольные вопросы.
1. Каковы основные положения положены в основу статистики
Ферми-Дирака (Больцмана), используемой для расчета зависимости концентрации электронов и дырок от температуры?
2. Почему в полупроводниках чрезвычайно важно учитывать температурную зависимость концентрации носителей заряда (в металлах ее часто не учитывают, полагая постоянной )?
3. Какова вероятность заполнения электронами энергетического уровня с энергией соответствующей энергии Ферми (уровня
Ферми)?
4. В какой зоне расположен уровень Ферми в металлах?
5. Где распложен уровень Ферми в чистых бездефектных
(собственных полупроводниках)?
6. Перечислите основные отличия температурной зависимости концентрации носителей заряда в легированных и нелегированных полупроводниках.
7. В какой области температур концентрации свободных носителей заряда для легированных и нелегированных полупроводников будут мало различаться?
8. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации электронов от температуры определить степень легирования материала донорной примесью?
9. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации электронов от температуры определить положение уровня Ферми для любой температурной точки?
10. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным донорной примесью (например P) до концентрации 1015 см-3.
11. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным акцепторной примесью (например In) до концентрации 1015 см-3.
Лекция 4
1.2.5. Зависимость скорости электрона от напряженности электрического поля.
Понятия эффективной массы и подвижности.
электрический ток в образце зависит не только от концентрации
носителей заряда, но и от скорости с которой они переносятся под
действием электрического поля. После того как мы научились
рассчитывать концентрацию свободных носителей в твердом теле
рассмотрим как ведут себя носители заряда в кристалле при наложении
на него электрического поля.
Рассмотрение начнем с поведения единичного свободного заряда в
нейтральной не взаимодействующей с зарядом среде (допустим в
вакууме) при наличии электрического поля E, которое накладывается на
среду в момент t=0. Электрическое поле приводит к возникновению силы
электростатического взаимодействия F, под действием которой электрон
начнет ускоряться.
[pic], (1.25) где q, m – заряд и масса электрона, v и a его скорость и
ускорение. Таким образом в электрическом поле заряженная частица
разгоняется с постоянным ускорением пропорциональным напряженности
электрического поля и обратно пропорциональным ее массе. При этом
энергия частицы будет изменяться со временем по квадратичному закону
относительно импульса частиц или ее волнового вектора k (p= ћ k, где
ћ = h/(2?), h – постоянная Планка).
[pic] (1.26)
Поскольку приобретаемая заряженной частицей энергия не зависит от
направления электрического поля зависимость (1.5) симметрична
относительно импульса и волнового вектора (это параболоид выпуклость
которого определяется массой частицы).
Измерив зависимость энергии частицы от импульса (или волнового числа
мы можем ) используя (1.5) определить эффективную массу.
Действительно дважды продифференцировав (1.5) получим.
[pic] (1.27)
Предположим, что на частицу действует некоторая тормозящая сила F* о
существовании которой мы не знаем. Тогда уравнение (1.4) можно
переписать в следующем виде:
[pic] (1.28)
Соответственно, если для определения массы электрона (или любой
другой заряженной частицы) в некоторой взаимодействующей с частицей
среде воспользуемся формулой (1.6), то вместо массы электрона будет
рассчитана некоторая другая величина, которую будем назвать
эффективной массой электрона в данной среде.
[pic] (1.29) Поскольку при движении электронов (или других заряженных частиц) в
твердом теле внутренние поля неизвестны, то их характеристики
используют понятие эффективной массы.
[pic]
Рис. 1.18. Изменение скорости заряженной частицы в электрическом поле, при отсутствии взаимодействия со средой(1) и при торможении частицы средой.
На рис. 1.5 показано как будет со временем изменяться скорость
свободной частицы в электрическом поле, в соответствии с (1.4) и (1.7
). Эти формулы справедливы для случая, когда заряженная частица не
испытывает столкновений и в соответствии с ними частицу можно
разогнать электрическим полем до бесконечной энергии. Именно этот
принцип был использован в первых линейных ускорителях элементарных
частиц. По мере разгона частицы возрастает ее импульс и соответствующее ему
волновое число (величина, характеризующая величину волнового
вектора). На рис. 1.6. показаны соответствующие зависимости изменения
энергии частицы от величины волнового числа (импульса).
[pic]
Рис. 1.19. Зависимости энергии свободных зарядов от величины их волнового числа (импульса).
Как видно из рис. 1.18. и рис. 1.19 набираемая в электрическом
поле энергия частицы зависит от скорости частицы (волнового числа) и
массы. Поскольку выпуклость кривой характеризуется ее второй
производной можно сделать вывод, что чем меньше эффективная масса
частицы, тем больше выпуклость, см. (1.27) и (1.29).
В кристалле энергия электрона (дырки) в разрешенной зоне не может
превысить значение потолка разрешенной зоны, следовательно импульс и
волновой вектор так же имеют ограничения, причем максимальное
значение волнового числа должно быть кратно постоянной решетки. На
рис. 1.20 показана рассчитанное изменение энергии электрона от
величины волнового числа (значения) импульса для кубического
кристалла.
[pic]
Рис. 1.20. Зависимость энергии от волнового числа (импульса) в кристалле (a – постоянная решетки вдоль заданного направления)
Из рисунка видно, что в электронном представлении у потолка валентной
зоны знак эффективной массы изменяется (должно происходить отражение
частицы). Следует отметить, что у дна зоны проводимости энергия имеет
параболическую зависимость от импульса (волнового числа):
[pic] (1.31)
Если вести отсчет от дна зоны проводимости Ec = 0, то зависимость энергии
электрона от импульса (волнового вектора) будет такая же как для свободного
электрона см. (1.26). Это дает нам основание рассматривать электроны в зоне
проводимости, находящиеся вблизи дна зоны проводимости как свободные
частицы (иногда говорят квазисвободные или квазичастицы), считая что они
подчиняются тем же закономерностям, что и свободные частицы, но отличаются
от них величиной эффективной массы, которую вблизи дна зоны можно считать
постоянной (пока выполняется параболическое приближение).
Аналогичный подход справедлив и для дырки. Вводя дырку мы переходим от
электронного представления к дырочному, т.е. мы принимаем, то масса дырки
положительная, а заряд отрицательный и энергия ее отсчитывается от потолка
валентной зоны к ее дну, тогда дырка будет вести себя так же как электрон у
потолка валентной зоны. При этом энергия дырки у потолка валентной зоны
так же изменяется по параболическому закону как и для электрона:
[pic] (1.32)
Таким образом дырку, находящуюся потолка валентной зоны так же можно
рассматривать как свободную частицу.
В реальной жизни электрон в электрическом поле не может набирать
энергию до бесконечности, рано или поздно он столкнется с другой частицей и
отдаст ей накопленную энергию. Вероятность столкновений частиц в газах и
твердых телах характеризуется временем или длиной их свободного пробега.
Эти же величины характеризуют движение носителей заряда в твердом теле.
Схема, приведенная на рис. 1.21 показывает изменение скорости
электрона в образце, к которому приложено напряжение и поясняет
физический смысл подвижности. Электрон участвует в хаотическом
тепловом движении, причем в различные моменты времени его скорость
имеет случайное направление так что смещение его в любом направлении
равновероятно. В электрическом поле электрон приобретает
дополнительную скорость под действием поля, так что продолжая
участвовать в тепловом движении он постепенно смещается под действием
поля. Средняя скорость тем выше, чем больше длина свободного пробега
и чем меньше эффективная масса частицы.
[pic]
Рис. 1. 21. Диаграмма, поясняющая движение электрона в твердом теле
Поскольку электрон набирает энергию в поле за время свободного
пробега и отдает ее при столкновении с решеткой или другими
носителями заряда, то средняя скорость, которую приобретают носители
в направлении поля, будем называть ее скоростью дрейфа зарядов vдр
должна зависеть от средней длины свободного пробега ?.
[pic] (1.36)
Коэффициент пропорциональности между дрейфовой скоростью и
напряженностью электрического поля обычно называют подвижностью
носителей заряда и обозначают ?:
? = q?/m* (1.37)
Как видно из (1.36) и (1.37) подвижность имеет размерность в
системе СИ м2/(Вс) , широко так же используются значения подвижности
с размерностью см2/(Вс).
Предположим, что ток через ток образце создается электронами
концентрация которых n см-3 и средняя дрейфовая скорость vдр.
Поскольку величина тока равна заряду, проходящему через сечение
образца в единицу времени можем записать:
I=Sqnvдр=Sqn?E (1.38)
Для единичной площади из (1.35) получится уравнение для плотности
тока:
J = q?nE (1.39)
Поскольку в дифференциальной форме закон Ома имеет вид:
J = ?E, (1.40)
где ? – электропроводность образца (Ом.м или Ом.см )
Сравнив (1.39) и (1.40) получим формулу для электропроводности:
? = q?n (1.41)
Если электрический ток создается различными носителями (всего N
типов) с концентрацией каждого типа ni , то:
[pic] (1.42)
таким борзом мы видим, что проводимость материала определяется двумя
основными параметрами: подвижностью носителей заряда и их
концентрацией.
Величина подвижности пропорциональна длине свободного пробега,
которая зависит от частоты столкновений носителей заряда с решеткой
или атомами примеси. Поскольку при столкновениях носители отдают
энергию, а затем вновь набирают, т.е. энергия носителя релаксирует,
то принято говорить о механизмах ее релаксации. За время релаксации
принимают среднее время в течение которого электрон полностью отдает
свою энергию.
Существует множество механизмов рассеяния (релаксации ) энергии
свободных носителей заряда. Однако, для полупроводников, наиболее
существенные два: рассеяние на решетки и рассеяние на ионизованной
примеси.
Для рассеяния на решетке справедливо :
?r = ?r0T-3/2,
(1.43) т.е. ?r ~ T-3/2 и с ростом температуры подвижность носителей падает.
Действительно длина свободного пробега носителей заряда тем меньше, чем
сильнее колеблется решетка l ~ 1/T , для скорости носителей справедливо v
~ T1/2 (mv2=3kT), ?r ~ ? = l/v ~ 1/T3/2. Таким образом рост, в случае если
доминирует рассеяние на решетке (примесей мало), то с ростом температуры
подвижность падает и следовательно падает проводимость ( как это имеет
место в металлах).
При рассеянии на заряженной примеси ?i ~ ? ~ T3/2 .
?i = ?i0T3/2
(1.44)
Таким образом, если в образце доминирует рассеяние на примесях, то с
ростом температуры подвижность возрастает и соответственно возрастает
проводимость.
Значения множителей ?r0 и ?i0 зависят от химического состава материала,
наличия в нем дефектов и примесей, степени их ионизации (для разных
образцов одного материала эти значения могут быть различными).
При одновременном действии нескольких механизмов рассеяния для расчета
подвижности можно воспользоваться понятием эффективной подвижности
носителей, которая будет определяться всеми, имеющими место механизмами
рассеяния. Для случая, когда доминирует рассеяние на колебаниях решетки и
ионизованной примеси для эффективной подвижности можно записать (считая,
что акты рассеяния - независимые события):
[pic][pic]
(1.45)
На рис. 1.21 схематически показана зависимость эффективной подвижности
от температуры в полупроводниковом материале с разной концентрацией
примеси. Графики построены в соответствии с формулами (1.43) и (1.45).
Кривая 1 соответствует образцу без примесей. Кривые 2, 3, 4 образцам с
разным содержанием примеси (большему номеру соответствует большее
содержание примеси). На этом же график приведены соответствующие кривые для
чисто решеточного ?r и примесного рассеяния: ?r2 , ?r3, ?r4.
Характер изменения электропроводности полупроводников с
температурой, в том случае, если не изменяется концентрация носителей
заряда будет определяться температурной зависимостью подвижности и
зависимости будут аналогичны показанным на рис. 2 (это может быть в
примесной области температурной зависимости проводимости).
[pic]
Рис. 1.21. Диаграмма, поясняющая температурную зависимость подвижности
?ef, при рассеянии на решетке ?r и ионизированной примеси ?iK.
1.2.6. Расчет электропроводности полупроводниковых кристаллов на основе
рассмотренных моделей.
Электропроводность полупроводникового кристалла определяется
электропроводностью электронов и дырок, поэтому для нее, используя
(1.42) можно записать:
? = ?n+?p = q?nn + q?pp = q(?nn + ?pp) (1.46)
Как видно из (1.46) электропроводность полупроводника зависит от
концентрации носителей заряда и подвижности, значения которых зависят
как от технологии так и температуры.
Собственный полупроводник.
Для чистого бездефектного кристалла с проводимостью близкой к
собственной справедливо n = p = ni см. (1.19), тогда для
электропроводности собственного полупроводника можно записать:
[pic] (1.50)
Поскольку ?0(T) слабо зависит от температуры в оценочных расчетах
принимают предэкспонциальный множитель постоянным равным значению
электропроводности при T>?. Формула (1.50) хорошо описывает
экспериментальную кривую электропроводности для чистых кристаллов с
совершенной структурой (см. рис. 1.1. ) и из экспериментальной
зависимости используя соотношение (1.50) можно определить такие
характеристические параметры материала как Eg и ?0. Легированный полупроводник.
Для легированного кристалла можно выделить несколько температурных
областей как для изменения с температурой концентрации (см. п.п.
1.2.4 рис. 1.16 ), так и для изменения с температурой подвижности
носителей заряда (см п.п. 1.2.5 рис. 1.21). При этом в области, где
доминирует примесная приводимость ni(T)n и соответственно будут иметь место следующие
уравнения.
[pic] (1.68)
Каждое из приведенных уравнений является частным случаем более
общего уравнения (1.66) и используется для анализа процессов в
полупроводниковых материалах и приборах именно для частных случаев, что
значительно упрощает поиск возможного решения. Решение уравнения (1.66)
достаточно в общем виде весьма сложно и, если это требуется по условиям
задачи, то обычно выполняется численными методами с использованием
соответствующих компьютерных программ.
Аналогично для n типа n>>p Для p соответственно будут иметь место следующие уравнения:
[pic] (1.69)
-----------------------
[pic]