В начальной
и средней школе - одна математика
Т. М.
Великанова
Хотя начальная
и средняя школы у нас, как правило, организационно и территориально объединены,
в отношении преподавания они оторваны друг от друга. Единства и преемственности
нет даже в изучении тех предметов, которые в той и другой школах по праву
считаются важнейшими - родного языка и математики. Учителя, преподающие их в
средних и старших классах, слабо представляют себе, каким образом они изучаются
в начальной школе, и еще более слабое представление имеют учителя начальных
классов об их дальнейшем изучении. Такое положение освящено традицией. Но ведь
традиция эта восходит к тем временам, когда начальная школа и средняя школа
были не звеньями одной системы образования, а разными системами образования,
предназначенными для разных сословий. Может быть, пора от нее отказаться?
Какие цели и
задачи стоят перед учителем, преподающим математику? Начну с начальной школы. В
начальной школе первая и всеми признаваемая цель - научить элементарным приемам
и навыкам счета. Вторая, не менее важная, - обеспечить успех каждому ученику.
Успешность или неуспешность ученика в начальной школе во многом определяет его
отношение к учебе, к школе вообще, и иногда всю его дальнейшую судьбу. Третья
цель (в равной степени относящаяся и к средней школе) - привить вкус и любовь к
интеллектуальной деятельности, обеспечить возможность творческого, поискового
подхода к тому, чему его учат. В средней и старшей школе цели, конечно, шире, и
одна из главных целей, как мне кажется - научить ребенка понимать, что мир
сложен, но не хаотичен; что то, что мы изучаем (и как мы изучаем), - это всегда
модели сложного, но реального; и, наконец, что любая модель действует в
ограниченной области, и очень желательно знать границы применения модели.
Я веду
математику в начальной школе и продолжаю в тех же классах до седьмого или
восьмого. Такая организация преподавания математики имеет существенные преимущества
перед обычной, когда математику в начальной школе ведет учитель начальных
классов. Я уверена, что математическому мышлению следует обучать с первого
класса.
Здесь я хотела
бы поделиться своим опытом, некоторыми идеями и приемами, которые помогают мне
достигать (не всегда и не со всеми, конечно) перечисленных выше целей. Сначала
назову эти идеи и приемы, а затем приведу примеры конкретных тем и задач.
Первое - идея
"опережения". Многие понятия и даже разделы математики, которые
даются в средних и старших классах, следует вводить уже в начальной школе. Это
не означает, что их нужно "пройти" раньше, нужно только начать
раньше. Пропедевтика сложного на более простом материале существенно облегчает
прохождение этого сложного в дальнейшем. Дети радуются, встречая уже знакомые
им вещи, о которых теперь можно узнать больше, или иначе, или в другом
контексте. Задачу, которую они решали во втором классе методом
"подбора", оказывается, можно решить в шестом или в восьмом классе с
помощью уравнения, гораздо быстрее. Вычислительные приемы, которые учитель
давал без объяснения (с обещанием объяснить в старших классах, "почему так
получается"), оказывается, можно легко обосновать с помощью алгебры. И так
далее. Идея "опережения" реализуется не только в отдельных темах, но
и в ряде понятий и языковых конструкций, используемых в продолжение всего курса
и постепенно математизируемых. Такие понятия, как "множество",
"все", "каждый", "некоторые", максимум и минимум
на некотором множестве, истинность и ложность утверждения, утверждение и его
отрицание и т. д. вполне доступны ученикам начальной школы, а задачи, для
которых эти понятия необходимы, неизменно вызывают интерес.
Вторая идея -
необходимость организации таких видов деятельности ребенка и таких задач, в
которых может быть проявлена самостоятельная, поисковая активность ученика.
Традиционно в начальной и средней школе основное время уделяется изучению
правил и процедур, а роль задач скорее иллюстративная. Сами же задачи - очень
искусственно сконструированые модели, где все необходимые данные присутствуют,
ничего лишнего нет, и ответ всегда получается "хороший". При этом
однотипных задач много, и весь набор задач сводится к нескольким типам. В
результате сильный ученик решает задачу сразу, а слабый ждет, когда решение появится
на доске, и обоим скучно. В качестве "поисковых" задач можно давать
такие, которые в начальной школе нельзя решить иначе, как "подбором".
Такие задачи требуют времени и готовности пробовать. Учителю же нужно помочь
ученикам в записи проб. Приученные к такой форме работы ученики не говорят:
"мы таких задач не проходили", а начинают сразу действовать. У
учителя же появляется возможность наблюдать за процессом решения, помочь
слабому ученику, подтолкнуть, довести до результата, похвалить. Очень важны такие
задания, в которых ученики должны составить свои примеры, уравнения, задачи,
удовлетворяющие заданным условиям. В таких заданиях тоже приходится пробовать,
проверять, а в процессе поиска может быть найден, понят алгоритм составления
такого уравнения или задачи. В средней школе в качестве "поисковых"
задач можно давать реальные проблемы, возникающие в жизни (или в сказке!),
решение которых имеет смысл не только тренировочный. Такую задачу ученик должен
еще и "поставить", найти или узнать у учителя недостающие данные,
отбросить лишние, выбрать необходимые математические процедуры и их
последовательность, суметь все это записать удобным способом и т.д. На каждом
этапе, естественно, возможна помощь учителя. Конкретные примеры таких задач
будут даны ниже.
С идеей
"поисковой" деятельности связана третья идея - работа в малых
группах. Группы могут быть от двух до шести человек, могут быть составлены
учителем, или "по желанию", или случайным образом, с помощью
заготовленных номеров. В зависимости от задачи, которую предстоит решать,
разбиение на группы можно делать по-разному. Важно, что дети могут обсуждать
внутри группы и постановку, и способы решения задачи, и способы проверки, и
даже разделять работу между собой, когда задача требует многих вычислений, например,
проб. Обсуждение рождает идеи, идеи вызывают другие идеи, поиск пошел! В
удачных случаях при наблюдении за работой такой группы возникало ощущение
творческой атмосферы маленького научного коллектива.
Наконец,
последний принцип, или прием: объединять все, что можно объединить;
использовать все связи, аналогии, противопоставления и т.д. Поясню на примере.
В учебниках есть задачи на скорость, на производительность, на наполнение
бассейна и т.п. Ученику самому трудно понять, что задача на встречное движение
двух поездов и задача о наполнении бассейна через две трубы с точки зрения
математики - одна и та же задача; что "скорость" - это не только
скорость поезда или машины, но и производительность. И если учитель поможет
ученику увидеть эту общность, его понимание и умение решать такие задачи
поднимутся на следующую ступень.
Теперь приведу
примеры тем и задач, которые я использовала в первых - седьмых классах.
Пример 1. Выбор
самого дешевого (или самого быстрого) способа доставки груза. Дается 2-3 вида
грузовиков разной грузоподъемности, общий объем груза, цена за 1 рейс для
каждого вида, время на 1 рейс и т.п. Задачу можно давать и в третьем, и в
пятом, и в седьмом классе, варьируя данные. Степень сложности задачи меняется
при этом очень сильно, но в любой постановке требует многих вычислений и выбора
"лучшего" варианта по какому-нибудь параметру из нескольких
возможных. В самом простом варианте это задача на "деление с
остатком", в самом сложном - решение диофантовых уравнений.
Пример 2.
Оклейка комнаты обоями. Даны параметры комнаты, размеры и цена одного рулона
(видов обоев несколько). Нужно узнать, сколько и каких требуется рулонов, чтобы
затраты были минимальными или не превосходили некоторой суммы. В последнем
случае решений может быть несколько. Эту задачу, как и предыдущую, можно
варьировать от самой простой (два вида обоев, оклеиваем одну стену) до
значительно более сложной, когда, например, нужно учесть еще и периодичность
рисунка.
Пример 3.
Задачу приведу буквально: "Было 22 кролика. Каждая крольчиха родила 5
крольчат; из всех крольчат 20 оказались "мальчиками". Через год опять
каждая крольчиха родила 5 крольчат. Всего стало 342 кролика. Сколько было
крольчих сначала?". Задачу решали в пятом классе методом подбора, затем в
седьмом с помощью уравнения.
Пример 4. Серия
задач на решение уравнений в целых числах.
а) Кузнечик
прыгает по размеченной дорожке (числовому лучу), например, вперед на 8 единиц и
назад на 5 единиц. Как ему попасть в заданную точку 4 или в точку 14?
Задачи с
кузнечиком годятся для любого класса, начиная с первого.
б) Как сварить
яйцо в течение 7 минут, если у нас есть только двое песочных часов: на 8 и на 3
минуты? Дети пробуют, считают и в какой-то момент радостно обнаруживают, что
это "та же задача про кузнечика". в) Та же задача с песочными часами,
но у нас есть трое различных часов и нужно найти самый быстрый способ.
Пример 5. Серия
задач на комбинаторику. Эта серия бесконечна, и каждый учитель может составить
множество задач для уровня своего класса, начиная с первого, когда перебор
делается на реальных объектах.
Пример 6. Тема
"Геометрия". Мои ученики в последнем классе начальной школы и в 5-ом
классе в течение двух четвертей раз в неделю занимались построениями с помощью
циркуля и линейки. Были проделаны все основные геометрические построения:
деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра к прямой из заданной точки,
построение биссектрисы угла, треугольника по трем сторонам и некоторые другие.
Все построения делались, конечно, без теории, на основе здравого смысла и симметрии.
Строили биссектрисы углов треугольника и обнаружили, что они пересекаются в
одной точке; то же самое с медианами и высотами. Вопрос "почему так
получается" остался открытым до изучения геометрии в седьмом и восьмом
классах. Таких "открытых" вопросов постепенно у нас накапливается
много, и момент, когда они "закрываются", всегда вызывает оживление.
В начальной
школе понятия биссектрисы, медианы, высоты треугольника можно проиллюстрировать
перегибанием бумажных треугольников. Опыт показал, что те дети, у которых была
такая "предварительная" геометрия в третьем и пятом классах, гораздо
лучше (и с большим удовольствием) занимаются ею в старших классах.
Пример 7. Серия
задач на решение систем линейных уравнений и неравенств, или система квадратных
уравнений с целыми корнями, типа:
x + 2y = 19
x + y = 13
3y
3x + y = 22
x y = 42
x + y
Эти задачи в
начальной школе дети легко решают подбором. Такие задачи можно давать и с
сюжетом, с текстом - тогда детям нужно превратить текст в уравнения.
Пример 8.
Вероятность. В пятом классе я давала задачу, которую дети решали парами. Каждая
пара получала две игральных кости разного цвета. Нужно было выяснить, какую
часть всех бросков составляют те, в которых есть хотя бы одна цифра 4.
Результаты записывались, суммировались, затем полученное отношение числа таких
бросков к числу всех бросков сравнивали с долей двузначных чисел с четверкой
среди всех тридцати шести возможных чисел.
Список
примеров, задач и разнообразных видов деятельности можно продолжить, но, думаю,
главное понятно. Ученик в школе не только получает знания, но и учится учиться,
учится подходу к проблеме, задаче - не только интеллектуальному, но и
эмоциональному. Поэтому, как мне кажется, важно, чтобы математику уже в
начальной школе вел учитель, который ее знает и любит. Начальная школа должна
выводить на "большую" математику, или, точнее - "большая"
математика должна начинаться в начальной школе.
Список
литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.sch57.msk.ru/