Фракталы и автоколебания в геоморфосистемах
Ю.В. Лялин, А.В. Поздняков
Институт оптического мониторинга СО РАН, Томск
Развитие целостных систем, независимо от их природы,
обеспечивается за счет поступления энергии и вещества из среды и выделения их в
среду. Динамика разницы расходов вещества и энергии в этих двух потоках в
течение времени и определяет развитие системы, а установление баланса вещества
и энергии на входе и выходе системы характеризует ее динамически равновесный
режим. Таким образом, формирование, развитие и самоорганизация целостных систем
осуществляется через диалектическое взаимодействие двух потоков вещества и
энергии противоположной направленности.
Потоки энергии и вещества, формирующие природные
системы, названы [1, 2] F-потоками, а потоки, вызывающие их деградацию, -
D-потоками. Действие F-потоков, формирующих систему, необратимо направлено к
росту показателей, характеризующих систему: размеры, объем, а действие D-потоков
приводит к их уменьшению [1, 2]. Величина D-потока (расход энергии и вещества в
нем) монотонно зависит от параметров системы: чем больше размеры системы,
создающейся вследствие действия F-потока, тем больше величина D-потока; и
наоборот, с уменьшением размеров системы уменьшается и величина D-потока.
Рост размеров систем, по мере приближения к своим
предельным характеристикам, асимптотически затухает, в силу того, что величина
расхода в D-потоке стремится к таковой в F-потоке. Теоретически в конечном варианте
развития системы должен устанавливаться баланс расходов вещества и энергии в
обоих потоках, характеризующий состояние динамического (термодинамического)
равновесия, или предельного цикла системы. Практически же, в силу постоянно
меняющихся условий равзития системы и, следовательно, изменения расходов
вещества в F- и D-потоках, это состояние никогда не достигается, при
объективном к нему стремлении.
Фракталы в геоморфосистемах. В геоморфосистемах роль
F-потока играет эндогенный поток вещества, создающий первичную наклонную
поверхность. Она подвергается эрозионному расчленению, в результате чего
создается экзогенный литопоток вещества (D-поток) и формируются склоны второй
генерации. Эти склоны снова расчленяются, с образованием склонов последующей
генерации, и так далее. При этом крутизна склонов последующей генерации растет
следующим образом:
где a - крутизна склона; j – уклон тальвега, базиса
эрозии.
Поскольку рельеф в процессе эрозионного расчленения
сохраняет подобие, то его можно считать фрактальным.
Рассмотрим пример геоморфологического фрактального
множества. Его построение начинается с равнобедренного треугольника с углом при
основании - это 0-е
поколение. Далее на каждой боковой стороне строится равнобедренный треугольник
с таким же углом. В результате получается следующее поколение. При бесконечном
повторении этого процесса получим фрактальное множество.
Важным свойством фрактальных множеств является дробная
размерность. По определению, размерность Хаусдорфа равна D=log(N)/log(f), где N
- число частей, а f показывает, во сколько раз целое больше части. Так как при
построении фрактальной поверхности рельефа на каждом последующем шаге площадь
треугольника, характеризующего поперечное сечение формы рельефа, в 4 cos2(α)
меньше площади предыдущей формы, из которой он получен, то для него N = 2, f = и,
следовательно, размерность D Хаусдорфа полученного множества равна D =
log(2)/log.
Рис. 1. Фрактальная характеристика эрозионно
расчленного рельефа из 7 поколений множества
Вследствие фрактального характера процесса эрозионного
расчленения, площадь поверхности рельефа можно найти по формуле:
, (1)
где - площадь
поверхности формы рельефа, не подвергшейся эрозионному расчленению, величина
m>1 зависит от размерности границы поверхности.
Таким образом, процесс эрозионного расчленения и роста
площади поверхности, а следовательно, и денудации является нелинейным, и в силу
этих причин в геоморфосистеме проявляются автоколебания.
Механизм возникновения автоколебаний в
геоморфосистемах. Появление F-потока вещества и формирование системы вызывает
через некоторое время появление D-потока. С ростом размеров системы
мультипликативно нарастает и D-поток (за счет увеличения площади S
поверхности). Когда величина D-потока превысит величину F-потока, рост размеров
системы (объема, высоты и пр.) прекратится и начнется их уменьшение. По мере
уменьшения размеров системы будут снижаться расходы вещества и в D-потоках.
Когда его величина станет меньше расходов в F-потоке, снова начнется рост
размеров системы. Таким образом, динамика системы имеет колебательный характер.
Отметим, что обычно, вследствие различных причин, система
"проскакивает" положение равновесия (то есть момент равенства F и
D-потоков), и в ней возникают автоколебания даже при постоянной величине
F-потока.
Алгоритм формирования рельефа [3] представлен в
блок-схеме (рис. 2).
Рис. 2. блок-схема алгоритма формирования рельефа в
результате взаимодействия F- и D-потоков V-объём вещества, заключённого в
формах рельефа; P и Q - объёмы вещества, поступающего соответственно в
эндогенном (F-) и экзогенном (D-) литопотоках
Для исследования связи между механизмами образования
фракталов и возникновения автоколебаний в некоторой системе, необходимо
построить ее математическую модель. Математической моделью реальной системы будем
считать динамическую систему, понимаемую как отображение S(t,x) фазового
пространства, или пространства состояний в себя и задаваемую уравнением вида. Его решения
есть кривые в фазовом пространстве, или фазовые траектории.
Как было установлено [4], физическому понятию
автоколебаний соответствует математическое понятие предельного цикла. Можно
показать, что фазовые траектории в его окрестностях имеют вид раскручивающихся
или скручивающихся спиралей, подобных изображенной на рис 3, наматывающихся на
некоторую замкнутую кривую, которая и называется предельным циклом.
Рис. 3. Предельный цикл и спиралевидныая фазовая
траектория
Однако эти спирали лишь стремятся к предельному циклу,
бесконечно близко к нему приближаясь, но не пересекая его.
Таким образом, предельный цикл самоподобен, а
поведение автоколебательной системы фрактально.
В силу того, что скорость роста размеров системы
зависит от разницы F(t)-D(t), динамику геоморфосистем, как и других подобных
систем, развивающихся на таких же принципах, можно описывать уравнением:
, (2)
где - размеры
системы; и- функции,
выражающие скорость изменения размеров системы.
Если в качестве размеров системы брать объем вещества,
заключенного в формах рельефа, а в качестве F- и D-потоков - объемы эндогенного
и денудируемоего материала соответственно, получим из (2) следующую систему уравнений,
описывающую динамику рельефа [3]:
(3)
где V – объем вещества, заключенного в форме рельефа,
м3; P – объем эндогенного материала, м3/год; Q – объем
денудируемоего материала, м3/год; к – коэффициент денудации, м3
с м2/год;
– площадь
поверхности формы рельефа с объемом V, м3;– крутизна
формы рельефа, рад.; - прирост
высоты, м; - прирост площади
основания единичной ширины, м2.
Если крутизна форм рельефа, прирост высоты и площадь
основания постоянны, то система уравнений (3) линейна, и в ее фазовом
пространстве не может существовать предельный цикл. Однако с учетом
фрактального характера процесса эрозионного расчленения, система уравнений
модели приобретает вид:
(4)
Система уравнений (4) является нелинейной, и в ее
фазовом пространстве может существовать предельный цикл [4]. Исследование
данной модели возможно с использованием численных методов. Заменяя в (4)
дифференциальный оператор разностным, получим следующую разностную схему:
(5)
Результаты расчетов с применением (5) показывают, что
положение равновесия системы (4) является неустойчивым, и фазовые траектории в
его окрестности имеют вид раскручивающихся спиралей. Так как расход вещества в
эндогенном литопотоке есть конечная величина, а объем денудируемоего материала
не может быть меньше нуля, то эти спирали не могут раскручиваться в
бесконечность. Они обязательно начнут наматываться на некоторую замкнутую
кривую и примут вид, подобный изображенному на рис 3.
Таким образом, в фазовом пространстве системы (4)
существует предельный цикл, и в геоморфосистеме, моделью которой она является,
могут возникать автоколебания.
Следует подчеркнуть, что именно вследствие
фрактального характера процесса эрозионного расчленения система (4) становится
нелинейной, и этим обусловливается возможность возникновения автоколебаний в
геоморфосистемах и в целом движение системы к состоянию динамического
равновесия. Достигнув его, она, в силу изменения баланса расходов вещества в
литопотоках, уходит от него, с тем чтобы опять, по истечении некоторого
времени, возвратиться. Динамику системы в таком состоянии можно сравнить с
динамикой спиральной пружины маятника в часах – она то сжимается, то
разжимается, находясь в заданных пределах. Применительно к рельфу, этот предел
устанавливается F-потоком.
В реальности состояние динамического равновесия
никогда не достигается, хотя стремление к нему объективно, оно, можно сказать,
имманентно присуще всем целостным самоорганизующимся образованиям.
Литература:
Поздняков А.В. Динамическое равновесие в
рельефообразовании. – М.: Наука, 1988. – 207 с.
Поздняков А.В. Стратегия российских реформ . – Томск:
Спектр, 1998. – 324 с.
Поздняков А.В., Лялин Ю.В., Тихоступ Д.М. Формирование
поверхности равновесия и фрактальные соотношения в эрозионном расчленении //
Самоорганизация геоморфосистем (Пробл. самоорганизации. Вып. 3). – Томск: ТНЦ
СО РАН, 1996. – С. 36-48.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. - М.: Наука, 1982. – 331 с.