Классические основания
квантовой механики
Валерий Эткин
Немалое число людей, так или иначе
связанных с наукой, испытывает острую неудовлетворенность существующей
тенденцией современной физики «угадывать уравнения, не обращая внимания на
физические модели или физическое объяснение» (Р. Фейнман, 1976 г.). В полной мере относится это и к основополагающему
уравнению квантовой механики, явившемуся плодом гениальной интуиции его автора
(Э. Шрёдингер, 1926 г.). Между тем уравнение такого
типа можно получить и из классической физики, если допустить, что при
торможении электронов в их движении по устойчивым некруговым (например,
эллиптическим) орбитам их кинетическая энергия Ek переходит не
только в потенциальную энергию атома как целого, но и частично отдается
последним в окружающую среду в форме лучистой энергии*.
* Последнее следует из неравновесной
термодинамики (Де Гроот С., Мазур П., 1964; Эткин В.А., 1999), согласно которой
протекание какого-либо неравновесного процесса (в том числе процесса торможения
электрона) связано с преодолением всех действующих в системе термодинамических
сил, т.е. с преобразованием энергии в другие ее формы, соответствующие этим
силам. Из нее следует также, что при этом излучают не электроны, а атом как
неравновесная в целом система, поскольку энергия принадлежит, строго говоря,
всей совокупности взаимодействующих (взаимно движущихся) тел или частей тела, и
лишь в исключительных случаях может быть приписана одному из них.
Это возможно, если атом на различных
фазах орбитального движения электронов (торможение – ускорение) то излучает, то
поглощает одно и то же количество энергии. В противном случае электрон
переходит на нижележащую или вышележащую орбиту, параметры которой определяются
величиной потерянной или приобретенной энергии. Соответственно изменяется и
частота излучения. В этом порядке идей переход на нижележащую орбиту является
следствием излучения, а не наоборот (как в теории Бора). Такой процесс
излучения или поглощения имеет конечную длительность, определяемую орбитальной
скоростью электрона и длиной участков торможения или ускорения. Потому-то
излучение и осуществляется порциями (квантами).
Поскольку излучение происходит на тех
участках орбиты, где происходит торможение электрона в его движении
относительно ядра, частота излучения ν равна, очевидно, числу оборотов
электрона в единицу времени. Последнее представляет собой частное от деления
модуля орбитальной скорости v на длину орбиты (или эквивалентной ей окружности
радиусом a (ν = v/2πa). В таком случае соответствующая этой частоте
длина волны излучения λ ≡ c/ν определяется простым выражением:
λ = 2πca/ν
= 2πmeca/meν = h/pe ,
(1)
где с – скорость света в вакууме; me
– масса покоя электрона; pe = meν – его импульс; h =
2πmeca – постоянная для данной орбиты величина.
Согласно этому выражению, каждому виду
атомов с некруговыми орбитами электронов соответствуют определенные длины волн
излучения, зависящие от свойств вещества(импульса электронов и радиуса их
орбит). Тем самым гипотеза де
Бройля (1926 г.) о том, что
волновые свойства присущи всем веществам, получает обоснование в рамках
классической физики. Легко видеть, что при этом частота излучения ν
согласно (1) оказывается пропорциональной импульсу электрона pe:
hν = me vc
= pe c .
(2)
Это положение также соответствует идеям
де Бройля.
Таким образом, при движении электронов
по устойчивым некруговым орбитам в атомах возникает колебательный процесс,
обусловленный циклическим изменением кинетической энергии электронов Ek.
Этот процесс описывается известным уравнением монохроматической
пространственной волны
(3)
где ψ – «волновая функция», т.е.
параметр системы, являющийся функцией пространственных координат и
отклоняющийся в колебательном процессе от своего равновесного значения.
Учитывая, что в соответствии с
соотношением (1) λ2 = h2/p2 и p2
= 2m0Ek, где Ek определяется разностью между
полной энергией атома (его гамильтонианом) Е и потенциальной энергией U, после
подстановки в (3) и простейших преобразований приходим к основополагающему
уравнению квантовой механики в виде:
(4)
Это уравнение отличается от
стационарного (не зависящего от времени) уравнения Шрёдингера тем, что в нем
универсальная постоянная Планка ħ заменена функцией радиуса орбиты h = h(a).
Связь между ħ и h нетрудно установить, если в соответствии с ОТО выразить
ν через импульс фотона pф известным соотношением ħν =
pфc. Тогда из (1) следует, что h = ħpe/pф.
Так «перекидывается мостик» между квантовой и классической механикой.
Предложенный вывод «классического»
аналога уравнения Шрёдингера не опирается на какие-либо гипотезы и постулаты.
Это выгодно отличает его от обоснования, данного самим Шрёдингером, которое
всегда представлялось исследователям не вполне убедительным. В особенности это
замечание касается физического смысла функции ψ. В его толковании среди
наиболее крупных физиков-теоретиков до сих пор отсутствует единодушие. В
большинстве своем они трактуют функцию ψ как величину, квадрат которой,
будучи умноженным на элемент объема dV, характеризует вероятность ψ2dV
нахождения частицы в заданной области пространства. Это понятие предполагает
индетерминизм даже на уровне элементарных процессов, т.е. утрату квантовой
механикой способности предсказывать события (определять последующие значения
параметров по предшествующим). Вместе с тем применение понятия вероятности к
отдельному атому или отдельной молекуле в известный момент времени довольно
бессмысленно, так как последние обладают вполне определенным значением
кинетической энергии, находятся в определенном месте и движутся в определенном направлении.
В изложенном же порядке идей волновая функция приобретает простой и ясный смысл
энергии электрона как функции параметров его орбитального движения. Так
решается, пожалуй, самый принципиальный из физических вопросов, связанных с
квантовой механикой. Наряду с этим устраняется одна из принципиальных
трудностей классической электродинамики, состоящая в невозможности объяснить
существование устойчивых орбит электронов из-за кажущейся неизбежности их
«падения» на ядро при излучении ими энергии. Такое излучение с позиций
классической электродинамики должно иметь место даже тогда, когда величина
скорости электрона остается неизменной (изменяется лишь направление вектора
скорости на орбите). Если же излучение порождается исключительно процессом
превращения кинетической энергии в другие формы, направление скорости уже не
играет роли.
Известно, что консервативные системы (E
= const), подчиняющиеся этому уравнению, могут обладать только вполне
определенными значениями энергии. Это же следует и из выражения (1), согласно
которому определенным длинам волн спектра излучения атомов соответствуют
определенные радиусы электронных орбит. Таким образом, идея «квантования»
энергии электронов и их орбит также естественным образом вытекает из
классических представлений.
Предложенный подход выгодно отличается
также от атомной механики Бора, которая хотя и придерживалась в основном
классических принципов, потребовала ряда дополнительных постулатов. Наиболее
уязвимым из них явилось допущение о том, что электрон излучает в момент
перехода с одной орбиты на более низкую, так что частота излучаемых волн
зависит как от начальной, так и от конечной энергии атома. Отсюда следовало,
что электрон либо каким-то непостижимым образом «знает» о будущей орбите, либо
излучает только после попадания на конечную стационарную орбиту. Ввиду
неприемлемости обоих следствий это положение всегда оставалось самым непонятным
и слабым звеном в теории Бора. С изложенных позиций электрон переходит на
нижележащую орбиту лишь после того, как атом излучает энергию. Тем самым
устраняется основная трудность теории Бора.
Представление о том, что излучают не
электроны, а атомы, объясняет также результаты опытов по «дифракции
электронов», поскольку позволяет допустить, что дифракционную картину создают
не электроны, а возбуждаемые ими атомы вокруг отверстия, через которое они
пролетают. Тем самым проливается новый свет на дуализм «волна – частица».
Однако наиболее важным результатом
предложенного подхода являются дополнительные возможности нахождения параметров
электронных орбит по данным спектроскопических наблюдений. В частности, по
известным длинам волн излучения λ или волновым числам νλ
≡ 1/λ = ν/c можно найти радиус i-й устойчивой электронной
орбиты ai атомов, излучающих на этой частоте. Исходя из равенства на
такой орбите центробежной силы fω = mev2/ai
силе взаимодействия электрона с ядром fr = e2/ai2,
после подстановки в выражение νλ = p/hc несложно найти
радиус электронной орбиты, соответствующий определенной частоте излучения:
ai = (e2/4π2c2meνλ2)–3
м.
(5)
После этого нетрудно найти среднюю
орбитальную скорость электронов v = 2πaiν, кинетическую
энергию электрона на i-й орбите Ek = mev2/2 и
число оборотов электрона на орбите n = ν. Однако вопрос о соответствии
такого подхода результатам экспериментов остается при этом открытым.
Список литературы
Де Бройль Л. Ann. De Phys, V. 10, 1925, p. 22. Перевод с фр.: «Введение в
волновую механику». – Харьков – Киев, 1934.
Фейнман Р. Нобелевская лекция. Пер. с
англ. М.: Наука, 1976.
Шрёдингер Э. Ann. Phys.,
Bd. 79, 1926, p. 361, 489; Bd. 80, 1926, p. 437; Bd. 81, 1926, p. 109. Перевод с нем.: «Четыре лекции по
волновой механике». – Харьков – Киев, 1936.
Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная
термодинамика, М.: Мир, 1964.
Эткин В.А. Термодинамика неравновесных
процессов переноса и преобразования энергии. Саратов: Изд-во СГУ, 1991.