Вклад
ученого в теорию связи
Быховский Марк
Академик Колмогоров- HOMO UNIVERSALES
Труды А. Н. Колмогорова определили пути развития многих
разделов математики ХХ века, и не только. Значительное влияние работы Колмогорова
оказали и на формирование нескольких направлений в теории связи, в частности на
развитие статистических методов анализа радиотехнических систем, а также теорий
оптимальной линейной фильтрации и информации. Следует отметить, что два первых направления
Колмогоров разрабатывал, развивая «математический язык» и не имея в виду какие-либо
конкретные прикладные задачи. Проблемы теории информации привлекли его внимание
после прочтения знаменитой статьи Клода Шеннона «Математическая теория связи».
Статистические методы исследования стали применяться в
радиотехнике в середине 30-х годов. Их интенсивное использование в конце 40-х было
обусловлено задачами обработки принимаемых сигналов в присутствии шумов. За счет
повышения чувствительности приемных устройств планировалось расширить зону действия
радиолокационных станций, аналогичные задачи приходилось решать и разработчикам
систем радиосвязи.
В создании статистических методов анализа радиотехнических
систем существенную роль сыграла одна из самых замечательных работ А.Н. Колмогорова
«Об аналитических методах в теории вероятностей», о которой П. С. Александров и
А. Я. Хинчин написали так: «Во всей теории вероятностей ХХ столетия трудно указать
другое исследование, которое оказалось бы столь же основополагающим для дальнейшего
развития науки и ее приложений, как эта работа Андрея Николаевича. В наши дни из
нее развилась обширная область учения о вероятностях – теория случайных процессов,
по своему объему и количеству приложений могущая соперничать с «классическими» частями
теории вероятностей. Управляющие марковскими процессами дифференциальные «уравнения
Колмогорова», строго и во всей широте математически обоснованные, содержали в себе
в качестве частных случаев все те уравнения (Смолуховского, Чэпмена, Фоккера-Планка
и др.), которые до тех пор кустарно, без достаточного основания и четкого выяснения
лежащих в их основе предпосылок выводились и применялись физиками по отдельным поводам».
В теории связи «уравнения Колмогорова» позволяют по стохастическим
дифференциальным уравнениям, описывающим процесс, протекающий в исследуемой системе
обработки сигналов (в общем случае нелинейной), найти распределение вероятности
перехода этого процесса из состояния в момент времени t в другое состояние в момент
времени s > t.
В статистическую радиотехнику эти уравнения, по-видимому,
были впервые введены одним из крупнейших советских ученых Р. Л. Стратоновичем.
В 40-х годах в радиотехнических системах начинают применяться нелинейные следящие
устройства, работающие при действии флуктуационных помех. Одна из важнейших проблем,
возникающих при конструировании таких систем, – срыв слежения. Явления срыва слежения
наблюдаются, например, в системах автоподстройки частоты и фазы, которые широко
применяются в современной радиотехнике,х приема сигналов с частотной модуляцией
со сниженным порогом. Разработанный Колмогоровым математический аппарат оказывается
адекватным тем сложным процессам, протекающим в следящих устройствах, и он начинает
широко применяться для их анализа.
С развитием спутниковых и тропосферных систем связи в
60-х годах возросла актуальность повышения помехоустойчивости приема сигналов с
частотной модуляцией. Широко применялись следящие демодуляторы: синхронно-фазовый
детектор, демодулятор с обратной связью по частоте, следящий гетеродин и т. д. Теория
помехозащищенности основных типов следящих демодуляторов, основанная на применении
теории марковских случайных процессов и уравнений Фоккера-Планка–Колмогорова, получила
развитие в конце 60-х – начале 70-х годов.
Важнейший раздел теории связи – теория оптимальной линейной
фильтрации, т. е. выделение полезного сигнала из смеси сигнала и шума, поступающей
на вход линейного фильтра. Теория позволяет синтезировать оптимальный линейный фильтр
так, чтобы на его выходе сигнал воспроизводился с минимальной ошибкой. Применяется
теория в задачах, связанных с созданием помехоустойчивых систем приема сигналов.
При этом должно учитываться поведение смеси принятого сигнала и шума в прошлом,
а также их статистические характеристики. Назначением оптимального фильтра является
зачастую предсказание полезного сигнала (его экстраполяция) либо оценка его производной
или интеграла по времени, а в общем случае на выходе оптимального фильтра должен
воспроизводиться (с минимальной среднеквадратичной ошибкой) заданный линейный функционал
от полезного сигнала.
В 1941 году Колмогоров опубликовал фундаментальную математическую
работу «Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей»,
которая заложила математические основы теории оптимальной линейной фильтрации. Краткие
ее тезисы были опубликованы в «Докладах» Французской академии наук еще в 1939 году.
В США аналогичные идеи были разработаны во время Второй мировой войны американским
ученым Норбертом Винером. В 1949 году секретный отчет о результатах выполненных
им исследований был рассекречен и издан в виде монографии «Интерполяция, экстраполяция
и сглаживание стационарных временных рядов».
Выдающиеся ученые современности академик А. Н. Колмогоров
и Норберт Винер – авторы основных положений теории оптимальной линейной фильтрации,
заложившей фундамент современной теории связи.
Большое значение для теории связи имели работы Колмогорова
по теории информации, к проблемам которой он обратился в начале 50-х годов. Основные
идеи были изложены в 1956 году в докладе «Теория передачи информации» на сессии
АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. Математический фундамент
теории был заложен в работах Колмогорова, Гельфанда, Яглома и Хинчина.
А. Н. Колмогоров показал, что наряду с вероятностным шенноновским
подходом к определению количества информации возможны и во многих случаях более
эффективны комбинаторный и алгоритмический. Поэтому
был создан новый раздел науки – алгоритмическая теория информации.
***
Академик Колмогоров оставил человечеству огромное наследство.
Память о великих людях увековечивают, присваивая их имена улицам городов, кораблям,
научным институтам. Однако истинное бессмертие человек обретает, сливаясь с идеями,
которые он открыл миру. Имя Пифагора навеки связано с теоремой, имя Колмогорова
– с фундаментальными результатами современной математики. В теории вероятностей
и математической статистике есть неравенство Колмогорова, уравнения Колмогорова–Чепмена,
критерий Колмогорова–Смирнова.
Символично, что по инициативе Колмогорова в МГУ в 1956
г. открылся первый в нашей стране семинар по математической лингвистике, а в
1959-м на филологическом факультете было создано отделение прикладной лингвистики.
Колмогоров, подобно великим ученым прошлого Эйлеру и Бернулли,
был математиком-универсалом, внесшим огромный вклад во многие ее разделы — математическую
логику, гидромеханику, теорию множеств и функций, классическую механику. Он автор
ряда основополагающих работ по стиховедению
и теории связи.
Жизнь Андрея Николаевича Колмогорова – пример необычайно
счастливой и созидательной жизни человека, рано осознавшего свое предназначение,
человека, чей духовный рост неуклонно продолжался всю жизнь. Один из его учеников
математик В. А. Успенский вспоминал: «Я никогда не встречал человека, ведущего более
полноценную жизнь, чем Колмогоров. Профессиональные занятия математикой (и притом на высшем доступном человеческому интеллекту
уровне) гармонически сочетались с чтением стихов, созерцанием картин, слушанием
музыки, путешествиями, высокой физической культурой – именно культурой, а не спортом:
состязательным спортом Колмогоров не занимался никогда».
Размышления о своем будущем сопровождали его всю жизнь.
В 1943 г. он начинает вести дневник: «...записывать, что сделано, что хочется изменить
в своей жизни, что нужно сделать, и потом проверять исполнение – идея не новая,
но одинаково полезная и в 16, и в 40 лет... к сорока годам я стал живее чувствовать,
как жизнь течет и уходит... насколько прожитое уже имеет самостоятельную ценность
по сравнению с предстоящим далее...». Андрей Николаевич составляет план, который
иронично называет «Календарный план того, как сделаться великим человеком, если
на это хватит охоты и усердия». В нем он намечает активную научную деятельность
до своего 60-летия, а позже подготовку учебников для средней школы, полного собрания
своих математических работ и написание «Истории форм человеческой мысли». Его биография
показывает, что этому человеку удалось реализовать по крайней мере часть своих замыслов.
Колмогоров родился 25 апреля 1903 года в г. Тамбове. Его
отец Николай Матвеевич Катаев был агрономом. Мать Мария Яковлевна Колмогорова скончалась
при родах, и он был усыновлен и воспитывался ее сестрой Верой Яковлевной. Дед Колмогорова
по материнской линии был очень крупным помещиком и предводитекой губернии, дед по
отцовской линии – священником. Раннее детство Колмогоров провел в Ярославской губернии
в родовом имении родителей его матери Туношне. На его воспитание наложили отпечаток,
с одной стороны, обстановка богатого дворянского дома, а с другой – привычки либеральной
интеллигенции.
В 1910 г. Колмогоров поступает в приготовительный класс
частной гимназии Е.А. Репман в Москве, где царили демократические порядки: обучение
мальчиков и девочек велось совместно, отсутствовала введенная царским правительством
процентная норма приема евреев, осуществлялись многие педагогические эксперименты.
Школа, к которой Колмогоров сохранил чувство глубокой признательности, способствовала
формированию в учениках любви к знаниям. Он вспоминал: «...многие школьники состязались
между собой в самостоятельном изучении дополнительных материалов, иногда даже с
коварными замыслами посрамить своими знаниями менее опытных учителей... по математике
я был одним из первых... но более серьезными научными увлечениями в школьное время
для меня были сначала биология, а потом русская
история». Колмогоров много читает, самостоятельно изучает труд К. А. Тимирязева
«Жизнь растений» и высшую математику по энциклопедии Брокгауза и Ефрона. В школьные
годы у А.Н. Колмогорова начали складываться глубокие дружеские связи и его отношение
к дружбе между людьми как к высшей духовной ценности.
По окончании школы в 1920 г. поступает на физико-математический
факультет Московского государственного университета. Решение стать математиком пришло
не сразу. Андрей Николаевич писал: «Техника тогда воспринималась как что-то более
серьезное и необходимое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделением
университета я поступил на металлургический
факультет Менделеевского института, в котором прозанимался около двух месяцев. Но
скоро интерес к математике перевесил сомнения в актуальности профессии математика».
Однако «первым научным докладом, который я сделал в 17-летнем возрасте в МГУ, был
доклад в семинаре профессора С.В. Бахрушина о новгородском землевладении».
С МГУ, который А. Н. Колмогоров закончил в 1925 г., неразрывно
связана вся его жизнь. В годы учебы Андрей Николаевич активно участвует в работе
семинаров, проводимых крупнейшими русскими математиками Н. Н. Лузиным, А. К. Власовым
и
В. В. Степановым, выполняет ряд математических работ, одна
из которых – построение ряда Фурье, расходящегося почти всюду, принесла ему мировую
известность.
Еще студентом Колмогоров начинает преподавать в средней
школе. Будучи аспирантом Н. Н. Лузина, Колмогоров в сотрудничестве с А. Я. Хинчиным,
впоследствии также академиком, проводит исследования в области теории вероятностей,
где добивается выдающихся научных результатов.
По окончании аспирантуры А. Н. Колмогоров защищает докторскую
диссертацию и становится старшим научным сотрудником Научно-исследовательского института
математики и механики при МГУ и одновременно заведующим кафедрой математики в Интуте
им. Карла Либкнехта. К этому времени относится и одно из важнейших событий в его
жизни – начало дружбы с другим выдающимся советским математиком Павлом Сергеевичем
Александровым. На закате жизни Колмогоров писал: «Для меня эти 53 года нашей тесной
и неразрывной дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной
счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны
Павла Сергеевича».
Гениальный человек далеко не всегда является высоконравственной
личностью. Однако в А. Н. Колмогорове естественным образом совмещались высочайший
интеллект, порядочность и способность любви к ближнему. Проявлялось это в отношениях
с учениками, в его многогранной общественной деятельности, на которую он не жалел
ни сил, ни времени, в активном содействии реформированию математического образования
в средней школе.
Огромное значение Колмогоров придавал дружбе и глубокой
духовной связи между людьми. В одном из его писем изложены следующие мысли о дружбе:
«...человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане
огоньков, которые лишь смутно чувствуют слияние, рассеиваемое всеми другими, но
связаны сетью ясных огненных нитей, каждый в одном, двух, трёх...направлениях. И
возникновение таких прорывов через туман к другому огоньку вполне разумно называть
ЧУДОМ». И ещё: «...скажу только, что по собственному опыту знаю, что наша человеческая
любовь происходит по образцу некоторого индуктивного процесса: любовь к данному
«избранному» человеку, в котором действительно на каждую чёрточку его существа радуешься
и в котором всякое проявление красоты человеческой воспринимаешь, порождает такую
большую радость и освобождает такую большую «энергию любви», что эта радость ни
во что другое не может перейти, как любовь ко всем людям и ко всему миру – пусть
несовершенную, но такую, на которую данный человек способен. А этот проблеск универсальной
любви даёт новый толчок к любви индивидуальной и т. д.
...если люди научатся радоваться, они сами собой научатся
и любить, потому что невозможно радоваться всей душой и в то же время хоть к кому-нибудь
относиться не по-человечески. А радоваться легче всего и проще всего, имея «избранного
друга»...»
С июня 1930 по март 1931 г. Колмогоров находился в своей
первой научной командировке в Европе, где обсуждал с крупнейшими немецкими и французскими
математиками вопросы теории функций, диффузных случайных процессов, теории множеств,
вероятностей и интуиционистской логики. В Геттингене, который в 30-х годах был Меккой
математиков, он встречается с Д. Гильбертом, Г. Вейлем, Р. Курантом, Э. Ландау,
Э. Нетер; во Франции устанавливает научные связи с М. Фреше, П. Леви, Э. Борелем
и А. Лебегом.
В 1931 г. Колмогоров становится профессором МГУ, а в
1933-м назначается директором Института математики и механики при МГУ. В этой должности
он работает до 1939 г. и с 1951 по 1953 год.
В середине 30-х годов А. Н. Колмогоров и П. С. Александров
приобретай дом в деревне Комаровка на берегу Клязьмы (недалеко от станции Болшево),
где и протекала в основном их творческая жизнь. В Москву они приезжали лишь на два-три
дня в неделю для преподавания и решения административных вопросов. Дом в Комаровке
всегда был полон учеников. Регулярно навещали ученых и выдающиеся зарубежные математики
– Адамар, Фреше, Хопф и др.
В 1939 г. А. Н. Колмогорова избирают действительным членом
АН СССР и одновременно (до 1942-го) академиком-секретарем отделения физико-математических
наук.
В 1942 г. Андрей Николаевич женится на своей однокласснице
Анне Дмитриевне Егоровой.
Будучи крупнейшим специалистом по проблемам турбулентности,
А. Н. Колмогоров создает в 1946 г. лабораторию атмосферной турбулентности в Институте
теоретической геофизики АН СССР. С 1954 по 1956 год и с 1978-го до своей кончины
А. Н. Колмогоров заведовал отделением математики механико-математического факультета
МГУ, а с 1954 по 1958-й был деканом этого факультета, где основал кафедру теории
вероятностей. С 1980 года он заведовал кафедрой математической логики.
Колмогоров много выступал с лекциями по широчайшему кругу
научных проблем. Он блистательно излагал свои мысли на бумаге, однако устную его
речь, по воспоминаниям учеников, воспринимать было неимоверно трудно. В. А. Успенский
писал: «...Колмогоров всегда предполагал наличие у собеседника или слушателя интеллекта,
равного колмогоровскому... он считал, что весь мир населен Колмогоровыми, потому
его лекции для школьников были доступны скорее старшекурсникам университета. Его
лекции для аспирантов с интересом и пользой для себя слушали доктора наук, доклады
для докторов наук не понимал никто, кроме самого докладчика».
В 1960 г. Андрей Николаевич создал лабораторию вероятностных
и статистических методов. Задачами лаборатории были изучение и разработка вероятностно-статистических
методов, их пропаганда и внедрение в научную, инженерную и медицинскую практику,
педагогическая и издательская деятельность. Лаборатория походила на небольшой институт
со специализированной библиотекой, помещением для ЭВМ, аудиторией. Особое внимание
уделялось формированию библиотеки, книги для которой приобретались на валютные средства,
пожертвованные А. Н. Колмогоровым.
В начале 1970-х годов А. Н. Колмогоров участвовал в двух
экспедициях на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев». В качестве научного
руководителя этих рейсов он совместно с учениками проводил исследования турбулентности
океана.
В 1953 г. А. Н. Колмогоров был избран почетным членом Московского
математического общества и многие годы оставался его президентом.
Колмогоров внес уникальный вклад в дело распространения
математических знаний. Он был членом редколлегий многих журналов: «Математический
сборник», «Доклады АН СССР», «Успехи математических наук». В 1956 г.
Андрей Николаевич основал журнал «Теория вероятностей и
ее применение» и в течение десяти лет был его главным редактором.
В 1966 г. его избираюических наук. Андрей Николаевич был
одним из инициаторов создания при МГУ школы-интерната, в которой сам и преподавал.
Совместно с академиком И. К. Кикоиным он стоял у истоков создания физико-математического
журнала «Квант» для юношества, многие годы был первым заместителем главного редактора.
Делами отечественной средней школы Андрей Николаевич интересовался до последних
дней своей жизни.
С середины 30-х годов А. Н. Колмогоров много сил отдавал
подготовке Большой и Малой советских энциклопедий. Он возглавлял математический
отдел и написал немало блестящих статей.
Колмогоров был избран членом многих академий и научных
обществ, почетным профессором университетов в различных странах мира. Его заслуги
были отмечены всевозможными премиями и наградами, в том числе международными премиями
Бальцана, Вольфа. За цикл работ по теории случайных процессов А. Н. Колмогоров и А. Я. Хинчин были удостоены Государственной
премии СССР, за труды по теории возмущений гамильтоновых систем (совместно с академиком В. И. Арнольдом) – Ленинской премии.
Двенадцать учеников крупнейшего ученого ХХ столетия А.
Н. Колмогорова стали членами Академии наук СССР. Научную школу Колмогорова можно
поставить в один ряд со школами великих физиков Резерфорда и Бора.
Умер Андрей Николаевич 20 октября 1987 года.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы
с сайта http://www.connect.ru/