Приложения определенного интеграла к
решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и
центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) =(x),
то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны
моменты инерции
IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты
центра масс и — по формулам
где l— масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти
статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги
цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1) Всюду в задачах, где плотность не
указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
Имеем: Следовательно,
Пример 2. Найти
координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой
четверти.
Имеем:
Отсюда
получаем:
В приложениях
часто оказывается полезной следующая
Теорема
Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой
вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению
длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс
полуокружности
Вследствие
симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера,
площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C.
2. Физические
задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических
задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4.
Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь,
пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Так как путь,
пройденный телом со скоростью (t)
за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
то имеем:
Список литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru/