Общий
аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Валентин
Подвысоцкий
Уравнение:
X4 + TX2 + PX + Q
= 0
(1)
имеет четыре
корня X1, X2, X3, X4.
Известно, что:
X1
+ X2 + X3 + X4 = 0,
(2)
X1X2 + X1X3
+ X1X4 + X2X3 + X2X4
+ X3X4 = T,
(3)
X1X2X3
+ X1X2X4 + X1X3X4
+ X2X3X4 = –P,
(4)
X1X2X3X4
= Q.
(5)
Путем простых
алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
X1X2 + X3X4
= T + (X1 + X2)2,
(6)
(X1 + X2)(X1X2
– X3X4) = P.
(7)
Составляем
квадратное уравнение:
Y2 – (X1X2+X3X4)Y
+ X1X2X3X4 = 0,
(8)
где Y1
= X1X2, Y2 = X3X4.
Используя ф-лы
(5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем
уравнение (8) в виде:
Y2 – (T + A)Y + Q = 0.
Решая уравнение
(8) получаем:
X1X2 = 1/2(T
+ A2 + ([T + А]2
– 4Q)1/2),
(9)
X3X4 = 1/2(T
+ A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2).
(10)
Таким образом,
используя ф-лы (9), (10) получаем:
X1X2 – X3X4
= ([T + A]2 – 4Q)1/2.
(11)
Учитывая, что A1/2
= X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:
X1X2
– X3X4 = Р/А1/2.
(12)
Подставляя в
ф-лу (12) ф-лу (11) получаем
P/A1/2 = ([T + A]2
– 4Q)1/2.
(13)
Путем простых
алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение
относительно переменной А:
A3 + 2TA2 + (T2
– 4Q)A – P2 = 0.
(14)
Таким образом
решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического
уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух
квадратных уравнений:
X2
– (X1 + X2)X + X1X2 = 0,
(15)
X2
– (X3 + X4)X + X3X4 = 0.
(16)
Используя ф-лы
(9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4)
перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
X2 – A1/2X + 1/2(T+A
+ ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,
(17)
X2 + A1/2X + 1/2(T+A
– ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.
(18)
Полное уравнение
четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0
сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X +
K/4.
Список
литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.n-t.org/