Алгебра
матриц
Основные
понятия
Определение.
Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами,
называется – матрицей.
Мы будем
рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее
элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки.
При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя
индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца
матрицы. Например, матрица
.
.
В сокращенной
записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2,…m;
j=1,2,…,n (кратко , . ).
Произведение называют размером матрицы.
Матрица
называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:
Упорядоченный набор элементов а11,а22,…,аnn называется главной диагональю, в свою
очередь, а1n,а2,n-1,…,аn1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы
которой удовлетворяют условию:
называется
диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:
Диагональная
матрица порядка n
называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица
любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны
нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:
.
ЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Определение.
Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.
.
Таким образом,
чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых
местах. Например,
A + B = = C
Определение.
Произведение матрицы А на число l называется матрица lА=(l аij), получаемая умножением всех элементов
матрицы А на число l.
Например, если и l=5, то
Разность матриц
А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.
Рассмотренные
операции называются линейными.
Отметим
некоторые свойства операций.
Пусть А,В,С –
матрицы одинакового размера; a,b - действительные числа.
А+В = В+А –
коммутативность сложения.
(А+В)+С =
А+(В+С) – ассоциативность сложения.
Матрица О,
состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.
Для любой
матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от
элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.
a(bА) = (ab)А = (aА)b. 6. (a+b)А = aА+bА.
7.
a(А+В) = aА+aВ.
8. 1* А = А. 9.
0 * А = 0.
Умножение
матриц
В матричной
алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная
операция.
Определение.
Произведением матрицы А=(аij) размера и прямоугольной матрицы B=(bij)
размера называется прямоугольная матрица С=(сij) размера , такая что
cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj; , .
Таким образом,
элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений
элементов i-ой
строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.
.
Произведение С=АВ определено, если число
столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры
матриц можно представить схемой:
Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда
определена.
Примеры. Найдем
произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.
1. , .
2. , .
Таким образом,
коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не
выполняется, т.е. В частном случае
коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е.
3. , .
Для этих матриц
произведение как АВ ,так и ВА не существует.
,
Получим , ВА – не существует.
Свойства
умножения матриц.
Пусть А,В,С –
матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l -
действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств
действительных чисел имеют место следующие свойства:
(АВ)С = А(ВС) –
ассоциативность.
(А+В)С = АС+ВС
– дистрибутивность.
А(В+С) = АВ+АС
– дистрибутивность.
l(АВ) = (lА)В = А(lВ).
ЕА = АЕ = А,
для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.
Приведем пример
доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.
Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем
элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет
число
аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin(bnj+cnj) =
(аi1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).
Первая сумма в
правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма
равна элементу из i-ой
строки и j-го
столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.
Упражнение 1.
Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:
, , .
Упражнение 2.
Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:
, , .
Упражнение 3.
Найти матрицу А3, если .
Вырожденные
и невырожденные матрицы
Определение.
Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и
невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.
Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная
матрица.
, = 12-12 = 0; А – вырожденная матрица.
Теорема.
Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя
бы один из множителей есть вырожденная матрица.
Необходимость.
Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц
равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя
бы одна из матриц А или В является вырожденной.
Достаточность.
Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица.
Замечание.
Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.
Обратная
матрица
Определение.
Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же
размера, если
АВ = ВА =
Е. (1)
Пример. , .
В – матрица
обратная к А.
Теорема.
Если для данной матрицы обратная
существует, то она определяется однозначно.
Предположим,
что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что
АХ = ХА = Е (2)
АУ = УА =
Е (3)
Умножая одно из
равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу
ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ,
т.е. Х = У. Теорема доказана.
Теорема
(необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
Обратная
матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица
А невырожденная.
Необходимость.
Пусть для матрицы А существует обратная А-1, т.е. А А-1 = А-1А = Е. Тогда, ½А А-1½= ½А½½А-1½=½Е½=1,
т.е. ½А½0 и ½А-1½0; А –
невырожденная.
Достаточность.
Пусть дана невырожденная матрица порядка n
,
так что ее
определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических
дополнений к элементам матрицы А:
,
ее называют
присоединенной к матрице А.
Следует
обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А*, для .
Найдем произведения матриц АА*
и А*А. Обозначим АА* через С, тогда по определению
произведения матриц имеем: Сij = аi1А
1j + а i2А 2j + … + а inАnj; i = 1, n: j =
1, n.
При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения
этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом Сij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов Сij вне главной диагонали матрицы С, имеем
сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения
другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА*
Аналогично
доказывается, что произведение А на А* равно той же матрице С. Таким
образом, имеем А*А = АА* = С. Отсюда следует, что
Поэтому, если в
качестве обратной матрицы взять , то Итак, обратная матрица
существует и имеет вид:
.
Пример. Найдем
матрицу, обратную к данной:
Находим D = |А| = -1 ¹ 0, А существует. Далее находим алгебраические дополнения
элементов матрицы А:
А = = 0 ; А = = -1; А = = 3;
А = = -3; А = = 3; А = = -4;
А = = 1; А = = -1; А = = 1;
А =
Список
литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru/