Математика
16 века: люди и открытия
В 16 веке
европейские математики сумели, наконец, сравниться в мудрости с древними
греками и превзойти их там, где успехи эллинов были не велики: в решении
уравнений. Такой прорыв в неведомое стал итогом долгой культурной революции.
Она началась в 14 веке, когда в Италии появились первые великие поэты Нового
времени: Данте Алигьери (1265-1321) и Франческо Петрарка (......). Подобно
Гомеру, они объявили своим современникам: пришла пора строить новый мир,
равняясь на античные образцы и стараясь их превзойти!
Городские
коммуны Италии 14-16 веков были во многом похожи на полисы Эллады. На их улицах
гремели столь же бурные политические споры и религиозные проповеди, а в залах
университетов обычные лекции чередовались с публичными диспутами на самые
разные темы. Существуют ли в природе те "универсалии", о которых
писал Платон" Например, законны ли общие понятия "овощ" и "фрукт"
- или существуют только репа и капуста, яблоко и персик" Возможны ли в
геометрии новые теоремы, не известные Евклиду" Можно ли решить те
геометрические задачи, которые были не под силу древним грекам - например,
разделить любой угол на три равные части"
Когда
распространилось книгопечатание, споры этого рода начали волновать не только
узкий круг профессионалов. Теперь каждый образованный человек мог заглянуть в
книгу Евклида или Архимеда и составить свое мнение об их открытиях. Итальянские
художники 15 века научились применять стереометрию в живописи. Они изобрели
технику перспективы, благодаря которой плоские изображения пространственных тел
кажутся неотличимы от реальных предметов. Особенно отличился в этой области
Леонардо да Винчи из Флоренции (1452-1519). Следуя по стопам Архимеда, он
применял геометрию к решению механических задач: например, Леонардо рассчитал и
построил водолазный колокол, создал проекты подводной лодки и вертолета.
Ровесник
Леонардо - профессор Сципион дель Ферро из Болоньи (ум.1526) посвятил всю жизнь
решению различных алгебраических уравнений. Затруднения, связанные с неудобными
обозначениями неизвестных величин и действий над ними, были огромны.
Попробуйте, например, решить квадратное уравнение, не используя знаки (+), (-)
и .., а заменяя их словами! Сципион преодолел эти трудности. Комбинируя решение
квадратного уравнения с извлечением кубического корня, он сумел решить
уравнение вида (х.. = рх + q). Оказалось, что оно имеет 3 разных корня, и что к
нему сводится произвольное кубическое уравнение вида (ах.. + вх.. + сх + d =
0). Сейчас эти факты очевидны для каждого старшеклассника, видавшего график
функции (у = х..) и понимающего, что такое линейная замена переменной в
многочлене. Но итальянцы 16 века не ведали понятий "функция",
"график" и "многочлен"!
Характерно, что
Сципион дель Ферро не опубликовал свое открытие в печати. Он не смог изложить
его просто и доступно для любознательного студента, а оставил лишь записи,
понятные математикам высшей квалификации. Один из таких читателей - Никколо
Фонтана из Брешии (...) по прозвищу Тарталья ("Заика") - разобрался в
записях Ферро и начал применять кубические уравнения при составлении и решении
новых алгебраических задач. Эти задачи он предлагал своим коллегам-соперникам
на регулярных диспутах, похожих на современные олимпиады для школьников или на
шахматные турниры. Победа на таком турнире была очень важна для профессора: чем
ярче его успех, тем больше студентов посещают его лекции, и тем выше оплачивают
его труд городские власти!
Некоторое время
Никколо Тарталья был почти непобедим в математических соревнованиях; сравниться
с ним мог только Джироламо Кардано (.......) из Павии. В 1535 году, обсуждая
итоги очередного турнира, Тарталья и Кардано заговорили о решении кубических
уравнений. Тут Тарталья (нечаянно, или ради похвальбы) сообщил Кардано, что он
знает способ решения кубических уравнений, открытый еще профессором Ферро.
Мы не знаем,
сколь много нового рассказал Тарталья Кардано. Но мастеру хватило этой
информации для полного решения кубического уравнения; в итоге Кардано сравнялся
с Тартальей в алгебраическом мастерстве. Он не стал скрывать свое умение от
всех, а поделился им со своим лучшим учеником - Лодовико Феррари (....). Тот,
придя в восторг, попробовал развить новую технику для решения уравнений степени
4 - и преуспел в этом деле. Тут Кардано почувствовал, что в математике
назревает переворот. Кто первый поведает людям о новых алгебраических открытиях
- тот прославится на весь мир и встанет вровень с Евклидом!
В 1545 году
Кардано опубликовал книгу "Великое искусство", в которой дал полное
решение уравнений-многочленов степени 3 или 4 и тех задач, которые к ним
сводятся. При этом Кардано честно написал о заслугах Ферро, Тарталья и Феррари.
Тем не менее, Тарталья был возмущен: у него украли его тайную славу! Последовал
долгий ожесточенный спор, завершившийся уроком на все времена. Честь нового
открытия достается тому, кто первый сообщит о нем широкой публике во всех
подробностях! Так способ решения кубического уравнения (х.. = рх + q) получил
название "формула Кардано":
Формула Феррари
для корней многочлена степени 4 выглядит еще сложнее, поскольку в ней решение
идет в два этапа. Сначала по уравнению степени 4 составляется вспомогательное
кубическое уравнение, а потом по нему - квадратное уравнение.
Можно было
надеяться, что такой прием позволит решить любое уравнение-многочлен. Но эта
гипотеза не оправдалась. Через 300 лет после открытий Ферро его коллеги -
норвежец Нильс Абель и француз Эварист Галуа - доказали, что корни некоторых
многочленов степени 5 НЕ выражаются через их коэффициенты с помощью
арифметических действий и извлечения корней любой степени. Оказалось, что в
алгебре (как и в геометрии) существуют задачи, не разрешимые теми методами,
которые использовали изобретатели этих задач!
Но в 16 веке
такие мысли не приходили в голову математикам. Им важно было разобраться в
способах решения тех задач, которые не поддаются усилиям отдельных умельцев.
Как сделать эти способы общедоступными" В алгебре эту проблему удачно
решил Франсуа Виет (1540-1603) - первый крупный математик Франции. Он впервые
использовал привычные нам знаки арифметических действий над известными числами
или над буквами, изображающими неизвестные числа. Изложив на этом языке все
известные факты о решении уравнений-многочленов, Виет заметил: если многочлен
имеет полный набор корней (число которых равно его степени), то сам многочлен
разлагается в произведение множителей вида (х-а), где символ (а) обозначает
любой корень многочлена.
Из этой
формулы: Р(х) = (х-а..)(х-а..)...(х-а..) - видно, как выразить любой
коэффициент многочлена через его корни. Например, свободный член равен
произведению всех корней, а их сумма равна коэффициенту при неизвестном в
степени (n-1). Все эти соотношения названы формулами Виета. Они позволяют
быстро находить "в уме" корни многих многочленов по их коэффициентам,
но общего пути для таких поисков они не дают.
Открытие Виета
выявило неожиданную аналогию между многочленами и целыми числами: они одинаково
просто разлагаются на неразложимые множители! В мире чисел такими множителями
являются простые числа - а среди многочленов двучлены вида (х-а) или более
сложные неразложимые многочлены. Каковы они могут быть" Например, можно ли
разложить на линейные множители многочлены (х..-2) или (х..+1), не имеющие рациональных
корней"
Первый из них
имеет два иррациональных корня: один - положительный, другой - отрицательный. С
таким числами Виет обращался свободно. Он даже сумел выразить через них
знаменитое число П - правда, лишь в виде бесконечного произведения:
2/П = (соs
п/4)*(cos п/8)*(cos п/16)...
Все множители,
стоящие в правой части этого равенства, Виет выразил через корни разных
степеней из рациональных чисел. Получилась такая формула:
К сожалению,
она не удобна для вычисления П с любой точностью. Более удобные формулы этого
рода были найдены другими математиками: Джоном Валлисом в 17 веке и Леонардом
Эйлером в 18 веке.
Решение
уравнений-многочленов степеней 3 и 4 стало крупным успехом новой европейской
математики. Но за всякий успех приходится платить. Платой за удачи Кардано и
Феррари оказалось появление МНИМЫХ чисел. Так были названы квадратные корни из
отрицательных чисел. Они неизбежно возникают при решении кубического уравнения
по способу Кардано, даже если такое уравнение имеет три действительных корня.
В середине 16
века европейские математики уже привыкли к целым и дробным, отрицательным и
иррациональным числам. Любые два числа этих сортов можно сравнить по величине и
изобразить точками на числовой прямой: (а) лежит справа от (в), если а