Ряды
Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) –
элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в
соот-е число Wi
или любой точке (xi;yi) или паре чисел
ставится в соот-е zi
след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е
значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)ÎЕ
дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у)
удовлетвор-х нерав-у
Ö[(х-х0)+(y-y0)] 0
сущ-ет d
окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у)Îd
окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0)2+(y-y0)2] lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
2)limXnYn
= lim Xn * lim Yn (n®¥).
3)lim
Xn=a, lim Yn=b (n®¥)
=> lim Xn/Yn =
(lim
Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1
переменной.
Непрерывность фун в точке.
Опр: Пусть точка М0(х0;у0)
Î
обл опр-я фун-и f(х;у).
Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в
точке М0(х0;у0), если имеет место
равенство limх®х0(у®у0)f(х;у)=f(х0;у0) или limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0;у0),
где х=х0+Dх
и у=у0+Dу,
причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные
пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со
всех сторон =f(x0;у0).
Если (х0;у0) точка разрыва и
выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.
Если (х0;у0)–1 род и
выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и
не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.
Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у)
и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма
(разность) f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у),
произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у),
а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у),
есть непрер-я фун в точке х0;у0.
Док-во (суммы): По определению получаем, что limх®х0(у®у0)f1(х;у)=f1(х0;у0),
limх®х0(у®у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b =>
lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥),
можем написать: limх®х0(у®у0)f(х;у)=limх®х0(у®у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=
=limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)=
=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0).
Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в
которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0,
а фун y=f(z) непрерывна
в соот-й точке z0=j(х0;у0), то
фун y=f(j(х;у))
непрер-а в точке (х0;у0).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого
интервала (а,в), где а