Великие задачи древности.
Реферат ученика
10 ф/м б класса Кожевникова Кирилла.
Февраль 2002 г.
С глубокой древности известны три задачи на
построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли
особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи
невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка
задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем
предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это
привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.
Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители
математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны.
Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки.
До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма,
авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно
излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки.
КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ
Древнегреческие
математики достигли
чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и
линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и
только в наше время, наконец, были получены их решения.
История нахождения квадратуры круга длилась четыре
тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из
подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина
постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой п.
Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна
2pr2, а так как площадь круга равна S = 2pr2, то задача о квадратуре круга сводится к задаче
построения треугольника с основанием 2pr2 и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен
равновеликий квадрат.
Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина
которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом
в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число p меньше чем
, но больше чем ,
т.е. 3,1408